Unidad 4: VECTORES EN EL ESPACIO

Transcripción

1 Unidad 4: VECTORES EN EL ESPACIO OPERACIONES CON VECTORES Las características de los vectores en el espacio, así como sus operaciones, son idénticas a las de los vectores del plano, que ya conoces del curso anterior. Recordémoslas: Vector AB es un segmento orientado de origen A y extremo B. Módulo de AB es la distancia de A a B. Se designa por AB. Dirección de AB es la de la recta sobre la que están A y B y la de todas las rectas paralelas a ella. Cada dirección admite dos sentidos opuestos: de A a B y de B a A. Cuando queremos hacer cualquier tipo de uso de un vector, podemos tomar, en su lugar, cualquiera de los que son iguales a él. Todos ellos se llaman representantes de un único vector. Los vectores se designan con una flecha encima de una letra, u, v, w, y, z,, o bien mediante uno de sus representantes, escribiendo su origen y su extremo con una flechita encima: AB, MN, Producto de un vector por un número El producto de un número k 0 por un vector v es otro vector k v (o, simplemente kv) que tiene: Dirección: la misma que v. Sentido: el mismo que el de v o sentido opuesto, según que k sea positivo o negativo. Módulo: igual al producto del módulo de V por el valor absoluto de k. kv = k v Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. 1 2

2 El producto 0v es igual al vector cero, 0. Es un vector cuyo origen y extremo coinciden y, por tanto, su módulo es cero. Carece de dirección. El vector 1v se designa por v y se llama opuesto de v. Para restar dos vectores, opuesto de v. u v, se le suma a u el Vectores unitarios Los vectores de módulo 1 se llaman vectores unitarios. 1 El vector v es un vector unitario con la misma dirección y v el mismo sentido que v. El vector 1 v v es unitario con la misma dirección que v, pero Regla del paralelogramo Si colocamos u y v con origen común y completamos un paralelogramo, entonces: La diagonal cuyo origen es el de u y v es el vector suma u + v. La diagonal que va del extremo de v al de u es u v. con sentido opuesto. Suma y resta de dos vectores. Para sumar dos vectores, u y v, se sitúa v a continuación de u de manera que el origen de v coincida con el extremo de u. La suma, u + v, es el vector cuyo origen es el de u y cuyo extremo es el de v. Esta construcción sirve si los vectores tienen distintas direcciones. Cuando tienen la misma dirección, tanto la suma como la resta son triviales. Suma de tres vectores Regla del paralelepípedo Colocamos tres vectores, u, v y w con los orígenes coincidentes. Sumamos u y v. Al vector resultante, u + v, le sumamos w aplicando la regla del paralelogramo. 3 4

3 Obtenemos, así, el vector El vector suma, ( + ) + u + v + w. Entonces: u v w, es la diagonal del paralelepípedo. PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR ASOCIATIVA ( a b) v = a ( b v) DISTRIBUTIVA I DISTRIBUTIVA II PRODUCTO POR 1 Si v a + b v = a v + b v a u + v = a u + a v V, entonces 1 v = v Esta construcción sirve si los vectores coplanarios. u, v Propiedades de las operaciones con vectores y w no son Sea V el conjunto de todos los vectores en el espacio. Las dos operaciones que hemos definido en él tienen las siguientes propiedades: SUMA DE VECTORES ASOCIATIVA ( u + v) + w = u + ( v + w) CONMUTATIVA u + v = v + u Es un vector llamado 0 tal que VECTOR NULO si v V, entonces v + 0 = v Todo v tiene un opuesto, v: v + v = 0 VECTOR OPUESTO Todas estas propiedades le confieren al conjunto de los vectores la estructura de espacio vectorial EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UN VECTOR Las definiciones de combinación lineal y de dependencia e independencia lineal de vectores, que ya se vieron en la unidad 1 relativas a elementos de un espacio vectorial cualquiera, se concretan aquí para los vectores propiamente dichos, es decir, para los segmentos orientados. Combinación lineal de vectores Dados varios vectores, x, y, z,, w y otros tantos números, a, b, c,, l, la expresión ax + by + cz lw se llama combinación lineal de los vectores. Por ejemplo: 4x + 2y, 2x + y son combinaciones lineales de los vectores x e y. 5 6

4 Dependencia e independencia lineal Varios vectores se dice que son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás. Cuando no es así, es decir, cuando ninguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás, se dice que son linealmente independientes. Por ejemplo: Por eso decimos que forman una base. B = x, y, z { } Tres vectores no coplanarios cualesquiera forman una base del espacio vectorial tridimensional. Si los tres vectores son perpendiculares entre sí, se dice que forman una base ortogonal. Si además tienen la misma longitud (que se toma como unidad), se dice que la base es ortonormal. 1. Dos vectores alineados son linealmente dependientes. 2. Dos vectores no alineados son linealmente independientes. 3. Tres vectores coplanarios (que están en el mismo plano) son linealmente dependientes. BASE ORTONORMAL Coordenadas de un vector respecto de una base Base Tres vectores no coplanarios, x, y, z, son linealmente independientes y, además, cualquier otro vector del espacio se puede poner como combinación lineal de ellos de forma única. Dada una base, B = { x, y, z }, cualquier vector, v, se puede poner de forma única como combinación lineal de sus elementos: v = ax + by + cz. A los números a, b, c se les llama coordenadas de v respecto de B. v = a, b, c Se expresa así:, o bien v ( a, b, c). 7 8

5 Las coordenadas de los elementos de la base B = { x, y, z } son: x ( 1, 0, 0), y ( 0, 1, 0), z ( 0, 0, 1) Las coordenadas del vector cero son 0 ( 0, 0, 0) base. Operaciones con coordenadas en cualquier Como sabes, las coordenadas de los vectores se comportan muy razonablemente cuando operamos con ellos. Concretémoslo: u( u, u, u v ( v, v, v SUMA: u + v = ( u + v, u + v, u + v ) Las coordenadas del vector u + v se obtienen sumando las coordenadas del u con las coordenadas de v. ku = ku, ku, ku PRODUCTO POR UN NÚMERO: ( Las coordenadas del vector ku multiplicando por k las coordenadas de u. COMBINACIÓN LINEAL: au + bv = au + bv, au + bv, au + bv se ( ) Ejercicio propuesto 1 (pág. 128) u 3, 5, 1 v 7, 4, 2, halla las coordenadas de: Si, a) 2u b) 0v c) u d) 2u + v e) u v obtienen f) 5u 3v 9 Ejercicio propuesto 2 (pág. 128) Sean los vectores x ( 1, 5, 2) y 3, 4, 1 w 24, 26, 6.,, z ( 6, 3, 5) Halla a, b, c para que se cumpla ax + by + cz = w. Ejercicio 2 (pág. 141) Comprueba que no es posible expresar el vector x ( 3, 1, 0) como combinación lineal de u( 1, 2, 1) y v ( 2, 3, 5). Son linealmente independientes x, u y v? Ejercicio 6 (pág. 141) Para qué valores del parámetro a el conjunto de vectores { } S = 1, 1, 1, a, 1, 1, 1, a, 0 es una base? PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES El producto escalar de dos vectores u u v = u v cos(u,v) u y v son números positivos. y v Por tanto, u v es un número positivo o negativo según el ángulo que forman u y v: Si (u,v) es agudo, cos(u, v) > 0 u v es positivo. Si (u,v) es: es obtuso, cos(u, v) < 0 u v es negativo., 10

6 Propiedad fundamental Si u = 0 o v = 0, entonces u v = 0. Pero si ninguno de ellos es el vector cero, su producto escalar solo puede ser cero si cos(u, v) = 0, es decir, si u v. El producto escalar de dos vectores no nulos es cero solo cuando son perpendiculares: u 0 y v 0 u v = 0 u v Módulo, ángulo, proyección Módulo de un vector: 2 2 u u = u u cos(u,u) = u 1 = u Ángulo de dos vectores: u v = u v cos(u,v) Vector proyección de u Recuerda que u v cos(u, v) = u v sobre v: u = u u u v u v proy (u) = u cos(u, v) = u =, es v u v v decir, es la longitud del segmento AB con signo + o según que el ángulo sea agudo u obtuso. Si este número lo multiplicamos por el vector unitario 1 v, que tiene la misma dirección y el mismo sentido v que v, se obtiene el vector proyección. Operatoria con el producto escalar. Propiedades Al relacionar el producto escalar de vectores con las demás operaciones entre vectores, se dan algunas propiedades que viste el curso pasado y que recordamos a continuación: 1. Conmutativa: u v = v u λ u v = λu v = u λv 2. Asociativa: 3. Distributiva: u v + w = u v + u w Expresión analítica del producto escalar B = i, j, k es una base ortonormal, se cumple que: Si { } i i = 1 j j = 1 k k = 1 i j = 0 i k = 0 j k = 0 Todas estas igualdades son obvias teniendo en cuenta que i, j, k son perpendiculares entre sí y que i = j = k =

7 Si las coordenadas de u ortonormal B = { i, j, k } entonces: y v son u( u, u, u u v = u v + u v + u v respecto de una base, y v ( v, v, v Proyección de un vector u( u, u, u v ( v, v, v : sobre otro u v u v + u v + u v Segmento proyec.: proy (u) = = v v v + v + v RESUMEN: Producto escalar de dos vectores u( u, u, u v ( v, v, v, (u,v) = α: u v = u v cos α = u v + u v + u v Módulo de un vector u( u, u, u : u = u u = u + u + u Ángulo α de dos vectores u( u, u, u, v ( v, v, v : u v u v + u v + u v cos α = = u v u + u + u v + v + v , u v v v u v + u v + u v Vector proyección: = ( v 1, v 2, v 3 ) v + v + v Criterio de perpendicularidad de dos vectores (ambos : no nulos) u( u, u, u, v ( v, v, v u v = 0 u v u v + u v + u v = Ejercicio propuesto 2 (pág. 133) Dados los vectores u( 5, 1, 2), v ( 1, 2, 2), calcula: a) u v b) u y v c) (u,v) d) Proyección de u sobre v y proyección de v sobre u. (segmento y vector). e) Cuánto tiene que valer x para que el vector w ( 7, 2, x) sea perpendicular a u? 13 14

8 Ejercicio propuesto 3 (pág. 133) Obtén tres vectores que no sean paralelos entre sí y que sean perpendiculares a este otro vector: v ( 3, 2, 7) Ejercicio propuesto 4 (pág. 133) Halla un vector que sea perpendicular a estos dos vectores u 5, 1, 2 v 1, 2, 2. dados: Propiedades 1. El módulo del producto vectorial u v es igual al área del paralelogramo definido por los vectores u y v. La demostración es inmediata observando que la altura del paralelogramo es v senα PRODUCTO VECTORIAL El producto vectorial de dos vectores, u y v, es un nuevo vector, u v, que se define del siguiente modo: Si u y v son linealmente independientes, u v es un vector con las siguientes características: - Módulo: u v = u v sen(u,v) - Dirección: perpendicular a u y a v. - Sentido: el de avance de un sacacorchos que gira en el sentido de u a v. Si u y v son linealmente dependientes, es decir, si alguno de ellos es 0 o si tienen la misma dirección, entonces u v = u v = v u 3. u u = 0, cualquiera que sea u. B = i, j, k j k = i, k i = j. 5. (au) v = a(u v) = u (av) 4. Los vectores de la base { } cumplen que i j = k, 6. El producto vectorial no posee la propiedad asociativa. 7. Expresión analítica de u v:, entonces: Si u( u, u, u, v ( v, v, v u u u u u u u v =,, v v v v v v, o bien i j k u u u u u u u v = u u u = i j + k v v v v v v v v v 16

9 8. Propiedad distributiva del producto vectorial respecto de la suma de vectores: u (v + w) = u v + u w Ejercicio 15 (pág. 141) Halla un vector perpendicular a u( 2, 3, 1) que sea unitario. y a v ( 1, 3, 0) y RESUMEN: Producto vectorial de dos vectores u( u, u, u v ( v, v, v., Ejercicio 16 (pág. 141) Halla un vector ortogonal a u( 1, 1, 0) módulo sea 24. y v ( 2, 0, 1) cuyo Sus coordenadas son: u u u u u u u v =,, v v v v v v Para hallar el área del paralelogramo determinado por u y v, calcularemos el módulo de u v. Para obtener un vector perpendicular a otros dos, u y v, no alineados, hallaremos u v. Ejercicio propuesto 1 (pág. 136) u 3, 7, 6 Halla el producto vectorial de Ejercicio propuesto 2 (pág. 136) y v ( 4, 1, 2) PRODUCTO MIXTO Se llama producto mixto de tres vectores, u designa u, v, w Expresión analítica u( u, u, u, v ( v, v, v, w ( w, w, w, v, w, y se, al número que se obtiene al operarlos del siguiente modo: u, v, w = u (v w) v v v v v v u, v, w = u (v w) = u, u, u,, w w w w w w ( Halla un vector perpendicular a estos dos vectores: u 3, 7, 6 v 4, 1, 2 Ejercicio propuesto 3 (pág. 136) Halla el área del triángulo determinado por los siguientes u 3, 7, 6 v 4, 1, 2. vectores:, = u u u v v v w w w 17 18

10 Interpretación geométrica Volumen del tetraedro: Volumen del paralelepípedo: u, v, w = u (v w) = u v w cos α = v w u cos α = Area del paralelogramo Pr oyección de u sobre la perpen = = definido por v y w dicular al plano definido por v y w Area de la base del paralelepípedo Altura del paralelepípedo = = definido por u, v y w definido por u, v y w = Volumen del paralelepípedo definido por u, v y w Conclusión: El volumen del paralelepípedo definido por tres vectores es el valor absoluto del producto mixto. Volumen del paralelepípedo = u, v, w Volumen del tetraedro Ejercicio propuesto 1 (pág. 137) Un paralelepípedo se descompone en dos prismas triangulares iguales, y cada uno de ellos se descompone en tres pirámides triangulares iguales. Cada una de estas pirámides tiene un tercio del volumen del prisma y un sexto del volumen del paralelepípedo. El volumen del tetraedro es un sexto del volumen del paralelepípedo: 1 = 6 AB, AC, AD Halla el volumen del paralelepípedo definido por los siguientes vectores: u 3, 5, 1 v ( 7, 4, 2) Ejercicio propuesto 2 (pág. 137) w ( 0, 6, 1) Halla el valor de x para que los vectores u( 3, 5, 1) v ( 7, 4, 2) y z ( 1, 14, x) sean coplanarios (es decir, que el volumen del paralelepípedo que determinan sea cero)., 19 20

11 Ejercicio 8 (pág. 141) Dados los vectores a = i + mj + k para que los vectores sean a) paralelos b) ortogonales. Ejercicio 10 (pág. 141) b 2, 2, 1 Son a ( 1, 2, 3) el ángulo que forman. y Ejercicio 18 (pág. 141) y b = 2i + 4j + mk, halla m ortogonales? Si no lo son, halla Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por u( 1, 2, 3), v ( 2, 1, 0) y w = u v. Justifica por qué el 2 resultado es u v. Ejercicio 19 (pág. 141) Calcula el volumen del tetraedro determinado por los a 3, 1, 1 c 2, 1, 4. vectores siguientes: Ejercicio 21 (pág. 142) Considera los siguientes vectores: u 1, 1, 3 v 1, 0, 1 b( 1, 7, 2) w ( m, 1, 0) a) Calcula el valor de m para el cual u y w son ortognales. b) Halla los valores de m que hacen que u, v y w sean linealmente independientes. c) Para m 1 lineal de u, v y w. = escribe el vector s ( 3, 0, 2) Ejercicio 22 (pág. 142) como combinación Prueba que los vectores ( 1, a, b ), ( 0, 1, c ), ( 0, 0, 1 ) son linealmente independientes cualesquiera que sean a, b y c. Ejercicio 24 (pág. 142) a) Comprueba que el paralelogramo determinado por los u 3, 2, 1 v 4, 3, 6 es un rectángulo. vectores y b) Halla su área multiplicando la base por la altura y comprueba que obtienes el mismo resultado si hallas u v. Ejercicio 25 (pág. 142) v 2, 2, 4, halla las coordenadas de los Dado el vector siguientes vectores: a) Unitario y perpendicular a v. b) Paralelos a v y de módulo 6. Ejercicio 30 (pág. 142) Dados los siguientes vectores: u 1, 0, 1 v 0, a + 1, 0 w 1, 1, a 1 ( ) a) Halla los valores de a para que los vectores u, v y w son linealmente independientes

12 b) Estudia si el vector c( 1, 2, 3) v y w para el caso a = 2. depende linealmente de u, c) Justifica razonadamente si para a = 1 se cumple la igualdad u (v w) = 0. Ejercicio 32 (pág. 142) a) Halla el número de vectores linealmente independientes que hay en este conjunto: { } S = 1, 1, 1, 0, 2, 1, 2, 0, 3, 1, 1, 2 b) Un vector no nulo tiene sus tres componentes iguales. Puede escribirse como combinación lineal de los dos primeros vectores de S? c) Determina un vector que, teniendo sus dos primeras componentes iguales a 1, se pueda poner como combinación lineal de los vectores segundo y tercero de S? Ejercicio 33 (pág. 142) Halla un vector u de la misma dirección que v ( 1, 2, 3) que determine con el vector w ( 2, 4, 1) de área 25 u 2. Ejercicio 34 (pág. 142) Halla un vector v. ortogonal a v ( 2, 3, 0) coplanario con a ( 2, 1, 1) y tal un paralelogramo y b( 1, 0, 3) y Ejercicio 4 (pág 143) a) Halla la relación que debe existir entre a y b para que los u 1, 2, 1 sean vectores coplanarios., v ( 0, 1, a) y w ( 3, b, 0) b) Para a = 3 calcula el valor que debe tener b para que el volumen del paralelepípedo determinado por u, v y w sea 10 u 3. Ejercicio 5 (pág 143) Calcula el valor de m de modo que el área del triángulo a 2, 1, 4 sea determinado por los vectores igual a 3 5 u 2. Ejercicio 6 (pág 143) y b( 0, 3, m) Halla un vector de módulo 10 que sea perpendicular a u 3, 1, 0. y forme un ángulo de 60 con v ( 0, 0, 1) Ejercicio 7 (pág 143) 3 Sea { x, y, z } una base de R. Calcula m para que los vectores u = x y + z, v = mx + 2y, w = 3y + mz determinen un tetraedro de volumen 1 u