ECUACIONES DIFERENCIALES Problemas de Valor Inicial
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- Elisa Coronel Sosa
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1 DIVISIÓN DE IENIAS FÍSIAS Y MATEMÁTIAS DTO. TERMODINÁMIA Y FENÓMENOS DE TRANSFERENIA MÉTODOS AROXIMADOS EN ING. QUÍMIA TF-33 EUAIONES DIFERENIALES roblemas de Valor Incal Esta guía fue elaborada por: rof. Aurelo Stammtt Scarpone con la auda de: Br. María M. amacho A. Queda termnantemente prohbda la reproduccón parcal o total de esta guía sn la aprobacón del rof. Aurelo Stammtt Scarpone.
2 Dpto. Termodnámca Fenómenos de Transferenca Métodos Aproxmados den Ingenería Químca (TF 33) EUAIONES DIFERENIALES roblemas de Valor Incal Ecuacones Dferencales Ordnaras de er Orden (EDO s er Orden) Se tene el problema: = f( x, ), x ( 0) = 0 Lo que se desea es encontrar la funcón =f(x) tal que satsfaga la Ecuacón Dferencal Ordnara (EDO) la respectva condcón ncal dada. Este tpo de problemas se conoce como roblemas de Valor Incal (VI). uando no se puede resolver este problema de forma analítca debe hacerse de forma numérca, lo que se obtendrá en lugar de la funcón explícta es una tabla de valores x- que representan a la funcón. Exste una varedad de métodos, tanto explíctos como mplíctos para este problema que utlza la EDO la condcón ncal para desarrollar la tabla de valores x-. El objetvo de los métodos numércos dseñados para los VI es determnar el punto sguente usando la nformacón de los puntos anterores la dervada. Enero Marzo 008 ág.
3 Métodos Aproxmados de Ing. Químca Exsten varas famlas de métodos, se agrupan en: Métodos de un paso: solo utlzan la nformacón del punto anteror para calcular el sguente. Métodos multpaso: utlzan la nformacón de varos puntos anterores para calcular el sguente. ada una de estas famlas se dvde en dos categorías: Métodos explíctos: calculan el punto sguente de forma drecta con la nformacón de los puntos prevos. Métodos mplíctos: utlzan un procedmento teratvo para calcular el punto sguente usando los puntos prevos el valor estmado del punto nuevo calculado en la teracón anteror.. Métodos de un aso Explíctos Método de Euler (Talor) Dado nuestro problema de valor ncal, se utlza el desarrollo en seres de Talor alrededor del punto (x 0, 0 ) truncado en el prmer térmno para calcular el sguente punto. ( x ) = f( x, ) = ( x ) = ( x + h) = + h f( x, ) Báscamente lo que hace es calcular la dervada en el punto conocdo extender la línea recta hasta el x sguente. La forma general es: h f x O h = + + (, ) + ( ) con: x = x0 + h [0,n]
4 Dpto. Termodnámca Fenómenos de Transferenca Métodos Aproxmados den Ingenería Químca (TF 33) La desventaja de este método es que debdo a su smplcdad tene un orden de error de O(h ), lo que oblga a selecconar valores mu pequeños de h para obtener buenos resultados. Ejemplo: Sea: x = +., () = 0,,5 x x e x ara este tpo de problemas es necesaro establecer unos límtes físcos para la varable ndependente x, para así defnr el ntervalo de ntegracón. Esto es necesaro sn mportar el método de resolucón selecconado. Lo más fácl ahora, es dvdr el ntervalo de ntegracón en un número fnto de segmentos con ello se determna el valor del paso h. b a, 5 N=5: h= h= h= 0, N 5 (N: nº de segmentos o de dvsones de ntervalo a,b) Ahora se crea una tabla: x f(x, ) + analtca 0 0,788 0,788 0, 0,788,97 0, ,3590, 0, ,97, , ,3, ,65693,09357,6075,, , ,87, ,5 3, , NOTA: para los valores ncales usados se evalúa la funcón para obtener nuestro prmer renglón. x 0 f( x0, 0) = + e =,788 = ; = 0 = 0 + h f( x, ) = 0 + 0,,788 = 0, ( ) ( ) Enero Marzo 008 ág. 3
5 Métodos Aproxmados de Ing. Químca ara este ejemplo se cuenta con la solucón analítca para fnes comparatvos: x x e e analtca x ( ) = ( ) omo puede verse en la tabla, usando cnco (5) dvsones del ntervalo (N=5) dferen de forma aprecable de la solucón analítca, lo que es la prueba de que este método requere de valores de h más pequeños para obtener mejores solucones. uando no se cuenta con la solucón analítca para comparar resultados, lo únco que se puede es resolver el problema varas veces con dstntos valores de N ( en consecuenca de h ). S los resultados varían mucho, es necesaro usar un N más grandes ( h mu pequeño) hasta encontrar un valor de N para el cual a no camben los resultados. En la práctca, debe usarse N=00 como mínmo para tener una buena solucón e ncluso dependendo del problema, puede requerrse N=000 o maores. Esto es váldo para todos los métodos explíctos. Métodos de Runge Kutta Ésta es una famla de métodos mu utlzada debdo a su gran exacttud. Exsten muchas versones modfcacones pero todas trabajan bajo el msmo prncpo básco. Báscamente todos estos métodos calculan la dervada en un punto conocdo luego hacen alguna modfcacón a este valor para calcular el punto sguente. Dependendo del número de evaluacones de la dervada (f(x,)) que hagan recben su nombre. RK: una evaluacón: es Euler explícto. RK: RK que hace dos evaluacones. RK: RK que hace cuatro evaluacones. RK6: RK que hace ses evaluacones (tambén conocdo como RK Fehlberg). Los más fácles de usar son los RK RK pero exsten varas versones de este últmo, la únca dferenca es el valor de las constantes usadas en las multplcacones.
6 Dpto. Termodnámca Fenómenos de Transferenca Métodos Aproxmados den Ingenería Químca (TF 33) a) Método RK Explícto Dado ' = f( x, ); ( x0) = 0. El método hace uso de dos constantes k k como sgue: k = h f( x, ); k = h f( x + h; + k ) Fnalmente: = + + [ k k] O( h ) + + Este método es de segundo () orden en el error. ara la evaluacón de cada + es necesaro evaluar las constantes k k cada vez. Ejemplo: Sea: x = +., () = 0,,5 x x e x Recordar que es necesaro establecer un número de segmentos para elaborar la tabla con los valores de x,, k, k, + analítca ; así como tambén es mportante hallar el valor del paso h como se ndca a contnuacón: b a N=5: h= h= 0, N (N: nº de segmentos o de dvsones del ntervalo a,b) x k k + analtca 0 0 0,788 0,97 0, , 0, ,5755 0, , ,3590, 0, ,69 0,877,5990 0, ,3,5990 0,86576,5976,59896,6075,,59896,66033,5037 3,93667, ,5 3, , NOTA: para los valores ncales usados se evalúa la funcón para obtener nuestro prmer renglón. Enero Marzo 008 ág. 5
7 Métodos Aproxmados de Ing. Químca k = h f( x, ) = (0,) (, 788) = 0, 788 x = ; = 0 k = h f( x + h, + k ) = (0,) f(,;0, 788) = 0, 97 = 0 + [ k+ k] = 0 + [ 0, , 97] = 0,33778 Observacón: s se comparan resultados del ejercco resuelto por el método de RK explícto por Euler, puede verse claramente que el de RK produce mejores resultados. b) Método RK Explícto Este método tene error de O(h ) como a se menconó, exsten varantes, las cuales dependen de la fórmula de ntegracón utlzada, smpson /3 smpson 3/8. Ahora, ambas van a requerr de cuatro coefcentes k j a evaluar; la dferenca fnal está en los factores que multplcan a estos k j. b.- Smpson /3: k = h f( x, ) h k k = h f x + ; + h k k3 = h f x + ; + k = h f( x + h; + k ) 3 ( k k k k ) O h 6 + = ( ) b.- Smpson 3/8: k = h f( x, ) h k k = h f x + ; h k k k3 = h f x + ; k = h f( x + h; + k + k + k ) 3 = + ( k + k + k + k ) + O h ( ) Estas dos versones ofrecen mu buenos resultados en general, pero sempre dependente del valor usado de h. 6
8 Dpto. Termodnámca Fenómenos de Transferenca Métodos Aproxmados den Ingenería Químca (TF 33) Ejemplo RK Explícto usando Smpson /3: x x Sea: = + x. e, () = 0, x,5 b a N=5: h= h= 0, N (N: nº de segmentos o dvsones del ntervalo a,b) x k k k 3 k 0 0 0,788 0,309 0,3757 0,669, 0,3590 0,6397 0,5907 0,560 0,689, 0,8666 0,653 0, ,773 0, ,3,6078,,603 5,5 3, NOTA: para la tabla, los valores de analítco son guales a los de las tablas anterores. Aquí puede observarse una concdenca exacta hasta el cuarto decmal respecto a la solucón analítca usando el msmo paso h = 0,; demostrando así las propedades de este método. Debe notarse aquí que se requró evaluar la funcón f(x,) un total de cuatro veces para cada x lo que mplca un maor tempo de cálculo. Sn embargo, la compensacón está en que tal vez no se requera de un paso h extremadamente pequeño, pero eso depende exclusvamente del problema en cuestón. Modfcacón del paso h de Integracón Hemos vsto que en todos los métodos de un paso explíctos se utlza un valor del paso de ntegracón h fjo, que es calculado antes de ncar el procedmento de solucón. Enero Marzo 008 ág. 7
9 Métodos Aproxmados de Ing. Químca Sn embargo, es posble modfcar el valor del paso h durante la ejecucón de cualquera de los métodos, pero se necesta una medda del error cometdo al usar un valor dado de h. ara RK se puede usar la sguente fórmula: ( k k ) 3 = ( k k) e ; evaluado para( x, ) con h dado A contnuacón se presenta el procedmento de RK con paso h varable. rocedmento: Dado ' = f( x, ); ( x0) = 0; a x b Defno tol, h ncal, x 0 = a x fnal = b DO WHILE x < x fnal Evaluar k; k; k3; k ( k3 k) e = ( k k ) IF ( e / h) < tol THEN x = x + h + + = + ( k+. k + k3+ k ) 6 = + ELSEIF ( e > tol h) THEN h= h/ Dsmnur h ELSEIF ( e tol h) THEN h= h Aumentar h ELSEIF ( h ( x x )) THEN fnal Se evalúa el sguente punto solo cuando el resultado de las evaluacones de los k j para un valor dado de h cumpla con el error. Sno, se debe reajustar h, aumentándolo o dsmnuéndolo para cumplr con el crtero de error END IF END DO h= x x Ajustar al punto fnal fnal 8
10 Dpto. Termodnámca Fenómenos de Transferenca Métodos Aproxmados den Ingenería Químca (TF 33) Este procedmento mplca repetr varas veces la evaluacón de los k ; k ; k 3 ; k con dstntos valores de h hasta cumplr la toleranca para los x actual. El IF es el que ajusta el valor de h cada vez para cumplr el crtero. Además, este proceso se hasta bastante pesado porque se tenen que hacer muchas más evaluacones de la funcón por este procedmento. Métodos Multpaso Explíctos Ya se ha menconado que estos métodos utlzan la nformacón de varos puntos prevos para calcular el sguente. Exsten prncpalmente dos métodos: - Mlne - Adams Bashford Moulton Sn embargo, el prmero no ofrece mu buena establdad, por lo tanto no es mu recomendado sólo se hace hncapé en el segundo método. a) Método de Adams Bashford Moulton Este grupo de métodos calculan el valor del nuevo punto + en dos pasos. rmero utlzan la nformacón de varos puntos para predecr un valor ncal de + llamado +. Luego, utlzan este valor en un segundo paso, junto con otros puntos prevos, para calcular el valor fnal corregdo +. Dependendo de la cantdad de puntos prevos que usan recbrán sus nombres. rmero se presentarán las fórmulas de predccón luego, las respectvas de correccón. redccón ( Adams Bashford ) -AB: punto prevo (método de Euler): h f x + = + (, ) -AB: puntos prevos: = + [ 3 f( x, ) f( x, )] h + Enero Marzo 008 ág. 9
11 Métodos Aproxmados de Ing. Químca h -AB3: 3 puntos prevos: = + [ 3 f( x, ) 6 f( x, ) + 5 f( x, )] -AB: puntos prevos: + h = + f x f x + f x f x [ 55 (, ) 59 (, ) 37 (, ) 9 (, )] orreccón (Adams Moulton) Aquí se utlzan los valores predchos arrba. -AM: -AM: -AM3: -AM: = + h f( x, ) h + = + f( x+, + ) + f( x, ) h + = + 5 f( x+, + ) + 8 f( x, ) f( x, ) h + = + 9 f( x+, + ) + 9 f( x, ) 5 f( x, ) + f( x, ) ada fórmula de AM usa la respectva AB, es decr AB-AM, AB-AM, AB3-AM3 AB-AM; esta últma es la más usada. ara usar AB-AM es necesaro contar con cuatro puntos de la funcón evaluados prevamente. ara esto se puede usar el sguente procedmento de cálculo de arranque para obtener los puntos necesaros. rocedmento de arranque para AB-AM: Sea ' = f( x, ); ( x0) = 0 Incalmente se conoce úncamente el punto ( x0, 0).- Usar AB-AM para calcular el punto ( x, ), a que sólo se requere del conocmento de un punto prevo ( x0, 0)..- Usar AB-AM para calcular el punto ( x, ), con los puntos conocdos, que son ( x0, 0) ( x, ). 0
12 Dpto. Termodnámca Fenómenos de Transferenca Métodos Aproxmados den Ingenería Químca (TF 33) 3.- Usar AB3-AM3 para calcular el punto ( x3, 3), con los puntos conocdos, que son ( x0, 0), ( x, ) ( x, )..- Fnalmente, a se cuenta con cuatro puntos a saber: ( x0, 0), ( x, ), ( x, ) ( x3, 3), por lo tanto, a es posble usar el AB-AM para calcular el punto ( x, ). A partr de aquí a se puede usar AB-AM porque se tenen sufcentes puntos prevos. Observacón: otra opcón para el procedmento de arranque es calcular los prmeros cuatro puntos usando el método de RK exclusvamente, esto es porque tene el msmo orden de error de AB-AM. Esto tambén tene una ventaja respecto al procedmento anteror, los métodos AB-AM hasta AB3-AM3 tenen menor orden de error que AB-AM, lo que sgnfca que esos prmeros puntos generados tenen maor error, lo que puede llevar a resultados erróneos s se usa un paso h mu grande, por eso tambén ha que selecconar un valor apropado de h para reducr el error. Ejemplo: x x Sea: = + x e, () = 0, x,5, h= 0, Sólo se conoce el punto ( x0, 0) = (;0).- álculo del punto ( x, ) usando AB-AM: AB (redccón): = + h f( x, ) ; f( x, ) =, = 0 + (0,) (, 788) = 0, 788 AM (orreccón): = + h f( x, ) 0 x = x + h= 0, ; f( x, ) =,97 0 = 0 + (0,) (,97) = 0, 97 Enero Marzo 008 ág.
13 Métodos Aproxmados de Ing. Químca.- álculo del punto ( x, ) usando AB-AM: h 0 0 f( x, ) = f(,; 0, 97) =,38588 AB (redccón): = + [ 3 f( x, ) f( x, )] 0, = 0, ,38588, 788 = 0,93886 h AM (orreccón): = + f( x, ) + f( x, ) x = x+ h=, f( x, ) = f(, ; 0,93886) = 6,339 0, = 0, ,39 +,38588 = 0,997 omo puede verse, los valores corregdos son los tomados como fnales para cada x. 3.- álculo del punto ( x3, 3) usando AB3-AM3: h f( x, ) = f(, ; 0,997) = 6,3695 AM3 (redccón): = + [ 3 f( x, ) 6 f( x, ) + 5 f( x, )] , 3 = 0, ,3695 6, , =, 6970 h AB3 (orreccón): 3 = + 5 f( x3, 3 ) + 8 f( x, ) f( x, ) x3 = x + h=, 3 f( x3, 3 ) = f(,3;, 6970) = 8,80 0, 3 = 0, , ,3695, =,
14 Dpto. Termodnámca Fenómenos de Transferenca Métodos Aproxmados den Ingenería Químca (TF 33).- álculo del punto ( x, ) usando AB-AM: AM (redccón): h = 3+ [ 55 f( x3, 3) 59 f( x, ) + 37 f( x, ) 9 f( x0, 0) ] f( x3, 3) = f(,3;, ) = 8,86 0, =, , , , , 788 =, 7358 AB (orreccón): h = 3+ 9 f( x, ) + 9 f( x3, 3) 5 f( x, ) + f( x, ) x = x3+ h=, f( x, ) = f(, ;, 7358) =,8565 0, =, , ,86 5 6,3695 +,38588 =, álculo del punto ( x5, 5) usando AB-AM: AB (redccón): h = + f x f x + f x f x [ 55 (, ) 59 (, ) 37 (, ) 9 (, )] f( x, ) = f(, ;, 73789) =,8576 0, 5 =, , , ,3695 9, =, AM (orreccón): h 5 = + 9 f( x5, 5 ) + 9 f( x, ) 5 f( x3, 3) + f( x, ) x5 = x + h=, 5 f( x5, 5 ) = f(,5;, 09696) = 5, , 5 =, , , ,86 + 6, =, Enero Marzo 008 ág. 3
15 Métodos Aproxmados de Ing. Químca x f(x, ) + f(x +, + ) + 0 0,788 0, 788,97 0, 97, 0,97, , ,339 0,997, 0,997 6,3695,6970 8,80, ,3, ,86,7358,8565,73789,,73789,8576, ,55795, ,5, S se comparan estos resultados con los de la solucón analítca se observan dferencas aprecables en los resultados, esto quere decr que el valor selecconado de h = 0, es demasado grande para este método. La causa de esto está en el hecho de que los prmeros cuatro puntos fueron calculados con fórmulas que poseen menores órdenes de error, es decr, errores más grandes en consecuenca, el error se acumula en los puntos sguentes. Una forma de soluconar esto es generar los prmeros puntos usando RK adconalmente, usar un valor de h más pequeño.
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