Álgebra Lineal Ma1010
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- Adrián Pinto Piñeiro
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1 Álgebra Lineal Ma1010 Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Departamento de Matemáticas ITESM Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 1/38
2 En esta lectura veremos algunas aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales. Las aplicaciones de la resoluciones de sistemas son innumerables, y por consiguiente es imposible pretender cubrir las aplicaciones. Queda como reto personal encontrar situaciones donde surgan este tipo de problemas. Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 2/38
3 La lectura pretende que usted conozca algunas de las situaciones que conducen a la resolución de un sistema de ecuaciones lineales. blemente, la técnica de las fracciones parciales, el ajuste de curvas y algunos más. Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 3/38
4 parciales Una técnica muy conveniente utilizada en algunas tareas matemáticas es aquella conocida como fracciones parciales. Ésta se aplica para simplificar integrales o transformadas de Laplace, por citar algunos ejemplos. La idea principal consiste en cambiar la forma que puede ser expresado un cociente entre polinomios a otra forma más conveniente para cierto tipo de cálculo. Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 4/38
5 Ejemplo Determine los valores de las constantes a y b para que satisfagan: 1 (x 2)(x+3) = a x 2 + b x+3 Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 5/38
6 Solución Se debe cumplir: 1 = a + b (x 2)(x+3) x 2 x+3 = a(x+3)+b(x 2) (x 2)(x+3) = ax+3a+bx 2b (x 2)(x+3) = (3a 2b)+(a+b)x (x 2)(x+3) Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 6/38
7 Esto se cumple si: Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 7/38
8 Esto se cumple si: Es decir, si: 1+0 x = 1 = (3a 2b)+(a+b)x 3a 2b = 1 a + b = 0 El cual tiene como solución: a = 1 5 y b = 1 5 Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 7/38
9 Ejemplo (Forma dudosa) Determine los valores de las constantes a y b para que satisfagan: 2+2x+2x 2 (x+1)(x 2 +1) = a x+1 + b x 2 +1 Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 8/38
10 Solución Se debe cumplir: 2+2x+2x 2 (x+1)(x 2 +1) = a x+1 + b x 2 +1 = a(x2 +1)+b(x+1) (x+1)(x 2 +1) = ax2 +a+bx+b (x+1)(x 2 +1) = (a+b)+(b)x+ax2 (x+1)(x 2 +1) Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 9/38
11 Esto se cumple si: Es decir, si: 2+2x+2x 2 = (a+b) + (b)x+ax 2 a + b = 2 + b = 2 a = 2 Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 10/38
12 Esto se cumple si: Es decir, si: 2+2x+2x 2 = (a+b) + (b)x+ax 2 El cual no tiene solución. a + b = 2 + b = 2 a = 2 Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 10/38
13 Esto se cumple si: Es decir, si: 2+2x+2x 2 = (a+b) + (b)x+ax 2 a + b = 2 + b = 2 a = 2 El cual no tiene solución. Qué puede andar mal? Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 10/38
14 Esto se cumple si: Es decir, si: 2+2x+2x 2 = (a+b) + (b)x+ax 2 a + b = 2 + b = 2 a = 2 El cual no tiene solución. Qué puede andar mal? La forma propuesta para la expresión en fracciones parciales. Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 10/38
15 Ejemplo Determine los valores de las constantes a, b y c para que satisfagan: 2+2x+2x 2 (x+1)(x 2 +1) = a x+1 + bx+c x 2 +1 Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 11/38
16 Solución Se debe cumplir: 2x 2 +2x+2 = a + bx+c (x+1)(x 2 +1) x+1 x 2 +1 = a(x2 +1)+(bx+c)(x+1) (x+1)(x 2 +1) = ax2 +a+bx 2 +bx+cx+c (x+1)(x 2 +1) = (a+b)x2 +(b+c)x+(a+c) (x+1)(x 2 +1) Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 12/38
17 Esto se cumple si: 2x 2 +2x+2 = (a+b)x 2 +(b+c)x+(a+c) Es decir, si: a + b = 2 b + c = 2 a + c = 2 Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 13/38
18 Esto se cumple si: 2x 2 +2x+2 = (a+b)x 2 +(b+c)x+(a+c) Es decir, si: a + b = 2 b + c = 2 a + c = 2 El cual tiene como solución: a = 1, b = 1 y c = 1 Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 13/38
19 Determinación de curvas Un problema comun en diferentes áreas es la determinación de curvas. es decir el problema de encontrar la función que pasa por un conjunto de puntos. Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 14/38
20 Determinación de curvas Un problema comun en diferentes áreas es la determinación de curvas. es decir el problema de encontrar la función que pasa por un conjunto de puntos. Usualmente se conoce la naturaleza de la función, es decir, se conoce la forma que debe tener la función. Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 14/38
21 Determinación de curvas Un problema comun en diferentes áreas es la determinación de curvas. es decir el problema de encontrar la función que pasa por un conjunto de puntos. Usualmente se conoce la naturaleza de la función, es decir, se conoce la forma que debe tener la función. Por ejemplo, línea recta, parábola o exponencial etc. Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 14/38
22 Determinación de curvas Un problema comun en diferentes áreas es la determinación de curvas. es decir el problema de encontrar la función que pasa por un conjunto de puntos. Usualmente se conoce la naturaleza de la función, es decir, se conoce la forma que debe tener la función. Por ejemplo, línea recta, parábola o exponencial etc. Lo que se hace para resolver este tipo de problemas es describir la forma más general de la función mediante parámetros constantes. Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 14/38
23 Determinación de curvas Un problema comun en diferentes áreas es la determinación de curvas. es decir el problema de encontrar la función que pasa por un conjunto de puntos. Usualmente se conoce la naturaleza de la función, es decir, se conoce la forma que debe tener la función. Por ejemplo, línea recta, parábola o exponencial etc. Lo que se hace para resolver este tipo de problemas es describir la forma más general de la función mediante parámetros constantes. Y posteriormente se determinan estos parámetros haciendo pasar la función por los puntos conocidos. Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 14/38
24 Ejemplo Determine la función cudrática que pasa por los puntos P(1,4), Q( 1,2), y R(2,3). Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 15/38
25 Ejemplo Determine la función cudrática que pasa por los puntos P(1,4), Q( 1,2), y R(2,3). Solución La forma más general de una cuadrática es: f(x) = ax 2 +bx+c donde los coeficientes a, b, y c son constantes numéricas. El problema consiste en determinar estos coeficientes. Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 15/38
26 Ejemplo Determine la función cudrática que pasa por los puntos P(1,4), Q( 1,2), y R(2,3). Solución La forma más general de una cuadrática es: f(x) = ax 2 +bx+c donde los coeficientes a, b, y c son constantes numéricas. El problema consiste en determinar estos coeficientes. Así pues los parámetros a, b, y c se vuelven ahora las incógnitas. Y para poderlas determinar requerimos de ecuaciones o igualdades que deben satisfacer. Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 15/38
27 Para determinar estas ecuaciones debemos usar los puntos. Para que la función pase por el punto P(1,4) se debe cumplir que f(x = 1) = 4 Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 16/38
28 Para determinar estas ecuaciones debemos usar los puntos. Para que la función pase por el punto P(1,4) se debe cumplir que f(x = 1) = 4 es decir, se debe cumplir: a(1) 2 +b(1)+c = 4 Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 16/38
29 Para determinar estas ecuaciones debemos usar los puntos. Para que la función pase por el punto P(1,4) se debe cumplir que f(x = 1) = 4 es decir, se debe cumplir: a(1) 2 +b(1)+c = 4 es decir, se debe cumplir: a+b+c = 4 Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 16/38
30 Procediendo de igual manera con el punto Q( 1, 2): formulamos la ecuación: y para R(2,3): a b+c = 2 4a+2b+c = 3 Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 17/38
31 Resumiendo para que la función f(x) = ax 2 +bx+c pase por los puntos P, Q, y R deben cumplirse las ecuaciones: a + b + c = 4 a b + c = 2 4a + 2b + c = 3 Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 18/38
32 Resumiendo para que la función f(x) = ax 2 +bx+c pase por los puntos P, Q, y R deben cumplirse las ecuaciones: a + b + c = 4 a b + c = 2 4a + 2b + c = 3 La solución a este sistema es: a = 2 11,b = 1, y c = 3 3 Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 18/38
33 La misma situación presentada en el problema de las fracciones parciales que originaba un sistema inconsistente, se puede presentar en la determinación de funciones. Y la conclusión es similar: si el sistema originado es inconsistente lo que se concluye es que no existe una función con esa forma general que pase exactamente por los puntos dados. Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 19/38
34 Ejemplo Conociendo la solución general a una ED: y(t) = C 1 e t +C 2 e t +C 3 e 3t Determine en orden los valores de las constantes C 1, C 2, y C 3 para que se cumpla: y(0) = 0, y (0) = 1, y (0) = 2 Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 20/38
35 Ejemplo Conociendo la solución general a una ED: y(t) = C 1 e t +C 2 e t +C 3 e 3t Determine en orden los valores de las constantes C 1, C 2, y C 3 para que se cumpla: Solución y(0) = 0, y (0) = 1, y (0) = 2 y(t) = C 1 e t +C 2 e t +C 3 e 3t y (t) = C 1 e t C 2 e t +3C 3 e 3t y (t) = C 1 e t +C 2 e t +9C 3 e 3t Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 20/38
36 Usando las condiciones iniciales y las derivadas calculadas tenemos: 0 = C 1 +C 2 +C 3 1 = C 1 C 2 +3C 3 2 = C 1 +C 2 +9C 3 Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 21/38
37 Usando las condiciones iniciales y las derivadas calculadas tenemos: 0 = C 1 +C 2 +C 3 1 = C 1 C 2 +3C 3 2 = C 1 +C 2 +9C 3 La solución es: C 1 = 0, C 2 = 1/4 y C 3 = 1/4. Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 21/38
38 Balanceo de Una aplicación sencilla de los sistemas de ecuaciones se da en el balanceo de reacciones químicas. Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 22/38
39 Balanceo de Una aplicación sencilla de los sistemas de ecuaciones se da en el balanceo de reacciones químicas. La problemática consiste en determinar el número entero de moléculas que intervienen en una reacción química cuidando siempre que el número de átomos de cada sustancia se preserve. Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 22/38
40 Ejemplo Balancee la reacción química ach 4 +bo 2 cco 2 +dh 2 O Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 23/38
41 Ejemplo Balancee la reacción química ach 4 +bo 2 cco 2 +dh 2 O Solución Para determinar los coeficientes a, b, c, y d que representan el número de moléculas de las sustancias en la reacción debemos igualar el número de átomos en cada miembro: Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 23/38
42 Por los átomos de carbono Por los átomos de oxígeno a = c 2b = 2c+d Por los átomos de hidrógeno 4a = 2d Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 24/38
43 Este sistema es consistente y origina infinitas soluciones. La fórmula general para las soluciones queda: a = 1 2 d b = d c = 1 2 d Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 25/38
44 Este sistema es consistente y origina infinitas soluciones. La fórmula general para las soluciones queda: a = 1 2 d b = d c = 1 2 d El valor más pequeño de d que hace que los números de moléculas sean enteros positivos es d = 2: a = 1,b = 2,c = 1, y d = 2 Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 25/38
45 Aplicaciones a Manufactura Ejemplo Patito computers fabrica tres modelos de computadoras personales: cañon, clon, y lenta-pero-segura. Para armar una computadora modelo cañon necesita 12 horas de ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 más para instalar sus programas. Para una clon requiere 10 horas de ensamblado, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por último, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensamblado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si la fábrica dispone en horas por mes de 556 para ensamble, 120 para pruebas, y 103 horas para instalación de programas, cuántas computadoras se pueden producir por mes? Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 26/38
46 Solución En nuestro caso las incógnitas el número de cada tipo de computadora a producir: x = número de computadoras cañon y = número de computadoras clon z = número de computadoras lenta-pero-segura Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 27/38
47 Solución En nuestro caso las incógnitas el número de cada tipo de computadora a producir: x = número de computadoras cañon y = número de computadoras clon z = número de computadoras lenta-pero-segura Para determinar las ecuaciones debemos utilizar los tiempos de ensamblado, pruebas, e instalación de programas. Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 27/38
48 Ensamblado 556(total) = 12x(cañon)+10y(clon)+6z(lenta) Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 28/38
49 Ensamblado Pruebas 556(total) = 12x(cañon)+10y(clon)+6z(lenta) 120(total) = 2.5x(cañon)+2y(clon)+1.5z(lenta) Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 28/38
50 Ensamblado Pruebas 556(total) = 12x(cañon)+10y(clon)+6z(lenta) 120(total) = 2.5x(cañon)+2y(clon)+1.5z(lenta) Instalación de programas 103(total) = 2x(cañon)+2y(clon)+1.5z(lenta) Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 28/38
51 Al resolver este sistema obtenemos: x = 34,y = 4,z = 18 Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 29/38
52 Dado lo común de las aplicaciones hacia el área de manufactura, existe una forma simple de construir la matriz del sistema de ecuaciones que en general se trabaja como una tabla: En la última columna aparecen los recursos: un renglón para cada tipo de recursos y en cuya posición final se pone el total de recursos disponibles. En las primera columnas se colocan los objetos o modelos a ser ensamblados o construidos: en cada posición se coloca el total de recursos que consume en forma unitaria cada tipo de objeto. Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 30/38
53 Recursos requeridos por unidad Recurso Cañon Clon Lenta Total Ensamble Pruebas Instalación Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 31/38
54 Aplicaciones Diversas Ejemplo Un negociante internacional necesita, en promedio, cantidades fijas de yenes japoneses, francos franceses, y marcos alemanes para cada uno de sus viajes de negocios. Este año viajó tres veces. La primera vez cambió un total de $434 a la siguiente paridad: 100 yenes, 1.5 francos y 1.2 marcos por dolar. La segunda vez, cambió un total de $406 con las siguientes tasas: 100 yenes, 1.2 francos, y 1.5 marcos por dolar. La tercera vez cambió $434 en total, a $125 yenes, 1.2 francos, y 1.2 marcos por dolar. Qué cantidades de yenes, francos y marcos compró cada vez? Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 32/38
55 Solución En nuestro caso las incógnitas son las cantidades de moneda extranjera requerida que se mantuvo fija en los tres viajes: Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 33/38
56 Solución En nuestro caso las incógnitas son las cantidades de moneda extranjera requerida que se mantuvo fija en los tres viajes: x = cantidad de yenes y = cantidad de francos z = cantidad de marcos Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 33/38
57 Primera vez: 434(total) = x y z Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 34/38
58 Primera vez: Segunda vez: 434(total) = x y z 406(total) = x y z Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 34/38
59 Primera vez: Segunda vez: Tercera vez: 434(total) = x y z 406(total) = x y z 434(total) = x y z Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 34/38
60 Resolviendo el sistema anterior obtenemos: x = 10500,y = 126,z = 294 Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 35/38
61 Ejemplo Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de Calor es determinar la temperatura en estado estable de una placa delgada cuando se conocen las temperaturas alrededor de la placa. Suponga que la placa de la siguiente figura representa una sección transversal perpendicular a la placa. T CN T 1 T 2 T 3 T CO T 4 T 5 T 6 T CE T CS Sean T 1, T 2, T 3, T 4, T 5, y T 6 las tempreaturas interiores de los nodos de la red. La temperatura en un nodo es aproximadamente igual al promedio de las temperaturas de los cuatro nodos más cercanos arriba, abajo, a la derecha, y a la izquierda. Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 36/38
62 Así por ejemplo T 1 = (T CN +T 2 +T 4 +T CO )/4. Determine las temperaturas T 1 a T 6 sabiendo que T CN = 25 o, T CE = 37 o, T CS = 10 o, T CO = 31 o Reporte sólo el valor de T 2. Solución Las ecuaciones para las temperaturas de los puntos interiores a la placa T 1 a T 6 quedan: T 1 = (T CN +T 2 +T 4 +T CO )/4 T 2 = (T CN +T 3 +T 5 +T 1 )/4 T 3 = (T CN +T CE +T 6 +T 2 )/4 T 4 = (T 1 +T 5 +T CS +T CO )/4 T 5 = (T 2 +T 6 +T CS +T 4 )/4 T 6 = (T 3 +T CE +T CS +T 5 )/4 Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 37/38
63 Usando los datos de las temperaturas a los costados de la placa y convirtiendo cada ecuación a la forma canónica queda (conviene multiplicar por 4 cada ecuación): 4T 1 T 2 T 4 = 56 T 1 + 4T 2 T 3 T 5 = 25 T 2 + 4T 3 T 6 = 62 T 1 + 4T 4 T 5 = 41 T 2 T 4 + 4T 5 T 6 = 10 T 3 T 5 + 4T 6 = 47 Quedando T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 38/38
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