Cálculo de probabilidades

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1 Cálculo de probabilidades 1. Sean A y B dos sucesos de un espacio muestral, con probabilidades P(A)=0.3, P(B)=0.7. Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Los sucesos A y B son independientes si ocurren simultáneamente con probabilidad b) Los sucesos A y B son incompatibles o excluyentes ya que sus probabilidades suman 1. c) Si A y B son incompatibles, entonces son también independientes. d) Si Ay B son independientes, entonces P(A/B)=0.3. Solución : a) V, b) F, c) F, d)v 2. En la tabla siguiente se en lista el historial de las características opcionales en 940 pedidos de una computadora básica. Memoria extra No Sí Procesador de alta velocidad opcional. No Sí Sea que A denote el evento de que un pedido incluya el procesador de alta velocidad opcional y sea que B denote el evento de que un pedido requiera memoria extra. Determine las siguientes probabilidades: a) P(AUB) b) P(A B) c) P(A c UB) d) P(A c B c )

2 e) P(A/B) Solución : a)0.45, b)0.26, c)0.88, d)0.55, e) La alineación entre la cinta magnética y la cabeza en un sistema de almacenamiento en cinta magnética, afecta al desempeño del sistema. Suponga que un 10% de las operaciones de lectura sufren degradaciones por alineaciones descentradas y las operaciones de lectura restantes tienen una alineación correcta. La probabilidad de un error de lectura es de 0.01 para alineación sesgada, 0.02 para alineación descentrada y correcta. a) Cuál es la probabilidad de un error de lectura? b) Si ocurre un error de lectura, cuál es la probabilidad de que se deba a una alineación sesgada? Solución: a) , b) Sean A, B y C sucesos de un espacio muestral. Encontrar las expresiones de: a) Solamente ocurre A. b) Ocurren A y B pero no C. c) Los tres sucesos ocurren. d) Al menos uno ocurre. e) No ocurre ninguno. Solución: a) A B c C c, b) A B C c, c) A B C, d) AUBUC, e) A c B c C c = (AUBUC) c 5. Tres máquinas de una fábrica A, B y C, producen componentes electrónicos. Concretamente, manufacturan el 25, 35 y 40% del total de la producción, respectivamente. Cada una de ellas produce un 5, 4 y 2% de componentes inservibles por defectuosos. a) Cuál es la probabilidad de que una componente producida sea defectuosa?. b) Se seleccionan al azar una componente electrónica producida en la fábrica y resulta ser defectuosa. Calcular la probabilidad de que proceda de la máquina A.

3 c) Las componentes electrónicas se empaquetan en cajas de 10 piezas. Supongamos que una caja en particular incluye dos componentes defectuosas. Calcular la probabilidad de que (sin contar con ningún proceso de control de calidad) de una caja de la que se extraen 5 componentes consecutivamente, las 5 sean válidas (no defectuosas). Solución: a) , b) 0.362, c) Una línea de producción de una factoría produce latas de gasolina de 20 litros con un margen de error del 5 % del volumen total. La probabilidad de que una lata esté fuera de este margen de error es de Se supone independencia. Se seleccionan cuatro latas al azar: a) Cuál es la probabilidad de que todas ellas estén fuera de los márgenes de error?. b) Cuál es la probabilidad de que exactamente dos de ellas estén fuera de los márgenes de error? c) Cuál es la probabilidad de que todas ellas se encuentren dentro de los márgenes de error? Solución: a) 8.1*10-7, b)5.08*10-3, c) Los investigadores también estudiaron la frecuencia de uso del cinturón de seguridad entre los propietarios de automóviles. Cada uno de una muestra de 387 conductores se clasificó según la frecuencia de uso (siempre, con frecuencia, rara vez, nunca) y el estado en que reside (estados con leyes que obligan a usar cinturón de seguridad, estados en los que están pendientes tales leyes y estados sin tales leyes). Los resultados se muestran en la tabla. ESTADO DE RESIDENCIA EMPLEO DE CINTURÓN DE SEGURIDAD Siempre Con frecuencia Rara vez Nunca TOTALES Ley de cinturón de seguridad obligatorio

4 Ley de cinturón de seguridad obligatorio en trámite Sin ley de cinturón de seguridad obligatorio TOTALES a) Calcule la probabilidad de que el conductor resida en un estado sin leyes que obliguen a usar cinturón de seguridad. b) Calcule la probabilidad de que el conductor utilice el cinturón de seguridad rara vez. c) Calcule la probabilidad de que el conductor resida en un estado con una ley de cinturón de seguridad obligatorio pendiente y nunca use el cinturón. d) Calcule la probabilidad de que el conductor resida en un estado con una ley de cinturón de seguridad obligatorio o bien siempre utilice el cinturón. e) Dado que el conductor nunca utiliza cinturón de seguridad, qué probabilidad hay de que el conductor resida en un estado sin una ley que obligue a usar el cinturón? f) Dado que el conductor reside en un estado con una ley de cinturón de seguridad obligatorio pendiente, qué probabilidad hay de que el conductor utilice el cinturón con frecuencia? g) Son independientes los eventos Ley de cinturón de seguridad obligatorio y Uso poco frecuente de cinturón de seguridad? Solución: a)0.667, b)0.2, c)8/387, d)0.563, e)0.71, f)0.256, g) No 8. El circuito mostrado opera si y sólo si hay una trayectoria de dispositivos funcionales de izquierda a derecha. Cada dispositivo falla independientemente con la probabilidad indicada en el gráfico.

5 1% 1% 30% F1 F2 F4 F3 F5 30% 10% Calcular: a) La probabilidad de que los dos primeros dispositivos del primer subsistema operen. b) La probabilidad de que la primera o segunda componente operen. c) La probabilidad de que la cuarta componente opere si la quinta opera. d) La probabilidad de que el circuito opere. Solución 1: a) 0.99*0.99, b) 2* *0.99, c) 0.7, d) Un suero de la verdad tiene la propiedad de que el 90% de los sospechosos culpables se juzga de manera adecuada mientras que, por supuesto, el 10% de los sospechosos culpables resultan erróneamente inocentes. Por otro lado, a los sospechosos inocentes se les juzga de manera errónea 1% de las veces. Si el sospechoso se selecciona de un grupo de sospechosos de los que sólo el 5% alguna vez han cometido un crimen, y el suero indica que es culpable. Cual es la probabilidad de que sea inocente? Solución: 9.5*10-3 Variable aleatoria. Distribuciones de Probabilidad 1. El porcentaje de hombres mayores de 50 años con alopecia es del 25%. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) El modelo Bernoulli es adecuado para clasificar a un hombre según presente alopecia o no. b) En una muestra de n hombres, la variable que expresa el nº de ellos que no presentan alopecia sigue una distribución Binomial de parámetros n, p=0.75.

6 c) El nº medio de hombres con alopecia en una muestra de tamaño 50 es 15. d) La probabilidad de que en una muestra de 12 hombres haya exactamente 4 con alopecia es e) La probabilidad de que en una muestra de 12 hombres haya como mucho 4 con alopecia es Solución: a)v, b)v, c)f, d)v, e)v. 2. Un matrimonio quiere tener una hija, y por ello deciden tener hijos hasta el nacimiento de una niña. La probabilidad de varón es la misma que la de hembra. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) La variable aleatoria que expresa el nº de hijos varones que tiene el matrimonio antes del nacimiento de la primera niña presenta distribución Geométrica. b) El nº medio total de hijos (varones y hembras) que tiene el matrimonio es 5. c) Si independientemente de tener o no una niña deciden tener un total de 5 hijos, el número de hijos varones en el total presenta distribución Binomial con parámetros n=5, p=0.5. d) Si el matrimonio deseara tener dos niños y dos niñas, la probabilidad de que esto ocurra es e) Un El nº de hijos varones anteriores a la segunda hembra sigue una distribución 3. Una empresa de electrónica suministra artículos de dos marcas A y B. El número de ventas diarias de un determinado artículo de la marca A es una variable aleatoria con distribución Normal de media 100 y desviación típica 1.2. El número de ventas diarias de este tipo de artículos de la marca B, es una variable aleatoria con función de densidad dada por: f(x)= k (120-x), 50 x 120 Se supone independencia en la venta de artículos de ambas marcas. a) Determinar el valor de k.

7 b) Obtener la función de distribución del nº de ventas diarias del artículo de marca B. c) Calcular la probabilidad de que la empresa venda diariamente más de 100 artículos de la marca A y más de 80 de la marca B. d) Si por cada artículo vendido de la marca A la empresa obtiene un beneficio de 0.5 euros, y por cada artículo vendido de la marca B un beneficio 0.9 euros, calcular el beneficio medio diario obtenido. e) Cada mes, la empresa suministra a un determinado comerciante un lote de 50 artículos, de los cuales 30 son de la marca A y 20 de la marca B. Si el 2% de los artículos de la marca A y el 1% de los artículos de la marca B son defectuosos, cúal es el porcentaje total de artículos defectuosos en el lote?. f) Calcular la cantidad mínima de artículos de cada marca de los que debe disponer la empresa para satisfacer con una probabilidad de 0.95 sus respectivas demandas diarias. g) Si las expectativas mensuales de venta en la empresa no se cumplen con probabilidad 0.25, calcular la probabilidad de que durante un año al menos en un mes no se cumplan dichas expectativas. Solución: a)1/2450, b)f(x)= 1/2450*(120x-x 2 /2-4750), 50 x 120, c)0.163, d) , e)0.016, f) A:102, B:104.34, g) El número de imperfecciones superficiales en los tableros de plástico utilizados en el interior de automóviles tiene una distribución de Poisson con una media de 0.05 imperfecciones por pie cuadrado de tablero de plástico. Suponga que el interior de un automóvil contiene 10 pies cuadrados de tablero de plástico. a) Cuál es la probabilidad de que no haya imperfecciones superficiales en el interior de un automóvil? b) Si se venden 10 unidades a una compañía de renta, cuál es la probabilidad de que ninguno de los 10 autos tenga alguna imperfección superficial? c) Si se venden 10 autos a una compañía de renta, cuál es la probabilidad de que a lo sumo uno de los autos tenga alguna imperfección superficial?. Solución: a) 0.60, b) 6.05*10-3, c) Si en un sistema de riego automático, la altura de las plantas dos semanas después de germinar tiene una distribución normal con una media de 2.5 centímetros y una desviación estándar de 0.5 centímetros:

8 a) Cuál es la probabilidad de que la altura de una planta sea mayor que 3.5 centímetros? b) Cuál es la probabilidad de que la altura de una planta está entre 2.0 y 3.5 centímetros? c) Qué altura excede el 90% de las plantas? Solución: a) , b) , c) El tiempo entre llamadas telefónicas tiene una distribución exponencial con un tiempo promedio entre las llamadas de 10 minutos. a) Cuál es la probabilidad de que el tiempo hasta la primera llamada sea menor que 5 minutos? b) Cuál es la probabilidad de que el tiempo de la segunda a la tercera llamada esté entre 5 y 15 minutos? c) Determine la longitud del intervalo de tiempo tal que la probabilidad de al menos una llamada en el intervalo, sea d) Si no ha habido ninguna llamada en 10 minutos, cuál es la probabilidad de que el tiempo hasta la siguiente llamada sea menor que 5 minutos? e) Cuál es la probabilidad de que no haya llamadas en los intervalos de 10:00 a 10:05, de 11:30 a 11:35 y de 2:00 a 2:05? Solución: a)0.39, b) 0.383, c)23.02 min, d)0.39, e)0.6

9 Inferencia 1. Si realizamos una estimación de un parámetro mediante un intervalo de confianza al 90% y obtenemos un intervalo de muy poca amplitud, qué se puede concluir?. Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Va a ser muy difícil la obtención de una estimación fiable. b) El rango de valores entre los que está el parámetro, al 90% de confianza, es muy pequeño. c) De 100 intervalos que hiciéramos con muestras al azar, 90 contendrían el verdadero valor del parámetro. d) Para poder obtener resultados satisfactorios, el nivel de confianza ha de ser superior al 90%. e) Si el nivel de confianza hubiera sido del 95%, la amplitud habría sido todavía menor y por lo tanto mayor la precisión en la estimación. Solución: a) F, b)v, c)v, d)f, e)f 2. En relación al intervalo de confianza para la media de una distribución Normal, con varianza desconocida, indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) El intervalo no depende de la muestra seleccionada. b) La amplitud del intervalo mide la precisión de la estimación de la media poblacional con la media muestral. c) El tamaño muestral es inversamente proporcional a la amplitud. d) Cuanto mayor fuera la dispersión de la variable en estudio, mayor sería la amplitud del intervalo. e) La estimación puntual es siempre mejor que la estimación por intervalos, ya que es más exacta.

10 Solución: a)f, b)v, c)v, d)v, e)f 3. El intervalo de confianza para la proporción de artículos defectuosos en un proceso de producción resulta [0.04±0.01] al 95%. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) El porcentaje de artículos defectuosos en la producción estará entre el 4% y el 6% con una confianza del 95%. b) El error máximo que cometemos al estimar la proporción poblacional por la muestral es de 0.01 con una probabilidad de c) Si para pasar un control de la calidad en la producción se requiere un porcentaje máximo de defectuosos del 5%, se pasaría el control con una confianza del 95%. Solución: a)v, b)v, c) F. 4. El hundimiento de un petrolero en las proximidades de la costa de una determinada región ha provocado un gran desastre tanto económico como ecológico. Con el fin de analizar la composición de fuel que desprende el buque, han sido seleccionadas 17 galletas de chapapote sobre las que medir la concentración de cinc, obteniéndose por término medio 140 mg/l, con una desviación típica de 30 mg/l. Obtén un intervalo de confianza al 95% para la concentración media de cinc en el fuel que desprende el petrolero. Solución: [ , ] 5. En la fabricación de maquinaria, es indispensable utilizar piezas que se ajusten a especificaciones. Anteriormente, el diámetro de los balines para cojinete de bolas producidos por cierto fabricante tenía una varianza de 0, Con objeto de reducir costos, el fabricante estableció un método de producción más económico. La varianza de los diámetros de 100 balines muestreados al azar y producidos por el nuevo proceso fue de 0, Proporcionan estos datos pruebas suficientes para llegar a la conclusión de que los diámetros de los balines producidos por el nuevo proceso son más variables que los de aquellos producidos por el proceso antiguo? Tomar α = 0,05. Solución: Tenemos que contrastar H 0 : σ 2 = frente a H1: : σ 2 >

11 2 2 ( χ =133.90)>( χ =123.22), por lo que rechazamos H0 al 5% de significación. 1 α ; n 1 6. Un equilibrio iónico de nuestra atmósfera tiene un efecto significativo sobre la salud de las personas. Una alta concentración de iones positivos en una habitación puede inducir fatiga, tensión y problemas respiratorios en los ocupantes de la habitación. Sin embargo, las investigaciones han demostrado que la introducción de los iones negativos en la atmósfera de la habitación (mediante un generador de iones negativos), combinada con una ventilación constante, restablece el equilibrio natural de los iones, lo que coadyuva a la salud humana. Se realizo un experimento como sigue: se seleccionaron al azar 100 empleados de una fábrica grande y se dividieron en dos grupos de 50 cada uno. A ambos grupos se les dijo que estarían trabajando en una atmósfera con equilibrio de iones controlado por medio de generadores de iones negativos. No obstante, sin que los empleados lo supieran los generadores solo se encendieron en el área de trabajo del grupo experimental. Al final del día se registro para cada grupo el número de trabajadores que dijeron sentir migrañas, nauseas, fatiga, debilidad o alguna otra molestia física. Los resultados se resumen en la tabla. Grupo experimental(generadores de iones encendidos) Grupo control(generadores iones apagados) de de Tamaño de muestra Número de los que experimentaron algún tipo de molestia física 3 12 En base a la información muestral, determinar al 5% de significación si en el grupo experimental la molestia física tiene menor incidencia que en el grupo control. Solución: Tenemos que contrastar H 0 : p 1 =p 2 frente a H 1 : p 1 <p 2. (Z=-2.52)<( Z α =-1.65), por lo que rechazamos H 0 al 5% de significación.

12 6. En relación a la teoría de contrastes de hipótesis, indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) La hipótesis alternativa del contraste siempre ha de ser capaz de explicar la realidad observada en la muestra/s. b) Nunca podremos afirmar el que una hipótesis sea absolutamente verdadera o falsa, ya que para ello tendríamos que disponer de observaciones de toda la población. c) El error tipo I es la probabilidad de aceptar la hipótesis nula siendo ésta falsa. d) La región de rechazo de la hipótesis nula depende del nivel de significación fijado y del tipo de hipótesis alternativa. e) El p-valor de un contraste es la probabilidad de acertar al decidir en un contraste. f) Si el p-valor de un contraste es menor o igual que el nivel de significación, rechazamos la hipótesis nula. g) El tamaño muestral no influye en la decisión de un contraste. Solución: a)v, b)v, c)f, d)v, e)f, f)v, g)f 7. El empleo de equipo de cómputo en las empresas está creciendo con una rapidez vertiginosa. Un estudio reciente reveló que 184 de 616 adultos que trabajan utilizan con regularidad una computadora personal, una microcomputadora, una terminal de computadora o un procesador de textos en su trabajo. Son estas pruebas suficientes para llegar a la conclusión de que la proporción de adultos que trabajan que utilizan con regularidad equipo de cómputo en su trabajo excede 25%? Pruebe con α=0.05. Solución: Tenemos que contrastar H 0 : p = 0.25 frente a H 1 : p > (Z=131.14)> (Z 1- α=1.65), por lo que rechazamos H 0 al 5% de significación. 8. El tiempo diario invertido por los estudiantes en llegar a la Universidad es una variable aleatoria con distribución Normal. Se cuestiona si éste tiempo en media puede ser de más de 45 minutos. Una muestra seleccionada de 20 estudiantes proporciona una media de 53 minutos y una desviación típica de 2.21 minutos. Concluir al 5% de significación. Solución: Tenemos que contrastar H 0 : µ=45 frente a H 1 : µ>45.

13 (T=16.188)>(t 1-α,n-1 =1.73), por lo que rechazamos H 0 al 5% de significación. 9. Una comparación de la esperanza de vida en muestras aleatorias de 41 países en vía de desarrollo y 31 altamente industrializados revela los siguientes datos: Países en vía de desarrollo Países altamente industrializados Media muestral Varianza muestral a) Puede considerarse la misma variabilidad en ambas poblaciones?. Tomar un nivel de significación del 10%. b) Existe diferencia significativa en la esperanza de vida media de los países con estos dos niveles de desarrollo económico?. Tomar un nivel de significación del 5%. Solución: a) Contrastamos H 0 : = σ frente a H1: al 10% de significación. σ 1 2 F=1.16, 1/f1-α/2,n1-1=0.574, f 1-α/2,n1-1,n2-1 =1.79, por lo que no podemos rechazar H 0. b) Contrastamos H 0 : µ 1 = µ 2 frente a H 1 : µ 1 µ 2 al 5% de significación. σ 1 σ 2 T=-18.80, t 1-α/2,n1+n2-2 =-1.994, t α/2,n1+n2-2 =1.994, por lo que rechazamos H 0.

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