Vectores y Matrices. Curso a 11 a a 1n a 21 a a 2n. A = A = [a ij] 1 i m. a m1 a m2... a mn

Transcripción

1 Vectores y Matrces Curso A = Notacón a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn, A = [a j] m j n a j = elemento (, j) de A Tamaño u orden de A= m n S m = n, A cuadrada -sma fla y j-sma columna: a = [a a 2 a n ] y a j = Notacón de MATLAB: A(,:) y A(:,j) En general a j R, anllo conmutatvo con elemento R m n = cto de las matrces de tamaño m n con elementos en R 2 a j a 2j a mj,

2 Operacones con matrces S A = [a j ] R m n y B = [b j ] R m n : A + B = [a j + b j ] R m n MATLAB:A+B y s A = [a j ] R m n y B = [b j ] R n p, entonces [ n ] AB = a k b kj R m p MATLAB:A*B k= (R n n, +, ) es un anllo no conmutatvo con dentdad I n = = [δ matrz dentdad de orden n j], MATLAB:eye(n) 0 0 S x R y A = [a j ] R m n, xa = [xa j ] R m n MATLAB: x A o x A 3 S A = [a j ] Algunos tpos de matrces A T = [a j ] transpuesta de A MATLAB: A s R = R y A s R = C S R = C, A = [a j ] conjugada de A (z = x + y z = x y) S R = C, A = A T MATLAB: A 2 3 [ ] Smétrcas: A = A T : , Hermítcas: A = A : [ ] Skew-smétrcas: A T = A: 2 0 Skew-hermítcas: A = A 4

3 Más tpos de matrces d d 2 0 Dagonales: = Dag(d,, d n ) 0 0 d n Matlab: dag A A 2 0 Dagonal por bloques: 0 0 A p Matlab: blkdag a a 2 a n 0 a 22 a 2n Trangular superor: 0 0 a nn Matlab: tru Trangular nferor, por bloques, etc 5 Matlab: trl Matrces de permutacón P R n n matrz de permutacón s en cada fla y columna hay un elemento gual a y todos los demás son cero: Permutan flas y columnas P = 0 0 y P T = P 2 3 = 3 2 y [ 2 3 ] P T = [ 3 2 ] S σ = (, 2,, n ) S n ; e σ(k) = k, P σ = [δ σ(j) ]= matrz con un en (σ(), ) y todo lo demás cero En el ejemplo, σ = (2, 3, ) P T = P σ = P Matlab: P=eye(n); P=P(:,σ) P σ A = [a σ(j) ] y AP T = [a σ()j ] 6

4 Submatrces S A = [a j ] R m n, B = [b j ] R p q submatrz de A s exsten índces (,, p ) y (j,, j q ) tales que < < p m, j < < j q n y a r j s = b rs, r p, s q A = b b 2 b 3 b 2 b 3 b 4 b 22 b 32 b 42 b 23 b 33 b j j 2 j 3 Usaremos notacón de MATLAB: s u = (,, p ) y v = (j,, j q ): B=A(u,v) Hay confguracones que no son submatrces 7 Matrces y aplcacones lneales R = F f : V V 2 Fjadas bases B = {v,, v n }, B 2 = {u,, u m } f (v j ) = m a j u, = j =,, n determna A = [a j ] F m n : matrz de f respecto de B y B 2 Y recíprocamente A F m n puede verse como una aplcacón lneal entre los espacos vectorales F n y F m : A : F n F m x Ax La matrz de esta aplcacón lneal es A cuando en F m y F n se toman las bases canóncas 8

5 A F m n Rango y nuldad Im(A) = {y F m y = Ax para algún x F n } Ker(A) = {x F n Ax = 0} rang(a) = dm Im A ν(a)= nuldad de A= dm Ker A Prmer teorema de somorfía MATLAB: rank Im A = Fn Ker A Desgualdad de Sylvester (884) A F m n, B F n p ν(a) = n rang(a) rang(a) + rang(b) n rang(ab) mín(rang(a), rang(b)) 9 Matrces de rango completo A tene rango completo rang(a) = mín{m, n} Qué sgnfca que A es de rango completo? m n dm Im A = n Ker A = {0} A es nyectva (nvertble por la zquerda: BA = I n ) m n dm Im A = m Im A = F m A es suprayectva (nvertble por la derecha: AB = I m ) m = n A byectva (nvertble: AB = BA = I n ) 0

6 Matrces nvertbles Para A F n n (F cuerpo) las sguentes condcones son equvalentes: A tene nversa A (MATLAB: nv) 2 rang(a) = n 3 Im A = F n 4 ν(a) = 0 5 Ker A = {0} 6 0 no es un valor propo (autovalor) de A (MATLAB: eg) 7 det(a) 0 (MATLAB: det) A no sngular: det(a) 0 A no sngular A nvertble (F cuerpo) λ C valor propo de A F n n : x C n (x 0) tal que Ax = λx x= vector propo de A asocado a λ Qué sgnfca Ax = b? b es la magen de x por A b es el resultado de multplcar A por x n b = a j x j, =,, m b b 2 b m = a a 2 a m j= x + a 2 a 22 a m2 x a n a 2n a mn x n b = x a + x 2 a x n a n b es una combnacón lneal de las columnas de A cuyos coefcentes son las componentes del vector x n b Im A b = x a para algún vector x = 2

7 Notacón: S a,, a n F n La Imagen y el Span { n } < a,, a n >= Span (a,, a n ) = x a x F Im(A) es es subespaco de F m generado por las columnas de A; e, s A = [ a a 2 a n ], Im A =< a,, a n > = rang(a) = dm < a,, a n > Ker A está formado por los vectores cuyas componentes son los coefcentes del vector 0 como combnacón lneal de las columnas de A: 0 = x a + x 2 a x n a n 3 Producto de matrces Qué sgnfca C = AB? C es la matrz de la composcón R p C es el resultado de multplcar A por B B R n A R m c j = a b j + a 2 b 2j + + a n b nj, c j a a 2 a n b j c 2j c j = = a 2 a 22 a 2n b 2j = Ab j, j =,, p c mj a m a m2 a mn b nj [ ] [ ] c c 2 c p = Ab Ab 2 Ab p, c = a B A actúa sobre B: combnacones lneales en las flas de B, y B actúa sobre A: combnacones lneales 4 en las columnas de A

8 Producto nterno y externo de vectores S u, v R n : Producto nterno: u T v v v 2 u T v = [ ] u u 2 u n = u n v n n u v R producto externo: uv T R n n u u v uv T u 2 [ ] u 2 v = v v 2 v n = = [ v u v 2 u v n u ] u n v = uv T es una matrz de rango y todas las matrces de rango son así 5 Otra vez el producto de matrces (AB) j = n k= a k b kj = a b j = (a )T b j, a es la -ésma columna de A T y b j la j-ésma columna de B (a k b k ) j = a k b kj AB = a (b ) T + a 2 (b 2) T + + a n (b n) T, 6

9 Matrces elementales Tpo I j E (α) = I n + E j (α) = α j E (α)a = a a + αa j a j a m, AE (α) = [ a a a j + αa a n ] 7 Matrces elementales Tpo II E 2 (α) = α E 2 (α)a = a αa a m y AE 2 (α) = [ a αa a n ] 8

10 Matrces elementales Transposcones P = a a j PA = a a m j 0 0 y AP = [ a a j a a n ] 9 j Elmnacón Gaussana (EG) Ax = b, A F n n, b F n [ A b ] = [ A () b ()] = [ A (n) b (n)] A (n) = U trangular superor n etapas y en cada etapa k = : n [ ] A (k) A (k) = A (k) 2 0 A (k), A (k) F(k ) (k ) trangular 22 Objetvo en la etapa k: susttur por ceros los elementos de A (k) (k + : n, k) restando a la fla = k + : n la fla k multplcada por m k = a(k) k a (k) kk (MULTIPLICADOR): a (k+) j b (k+) = a (k) j = b (k) m k a (k) kk,, j = k +,, n m k b (k) k,, j = k +,, n 20

11 Factorzacón LU S m k = [ 0 0 m k+k m nk ] T y Mk = I n m k e T k : Entonces M k A (k) = A (k+) M n M n 2 M 2 M A = A (n) = U trangular superor A = M M 2 M L := M M 2 M n = M k = I m + m k e k m 2 m 32 m n m n2 m nn n U, A = LU Factorzacón LU de A 2 Algortmo LU Factorzacón LU Dato: A F n n Objetvo: calcular factorzarón LU de A L =eye(n) for k = : n for = k + : n l k = a k /a kk a k = 0 for j = k + : n a j = a j l k a kj for for for U = A Coste: 2 3 n3 22

12 Pvoteo parcal por columnas al comenzo de la etapa k, se ntercamban las flas k y r estando r determnada por la condcón: a (k) rk = máx k n a(k) k M n P n M n 2 P n 2 M 2 P 2 M P A = U, U = M 4 P 4 M 3 P 3 M 2 P 2 M P A = M 4 P 4 M 3 P }{{} 4 P 4 P 3 M 2 P 3 P 4 P }{{} 4 P 3 P 2 M P 2 P 3 P 4 P }{{} 4 P 3 P 2 P A }{{} = M 3 M 2 M P M 4 M 3 M 2 M PA M k = P n P n 2 P k+ (I n m k ek T )P k+ P n 2 P n = (I n P n P n 2 P k+ m k ek T = I n m k et k, m 2 PA = LU, L = M M 2 M n 2 M n = m m n m n2 m nn Algortmo Factorzacón LU con pvoteo Versón Factorzacón LU con pvoteo parcal Versón Dato: A F n n, det A 0 Objetvo: calcular P,L U tales que PA = LU L =eye(n) for k = : n Calcúlese el máx A(k : n, k) y su poscón, r Permútense las flas k y r de A, L y P for = k + : n l k = a k /a kk a k = 0 for j = k + : n a j = a j l k a kj for for for U = A 24

13 Algortmo Factorzacón LU (LUTXFOR) Versón functon [L,U,P] = lutxforv(a) %LUTXFORV, para una matrz nvertble dada A, devuelve matrces L, %trangular nferor con en la dagonal, %U, trangular superor y P de permutacón %tal que PA=LU En vez trabajar con la matrz P se trabaja %con un vector p que almacena las transposcones y a partr %del cual se construye P La matrz L se defne %y actualza de forma explícta y se utlzan bucles FOR para %todos los contadores % Calculamos el tama~no de A [n,n] = sze(a); %Incamos p=[ 2 n]^t p = (:n) ; % y L L=eye(n); %Transformacones elementales en las columnas, 2,, n- for k = :n- %Calculamos el máxmo, r, (en valor absoluto) de los elementos % A(k,k), A(k,k+),,A(k,n), y la poscón, m, donde se encuentra [m,r] = max(abs(a(k:n,k))); % Calculamos la poscón del máxmo en toda la columna k-ésma de A r = r+k-; %S el máxmo fuera cero es porque toda la columna es cero y A no sería %nvertble f (A(r,k) ~= 0) %S el máxmo no está en la dagonal permutamos f (r ~= k) %permutamos las flas k y r en A, L y p A([k r],k:n) = A([r k],k:n); L([k r],:k-) = L([r k],:k-); p([k r]) = p([r k]); 25 Algortmo Factorzacón LU (LUTXFOR) Versón Cont %L está fromada por los multplcadores for = k+:n; L(,k) = A(,k)/A(k,k); % Por debajo de (k,k) los elementos de A en la columna k serán 0 A(,k)=0; % Realzamos sobre las flas =k+,,n la transformacón elemental for j = k+:n; A(,j) = A(,j) - L(,k)*A(k,j); %A se ha convertdo en trangular superor: es la U U=A; % Construímos P a partr de p: las flas :n de P son las de la permutacón P=eye(n); P=P(p,:); 26

14 Algortmo Factorzacón LU (LUTXFOR) Fnal functon [L,U,P] = lutxfor(a) [n,n] = sze(a); p = (:n) ; for k = :n- [m,r] = max(abs(a(k:n,k))); r = r+k-; f (A(r,k) ~= 0) f (r ~= k) A([k r],:) = A([r k],:); p([k r]) = p([r k]); for = k+:n; A(,k)=A(,k)/A(k,k); for j = k+:n; A(,j) = A(,j) - A(,k)*A(k,j); %En la parte trangular nferor de A (sn la dagonal) está L L = trl(a,-) + eye(n,n); %Y en la parte trangular superor (ncluyo la dagonal) está U U = tru(a); P=eye(n); P=P(p,:); 27 El algortmo de la factorzacón LU functon [L,U,p] = lutx(a) [n,n] = sze(a); p = :n; for k = :n- [r,m] = max(abs(a(k:n,k))); m = m+k-; f (A(m,k) = 0) f (m = k) A([k m],:) = A([m k],:); p([k m]) = p([m k]); = k+:n; A(,k) = A(,k)/A(k,k); j = k+:n; A(,j) = A(,j) - A(,k)*A(k,j); L = trl(a,-) + eye(n,n); U = tru(a); 28

15 Jerarquía en la memora de los ordenadores y BLAS Regstros Caché RAM Dsco Basc Lnear Algebra Subroutnes (BLAS) Operacón Defncón flops (f ) memory ref (m) Rato q = f /m BLAS y = αx + y 2n 3n + 2/3 BLAS2 y = Ax + y 2n 2 n 2 + 3n 2 BLAS3 C = AB + C 2n 3 4n 2 n/2 BLAS (saxpy): productos nternos, escalar por vector, BLAS2: matrz por vector, sstemas trangulares, A + xy t, BLAS3: matrz por matrz, sstemas trangulares con muchos vectores ndepentes, f t art + m t mem = f t art ( + m f 29t mem t art ) = f t art ( ) + t mem q t art A F m n, B F n p rang A + rang B n () < rang(ab) (2) < mín{rang A, rang B} (2) () rang A + dm(ker A Im B) < n { rang B dm(ker A Im B) < rang B dm(ker A Im B) > 0 rang B < rang A + dm(kera Im B) rang B < rang A + dm(ker A Im B) < n, dm(ker A Im B) > B = , A = So m = n = p debe ser n 5 Ker A Im B =< e > 30