EJERCICIOS DE VECTORES

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1 EJERCICIOS DE ESPACIOS VECTORIALES CURSO 0-0 CONCEPTO DE ESPACIO VECTORIAL EJERCICIOS DE VECTORES. En el conjuno se definen las operaciones siguienes: x y x y x x y y x y x Suma + :, ', ' ', ' Produco por escalar :,, 0 Esudiar si ;, es un espacio vecorial La suma es la habiual luego verifica las propiedades. Asociaiva, al ser una suma de números reales Neuro: (0,0) Opueso: (-x, -y) Conmuaiva al ser una suma de números reales Sin embargo el produco por escalar NO verifica la propiedad ª: x y x y x y x x,, ya que,,0,0 Las demás propiedades del produco por escalar quedan verificadas x, y x', y' x x', y y' x x', 0 x x', 0 x, 0 x', 0 x, y x', y' x, y x, 0 x x, 0 x, 0 x, 0 x, y x, y x, y x, 0 x, 0 x, 0 x, y COMBINACIONES LINEALES. Deermina la expresión general implícia del conjuno de vecores de combinación lineal de los vecores (,, -) y (,, ). que son Cualquier vecor u x, y, z x y z será combinación lineal de ellos si se verifica x,,,,,, y z

2 EJERCICIOS DE ESPACIOS VECTORIALES CURSO 0-0 Esas son las ecuaciones paraméricas del subespacio. Para obener el subespacio en implícias: Se eliminan los parámeros enre las res ecuaciones: Sumar la ª y la ª ecuación. Resar a la ª ecuación veces la ª xz 5 x z 5 Con esos valores se enra en la ª ecuación 5y 0 5 ; 5y x 8z x z x 5y 7z 0 SUBESPACIOS. Indicar razonadamene si son subespacios:.. El conjuno de las marices siméricas de orden n, con la suma de marices y produco por escalar... El conjuno de las marices singulares de orden, con la suma de marices y produco por escalar... El conjuno de los vecores de una reca que pasa por el origen.. El conjuno de los vecores de una reca que no pasa por el origen S x y R x y (, ) /.. El conjuno de las marices siméricas de orden n es un subespacio vecorial del conjuno de las marices cuadradas de orden n con la suma de marices y produco por escalar. A, A A A A simerica A A A A A A simerica K, A A A A A.. El conjuno de las marices singulares de orden NO es subespacio del conjuno de las marices cuadradas de orden con la suma de marices y produco por escalar. Ya que la suma de dos marices singulares puede ser una mariz regular.

3 EJERCICIOS DE ESPACIOS VECTORIALES CURSO A A ; A A Singular Singular Regular.. El conjuno de los vecores de una reca que pasa por el origen es un subespacio del espacio vecorial R (plano). S x y R x y (, ) / 0 ya que la suma de dos vecores es oro vecor de la reca y el produco de un vecor de la reca por un escalar es un vecor de la reca... El conjuno de los vecores de una reca que no pasa por el origen NO es un subespacio del espacio vecorial R (plano). ya que no coniene al vecor 0 (0,0). S x y R x y (, ) / DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL. Deerminar el valor de para que los vecores de coordenadas u = (,, ), u = (0,, -) y u = (,-, ), referidos a la base canónica, sean linealmene independienes. Qué valores de les hace ser linealmene dependienes? En ese caso expresar el ercer vecor u como combinación lineal de los demás Si res vecores son linealmene independienes el deerminane de la mariz formada por sus coordenadas debe ser disino de cero. u (,, ), u (0,, ), u (,, ) 0 ( ) 0 ( ) 0 Si Vecores linealmene independienes u (,,) u u u Si Vecores linealmene dependienes. u (0,, 0) u (,,)

4 EJERCICIOS DE ESPACIOS VECTORIALES CURSO 0-0 SUBESPACIO ENGENDRADO 5. Enconrar el valor de a para que el vecor u (, a,) engendrado por u (,,), u (,,0). perenezca al subespacio Para que u perenezca al subespacio engendrado por u, u debe ser combinación lineal de ambos. (, a,) (,,) (,,0) a a 5 ; u,5, Además se cumple que u u u 6. Comprobar si el vecor u (,5,) perenece al subespacio S engendrado por u (,,), u (,,0), u (,, En caso afirmaivo razonar si el vecor u se expresa de forma única. Para que u perenezca al subespacio S engendrado por u, u, u debe ser combinación lineal de ésos. (,,) (,, 0) (,,) (,5,) 5 u S El vecor u perenece al subespacio S engendrado por u, u, u pero hay infinias soluciones porque los vecores no son linealmene independienes. Si ; ; ; u u u u Por ejemplo Se verifica que u u u. Por ano se puede considerar B u, u S Se podría haber suprimido el vecor u ya que es combinación lineal de los oros y se suprime así un parámero. La solución es inmediaa:

5 EJERCICIOS DE ESPACIOS VECTORIALES CURSO 0-0 (,,) (,, 0) (,5,) 5 u u u u u S 7. Comprobar si el vecor u (,0,) perenece o no al subespacio S engendrado por los vecores u (,,0), u (0,,0). Para que u perenezca al subespacio S engendrado por u, u debe ser combinación lineal de ambos. Sisema incompaible. Luego u BASE Y DIMENSIÓN 8. En (,, 0) (0,, 0) (, 0,) 0 0 S ; S engendrado por u, u referido a la base canónica B i, j se da ora base B' u, u u i ; u i j. definida. Comprobar que B ' es una base de. Obener la mariz de cambio de base. Se dan los vecores: v i j y w u u.. Obener las coordenadas de ambos vecores en las dos bases. De forma algebraica y de forma maricial.. Comprobar que B ' es una base de. B ' es una base de u u 0 ; (,0) (,) (0,0) 0; 0. porque los vecores son linealmene independienes ya que Además ( x, y) : (,0) (,) ( x, y) x x y y y 5

6 EJERCICIOS DE ESPACIOS VECTORIALES CURSO 0-0 También se puede comprobar que es una base: 0 0. Son linealmene independienes y como son vecores generan u u i j 0. Cambio de base: P Mariz de cambio de base: 0 0 P P. Coordenadas de los vecores en ambas bases: Expresar el vecor v en la base B ': 0 P Aniguas Nuevas v u u ; i u j u u También: v i j u u u u u Expresar el vecor w en la base B : 0 P Nuevas Aniguas ; w i j u i w u u i i j i j u i j También: 9. Se considera el espacio vecorial Px ( ) de los polinomios de grado menor o igual a con coeficienes reales. Expresa la base canónica de Px ( ) y deermina razonadamene cual es la dimensión de ese espacio vecorial. Analiza si los polinomios siguienes son linealmene independienes Forman una base de P(x)? En caso negaivo indicar la dimensión del subespacio que engendran. A( x) x x ; B( x) 6x x y C( x) 7x x La base canónica de los polinomios de grado menor o igual a es B, x, x que p( x) a a x a x 0. Ya 6

7 EJERCICIOS DE ESPACIOS VECTORIALES CURSO 0-0 Por ano la dimensión de Px ( ) es ya que hay vecores en la base. Las coordenadas de los polinomios dados en la base canónica son: A( x),,, B( x),6,, C( x),7, ; rga( x), B( x), C( x) ' ' F F F F F F ' 7 F F F Los polinomios dados NO son linealmene independienes, por ano no forman una base de Px ( ) cuya dimensión es. Como el rango es engendran un subespacio de Px ( ) de dimensión. 0. Comprobar que B u,,, u (,0,), u (0,,) es una base de vecores de la base B u, u, u e, e, e de. BC. Los van referidos a la base canónica u u u u. Expresarlo en la base canónica de a) Dado el vecor écnicas algebraicas. Realizar ambién el ejercicio de forma maricial. usando b) Dado el vecor v,, expresado en la base canónica de C. Halla sus coordenadas en la base B usando écnicas algebraicas. Realiza ambién el ejercicio en forma maricial. B es una base de : Hay que comprobar que son vecores linealmene independienes y forman un sisema generador del espacio vecorial Linealmene independienes 0 0,, (, 0,) (0,,) También: 0 0. Luego son linealmene independienes. Sisema generador de 7

8 EJERCICIOS DE ESPACIOS VECTORIALES CURSO 0-0 x y z x x y z,, (, 0,) (0,,) x, y, z y z xz La mariz de cambio de base u u u e e e 0 Base Canónica: C= e e e 0 ; Base B u u u 0 Mariz de cambio de base P 0 Coordenadas del vecor u en la base C ; 0 P u u u u referido a la base B Dado el vecor Algebraicamene u u u u (,,) (,0,) ( )(0,,) (,0,0) C Maricialmene 0 uc P( ub) ; uc P ub uc u u u u ; u e B C Coordenadas del vecor v en la nueva base B Dado el vecor en la base canónica C: v (,, ) C v e e e Algebraicamene v u u u hay que hallar las coordenadas de v en la base B. Para ello se idenifican las coordenadas en la base canónica y resula el sisema de ecuaciones lineales 8

9 EJERCICIOS DE ESPACIOS VECTORIALES CURSO v (,, ),, (, 0,) (0,,) Que son las coordenadas del vecor v en la nueva base B. Maricialmene 5 vb P vc ; vb 0 P v e e e ; v 5u u u C vc B. En el espacio vecorial M ( ) de las marices cuadradas de orden cuyos elemenos son números reales. Expresar la base canónica de ese espacio vecorial. Indicar una base del subespacio S de las marices siméricas y ora base del subespacio H de las marices anisiméricas. Calcular S H. vb Sea a A a a a una mariz cualquiera A M ( ) La base canónica de las marices cuadradas de orden es B C ,,, ; dim( M) Sea S a a a a una mariz simérica S ( ) al que M aij a ji B S ,, ; dim( S) Sea H 0 a a 0 una mariz anisimérica H ( ) al que M aij a ji B H 0 0 ; dim( H) 9

10 EJERCICIOS DE ESPACIOS VECTORIALES CURSO 0-0 Se verifica que dim M dim( S) dim( H) eso supone que S H 0 y los subespacios son suplemenarios. Se puede observar que la inersección es la mariz nula de orden. a a Simérica: a a a 0 Anisimérica: a a 0 0 Al idenificar las coordenadas (elemenos de la mariz) resula a 0 a a a 0. Por ano a a a SH 0 0 Mariz nula de orden Eso no es de exrañar ya que no es posible una mariz que al mismo iempo sea simérica y anisimérica. Conclusión Los subespacios S y H son suplemenarios y su suma es direca: M ( ) S H. Se verifica que Toda mariz se puede descomponer de modo único en una mariz simérica y ora anisimérica. A S H A A A A A A A A A A A A SIMÉTRICA A A A A A A A A ANTISIMÉTRICA. Sea E un espacio vecorial sobre referido a la base canónica B e, e, e consideran oras bases: B u, u, u, B v, v, v expresados en la base canónica.. Se cuyos vecores van u e e e B u e e u e e ; v e e e B v e e v e ; Sea w u u u Obener las coordenadas del vecor w en las res bases. 0

11 EJERCICIOS DE ESPACIOS VECTORIALES CURSO 0-0 a) Mediane susiuciones ) El vecor w u u u esá expresado en B con coordenadas ) Para expresar w en la base B, basa expresar ( u i ) en función de ( e i ),, w u u u ( e e e ) ( e e ) ( e e ) e e e Por ano en la base B el vecor w iene de coordenadas,,.. ) Si se despejan los vecores ( e i ) en función de los ( v i ) resula e v v e v v e v Para expresar w en la base B, basa expresar ( e ) en función de ( v ) w e e e ( v v ) ( v v ) ( v ) v v 5v i i Por ano en la base B el vecor w iene de coordenadas (,,-5). vecor B e, e, e B u, u, u B v, v, v w (,, -) (, -, ) (,, -5) b) Mediane marices Las coordenadas de un vecor en dos bases se relacionan: Si Aniguas ; y P x x P y Nuevas B e i es la base anigua y B ui Nuevas la base nueva Aniguas u e e e 0 u e e u u u e e e 0 u e e u u u P

12 EJERCICIOS DE ESPACIOS VECTORIALES CURSO La mariz de cambio de base B B : P 0 Se verifica: w u u u x P y ; Aniguas Nuevas 0 0 w e e e Si B e i es la base anigua y B vi la base nueva v e e e 0 0 v e e v v v e e e 0 v e v v v 0 0 Mariz de cambio de base B B : P 0 Se verifica: w e e e ; P 0 0 P 0 0 y P x Nuevas Aniguas ; w v v 5v. Sea F un espacio vecorial sobre referido a la base canónica B e, e, e. Se consideran las bases B u, u, u y B v, v, v, cuyos vecores van referidos a la base canónica: B u 0,,, u,,, u,,0,,0,,0,, 0,,5 B v v v Obener la mariz de cambio de base de B a B Expresamos ambas bases en función de los vecores de la base canónica. u e e v e e B u e e e B v e e u e e v e 5e Operando en forma algebraica:

13 EJERCICIOS DE ESPACIOS VECTORIALES CURSO 0-0 Despejamos,, función de u, u, u. e e e en función de u, u, u y expresamos,, Por ano v v v e u u v u u u e u u u v u 5u u e u u u v u 9u u u u u 5 9 A ui ei A ; vi ei B ; Operando en forma maricial: i e i ui A vi ui A B 0 0 u u u e e e A Vecores por columnas 0 0 v v v e e e A B 0 B v v v u u u 5 9 Por ano 0 B 0 Vecores por columnas 0 5 v v v en. En el espacio vecorial M ( ) de las marices cuadradas de orden cuyos elemenos son números reales. Se considera la mariz A m. Encuenra el valor de m para que exisan marices B M ( ) que 0 0 AB 0 0, no nulas ales. Comprueba que el subespacio S engendrado por B es subespacio vecorial de M ( ).. Calcula la dimensión, una base y unas ecuaciones implícias de S.

14 EJERCICIOS DE ESPACIOS VECTORIALES CURSO 0-0 a b a c b d 0 0 m c d a mc b md 0 0 ac0 b d 0 a mc 0 b md 0 ac b d ( 6 mc ) 0 ( 6 md ) 0 m 6 En el caso c d 0 a b 0, B Por ano la mariz c d B c, d R ; A c d 6 Para comprobar que S es un subespacio vecorial de M ( ) :, ; B, B S A B 0 ; A B 0 Sean Comprobar que B B S A B B significa que 0 B B A B B ( A B ) ( A B ) Por lo ano S es un subespacio vecorial de M ( ). Una base del subespacio S : 0 0 B, 0 0 E E Como hay vecores en la base de S : dim( S). ac0 Ecuaciones implícias de S : bd 0 coordenadas de una mariz de M ( ) para perenecer a S. NOTA: Condiciones que ienen que cumplir las a) Son linealmene independienes: ; 0 ; E E 0 0 b) Es un sisema generador de S : ;, 0 0 E E

15 EJERCICIOS DE ESPACIOS VECTORIALES CURSO 0-0 Luego E E son linealmene independienes y forman un sisema generador de S., ECUACIONES PARAMÉTRICAS E IMPLÍCITAS 5. En R se considera el subespacio x S: x x 5 Obener la dimensión y una base del subespacio. Es un caso de sobreparamerización: Eso significa que se ha engendrado el subespacio con más vecores que los necesarios para formar una base de S. Dando valores a los parámeros, se obienen los vecores que han generado el subespacio S : u,, ; u,0, ; u,,5 ; 0 ; 0 ; 0 Se observa que u u u. Si no se ve fácilmene se puede hallar el rango de ese conjuno de vecores S : F F F F F 5 F ; rg( A) u u u Una base de S : B u (,, ) ; u (,0, ) dim( S). Esos dos S vecores engendran un subespacio de dimensión. Suprimir. Ecuaciones paraméricas de S : x x x 6. En referido a la base canónica se dan los subespacios: S engendrado por los vecores: u,,0,, u 0,,,0 T de ecuaciones implícias: x x 0 ; x x x 0 SE PIDE:. Ecuaciones paraméricas e implícias de S. Ecuaciones paraméricas y una base de T 5

16 EJERCICIOS DE ESPACIOS VECTORIALES CURSO 0-0. Base de S T. SUBESPACIO S Para que un vecor perenezca a S dicho vecor debe ser combinación lineal de los vecores que forman una base del subespacio. Base: u, u x S x u u x, x, x, x,, 0, 0,,, 0 Ecuaciones paraméricas de S: x 0 x BS, x 0 x Para pasar a implícias se eliminan los parámeros: n Incógnias Ecuaciones: r n p r n p ecuaciones p Parámeros Implícias de S : x x 0 ; x x x 0. SUBESPACIO T Para pasar de ecuaciones implícias a paraméricas se calcula el número de parámeros y se asignan los parámeros a cieras coordenadas. n Incógnias Parámeros: p n r p n r parámeros r Ecuaciones Implícias de T : x x 0 ; x x x 0. Ecuaciones paraméricas de T: x a x b x a x a b Base: B T a a0 b0 b 6

17 EJERCICIOS DE ESPACIOS VECTORIALES CURSO 0-0. INTERSECCIÓN Se igualan las paraméricas de S y T y se busca la condición para que haya vecores que perenezcan a ambos subespacios: Relación enre parámeros x a x b x a x a b a Se despejan y en ª y ª ecuación a Se enra en las oras ecuaciones, resulando como relación: b 0. Con ese valor se enra en las paraméricas correspondienes y se obienen las ecuaciones paraméricas de la inersección. x x ST : x x a 0 a a Por ano una base: BS T 0 7. TIPOS DE INTERSECCIÓN. SS 0 En R se consideran los subespacios S x y z S x a b, y a b, z a b. Obener S S. Se igualan las paraméricas,, y ab a b a b ab a 5b a b Paraméricas de S S x a y a z a Implícias: x y 0 x z 0 Base de S S. SS 0 u S;, u u S; a, b 7

18 EJERCICIOS DE ESPACIOS VECTORIALES CURSO 0-0 En R se dan los subespacios S engendrados por los vecores (,,0,), (,,0,0) y S engendrado por los vecores (0,,0,), (0,,,). Obener S S. Para obener unas paraméricas de S: w S w (,,0,) (,,0,0) Para obener unas paraméricas de S: w S w a(0,,0,) b (0,,,) Se igualan las paraméricas 0 a b 0 b ab a 0 b 0 S S 0 Los vecores: (,,0,), (,,0,0),(0,,0,), (0,,,) son LIBRES. Por ano forman una base de R, además S S R, Suma direca: Subespacios Suplemenarios.. La inersección es uno de ellos. S S S (por ejemplo) En R se dan los subespacios S engendrados por los vecores e e e, e e, e e e y S de ecuaciones implícias x x 0, x 0 Obener S S. Se forman unas paraméricas de S y oras de S : S ( x e x e x e x e ) e e e e e e e e x x 0 p n r x x a S : ; S : x 0 x x b x x x x a Se igualan las paraméricas 0 a b a 0 a b b No hay relación enre parámeros 8

19 EJERCICIOS DE ESPACIOS VECTORIALES CURSO 0-0 El subespacio inersección será el de menor dimensión S S S El subespacio suma será el de mayor dimensión S S S 8. Sea E un espacio vecorial sobre de dimensión referido a la base,,, S : x x 0, x 0 ; S : x x 0 e e e e.dados los subespacios. Obener la dimensión, unas ecuaciones paraméricas y una base de cada subespacio. Obener una base de S S. Obener la dimensión de S S. Dimensión, Paraméricas, Base. dim( S ) n r dim( S ) n r x 0 x a 0 0 x 0 ; x B ; a 0 0 B ; ; x 0 x b 0 0 x x c a b c 0 bc0 ac0 ab0 Inersección a x a x S S: ; ; Base: dim( SS). b x 0 c x 0 0 dim( S S ) dim( S ) dim( S ) dim( S S ) 9. En el espacio vecorial de los polinomios P5 x de grado 5, se da el subconjuno S p( x) P ( x) / p( x) p( x) x R.. Analiza si es subespacio vecorial de P5 x.. Hallar unas ecuaciones implícias de S.. Hallar la dimensión y una base de S. 5 p( x) P ( x) ; p( x) a a x a x a x a x a x B, x, x, x, x, x dim P ( x) 6 9

20 EJERCICIOS DE ESPACIOS VECTORIALES CURSO 0-0 Se uiliza el crierio de subespacio vecorial, R u, vs u v S, R u( x), v( x) S p( x) u( x) v( x) u( x) v( x) u( x) v( x) p( x) p( x) Por ano si p( x) p( x) p( x) S. Luego S es subespacio vecorial de P 5. Ecuaciones implícias p( x) a a x a x a x a x a x p( x) a a x a x a x a x a x ; a 0 p( x) p( x) a 0 a5 0 Esas son las ecuaciones implícias que indican las condiciones que deben cumplir los coeficienes de un polinomio grado 5 para perenecer a S p( x) S : p( x) a a x a x 0. Una base de S : B, x, x. dim( S) 0