Estadística. Tema 2. Variables Aleatorias Funciones de distribución y probabilidad Ejemplos distribuciones discretas y continuas

Transcripción

1 Estadística Tema 2 Variables Aleatorias 21 Funciones de distribución y probabilidad 22 Ejemplos distribuciones discretas y continuas 23 Distribuciones conjuntas y marginales 24 Ejemplos distribuciones multivariantes 25 Variables aleatorias independientes 26 Transformación variables aleatorias Objetivos 1 Relación probabilidad y variable aleatoria 2 Distinción entre variables continuas y discretas 3 Independencia de variables aleatorias Bibliografía Dekking et al (2005) Capítulos 3-5 Wasserman (2005) Capítulo 2 Wooldridge (2006) Apéndice B 1

2 21 Funciones de distribución y probabilidad Variable aleatoria: una VA es un mapping X : Ω R que asigna un número real X (ω) a cada resultado ω Función de distribución acumulada CDF: es una función F X : R [0, 1] definida como F X (x) = Pr (X x) La CDF contiene toda la información sobre la VA: si X tiene CDF F e Y tienen CDF G, entonces si F (x) = G (x) para todo x, entonces Pr (X A) = Pr (Y A) para todo A Una función F es una CDF sí y sólo sí: F es no decreciente F está normalizada: F es continua por la derecha: lím F (x) = 0 x lím x F (x) = 1 lím F (y) = F (x) y x,y>x 2

3 Una VA X es discreta si toma un número contable de valores {x 1, x 2, } Su función de probabilidad o función de masa de probabilidad se define como f X (x) = Pr (X = x) Por lo tanto f X (x) 0 y i f X (x i ) = 1 Además F X (x) = Pr (X x) = x i x f X (x i ) Ejemplos: Uniforme Una VA X es continua si existe una función f X f X (x) dx = 1 y para cada a b, tal que f X (x) 0 para todo x y Pr (a < X < b) = b a f X (x) dx La función f X se denomina función de densidad de probabilidad, PDF Además F X (x) = Pr (X x) = x f X (t) dt y f X (x) = F (x) en todos los puntos x en los que F X es diferenciable En este caso Pr (X = x) = 0 y Pr (X = x) f X (x) Además f X (x) puede ser mayor que 1 Ejemplos: Uniforme Lema: Pr (X = x) = F (x) lím y x,y<x Pr (x < X y) = F (y) F (x) Pr (X > x) = 1 F (x) Si X es continua F (b) F (a) = Pr (a < X < b) = Pr (a < X b) = Pr (a X < b) = Pr (a X b) 3

4 Inversa CDF o función cuantílica: F 1 (q) = ínf {x : F (x) > q}, q [0, 1] Si F es estrictamente creciente, entonces F 1 (q) es el único número x tal que F (x) = q Quartiles Mediana Igualdad en distribución X F 4

5 22 Ejemplos distribuciones discretas y continuas VA DISCRETAS: Punto de masa Uniforme Bernoulli Binomial Geométrica Poisson 5

6 VA CONTINUAS: Uniforme Normal o Gaussiana N (µ, σ 2 ) Normal Estándar N (0, 1) Su CDF se denomina Φ y su PDF φ Propiedades: X N ( µ, σ 2) Z = X µ N (0, 1) σ Z N (0, 1) X = µ + σz N ( µ, σ 2) Si X i N (µ i, σ 2 i ), i = 1,, n son independientes, entonces ( n n ) n X i N µ i, i=1 i=1 i=1 σ 2 i Además, si X N (µ, σ 2 ) ( a µ Pr (a < X < b) = Pr < X µ < b µ ) σ σ σ ( ) ( ) b µ a µ = Φ Φ σ σ Exponencial: f (x) = 1 β e x/β Gamma f (x) = 1 β α Γ (α) xα 1 e x/β t, Cauchy (t 1 ), χ 2 6

7 23 Distribuciones conjuntas y marginales DISTRIBUCIONES CONJUNTAS VA discretas: Distribución de (probabilidad) masa conjunta: f XY (x, y) = Pr (X = x Y = y) = Pr (X = x, Y = y) VA continuas: f XY (x, y) es una PDF para las variables aleatorias (X, Y ) si f XY (x, y) 0 para todo (x, y) f XY (x, y) dxdy = 1 Para cualquier conjunto A R R, Pr ((X, Y ) A) = f XY (x, y) dxdy A Función acumulada de probabilidad, CDF, F XY (x, y) = Pr (X x, Y y) = x y f XY (r, s) drds 7

8 DISTRIBUCIONES MARGINALES VA Discretas Si (X, Y ) tiene distribución conjunta f X,Y, entonces la función de masa marginal de X se define como f X (x) = Pr (X = x) = y Pr (X = x, Y = y) = y f X,Y (x, y) Ejemplo VA Continuas f X (x) = f X,Y (x, y) dy Función de probabilidad conjunta para vas discretas: Y \X f X (x 1 ) f X (x 2 ) f X (x s ) f Y (y 1 ) p 11 p 12 p 1s p y1 f Y (y 2 ) p 21 p 22 p 2s p y2 f Y (y m ) p m1 p m2 p ms p ym p x1 p x2 p xs 1 f X,Y (x j, y i ) = Pr {X = x j y Y = y i } f Y (y i ) = Pr {Y = y i } = s j=1 f X,Y (x j, y i ) f X (x j ) = Pr {X = x j } = m i=1 f X,Y (x j, y i ) Ejemplo: en una población con un número muy elevado de individuos se considera el experimento de seleccionar uno al azar y observar dos variables, Y Número de veces que ha estado desempleado X Número de titulaciones académicas donde las probabilidades de cada combinación de valores viene dada por la siguiente tabla, Y \X , 4 0, 2 0, 05 0, , 2 0, 1 0 0, 3 3 0, , 05 0, 65 0, 3 0,

9 24 Variables aleatorias independientes Dos VA X e Y son independientes si para cada A y B, Pr (X A, Y B) = Pr (X A) Pr (Y B) Teorema Si X e Y tienen PDF conjunta f X,Y, entonces X e Y son independientes sí y sólo sí f X,Y (x, y) = f X (x) f Y (y) para todos x e y Si f X,Y (x, y) = g (x) h (y) entonces X e Y son independientes Distribuciones condicionales VA Discretas: la función de masa condicional es si f X (x) > 0 f Y X (y x) = Pr (Y = y X = x) = Pr (X = x, Y = y) Pr (X = x) = f X,Y (x, y) f X (x) VA Continuas: la función de densidad de probabilidad condicional es si f X (x) > 0 Por tanto f Y X (y x) = f X,Y (x, y) f X (x) Pr (Y A X = x) = A f Y X (y x) dx Independencia: Si X e Y son independientes, entonces f Y (y) = f Y X (y x) para todo y, y todo x tal que f X (x) > 0 9

10 Ejemplo VA Discreta Las probabilidades de Y dado X están dadas por Y Pr {Y = y i X = x 1 } Pr {Y = y i X = x 2 } Pr {Y = y i X = x s } y 1 f 11 = p 11 /p x1 f 12 = p 12 /p x2 f 1s = p 1s /p xs y 2 f 21 = p 21 /p x1 f 22 = p 22 /p x2 f 2s = p 2s /p xs y m f m1 = p m1 /p x1 f m2 = p m2 /p x2 f ms = p ms /p xs y para nuestro ejemplo, se obtiene: Y \X , 4 0, 2 0, 05 0, , 2 0, 1 0 0, 3 3 0, , 05 0, 65 0, 3 0, 05 1 Y Pr {Y = y i X = 1} Pr {Y = y i X = 2} Pr {Y = y i X = 3} 1 f 11 = 0, 4/0, 65 = 0,615 f 12 = 0, 2/0, 3 = 0, 667 f 13 = 0, 05/0, 05 = 1 2 f 21 = 0, 2/0, 65 = 0,308 f 22 = 0, 1/0, 3 = 0, 333 f 23 = 0 3 f 31 = 0, 05/0, 65 = 0,077 f 32 = 0 f 33 =

11 Distribuciones Multivariantes y muestras IID Vector aleatorio: X = (X 1, X 2,, X n ) donde X 1, X 2,, X n son VA, con PDF f (x 1, x 2,, x n ) Distribuciones Marginales, condicionadas, etc X 1, X 2,, X n son independientes si para cada A 1, A 2,, A n, Pr (X 1 A 1,, X n A n ) = n Pr (X i A i ) i=1 Definición: si X 1, X 2,, X n son independientes y cada una tiene la misma distribución marginal con CDF F, entonces decimos que X 1, X 2,, X n son IID (independientes e idénticamente distribuidas) y se escribe X 1, X 2,, X n F También decimos que X 1, X 2,, X n son una muestra aleatoria de tamaño n de F 11

12 25 Ejemplos distribuciones multivariantes Multinomial(n, p), donde p = (p 1,, p k ), p p k = 1, ( ) n f (x 1,, x k ) = p x p x k k x 1 x, k con x 1 + x k = n, ( n x 1 x k ) = n! x 1! x k! Normal Multivariante X N k (µ, Σ) f (x 1,, x k ) = f (x) = (2π Σ ) k/2 exp ( 1 ) 2 (x µ) Σ 1 (x µ) con X = X 1 X 2 y media µ = y matriz de varianzas-covarianzas Σ, Σ = µ 1 µ 2 µ k X k EX 1 = EX 2 EX k V (X 1 ) C (X 1, X k ) C (X k, X 1 ) V (X k ) 12

13 26 Transformación variables aleatorias Si X es una VA con PDF f X y CDF F X, consideramos una función Y = r (X), que también es una VA (una transformación de X) Cálculo de la PDF y CDF de Y Caso Discreto: f Y (y) = Pr (Y = y) = Pr (r (X) = y) = Pr ({x; r (x) = y}) = Pr ( X r 1 (y) ) Ejemplo Caso continuo: 1 Para cada y, encontrar el conjunto A y = {x : r (x) y} 2 Encontrar la CDF: F Y (y) = Pr (Y y) = Pr (r (X) y) = Pr ({x; r (x) y}) = f X (x) dx A y 3 La PDF es f Y (y) = F (y) Ejemplo Cuando r es estrictamente monótona creciente o estrictamente monótona decreciente, entonces r tiene inversa s = r 1 y en ese caso se puede demostrar que f Y (y) = f X (s (y)) ds (y) dy Caso multivariante es similar, pero ahora, por ejemplo, A y = {(x, y) : r (x, y) y} 13