( 3.c) INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS NO EXPONENCIALES Y REDES DE COLAS

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1 (.c) INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS NO EXONENCIALES Y REDES DE COLAS INTRODUCCIÓN A LAS REDES DE COLAS. Cocepto de red abierta y cerrada. Redes abiertas y Teorema de Jackso. MODELOS NO EXONENCIALES Cola M/G/: Fórmula de ollaczeck-khitchie. Cola G/M/: casos Ek/M/, Hip/M/, Hyp/M/. Uso de QTS_EXCEL. AROXIMACIONES ARA COLAS GI/G/s. Aproximació de Alle-Cuee. Aproximacioes para colas cogestioadas (Heavy Traffic) UC

2 - - ( ) ( ) ( ) ( ) M M M M emergete Tasa icidete Tasa Estado Hay tatas ecuacioes como valores pueda presetar N(t), por tato, si e el S.E. sólo puede haber como máximo K clietes, habrá K ecuacioes.

3 UC UC ; C C K K K,, K K K,, C C C < C Las probabilidades de estado estacioario queda defiidas si: E caso de que el S.E. pueda coteer sólo K clietes como máximo, el sumatorio se extiede de a K y siempre será fiito.

4 EJEMLO DE LA EVOLUCIÓN DE UNA COLA M/M/ COMORTAMIENTO: uede presetarse dos situacioes:. E promedio la afluecia de clietes al S.E. sobrepasa la capacidad de trabajo del Sistema de Servicio: N(t) N(t) RESENTA UNA TENDENCIA CRECIENTE t. El Sistema de Servicio tiee suficiete capacidad de trabajo frete a la afluecia de clietes: N(t) < N(t) puede crecer e ocasioes, pero el S.E. siempre retora al estado (vacío) t UC

5 Tiempos etre llegadas τ i.i.d. de ley exp. co parámetro. s > servidores iguales. Tiempo de servicio x i.i.d. segú ua ley exp. de parámetro. K K K,,,,,,,, s s s s MODELO M/M/s s- s s s s s

6 El modelo M/M/s/K Sistema de espera co limitació de capacidad que presupoe:. Tiempos etre llegadas τ i.i.d. exp. de parámetro.. Tiempos de servicio x i.i.d. exp. de parámetro.. U cojuto de servidores e paralelo s >. 4. El úmero de clietes al sistema de espera es K. El úmero máximo de clietes N(t) presetes e el S.E. debe ser K Si el S.E. está lleo al llegar u cliete éste se pierde: s s- s s s s Siempre alcazará régime estacioario. K U C

7 MODELO M/M/s/./N S.E. co població fiita (N) que presupoe: Tiempo de permaecia e la població de los clietes i.i.d segú ley exp. de parámetro Tiempos de servicio por servidor i.i.d. segú ley exp. de parámetro. U cojuto de servidores e paralelo s >. Ua població fiita de clietes limitado al valor N. ara simplificar se supoe N > s. Es u S.E. cerrado: Hay siempre N clietes (poblaciós.e.) Tras salir del S.E. el cliete se reitegra e la oblació oblació Sistema de Espera

8 REDES DE COLAS EXONENCIALES Sistemas de colas expoeciales formado ua red de motaje de ordeadores o coches, por ejemplo. odemos cosiderar dos tipos de redes de S.E.: a) ABIERTAS. recibe etradas de clietes procedetes de ua o varias poblacioes exteras y que tiee salidas hacia el exterior;. b) CERRADAS. No recibe etradas de poblacioes exteras i tiee salidas al exterior. Número costate de clietes circulado detro de la red. Ejemplo. Red abierta de S.E. obl. Exter. Ejemplo. Ssitema M/M/s/./N: obl. U C

9 Redes abiertas. Teorema de Jackso Codicioes bajo las que las redes abiertas de S.E. preseta propiedades para efectuar u aálisis por descomposició.. El S.E. (odo) i tiee u úmero de servidores s i de características idéticas etre sí. Los tiempos de servicio de cada servidor tiee distribució expoecial de probabilidades co capacidad idividual de servicio i.. La capacidad de la cola e cada S.E. es ilimitada.. Los clietes que ha estado servidos e el odo i se reparte etre los odos j E(i), emergetes del i y, co probabilidades p ij > costates a lo largo de toda la evolució del sistema. 4. el tiempo asociado al arco (i,j) es cero. Si todas las llegadas exteras está distribuidas poissoiaamete y se verifica las codicioes ateriores etoces se llama redes de Jackso y sobre ellas puede aplicarse el resultado del teorema de Jackso (957). U C

10 U C Teorema de Jackso. Sea ua red abierta de S.E. verificado las codicioes para la descomposició ateriores, co solucioes del sistema: N j p r N i ij i j j,, K tales que i i i s < para todo S.E. i,,n. Etoces cada S.E. se comporta como ua cola M/M/s i co etradas de clietes co tasa i y que presetará e estado estacioario ua distribució de probabilidades propia de las colas M/M/s e idepediete de la de los otros sistemas detro de la red. N NN N N N N N p p p p p p r r M L M O M M L M M

11 U C 45 / / / 5 5 / / / / / / 5 obl. obl. Exter. / / / / r r 5 Se dispoe de servidores co tasa idividual de servicio. Determiar e cada odo el úmero míimo de servidores de forma que la red de S.E. presete estado estacioario. Calcular las demoras medias e todos los S.E. de la red.

12 U C Las etradas e los S.E., y so respectivamete:,, 45. or tato:. ara el odo, si s, / / <.. ara el odo, si s, / / <.. ara el odo, hay que dotarlo de s 4 servidores: /(s ) 45/(4) <. Los odos y co u solo servidor so colas de tipos M/M/ co las mismas tasas de etrada: - -/ /6; El odo se comporta como ua cola M/M/4; Si θ / 45/ etoces: / 5, L W W L L , ) (!,!! i i θ θ θ θ ( ) 88 57,,.! q q s q L s L W

13 MODELOS DE COLAS NO EXONENCIALES Los modelos de colas que se ha visto hasta el mometo estaba basados e los procesos de acimieto y muerte. Supoía tiempo etre llegadas y tiempo de servicio de tipo expoecial. Las hipótesis puede resultar iapropiadas para modelizar determiadas situacioes:. Las llegadas programadas a la cosulta de u médico.. Las colas que se forma cíclicamete e los semáforos de las ciudades.. E el caso del servicio, si el tiempo que requiere cada cliete es más o meos costate, por ejemplo e ua cadea de motaje U C

14 El modelo M/G/ Los S.E. que respode a modelos M/G/ so aquellos que:. Las llegadas tiee ua tasa costate igual a. Los tiempos etre llegadas al sistema so i.i.d. expoecialmete.. Los tiempos de servicio tiee ua distribució de probabilidad comú cualquiera y so mútuamete idepedietes, de esperaza matemática / y variaza σ.. El sistema de espera dispoe de u úico servidor: s. ara coseguir u estado estacioario es suficiete que el factor de carga del sistema / <. U C

15 La fórmula de ollaczek-khitchie determia la esperaza matemática de la logitud de cola e régime estacioario: L q. L q σ ( ) ( ) σ ( ) L q A partir de las fórmulas de Little se obtiee el resto de magitudes, L, W, W q. La fórmula refleja la ifluecia de la dispersió de los tiempos de servicio (variaza σ ) e el comportamieto del S.E.: A mayor σ mayor será la logitud media de cola L q a igualdad de y. U C

16 Caso particular M/M/, teemos σ y la fórmula de ollaczek-khitchie se covierte e, L q σ ( ) ( ) ( ) ( ) coicidiedo co el resultado ecotrado ateriormete. Caso particular M/E k /: la distribució de los tiempos de servicio es Erlag de parámetros k y /E[x], su variaza es /k, al aplicar la fórmula de ollaczek-khitchie: L q σ k ( ) ( ) k ( ) k U C

17 E el caso M/D/, la distribució de los tiempos de servicio es costate, de media uidades de tiempo ( servicios por uidad de tiempo) y variaza σ, la fórmula de ollaczek- Khitchie determia la expresió de la logitud media de la cola como, L q σ ( ) ( ). L q L q L q D E k M U C

18 QTS_EXCEL: CASOS M/Ek/, M/D/ M/E(k)/ system-size probabilities probability,,,8,6,4,, size M/D/ system-size probabilities probability,5,,5,,5,,5, size

19 COLA G/M/

20 COLA G/M/ UC

21 UC

22 E(k)/M/ system-size probabilities CDF for E(k)/M/ lie waitig times CDF for E(k)/M/ system waitig times probability,,5,,5,,5, size cdf,,8,6,4,,,,,, time cdf,,8,6,4,,,,,, time

23 AROXIMACIÓN DE LA COLA GI/G/s Exacta para M/M/s, M/G/ UC

24 AROXIMACIÓN DE LA COLA GI/G/s UC

25 Tiempo etre averías de u motor: τ' (τ' 4),88 Tiempo etre icidecias (revisió o avería) de u motor: τ 4 τ τ τ τ k- τ k t Simulació de períodos: (τ' 4),88 88% de las icidecias: revisioes

26 Se procede a u aálisis aproximado para cada año mediate u modelo de colas tipo G/M/. Se adopta ua distribució de los tiempos etre llegadas τ para cada año del tipo: oblació Sistema de Espera Exterior

27 Opció: o reovar taller E[x],5 semaas Distribució del tiempo de permaecia e el taller W,4 σ w,5 Ocupació media UC

28 ráctica 4: QTS_EXCEL: Aproximació de Alle-Cuee