Slide 1 / 78. Teorema de Pitágoras Distancia y Puntos Medios

Transcripción

1 Slide 1 / 78 Teorema de Pitágoras Distancia y Puntos Medios

2 Slide 2 / 78 Tabla de Contenidos Teorema de Pitágoras Haga clic en un tema para ir a esa sección Fórmula de la Distancia Puntos Medios

3 Slide 3 / 78 Teorema de Pitágoras Haga clic para volver la tabla de contenidos

4 Slide 4 / 78 Teorema de Pitágoras Este es un teorema que se utiliza para los triángulos rectángulos. Fue conocido primero en la antigua Babilonia y Egipto a partir de 1900 A.C. Sin embargo, no fue conocido extensamente hasta que Pitágoras lo declaró. Pitágoras vivió en el siglo 6 A.C. en la isla de Samos en el Mar Egeo. También vivió en Egipto, Babilonia, y el sur de Italia. Fue un filósofo y un profesor.

5 Slide 5 / 78 Las etiquetas de un triángulo rectángulo a c Hipotenusa haga clic para revelar - Opuesto al ángulo recto - Más largo haga de clic los en 3 lados para revelar Catetos haga clic en para revelar b - 2 lados que forman el ángulo recto haga clic en para revelar

6 Slide 6 / 78 En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de la longitud de los catetos (a y b) es igual a el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (c). a 2 + b 2 = c 2 Enlace a la animación de la prueba

7 Slide 7 / 78 Cateto que falta 5 pies 15 pies a 2 + b 2 = c b 2 = b 2 = b 2 = 200 b 14 pies Escribe la Ecuación Sustitue los números Números cuadrados Sustrae Encuentra la Raíz Cuadrada Etiqueta Respuesta

8 Slide 8 / 78 Cateto que falta a 2 + b 2 = c 2 Escribe la Ecuación 9 plg 18 plg b 2 = b 2 = 324 Sustitue los números Números cuadrados Sustrae b 2 = 243 b = 243 pulgadas b 16 pulgadas Encuentra la Raíz Cuadrada Etiqueta Respuesta

9 Slide 9 / 78 Hipotenusa que falta 7 plg 4 plg a 2 + b 2 = c = c = c 2 65 = c 2 c = 65 pulgadas c 8 pulgadas Escribe la Ecuación Sustitue los números Números cuadrados Agrega Encuentra la Raíz Cuadrada y Etiqueta Respuesta

10 Slide 10 / 78 Cómo utilizar la fórmula para encontrar lados que faltan. Cateto que falta Escribe la Ecuación Sustitue los números Números cuadrados Sustrae Encuentra la Raíz Cuadrada Etiqueta Respuesta Hipotenusa que falta Escribe la Ecuación Sustitue los números Números cuadrados Agrega Encuentra la Raíz Cuadrada Etiqueta Respuesta

11 Slide 11 / 78 1 Cuál es la longitud del tercer lado? 7 x Respuesta 4

12 Slide 12 / 78 2 Cuál es la longitud del tercer lado? Respuesta x 41 15

13 Slide 13 / 78 3 Cuál es la longitud del tercer lado? 7 Respuesta z 4

14 Slide 14 / 78 4 Cuál es la longitud del tercer lado? 3 x Respuesta 4

15 Slide 15 / 78 Ternas Pitagóricas 3 5 Hay combinaciones de números enteros que trabajan en el Teorema de Pitágoras. Estos conjuntos de números son conocidos como Ternas Pitagóricas es la más famosa de las ternas. Si reconoces los lados del triángulo como una terna (o múltiple de una), no será necesario usar una calculadora!

16 Slide 16 / 78 Puedes encontrar otras Ternas Pitagóricas? Usa la lista de cuadrados para ver si cualquier otras ternas funcionan. Ternas 1 2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 900

17 Slide 17 / 78 5 Cuál es la longitud del tercer lado? 6 Respuesta 8

18 Slide 18 / 78 6 Cuál es la longitud del tercer lado? Respuesta 5 13

19 Slide 19 / 78 7 Cuál es la longitud del tercer lado? 48 Respuesta 50

20 Slide 20 / 78 8 Los catetos de un triángulo rectángulo son 7,0 y 3,0, cuál es la longitud de la hipotenusa? Respuesta

21 Slide 21 / 78 9 Los catetos de un triángulo rectángulo son 2,0 y 12, cuál es la longitud de la hipotenusa? Respuesta

22 Slide 22 / La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 4,0 y uno de sus catetos tiene una longitud de 2,5. Cuál es la longitud del otro cateto? Respuesta

23 Slide 23 / La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 9,0 y uno de sus catetos tiene una longitud de 4,5. Cuál es la longitud del otro cateto? Respuesta

24 Slide 24 / 78 Corolario al Teorema de Pitágoras Si a y b son medidas de los lados cortos de un triángulo, c es la medida del lado más largo, y c 2 = a 2 + b 2, entonces el triángulo es rectángulo. Si c 2 a 2 + b 2, Entonces el triángulo no es un triángulo rectángulo. a = 3 pies c = 5 pies b = 4 pies

25 Slide 25 / 78 Corolario al Teorema de Pitágoras En otras palabras, puedes comprobar si un triángulo es un triángulo rectángulo al ver si el Teorema de Pitágoras es cierto. Prueba el Teorema de Pitágoras. Si la ecuación final es verdad, entonces el triángulo es rectángulo. Si la ecuación final es falsa, entonces el triángulo no es rectángulo.

26 Slide 26 / 78 8 plg, 17 plg, 15 plg a 2 + b 2 = c = = = 289 Sí! Es un triángulo rectángulo? Escribe la ecuación Inserta los números Números cuadrados Simplifica ambos lados Son iguales?

27 Slide 27 / Es el triángulo un triángulo rectángulo? Sí NO 6 pies 10 pies Respuesta 8 pies

28 Slide 28 / Es el triángulo un triángulo rectángulo? Sí NO 36 pies 24 pies Respuesta 30 pies

29 Slide 29 / Es el triángulo un triángulo rectángulo? Sí NO 8 pulgadas 10 pulgadas 12 pulgadas Respuesta

30 Slide 30 / Es el triángulo un triángulo rectángulo? Sí NO 5 pies 13 pies Respuesta 12 pies

31 Slide 31 / Puedes construir un triángulo rectángulo con tres longitudes de madera que miden 7,5 plg, 18 plg y 19,5 plg? Sí NO Respuesta

32 Slide 32 / 78 Pasos para los problemas de aplicación del Teorema de Pitágoras. 1. Dibuja un triángulo rectángulo para representar la situación. 2. Resuelve la longitud del lado desconocido. 3. Redondea a la décima más cercana.

33 Slide 33 / Los tamaños de monitores de televisión y de ordenador son dados en pulgadas. Sin embargo, estas dimensiones son en realidad la medida diagonal de la pantallas rectangulares. Supongamos que un monitor de ordenador de 14 pulgadas tiene una longitud real de la pantalla de 11 pulgadas. Cuál es la altura de la pantalla? Respuesta

34 Slide 34 / Un árbol fue golpeado por un rayo durante una tormenta. La parte del árbol que sigue en pie es de 3 metros de altura. La parte superior del árbol está en reposo 8 metros desde la base del árbol, y aún está parcialmente adjunto a su tronco. Supongamos que el suelo es plano. Qué tan alto es el árbol originalmente? Respuesta

35 Slide 35 / Acabas de recoger una pelota en el suelo en la base tercera, y ves al jugadordel otro equipo correr hacia primera base. Hasta dónde hay que tirar la pelota para conseguir que llegue de tercera base a la primera base, y sacar al corredor? (Una diamante de béisbol es un cuadrado) Segunda 90 pies 90 pies Respuesta Tercera Primera 90 pies 90 pies Casa

36 Slide 36 / Estás encerrado fuera de tu casa y la única ventana abierta está en el segundo piso, 25 pies sobre el suelo. Hay arbustos a lo largo del borde de tu casa, entonces tendrás que colocar una escalera a 10 pies de distancia de la casa. Qué longitud de la escalera necesitas para alcanzar la ventana? Respuesta

37 Slide 37 / Scott quiere nadar a través de un río que es 400 metros de ancho. Comienza la natación perpendicular a la costa, pero termina 100 metros río abajo a causa de la corriente. Hasta qué punto nadó en realidad desde su punto de inicio? Imagen Respuesta

38 Slide 38 / 78 Fórmula de la Distancia Haga clic para volver a la tabla de contenidos

39 Slide 39 / 78 Si tienes dos puntos en un gráfico, como por ejemplo (5,2) y (5,6), puedes encontrar la distancia entre ellos al simplemente contar las unidades en el gráfico, ya que se encuentran en una línea vertical. La distancia entre estos dos puntos es 4. El punto más alto es 4 sobre el punto más bajo.

40 Slide 40 / Cuál es la distancia entre estos dos puntos? Jale

41 Slide 41 / Cuál es la distancia entre estos dos puntos?

42 Slide 42 / Cuál es la distancia entre estos dos puntos?

43 Slide 43 / 78 La mayoría de conjuntos de puntos no se encuentran en una línea vertical u horizontal. Por ejemplo: Contar las unidades entre estos dos puntos es imposible. Así que los matemáticos han desarrollado una fórmula que utiliza el Teorema de Pitágoras para encontrar la distancia entre dos puntos.

44 Slide 44 / 78 Dibuja un triángulo rectángulo alrededor de estos dos puntos. Luego utiliza el Teorema de Pitágoras para encontrar la distancia en rojo. c a b c 2 = a 2 + b 2 c 2 = c 2 = c 2 = 25 c = 5 La distancia entre los dos puntos (2,2) y (5,6) es de 5 unidades.

45 Slide 45 / 78 Ejemplo: c 2 = a 2 + b 2 c 2 = c 2 = c 2 = 45 c 6,7 La distancia entre los dos puntos (-3,8) y (- 9,5) es aproximadamente 6,7 unidades.

46 Slide 46 / 78 Intenta esto: c 2 = a 2 + b 2 c 2 = c 2 = c 2 = 225 c = 15 La distancia entre los dos puntos (-5, 5) y (7, -4) es de 15 unidades.

47 Slide 47 / 78 Derivar una fórmula para calcular la distancia...

48 Slide 48 / 78 Crea un triángulo rectángulo alrededor de los dos puntos. Etiqueta los puntos como se muestra. Luego sustituye a la Fórmula de Pitágoras. d (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) longitud = y 2 - y 1 longitud = x 2 - x 1 c 2 = a 2 + b 2 d 2 = (x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2 d = (x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2 Esta es la fórmula de la distancia, ahora sustituye en valores. d = (5-2) 2 + (6-2) 2 d = (3) 2 + (4) 2 d = d = 25 d = 5

49 Slide 49 / 78 Fórmula de la Distancia Puedes encontrar la distancia d entre dos puntos (x 1, y 1 ) y (x 2, y 2 ) Utilizando la fórmula a continuación. d = (x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2

50 Slide 50 / 78 Cuando sólo se dan dos puntos, utiliza la fórmula. Jale para la fórmula Encuentra la distancia entre: Punto 1 (-7-4) Punto 2 (-5, -2) 5,1

51 Slide 51 / Encuentra la distancia entre (2,3) y (6,8). Redondea tu respuesta a la décima más cercana. Jale para la fórmula Indicio para responder Jale

52 Slide 52 / Encuentra la distancia entre (-7, -2) y (11,3). Redondea tu respuesta a la décima más cercana. Jale para la fórmula Indicio para responder Jale

53 Slide 53 / Encuentra la distancia entre (4,6) y (1,5). Redondea tu respuesta a la décima más cercana. Jale para la fórmula para responder Jale

54 Slide 54 / Encuentra la distancia entre (7, -5) y (9, -1). Redondea tu respuesta a la décima más cercana. Jale para la fórmula para responder Jale

55 Slide 55 / 78 Cómo encontrarías el perímetro de este rectángulo? Puedes contar las unidades o encontrar la distancia entre los puntos de los pares ordenados.

56 Slide 56 / 78 Podemos contar cuántas unidades de largo mide cada segmento de línea que hay en el cuadrilátero para encontrar el perímetro? D (3,3) C (9,4) A (0,-1) B (8,0)

57 Slide 57 / 78 Puedes utilizar la Fórmula de la Distancia para resolver problemas de geometría. D (3,3) A (0,-1) C (9,4) B (8,0) Encuentra el perímetro de ABCD. Utiliza la fórmula de la distancia para encontrar las longitudes de los cuatro lados. Luego agregalos juntos. AB = AB = BC = BC = CD = CD = DA = DA = perímetro

58 Slide 58 / Encuentra el perímetro de EFG. Redondea el resultado a la décima más cercana. F (3,4) Jale para la fórmula Jale G (1,1) Jale E (7,-1) para responder

59 Slide 59 / Encuentra el perímetro del cuadrado. Redondea tu respuesta a la décima más cercana. H (1,5) Jale para la fórmula K (-1,3) I (3,3) para responder Jale J (1,1)

60 Slide 60 / Encuentra el perímetro del paralelogramo. Redondea tu respuesta a la décima más cercana. Jale para la fórmula L (1,2) M (6,2) O (0,-1) N (5,-1) para responder Jale

61 Slide 61 / 78 Haga clic para volve la tabla de contenidos Puntos Medios

62 Slide 62 / 78 Encuentra el punto medio del segmento de línea. Qué es un punto medio? Cómo se encuentra el punto medio? Cuáles son las coordenadas del punto medio? (2, 10) (2, 2)

63 Slide 63 / 78 Encuentra el punto medio del segmento de línea. Cuáles son las coordenadas del punto medio? Cómo se relaciona con las coordenadas de los extremos? (3, 4) (9, 4)

64 Slide 64 / 78 Encuentra el punto medio del segmento de línea. Cuáles son las coordenadas del punto medio? Cómo se relaciona con las coordenadas de los extremos? Punto medio = (6, 4) (3, 4) (9, 4) Está en el centro del segmento. Promedio de coordenada x. Promedio de coordenada y.

65 Slide 65 / 78 La fórmula del Punto Medio Para calcular el punto medio de un segmento de línea con extremos (x 1,y 1 ) Y (x 2,y 2 ) utiliza la fórmula: ( x 1 + x 2 y 1 + y 2 ), 2 2 Las coordenadas x e y del punto medio son los promedios de las coordenadas X e Y de los extremos, respectivamente.

66 Slide 66 / 78 El punto medio de un segmento AB es el punto M en AB entre la mitad de los extremos A y B. A (2,5) B (8,1) Vea la página siguiente para la respuesta

67 Slide 67 / 78 El punto medio de un segmento AB es el punto M en AB entre la mitad de los extremos A y B. A (2,5) M B (8,1) Usa la fórmula del punto medio: ( x 1 + x 2 y 1 + y 2 ), 2 2 Sustituye los valores: ( ) 2 + 8, Simplifica los numeradores: ( 10, 6 ) 2 2 Escribe fracciones en forma reducida: (5,3) es el punto medio de AB

68 Slide 68 / 78 Encuentra el punto medio de (1,0) y (-5,3) Usa la fórmula del punto medio: ( x 1 + x 2 y 1 + y 2 ), 2 2 Sustituye los valores: ( ) , Simplifica los numeradores: ( -4, 3 ) 2 2 Escribe fracciones en forma reducida: (-2, 1,5) Es el punto medio

69 Slide 69 / Cuál es el punto medio del segmento de línea que tiene los extremos (2,10) y (6, -4)? A (3,4) B (4,7) C (4,3) D (1,5, 3) ra la fórmula Jale

70 Slide 70 / Cuál es el punto medio del segmento de línea que tiene los extremos (4,5) y (-2,6)? A (3, 6,5) B (1, 5,5) C (-1, 5,5) D (1, 0,5) ra la fórmula Jale

71 Slide 71 / Cuál es el punto medio del segmento de línea que tiene los extremos (-7-4) y (-12,2)? A (-8, -2,5) B (-4, -4,5) C (-1, -6,5) D (-8,-4) ara la fórmula Jale

72 Slide 72 / Cuál es el punto medio del segmento de línea que tiene los extremos (10,9) y (5,3)? A (6,5, 2) B (6, 7,5) C (7,5, 6) D (15,12) ara la fórmula Jale

73 Slide 73 / Encuentra el centro del círculo con un diámetro que tiene los extremos (-4,3) y (0,2). Qué fórmula se debe utilizar para resolver este problema? A Fórmula de Pitágoras B C D Fórmula de la Distancia Fórmula del Punto Medio Fórmula para el área de un círculo

74 Slide 74 / Encuentra el centro del círculo con un diámetro que tiene los extremos (-4,3) y (0,2). A (2,5, -2) B (2, 2,5) C (-2, 2,5) D (-1, 1,5) Ya que el centro se encuentra en el punto medio de cualquier diámetro, encuentra el punto medio de los dos dados extremos. ra la fórmula Jale

75 Slide 75 / Encuentra el centro del círculo con un diámetro que tiene los extremos (-12,10) y (2,6). A (-7,8) B (-5,8) C (5,8) D (7,8) a la fórmula Jale

76 Slide 76 / 78 El punto M es el punto medio entre los puntos P y Q. Encuentra las coordenadas del punto que falta. Q =? M (8,1) P (8,-6) Use la fórmula del punto medio y resolver la incógnita. ( x 1 + x 2 y 1 + y 2 ), 2 2 ra la fórmula Jale Sustituye Multiplica ambos lados por 2 Sumar o restar (8, 8)

77 Slide 77 / Si el punto M es el punto medio entre los puntos P y P: Cuáles son las coordenadas del punto que falta? A (-13,-22) B (-8,5, -9,5) C (-4,5, -7,5) D (-12,5, -6,5) P = (-4,3) M = (-8,5, -9,5) Q =? ra la fórmula Jale

78 Slide 78 / Si el punto M es el punto medio entre los puntos P y P: Cuáles son las coordenadas del punto que falta? A (1,-1) B (-13,19) C (-8,11) D (-19,8) Q = (-6,9) M = (-7,10) P =? ra la fórmula Jale