El nombre d or, un exemple de la presència de les matemàtiques en el món: en l arquitectura, en la pintura, en la natura i en la vida quotidiana

Transcripción

1 El nombre d or, un exemple de la presència de les matemàtiques en el món: en l arquitectura, en la pintura, en la natura i en la vida quotidiana Jordi Deulofeu Piquet Departament de Didàctica de les Matemàtiques Universitat Autònoma de Barcelona Torre Tamarita, 14 de gener de 2014

2 Raons i proporcions: la raó àuria o el nombre d or

3 Raons i proporcions: la raó aurea, la divina proporció o el nombre d or Nombre i raó. Una raó és un quocient de dues magnituds del mateix tipus. Una proporció és una igualtat de dues raons. Propietat de les proporcions: el producte dels extrems és igual al producte dels mitjans. Una raó pot ser un nombre natural, racional o real.

4 Com caracteritzar la forma d un rectangle Donar un rectangle equival a donar dos nombres (mesures de les dues longituds del rectangle). En dos rectangles de la mateixa forma i dimensions a, b i a, b respectivament tenim: a / a = b / b La proporció anterior es pot expressar així: a / b = a / b La raó a / b caracteritza la forma d un rectangle: Si a / b = 1, tenim un quadrat; si a / b = 2 un dòmino (dos quadrats ajuntats)

5 La família DIN-A: Famílies de rectangles de la mateixa forma Quina forma té un rectangle tal que en partirlo per la meitat, dividint en dos el costat més llarg, ens dóna dos rectangles iguals de la mateix forma que l original? a / b = b / a/2 a 2 /2 = b 2 a b a 2 /b 2 = 2 a/b = 2 b a/2

6 Quan un rectangle és un DIN-A? Cal que la raó entre la llargada i l amplada sigui 2, és a dir, la llargada ha de tenir la mateixa longitud que la diagonal del quadrat de costat l amplada del rectangle. El rectangle inicial (gran) s anomena DIN-A0 i té una superfície d 1 m 2. Els altres rectangles són: DIN-A1, A2, A3, A4 i A5. El DIN-A0 té una àrea d 1 m 2 El DIN-A4 té una àrea d 1/16 m 2 és a dir: 625 cm 2. Les seves mesures es calculen resolent el sistema: a b = 625 i a = 2 b Resultat aproximat (en cm): a = cm i b = cm

7

8 Com es determina el nombre d or? El nombre d or és una raó que es pot obtenir de maneres molt diferents. Algunes d elles són: 1. Determinat la raó dels costats d un rectangle tal que en eliminar un quadrat de costat l amplada s obté un nou rectangle de la mateixa forma que l inicial. 2. Dividint un segment en mitjana i extrema raó 3. Determinant la raó entre la diagonal i el costat d un pentàgon regular. 4. Cercant una parella de nombres tals que tant el seu producte com la seva diferència sigui 1.

9 El rectangle auri Definició Construcció donada l amplada El nombre auri (o nombre d or)

10 Dividir un segment en mitjana i extrema raó Donat un segment AB es tracta de trobar el punt S que el divideixi en dues parts tals que: AB / AS = AS / SB. Prenent AB = 1 i AS = x, tenim: 1 / x = x / 1 x ; d aquesta proporció s obté l equació: x 2 + x - 1 = 0; resolent l equació s obté x = (-1+ 5) / 2

11 Quin és el valor del nombre d or? El nombre d or s indica per la lletra phi (en honor de Fídies) φ (minúscula) o Ф (majúscula) El seu valor s obté al resoldre l equació: x 2 - x - 1 = 0; i correspon al nombre: (1+ 5) / 2. D altra banda, si resolem l equació x 2 + x - 1 = 0 obtenim x = (-1+ 5) / 2, que és l invers del nombre d or, (si multipliquem els dos nombres obtenim 1).

12 El nombre d or o la raó àuria

13 Una determinació numèrica del nombre auri Trobar dos nombres tals que tant el seu producte com la seva diferència sigui 1. a b = 1 S obté l equació: a (a - 1) = 1, és a b = 1 a dir: a 2 a 1 = 0, que dóna: a = (1 + 5) / 2 = 1, O bé l equació: b (b + 1) = 1, és a dir, b 2 + b 1 = 0, que dóna: b = (-1 + 5) / 2 = 0,

14 El pentàgon i el nombre d or: la raó entre la diagonal i el costat del pentàgon regular AC / AB = AB / BC En l estrella pentagonal trobem dues formes de triangles diferents. Tots els triangles són isòsceles i auris. Els angles són de 36, 72 i 72 en un cas i 36, 36 i 108 en l altre.

15 El nombre d or i l arquitectura (I) El Partenó d Atenes

16 El nombre d or i l arquitectura (II) El Partenó d Atenes

17 El nombre d or i l arquitectura La catedral gòtica de Notre Dame (París)

18 Dos rectangles iguals ens donen l altura de la torre: 100 Φ 2 323,61 metres que es l altura total de la torre. La Torre Eiffel París, 1889 Una base quadrada de 100 metres, que seria el costat petit d un rectangle auri.

19 Pavelló Mies Van der Rohe (Barcelona)

20 Estudis de proporcions de l arquitecte Le Corbusier El Modulor és una escala àuria doble a partir de la altura d un home de 1.75 cm. convertida en sistema de mesures estàndard per a la construcció arquitectònica

21

22 El nombre d or a la pintura: Leonardo i la secció àuria

23

24 .

25 Venus de Botticelli (1482) Museu dels Uffizi. Florència.

26 El nombre d or en la pintura Detall de la Venus de Botticelli, amb la proporció àuria

27 La noia de blau llegint una carta (>1664) Vermeer (Rijksmuseum, Amsterdam)

28 Salvador Dalí: Sacrament del Sant Sopar

29 Ad Parnassum de P. Klee

30 P. Mondrian.

31 La divina proporció i la fotografia

32 Swiftcurrent Lake, de Bruce Barnbaum

33 Fotografies de Man Ray: retrats de Marcel Duchamp i de Lee Miller

34 El nombre d or a la natura

35 El matemàtic i filòsof Adolf Zeising (s. XIX) va assegurar que la raó àuria es troba en la distribució de les branques en el tronc central de certs arbres i plantes. Després d estendre els seus estudis als esquelets de certs animals, va afirmar que la raó àuria actua com una llei universal. El 1854 va escriure: [El nombre d or és una llei universal] que conté el principi del creixement de totes les formes belles i acabades, tant en el reialme de la natura com en el de l art, i que permet mantenir el creixement de totes les estructures, del cosmos o individuals, orgàniques o inorgàniques, acústiques i òptiques. Aquesta llei té la seva màxima expressió en la forma i les proporcions del cos humà.

36 El nombre d or a la naturalesa (i en molts objectes de la vida quotidiana) Formes d algunes galàxies, però també de certs cargols, amaguen una espiral que prové del nombre d or. La successió de Fibonacci també té relació amb el nombre d or

37 Una galaxia en espiral: com es construeix aquesta espiral?

38 La successió de Fibonacci Considerem la successió de nombres següent: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 Cada nombre, a partir del tercer, s obté sumant els dos termes que el precedeixen. Per exemple: 21 = ; el següent serà: = 34. Aquesta successió s anomena "successió de Fibonacci" (Leonardo de Pisa ), i va aparèixer en el llibre Liber Abaci (1202) on Fibonacci planteja un problema de reproducció de conills.

39 La successió de Fibonacci i el nombre Ф Si fem els quocients de cada terme de la successió de Fibonacci pel seu anterior, es formen dues successions, una creixent i una decreixent: 1 2 1,5 1,666 1,6 1,625 1, , , , , ,61805 El límit de les dues és el mateix i coincideix amb Ф. Recordem que Ф = 1,

40 La successió de Fibonacci i l espiral

41 W. Hooper: Rational recreations (1774) Creador del puzzle que demostra que 64 és igual a 65. On és l error del raonament? Amb quins nombres s ha construït el puzle? 2, 3, 5, 8, 13, Amb quins nombres seria cert?

42 Altres successions interessants

43 Rectangles auris a la natura

44 La raó àuria i els objectes quotidians

45 Una mica de bibliografia general La proporción áurea. El lenguaje matemático de la belleza. Fernando Corbalán. Col. El mundo es matemático, num. 1. RBA, Un llibre excel lent, un dels més recents sobre el tema de la conferència d avui. El tío Petros y la conjetura de Goldbach. Apostolos Doxiadis. Ediciones B, Una bona novel la sobre les matemàtiques i els matemàtics La música de los números primos. Marcus du Sautoy. Acantilado, 2007 Un assaig de nivell mig alt, amè i interessant, sobre la història dels nombres Cartas a una joven matemática. Ian Stewart. Crítica, 2006 Diferents històries sobre les matemàtiques a partir de la relació epistolar entre un matemàtic i una jove L home que calculava. Malba Tahan. RBA, 2008 Un dels clàssics de la divulgació matemàtica. Escrit a l estil de les Mil i una nits, planteja i resol un gran nombre d enigmes i entreteniments matemàtics