Sistemas, matrices y determinantes
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- Víctor Sáez Serrano
- hace 7 años
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1 .- Dd l mriz Sisems, mrices y deermies æ ö, hllr ls mrices ç è ø ) B ( + I )(( - I) -, b) C (I - )..- Comprobr que culquier mriz cudrd se puede expresr de form úic como sum de dos mrices, u siméric y or isiméric. æ ö -.- Dd l mriz l, verigur pr qué vlores del prámero λ ç è -l ø l mriz iee ivers..- Si l dimesió de ls mrices, B, C, y D so x, x, x y x respecivmee. Clcúlese l mriz X e cd u de ls siguiees ecucioes mriciles: ) [] XB+CD. [] XCB. [] XDD +CC. b) Hllr el vlor de X e los prdos eriores siedo æ - ö æ ö æ æ ö ö, B ç ç è- ø, C -, D è ø ç è- ø ç è ø 5.- Hllr dos mrices X e Y de dimesió x les que L mism cuesió pr el cso cocreo æ ö y 5 ç è ø ì ï X + Y í. ï ïî X + Y B æ ö B ç è 8 ø. æ cos se ö 6.- ) Hllr, siedo cos -. ç èse ø æ 7 ö - b) Hllr u mriz B l que B 8 8. ç è 7 ø Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
2 c) Hllr C, Î N, dode Sisems, mrices y deermies æ ö C. ç è ø 7.- Esudir l compibilidd o icompibilidd del siguiee sisem, segú los vlores del prámero resolviédolo cudo se posible: ì- 6x - 6y + ( - ) z + ï í x + ( -) y-6z + ï ïî ( - ) x + y-6z Resolver l ecució l l l l+ l+ l. l+ l + l l 9.- Us el eorem de Rouché pr explicr qué ipo de sisem de ecucioes lieles: ) Cosiuye ls ecucioes de res recs e el plo que deermie u riágulo. b) Cosiuye ls ecucioes de res plos e el espcio que deermie u eredro..- L mriz, cudrd de orde res verific l ecució + B co æ 7ö B, se puede segurr que l mriz es regulr? ç è ø.- Exise lgu mriz regulr de orde impr l que -?.- Clcúlese el rgo de ls siguiees mrices medie el méodo de los æ- 6 7 ö æ 5ö meores , B ç è -5 - ø ç è - ø Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
3 Sisems, mrices y deermies.- Se, B Î M (R), co y B -. Clculr los deermies siguiees: B, -, 5,, B y - B..- Se B y (B - I) mrices de orde res iversibles. ì BX Y B ) Resolver el siguiee sisem mricil ï + í. ï ïî B X + BY b) Hllr X e Y pr el cso cocreo B. 5.- Se X, C y D res mrices de orde. Supoiedo que l mriz -I es iversible, despejr X e l ecució: X + C D + (X ). 6.- Hllr l ivers de l mriz de mrices elemeles. 5 y escribir como produco 7.- L mriz 5 6 es iverible? 8.- Hllr el rgo de l mriz Esudir si exise lgu mriz de dimesió x lque I es l mriz uidd de orde. I, dode.- Comprobr que el vlor de u deermie de Vdermode es: Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
4 Sisems, mrices y deermies... b c... p b c... p b c... p (b )(c )...(p ) (c b)...(p b) Discuir, e fució del prámero, el siguiee sisem de ecucioes x + y + z x + y + z - lieles x-y + ( + ) z --5 x + y + ( + 6) z ) Resolver el sisem liel siguiee X B medie el méodo de Guss: x 5 y 7 5 z M R l que C se u mriz rigulr superior equivlee por b) Hllr C ( ) fils..- Se l mriz ; se pide: b ) Esudir el rgo de e fució de los prámeros reles y b. b) Pr b, cosideremos el sisem de ecucioes lieles X B, dode B. Discuir el sisem segú los vlores del prámero y resolverlo pr. c) Clculr l ivers de -I pr b..- Se y B mrices cudrds de orde. Probr que si I-B es iverible, eoces I-B mbié es iverible y que ( ) + ( ) I B I B I B. No: I es l mriz uidd de orde. Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
5 Sisems, mrices y deermies 5.- Se u mriz cudrd de orde l que + + I. Eoces es iverible. 6.- Ecorr el cojuo de mrices que comu co l mriz. 7.- Demosrr que l mriz, N. verific l relció: 8.- Dd l mriz hllr, N. 9.- Hllr p y q pr que se verifique l ecució: + p + qi () siedo e I..- Resolver l siguiee ecució mricil C+XDB-EX siedo + E..- Hllr ls mrices iverss de ls siguiees mrices: 5 7 cos x sex sex cos x, B 6, C. 5.- Probr que y so siempre mrices simérics. Es comuivo el produco erior? Mosrr mbié que + es siméric, si es cudrd; qué sucede co?.- ) Si B es u mriz isiméric, qué se puede decir de C B? b) Si y B so mrices simérics, qué se puede decir de B-B? Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C. 5
6 Sisems, mrices y deermies.- ) Hllr l ivers de 5 b) Escribir como produco de 9 mrices elemeles. 5.- Sbiedo que ls mrices, X e Y so de orde 7 y que el deermie de es igul k, se pide: ) Clculr los deermies de,, -, -, +. X + Y b) Supoiedo que -I se iverible, resolver el sisem: X + Y c) Resolver l siguiee ecució mricil siedo B, C mrices de orde7: X X + C (X + B) + X ( ) 6.- Se, se pide: ) Clculr, y dr l expresió geerl de. b) Comprobr que + I. c) Obeer Se u mriz orogol ( - ). Se pide: ) Esudir si - y so mbié mrices orogoles. b) Hllr. c) Si B es or mriz orogol del mismo orde que, esudir si B es orogol. 8.- Discuir, segú los vlores de los prámeros y b, el siguiee sisem de ecucioes. Resolverlo pr b. x x -x x 5 x + x + x + x + x5 x + x + x + x5 6 x + x + x + x 5 b 9.-) Resolver el sisem mricil siguiee: X + Y I X + Y O Qué codició h de cumplirse pr que el sisem erior se compible? 6 Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
7 Sisems, mrices y deermies b) L mriz solució X puede verificr X? c) Resolver el sisem de ecucioes lieles: x + y + z + x + y + z x + y + z +.- ) Esudir el rgo de l mriz M segú los vlores de b y b. b) Resolver el sisem de ecucioes lieles cuy mriz mplid es M e los csos e que se compible..- Dd l mriz 7 hllr: ) E fució de los vlores p y q, u mriz X l que b) U mriz Y l que Y + Y. c) U vlor de λ l que λ I. d) El vlor de los deermies siguiees: 5, 5,,,, +. X p q..- Se, B, X, e Y M ( ) + R mrices iversibles que verific el sisem: X Y YX ( B) X Se pide: ) Hllr X ey. b) Resolverlo pr el cso cocreo: y B.- ) Clculr ls mrices cudrds de orde, X e Y, que sisfce ls ecucioes siguiees: X + Y B X - Y C b) Si X e Y so ls mrices eriores, clculr, e fució de B y C, l mriz Z defiid por: Z (X + Y) X (X + Y)(Y) Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C. 7
8 Sisems, mrices y deermies.- Sbiedo que ls mrices X e Y so de dimesió x y verific el 6 5X Y sisem X + Y B e el que y B 8 7, hllr dichs 7 7 mrices X e Y. h Dd l mriz h B, se pide: h + h +. Hllr el rgo de B pr los disios vlores de h b. Clculr pr qué vlores de h exise l mriz ivers de B. c. Pr qué vlores de h l mriz B es orogol? BX + Y B d. Pr el vlor h, resolver el sisem mricil siguiee: B X + BY I 6.- ) Demosrr que (B) - B - -, siedo y B mrices iversibles del mismo orde. b) Cosideremos l ecució mricil [I-(B) ]X-(C-I) - DX- B X, siedo,b,c,d mrices cudrds de orde e I l mriz uidd del mismo orde. i) Despejr X. ii) Qué codició h sido ecesri pr poder despejr X? iii) Hllr X, si es posible, e cd uo de los siguiees csos. - - ) C y D ) C y D ) Discuir el siguiee sisem segú los disios vlores de : ( ) x + ( + ) y + ( + ) z x + y ( + ) x + ( + ) y + ( ) z + 9 b) Resolver el sisem pr el vlor de que hce l sisem compible ideermido. c) Pr el vlor de del prdo erior rzor cuál es el míimo úmero de ecucioes lielmee idepediees y qué ecució o ecucioes so combició liel del reso. Hy lgu solució e l cul x? 8 Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
9 Sisems, mrices y deermies 8.- Se, B, C, X mrices cudrds de orde. Se pide resolver l siguiee ecució mricil idicdo, cudo se preciso, ls codicioes que debe cumplir ls mrices que vy surgiedo pr poder despejr l icógi X: ( + B X ) - ( - B ) (C X)B - ( B - ) 9.- ) Discuir y resolver, segú los vlores de m, el sisem siguiee: x + y + z mx + y z m x + my + z m b) Hllr, pr m, l solució priculr l que y. 5.- Ddo el sisem x + y + z + Se pide: x + y + z + b ) Discuirlo segú los vlores de y b. x + y + z + b ) Resolverlo cudo se compible. x + y + z + b 5. ) Dd l ecució mricil B (X - D) C+ X, dode, B, C, D y X so mrices cudrds de orde, obeer l mriz X, sbiedo que, B y (B-I) iee ivers. Siedo I l mriz ideidd de orde. b) Hllr dos mrices X e Y de dimesió x les que cumpl que X + Y X + Y B siedo y B dos mrices culesquier de l mism dimesió x. x + y + z c) Ddo el sisem de ecucioes lieles x y + z se pide, x z esudir ls solucioes del sisem e fució del prámero. 5.- ) E el siguiee sisem de ecucioes mriciles formdo por mrices cudrds de orde, se pide obeer ls mrices X e Y X + Y I X + Y O Siedo I l mriz ideidd de orde y l mriz ul de orde. Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C. 9
10 Sisems, mrices y deermies b) Dd l ecució mricil B(X+D)-C+BX, dode ls mrices,b,c y D so mrices cudrds iversibles, se pide obeer l mriz X. x + y + z c) Ddo el sisem de ecucioes lieles x y + z y Discuir ls solucioes del sisem e fució de los vlores del prámero. 5.- L mriz es ilpoee de orde ( ) y l mriz B I +. Demosrr que B - I Dd l ecució mricil X +X, dode, obeer l mriz X Probr que si I-B es iversible, eoces l mriz I-B mbié lo es y verific: (I-B) - I+B(I-B) Se, B, C, X mrices cudrds de orde. Se pide resolver l siguiee ecució mricil idicdo, cudo se preciso, ls codicioes que debe cumplir ls mrices que vy surgiedo pr poder despejr l icógi X: ( + XB) - ( - B) (C X)B - (B - ) Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
11 .- Dd l mriz Solució: Sisems, mrices y deermies æ ö, hllr ls mrices ç è ø ) B ( + I )(( - I) -, b) + I, ( I) C (I - )., ) B ( + I)( I). b) C (I ) ( ) ( I) ( I) ( I) Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
12 Sisems, mrices y deermies.- Comprobr que culquier mriz cudrd se puede expresr de form úic como sum de dos mrices, u siméric y or isiméric. Solució: Se M +B siedo, u mriz siméric ( ) y B u mriz isiméric (B -B), por o M +B M + B -B que resolviedo el sisem se obiee M B M+ M M M y B. M+ M MM Eoces podemos escribir M +, M+ M M ( M ) M+ M + M M siedo siméric, pueso que + M ( M ) MM M M isiméric, y que. y M M L descomposició es úic: Si fuer M + B + B siméric B isimér B ic, siedo l difereci de mrices l vez siméric y isiméric, pero l úic mriz siméric y isiméric simuláemee es l mriz ul. sí pues, y B B 5 Ejemplo. Si M 6, eoces 7 7/ 5/ ( M + M ) 7/ / 5/ / 7 B / 5/ ( M M ) / 9/. 5/ 9/ Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
13 .- Dd l mriz l mriz iee ivers. Solució: Sisems, mrices y deermies æ ö - l, verigur pr qué vlores del prámero λ ç è -l ø λ ( λ)( λ) λ λ λ Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
14 Sisems, mrices y deermies.- Si l dimesió de ls mrices, B, C, y D so x, x, x y x respecivmee. Clcúlese l mriz X e cd u de ls siguiees ecucioes mriciles ) [] XB+CD. [] XCB. [] XDD +CC. b) Hllr el vlor de X e los prdos eriores siedo æ - ö æ ö æ æ ö ö, B ç ç è- ø, C -, D è ø ç è- ø ç è ø Solució: ) Si exise - y B - eoces, [] - X ( D C) B. [] b) [] - ( ) [] - X CB. X ( DD + CC ) 7/ / 5 X (D C)B X CB [] ( ) [] X ( DD + CC ) 7 6 D.. ( C) ( ). 7/ / ( DD + CC ) / / B CB 5. 8, Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
15 Sisems, mrices y deermies ì X Y 5.- Hllr dos mrices X e Y de dimesió x les que ï + í. ï ïî X + Y B æ ö L mism cuesió pr el cso cocreo æ ö y B 5 ç è 8 ø. ç è ø Solució: 6X + Y X + Y B e e X B X ( B). 6X + Y X + Y B e+ 6e Y 8 + 6B Y ( 8 + 6B). X, / Y / Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C. 5
16 Sisems, mrices y deermies æ cos se ö 6.- ) Hllr, siedo cos -. ç èse ø æ 7 ö - b) Hllr u mriz B l que B 8 8. ç è 7 ø æ ö c) Hllr C, Î N, dode C. ç è ø Solució: ) cos α seα cos α seα cos α seα seα cos α cos α seα cos α cos αseα seα seα cos αseα se α cos α seα seα cos α cos α seα cos α cos αseα seα seα cos αseα se α b) Ls poecis de u mriz rigulr es u mriz rigulr. b B c, b b b + c B c c 5c 9 B b b + c 7 b + 6 c c 5c 8 9c 9 7 B b. c 6 Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
17 Sisems, mrices y deermies Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C. 7 c) C,,,, Vemos que... ( ) C Por iducció. Se verific pr. Supoemos que se verific pr, y probmos que se verific pr +. ( ) ( ) C CC C C 6 C
18 Sisems, mrices y deermies 7.- Esudir l compibilidd o icompibilidd del siguiee sisem, segú los vlores del prámero resolviédolo cudo se posible: ì- 6x - 6y + ( - ) z + ï í x + ( -) y-6z + ï ïî ( - ) x + y-6z + Solució: 6 6 Esudimos l mriz de los coeficiees 6 cuyo deermie es iguldo cero se obiee ls ríces so - y 7. er cso: 6 6 ( ) 6 6 Si -, resul r ( ) 6 r 6 icompible ( ) 6 6 º cso: 6 6 (7) Si 7, resul r (7) 6 r 5 6 compible (7) α x 6x 6y -6z + α ideermido. Resolviedo el sisem equivlee: y x 5y - 6z + z α er cso Si y 7 x r 6 sisem compible deermido, es decir, solució úic y 6 + z + 8 Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
19 8.- Resolver l ecució Solució: Sisems, mrices y deermies l l l l+ l+ l l+ l + l l. λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ( λ ) ' λ+ λ+ λ ci cici λ λ λ λ+ λ λ+ λ + λ λ λ λ λ λ λ λ 5 λ+ 6 ( λ ) ( λ ) ( λ ) λ. λ λ ' ci cic Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C. 9
20 Sisems, mrices y deermies 9.- Us el eorem de Rouché pr explicr qué ipo de sisem de ecucioes lieles: ) Cosiuye ls ecucioes de res recs e el plo que deermie u riágulo. b) Cosiuye ls ecucioes de curo plos e el espcio que deermie u eredro. Solució: ) Se ls res recs: r x+ y b, s x+ y b, x+ y b co ( i, i ) (, ) i,, E ol eemos res ecucioes lieles que form u sisem icompible (ls recs o iee igú puo e comú). b Cosiderdo: r() r(*) b b r() ; y r(*) el sisem es icompible y demás ods ls submrices de orde x so de rgo dos. Ls recs se cor dos dos. b) Se los plos: α x + x + x co (,, ) (,,) ; β bx + bx + bx b co (b, b, b) (,,) ; γ cx + cx + cx c co (c,c,c) (,,) δ dx+ dx + dx d co (d,d,d ) (,,) cosiderdo: b b b r() r b b b b r(*) r c c c c c c c d d d d d d d r() ; y r(*) el sisem es icompible y los curo plos o iee igú puo e comú, demás ods ls submrices de orde x so de rgo res. Los plos se cor dos dos. Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
21 Sisems, mrices y deermies.- L mriz, cudrd de orde res verific l ecució + B co æ 7ö B, se puede segurr que l mriz es regulr? ç è ø Solució: B B B ( + I) + B + I. Sí Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
22 Sisems, mrices y deermies. Exise lgu mriz regulr de orde impr l que Solució: reles. Luego o exise l mriz. -?, y eso, es bsurdo e los úmeros Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
23 Sisems, mrices y deermies.- Clcúlese el rgo de ls siguiees mrices medie el méodo de los meores. æ- 6 7 ö æ 5ö , B ç è -5 - ø ç è - ø Solució: ; 5 8 ; rgo() ; ; 7 ; rgo(b). Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
24 Sisems, mrices y deermies.- Se, B Î M (R), co y B -. Clculr los deermies siguiees: B, Solució: B B. -, 5,, B y - B B B. ( ) B B. Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
25 Sisems, mrices y deermies.- Se B y (B I) mrices de orde curo iversibles. Solució: ) ) Resolver el siguiee sisem mricil b) Hllr X e Y pr el cso cocreo [ ] [ ] BX + Y B B X + BY. B. BX + Y B Y B BX, susiuyedo [] e [] se obiee B X+ BY B X+ Y B B X + B B BX B X + B BX BX + I X B I X I ( ) ( ) B B (BI) X (B I) Susiuimos ese resuldo e l ecució [] y obeemos Y B( I + (B I) ) b) B ; B I ; ( ) B I X Y B( I + (B I) ) Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C. 5
26 Sisems, mrices y deermies 5.- Se X, C y D res mrices de orde. Supoiedo que l mriz -I es iversible, despejr X e l ecució: X + C D + (X ). Solució: X + C D + (X ) X C D X + + X+ C D+ X ( I ) X D C y como I- es iversible, muliplicdo por l izquierd por l mriz (I ) e l ecució erior, se iee ( ) X ( I ) D C 6 Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
27 6.- Hllr l ivers de l mriz de mrices elemeles. Solució: Sisems, mrices y deermies 5 y escribir como produco co E y E se obiee: 5 co E / y E se obiee: 5 / co E5 se obiee: / / co E6 y E7 se obiee: / / / / / / / 5/6 / co E8 se obiee: / / / / 7/6 / / 5/6 / / / / y escribir como produco de mrices elemeles. EEEEEEEE (EEEEEEEE) E E E E E5 E6 E7 E8 Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C. 7
28 7.- L mriz Solució: Sisems, mrices y deermies es iverible? 5 6 I ' f ff ' 5 6 f f+ f ' f ff, ( ) Observmos que l mriz o es iversible pues hy u fil formd por ceros que idic que el deermie de l mriz cudrd es ulo. 8 Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
29 Sisems, mrices y deermies Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C Hllr el rgo de l mriz Solució: ' 5 ' ' ' f f f f f f f f f f f f ' 5 ' ' f f f f f f f f f ' f f f por o, rgo().
30 Sisems, mrices y deermies 9.- Esudir si exise lgu mriz de dimesió x lque I es l mriz uidd de orde. Solució: I, dode d + d b + de c + df b c d e f c f c + df bc + ef c + f b e b de b e bc ef + d cos α b + e d s eα c + f b cos α α, α, α R/ b + de e seα c + df c cos α bc + ef f s e α π π cos αcos α + seαseα cos α α α α ± ó ±. demás, b+de ( ) π π álogmee: cos αcos α + seαseα cos( α α) α α ± ó ±. π π cos αcos α + seαseα cos( α α) α α ± ó ±. Pero, α α ( α α ) + ( α α ) α α ±π ± π Luego o exise l mriz. y o coicide co π π ± ó ±, bsurdo. Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
31 Sisems, mrices y deermies.- Comprobr que el vlor de u deermie de Vdermode es:... b c... p Solució: b c... p b c... p (b )(c )...(p ) (c b)...(p b) Resdo e cd fil l erior muliplicd por el deermie qued: b c... p b c... p b c... p b( b ) c( c )... p( p ) b c... p b ( b ) c ( c )... p ( p )... b c... p (b )(c )...(p ) b c... p b c... p ese úlimo deermie mbié es de Vdermode; efecudo e él el mismo proceso y sí sucesivmee se obiee el resuldo buscdo. Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
32 Sisems, mrices y deermies.- Discuir, e fució del prámero, el siguiee sisem de ecucioes lieles x + y + z x + y + z - x-y + ( + ) z --5 x + y + ( + 6) z - 8 Solució: L mriz de los coeficiees es de orde x y l mriz mplid * de orde x puede ser de rgo * ( ) +. Podemos disiguir res csos:. Si y r(*)>r() SISTEM INCOMPTIBLE. r r ; r( ) r <úmero de icógis SISTEM COMPTIBLE INDETERMINDO. *. Si ( ) r r ; r( ) r úmero de icógis. SISTEM COMPTIBLE DETERMINDO. *. Si ( ) Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
33 Sisems, mrices y deermies.- ) Resolver el sisem liel siguiee X B medie el méodo de Guss: x 5 y 7 5 z M R l que C se u mriz rigulr superior equivlee por b) Hllr C ( ) fils. Solució: 5 5 ) E E E E siedo E f f siedo E f f siedo E f siedo E f f E5 6 6 siedo E5 f f 5 7 x z 5 Por o, el sisem equivlee: y + z 6, cuy solució será x-; y; z z b) Si llmmos l mriz de los coeficiees del sisem erior, hllr u mriz C l que C se u mriz rigulr superior equivlee e fils. EEEEE 5 C EEEEE Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
34 Sisems, mrices y deermies.- Se l mriz ; se pide: b ) Esudir el rgo de e fució de los prámeros reles y b. b) Pr b, cosideremos el sisem de ecucioes lieles X B, dode B. Discuir el sisem segú los vlores del prámero y resolverlo pr. c) Clculr l ivers de -I pr b. Solució: ) Pr resolver el clculo del rgo obeemos el vlor del deermie de : ( b + b) e igulmos cero b b +. Podemos disiguir los siguiees csos: b b b. Si, b r().. Si ; co r().. Si b ; r(). ( b b) x b) Pr b el sisem qued: y. Por el prdo erior: z * Si r() y l mriz mplid r( ) el sisem es compible deermido. Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
35 Sisems, mrices y deermies * Si r() y l mriz mplid r( ) <º de icógis el sisem es compible ideermido. x+ z El sisem pr es x X z z y. c) Pr b qued 6 y l mriz I co I 8 iee 9 9 ivers y por djuos eemos que: 9 9 I I I I ( ) ( I) ( I) ( I) ( ) ( ) ( ) ( I) ( I) ( I) I Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C. 5
36 Sisems, mrices y deermies.- Se y B mrices cudrds de orde. Probr que si I-B es iverible, eoces I-B mbié es iverible y que ( ) + ( ) I B I B I B. No: I es l mriz uidd de orde. Solució: Demosremos que: ( I B) ( I B) I. ( I B) ( I B) ( I + B( I B) )( I B) ( I B) + B( I B) ( I B) ( I B) + B( I B) ( B) ( I B) + B( I B) (I B) I B + B I Pueso que ( I B) ( I B) I ser úic, se cumple ( I B)( I B) I, podemos segurr que I B, luego exise ivers y por.. 6 Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
37 Sisems, mrices y deermies 5.- Se u mriz cudrd de orde l que + + I. Eoces es iverible. Solució: De l ecució + + I se iee que + I ( + I) I y omdo deermies e l ecució erior + I I ( ) ± y por o y + I. Luego es u mriz iverible. Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C. 7
38 Sisems, mrices y deermies Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C Ecorr el cojuo de mrices que comu co l mriz. Solució: Buscremos mrices cudrds X les que XX. Si d b c X se iee que: d d b c c d c b c d b c d b c X X, dé dode resul el sisem d d c d b b c c c cuy solució es d y c y ls mrices que comu co so de l form b X, es decir R b, / b X
39 Sisems, mrices y deermies Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C Demosrr que l mriz verific l relció:, N. Solució: Uilizremos el méodo de iducció, evideemee se cumple pr y pr ocurre que:. Supueso que se cumple pr, N,, se demuesr pr +: +.
40 Sisems, mrices y deermies Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C. 8.- Dd l mriz hllr, N. Solució: Pr se iee que:. Pr se iee que: 7. hor podemos supoer que y demosrr pr + que sigue l regl erior, +.
41 Sisems, mrices y deermies Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C. 9.- Hllr p y q pr que se verifique l ecució: + + p qi () siedo e I. Solució: Susiuyedo e l ecució ) ( qi p + + se iee que: + + q p + + q q p p p p q p 5 p p q p q p 5 p p q p 5 y resolviedo el sisem se obiee p- y q.
42 Sisems, mrices y deermies.- Resolver l siguiee ecució mricil C+XDB-EX siedo + E. Solució: E l ecució C+XDB-EX grupmos ls expresioes que iee l icógi X queddo X+EXDB-C, plicdo l propiedd disribuiv por l derech (+E)XDB-C; por hipóesis + E ( + E) y muliplicdo por l ivers por l izquierd e l úlim ecució ( + E) (+E)X ( + E) (DB-C) X ( + E) (DB C). Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
43 Sisems, mrices y deermies.- Hllr ls mrices iverss de ls siguiees mrices: 5 7 cos x sex sex cos x, B 6, C. 5 Solució: Primermee clculmos el deermie de l mriz dd, cos x sex cos x ( se x) cos x + se x, x sex cos x Luego exise l mriz ivers de y será: cos x sex sex cos x cos x sex sex cos x y se dice que es u mriz orogol. que e ese cso ocurre que 5 7 B 6. E ese cso uilizremos el méodo de Guss pr obeer l 5 ivers medie combicioes lieles de ls fils de l mriz dd B. Cosidermos l mriz B mplid co l mriz uidd de orde que es l que se quiere coseguir: 5 7 6, si muliplicmos l fil primer por y se res l segud y e l ercer fil le resmos los 5/ de l primer obeemos: 7 ; hor es l ercer fil 9/ por l fil segud 7 ; l fil ercer por queddo ; e lugr de l segud fil se poe 7 veces l fil ercer más l 7 9 segud fil ; 7 9 dividiedo por l segud Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
44 Sisems, mrices y deermies Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C. fil ; primer meos 7 veces ercer ; primer meos 5 veces segud ; y por úlimo dividiedo por l primer Resuldo l mriz ivers de B: B. Pr C uilizremos el méodo de Guss: ; ; ;
45 Sisems, mrices y deermies Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C. 5 ; ; ; C
46 Sisems, mrices y deermies Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C. 6.- Probr que y so siempre mrices simérics. Es comuivo el produco erior? Mosrr mbié que + es siméric, si es cudrd; qué sucede co? Solució: Por defiició X es u mriz siméric si X X, pr se iee que: ( ) ( ) y pr resul que ( ) ( ). E geerl o es comuivo el produco erior, bse cosiderr u corejemplo: pues resul 6 y que evideemee o puede ser igules. hor l mriz es cudrd pr poder efecur l sum co su rspues, e cuyo cso ( ) ( ) luego + es siméric; y ( ) ( ) ) ( cumple que l rspues coicide co l opues que sigific que - es isiméric.
47 Sisems, mrices y deermies.- ) Si B es u mriz isiméric, qué se puede decir de C B? b) Si y B so mrices simérics, qué se puede decir de B-B? Solució: C ) B es isiméric B B. Y como C B eemos que: ( B) B B B B luego C es isiméric. ( ) ( ) C B es isiméric b) Por ser y B mrices simérics se cumple que y B B y eoces (B B) B B B B (B B) B B es isiméric. Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C. 7
48 Sisems, mrices y deermies Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C. 8.- ) Hllr l ivers de 5 9 b) Escribir como produco de mrices elemeles. Solució: 9 5 f f f f f f 5, luego o es iverible y o puede escribirse como produco de mrices elemeles.
49 Sisems, mrices y deermies 5.- Sbiedo que ls mrices, X e Y so de orde 7 y que el deermie de es igul k, se pide: ) Clculr los deermies de,, -, -, +. X + Y b) Supoiedo que -I se iverible, resolver el sisem: X + Y c) Resolver l siguiee ecució mricil siedo B, C mrices de orde 7: X X + C (X + B) + X Solució: ( ) ) k ; 7 7 k ; k ; 7 7 k k 7 k ; + 7 k. b) Sbemos que es iverible pues k. E el sisem muliplicmos por l mriz l X + Y (X + Y) X + Y primer ecució: resmos ls X + Y ( ) X + Y ( ) X + Y ( ) ecucioes X X (X X) (I )X I X (I ). hor de l segud ecució: X + Y Y X (I ) ( I) c) E l ecució X X + C (X + B) + X desrrollmos el préesis X X + C X + B + X grupmos los sumdos co icógis X X X X B C queddo X B C scdo fcor comú eemos X (B C) y como es iverible muliplicdo por l ivers de X (B C) X B C y, por úlimo, despejdo X X (B C) (C B). Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C. 9
50 Sisems, mrices y deermies Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C Se, se pide: ) Clculr, y dr l expresió geerl de. b) Comprobr que + I. c) Obeer -. Solució: ) 6 Pr geerlizr debemos cosiderr l sucesió (+)/ eoces: + ) ( uilizdo l demosrció por iducció: cosidermos que se cumple pr y lo demosrmos pr +: ) ( ) ( b) I c) f f f f f f, luego.
51 Sisems, mrices y deermies 7.- Se u mriz orogol ( - ). Se pide: ) Esudir si - y so mbié mrices orogoles. b) Hllr. c) Si B es or mriz orogol del mismo orde que, esudir si B es orogol. Solució: ) ( ) ( ) ( ) es orogol. ( ) ( ) ( ) es mbié orogol. b) ±. c) ( ) ( ) B B B B B es u mriz orogol. Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C. 5
52 Sisems, mrices y deermies 8.- Discuir, segú los vlores de los prámeros y b, el siguiee sisem de ecucioes. Resolverlo pr b. x x -x x 5 x + x + x + x + x5 x + x + x + x5 6 x + x + x + x 5 b Solució: 6, 6, 6, b ( ) ( ) Cso : r() r( ) < úmero de icógis Sisem Compible Ideermido. Cso : r (), cuál es el r( )? b 6 b 6 7 b 8 6 ( b ) b Cso : y b r () y r( ) Sisem Icompible. Cso b : y b r () r( ) < úmero de icógis Compible Ideermido. Solució pr el cso y b : - - -x + x + x x + x x + x x - - x + x - - x + x 6-x x x + x x5 7 x5 x x + x + x 5 x + x x 6 x + x x x x 5 x x x 5 Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
53 Sisems, mrices y deermies 9.-) Resolver el sisem mricil siguiee: X + Y I X + Y O Qué codició h de cumplirse pr que el sisem erior se compible? b) L mriz solució X puede verificr X? c) Resolver el sisem de ecucioes lieles: x + y + z + x + y + z x + y + z + Solució: X + Y I ), despejdo e l segud ecució Y X y susiuyedo e l primer X + Y O X-6XI, por o (-6I)XI, si supoemos que exise (-6I) - obeemos: - X (-6I ) - Y (-6I ) b) ; No - X (-6I ) -6I c) f f f+ f x + z + z por o, z, x- pr culquier vlor de y. Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C. 5
54 Sisems, mrices y deermies.- ) Esudir el rgo de l mriz M segú los vlores de b y b. b) Resolver el sisem de ecucioes lieles cuy mriz mplid es M e los csos e que se compible. Solució: ff ff ) b b+ b+ Si b - eoces rgo(m). Si b - eoces rgo(m). b) L solució l sisem cuy mriz mplid se M es: x+ z x z y λ ( )z b + z 5 Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
55 .- Dd l mriz Sisems, mrices y deermies 7 hllr: ) E fució de los vlores p y q, u mriz X l que b) U mriz Y l que Y + Y. c) U vlor de λ l que λ I. d) El vlor de los deermies siguiees: 5, 5,,,, +. p X q. Solució: ) 7,, 7, 7 p X q 7 p q p + q b) c) + ( + I) Y ( + I) Y I Y ( I) Y Y λ 9 ± 7 λ λ λ+ λ. 7λ I 9 +. d), ( ), Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C. 55
56 Sisems, mrices y deermies.- Se, B, X, e Y M ( ) + X Y YX ( B) X Se pide: ) Hllr X e Y. b) Resolverlo pr el cso cocreo: R mrices iversibles que verific el sisem: y B Solució: X + Y Y X ) X X ( B) X + YX ( B) X ( X ) X ( B) X I ( B) X ( B) ( B)( B) X X X B I ( ) Y X B B B b) X B Y B 56 Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
57 Sisems, mrices y deermies.- ) Clculr ls mrices cudrds de orde, X e Y, que sisfce ls ecucioes siguiees: X + Y B X - Y C b) Si X e Y so ls mrices eriores, clculr, e fució de B y C, l mriz Z defiid por: Z (X + Y) X (X + Y)(Y) Solució: ) Muliplicdo l primer ecució por y sumdo ls ecucioes X + Y B X Y C 5X B + C X B+ C 5 5 Muliplicdo l segud ecució por - y sumdo ls ecucioes X + Y B -X + Y C 5Y B C Y B C 5 5 b) Z ( X + Y) X ( X + Y)( Y) ( X + Y)( X Y) B+ C+ B C B+ C B+ C BC X Y X Y Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C. 57
58 Sisems, mrices y deermies.- Sbiedo que ls mrices X e Y so de dimesió x y verific el 6 5X Y sisem X + Y B e el que y B 8 7, hllr dichs 7 7 mrices X e Y. Solució: 5X Y 5X Y X B + X + Y B X + Y B 8 ( ) 5 X ( + B ) Y ( 5X ) 5 ( + B ) + B e uesro cso: X, 5 Y 58 Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
59 Sisems, mrices y deermies h Dd l mriz h B, se pide: h + h +. Hllr el rgo de B pr los disios vlores de h b. Clculr pr qué vlores de h exise l mriz ivers de B. c. Pr qué vlores de h l mriz B es orogol? BX + Y B d. Pr el vlor h, resolver el sisem mricil siguiee: B X + BY I Solució: ) h+ h+ h ( + ) h+ h h B h h + Si h es disio de - o disio de, eoces r(b) + + Si h-, eoces 6 rgo(b) rgo Si h, eoces rgo(b) rgo + + b) Si h es disio de - o disio de, eoces exise l mriz ivers, y que h+ h+ B h ( h+ ) h+ h+ c) B es u mriz orogol si y sólos BB I Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C. 59
60 Sisems, mrices y deermies h+ h+ h+ h+ BB h+ h+ h+ h+ h + h + (h + ) (h + ) (h + ) (h + ) h + h + (h + ) (h + ) I (h + ) (h + ) h + h + (h + ) (h + ) (h + ) (h + ) h + h + h + h + IMPOSIBLE! (h + ) h Pr igú vlor de h puedes ser B u mriz orogol. d) BX + Y B resmos ls ecucioes BX+ Y I BX B X B I (B B )X B I X (B B ) ( B I). hor de l segud ecució: B X+ Y I Y I B X IB (BB ) ( B I) Pr el vlor de h: ( ) ( ) X (B B ) B I Y IB(BB) B I B B B B ( ) B B X Y Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
61 Sisems, mrices y deermies 6.- ) Demosrr que (B) - B - -, siedo y B mrices iversibles del mismo orde. b) Cosideremos l ecució mricil [I-(B) ]X-(C-I) - DX- B X, siedo,b,c,d mrices cudrds de orde e I l mriz uidd del mismo orde. i) Despejr X. ii) Qué codició h sido ecesri pr poder despejr X? iii) Hllr X, si es posible, e cd uo de los siguiees csos. - - ) C y D ) C y D Solució: ) ( B)( B ) ( BB ) I I b) i) X B X ( C I) DX B X ( I D) X ( C I) ( ) X I D ( C I) ii) H sido ecesrio que l mriz I-D se iversible. iii) Cso : I D X Cso : I D o es iversible por eer deermie ulo, luego o es posible despejr X. Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C. 6
62 Sisems, mrices y deermies 7.- ) Discuir el siguiee sisem segú los disios vlores de : ( ) x + ( + ) y + ( + ) z x + y ( + ) x + ( + ) y + ( ) z + 9 b) Resolver el sisem pr el vlor de que hce l sisem compible ideermido. c) Pr el vlor de del prdo erior rzor cuál es el míimo úmero de ecucioes lielmee idepediees y qué ecució o ecucioes so combició liel del reso. Hy lgu solució e l cul x? Solució: ) ( ) x + ( + ) y + ( + ) z + ( + ) x x + y ( + ) y ( + ) x ( ) y ( ) z 9 + z plicmos el eorem de Rouché-Fröbeius pr discuir el sisem. + ( + ) ()( ) + Pr, ls mrices de los coeficiees y mplid so: rgo y rgo 9 Luego pr el sisem es icompible. Pr, ls mrices de los coeficiees y mplid so: rgo y rgo 8 Luego pr el sisem es compible ideermido co u grdo de liberd. Pr, ls mrices de los coeficiees y mplid so: rgo y rgo 6 Luego pr el sisem es 5 icompible. Pr el reso, es decir, pr,y y el rgo de es y por o, compible deermido. 6 Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
63 b) y + z x y + z x + y y x + y x + y 8 z Sisems, mrices y deermies c) E el prdo ) hemos obeido que pr el rgo de l mriz de los coeficiees rgo de l mriz mplid, luego el máximo úmero de ecucioes lielmee idepediees es. Observmos que l ercer ecució es veces l segud, luego el sisem es equivlee l formdo por ls dos primers ecucioes. Susiuimos el vlor de x e el sisem equivlee y resolvemos el sisem e y, z. y + z y + z y + z y x+ y z x+ y + y y x y 8 + x y z Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C. 6
64 Sisems, mrices y deermies 8.- Se, B, C, X mrices cudrds de orde. Se pide resolver l siguiee ecució mricil idicdo, cudo se preciso, ls codicioes que debe cumplir ls mrices que vy surgiedo pr poder despejr l icógi X: ( + B X ) - ( - B ) (C X)B - ( B - ) Solució: plicremos ls siguiees propieddes ( + B)C C + BC (B) B, ( ) (B) - B - -, ( - ) - ( ) - ( - ) Supoemos que exise o - como B - plicdo ls propieddes correspodiees meciods quimos los préesis e l ecució dd y se obiee: + XB - B( - ) CB XB - B( ) - y como ( ) - ( - ) + XB CB XB, sumdo XB mbos miembros y resdo XB CB -, muliplicdo por B - l derech de mbos miembros XBB - CBB - - B - X C- B - y muliplicdo por / mbos miembros: X (C - B - )/ 6 Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
65 Sisems, mrices y deermies 9.- ) Discuir y resolver, segú los vlores de m, el sisem siguiee: x + y + z mx + y z m x + my + z m b) Hllr, pr m, l solució priculr l que y. Solució: ) Discuir segú los vlores de m, el sisem propueso: x + y + z x mx+ y z m m y m x+ my+ z m m z m l rrse de u sisem de ecucioes co icógis hllmos, e primer lugr, el deermie de l mriz de los coeficiees (llmremos B l mriz mplid) m m 8 m m Discusió: i) Pr m - y m rgo () rgo ( B), luego el sisem es compible deermido y su solució es: m m x x m+ x m+ m m y m y m m m m y + m z m z m m m+ m m z m+ m+ ii) Si m - r x y, luego pr m- el sisem es z r icompible. iii) Si m x y, rgo () rgo (*) < úmero de icógis, luego el sisem es z Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C. 65
66 compible ideermido y su solució es: b) Pr y Sisems, mrices y deermies x 5 y z x 5 y z 5 66 Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
67 Sisems, mrices y deermies 5.- Ddo el sisem x + y + z + x + y + z + b x + y + z + b x + y + z + b Se pide: ) Discuirlo segú los vlores de y b. ) Resolverlo cudo se compible. Solució: ) x + y + z + x x + y + z + y b x + y + z + z b x+ y+ z+ b Teemos que l mriz de los coeficiees es: + Si disio de eoces rgo () rgo ( B) y el sisem es compible deermido pr odo b. Si, se iee x y b b B z b b b b Rgo de pr culquier b. Disiguimos: Si b es disio de, e ese cso, el rgo de B es y por o el sisem es icompible. Si b. Pr ese vlor rgo rgo B, luego el sisem es compible ideermido. ) Resolució si es disio de por l Regl de Crmer b x b b b Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C. 67
68 Sisems, mrices y deermies b y b b b z b b b b b b( b ) b ( b) ( + )b b b 68 Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
69 Sisems, mrices y deermies 5. ) Dd l ecució mricil B (X - D) C+ X, dode, B, C, D y X so mrices cudrds de orde, obeer l mriz X, sbiedo que, B y (B-I) iee ivers. Siedo I l mriz ideidd de orde. b) Hllr dos mrices X e Y de dimesió x les que cumpl que X + Y X + Y B siedo y B dos mrices culesquier de l mism dimesió x. x + y + z c) Ddo el sisem de ecucioes lieles x y + z se pide, x z esudir ls solucioes del sisem e fució del prámero. Solució ) De l ecució mricil dd B(X-D) C+ X Quimos préesis: BX-BDC+ X ; BX- XC+BD ;(BX- X)C+BD muliplicmos por - e mbos ldos: BX- X(C+BD) - Scmos X fcor comú (derech): (B-I)X(C+BD) - Dode I es l mriz uidd Muliplicmos (B-I) - mbos ldos (izquierd): X(B-I) - (C+BD)- b) E el sisem ddo: Muliplicmos por / l primer ecució y le resmos l segud X+ Y X + Y B X B X B X B + B X 5 Y -X Y + B 5 6 B Y 5 c) Si es l mriz de coeficiees, +-. Sus ríces so - y /. Pr culquier oro vlor el sisem es compible deermido Pr - rgo() rgo (*), sisem compible ideermido Pr /, rgo() pero rgo (*) sisem icompible Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C. 69
70 Sisems, mrices y deermies 5.- ) E el siguiee sisem de ecucioes mriciles formdo por mrices cudrds de orde, se pide obeer ls mrices X e Y X + Y I X + Y O Siedo I l mriz ideidd de orde y l mriz ul de orde. b) Dd l ecució mricil B(X+D)-C+BX, dode ls mrices,b,c y D so mrices cudrds iversibles, se pide obeer l mriz X. x + y + z c) Ddo el sisem de ecucioes lieles x y + z y Discuir ls solucioes del sisem e fució de los vlores del prámero. Solució ) Muliplicdo l segud ecució por y resádol l primer qued X+6XI de dode (-6I)X I queddo X (-I) - Susiuyedo hor e l segud ecució qued ((-I) - )+Y despejdo Y -(9/) (-I) - b) Operdo, BX+BD -C+BX por o, BD+C BX y despejdo l mriz X c) X (/)B - (BD+C) - L mriz de coeficiees del sisem es por o, -- sí pues cudo - rgo () y el sisem es compible y deermido Cudo -, y el sisem qued: Que, viedo ls dos primers ecucioes, es u sisem icompible. 7 Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
71 Sisems, mrices y deermies 5.- L mriz es ilpoee de orde ( ) y l mriz B I +. Demosrr que B - I +. Solució: Y que exise B -, se cumple IB.B - (I+)(I-+ )I I+I álogmee se cumple: (I-+ ) (I+)I Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C. 7
72 Sisems, mrices y deermies 5.- Dd l ecució mricil X +X, dode, obeer l mriz X. Solució: Dd l ecució mricil X +X de l cul podemos despejr X de l siguiee mer X - X. Por l propiedd disribuiv X ( I). Observmos que I luego exise (-I) - y podemos muliplicr por l derech X ( I) ( I) - ( I) - Simplificdo X ( I) - E uesro cso X ( I) 7 Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
73 Sisems, mrices y deermies 55.- Probr que si I-B es iversible, eoces l mriz I-B mbié lo es y verific: (I-B) - I+B(I-B) - Solució: E efeco: (I-B)(I-B) - (I-B)(I+B(I-B) - ) (I-B)+ (I-B)B(I-B) - (I-B)+B(I-B) - -BB(I-B) - (I-B)+(B-BB) (I-B) - I-B+B(I-B)(I-B) - I-B+BI álogmee serí (I-B) - (I-B)I Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C. 7
74 Sisems, mrices y deermies 56.- Se, B, C, X mrices cudrds de orde. Se pide resolver l siguiee ecució mricil idicdo, cudo se preciso, ls codicioes que debe cumplir ls mrices que vy surgiedo pr poder despejr l icógi X: ( + XB) - ( - B) (C X)B - (B - ) Solució: ( + XB) - ( - B) (C X)B - (B - ) ( + XB) - ( - B) (C X)B - - B + XB (C X)B + XB CB XB XB CB- X/(CB-)B - Es ecesrio que exis l mriz ivers de B, que por or pre, y prece e el eucido. 7 Uidd Docee de Memáics de l E.T.S.I.T.G.C.
75 Mriz. U mriz es u cojuo de elemeos de u cuerpo K ordedos e fils y colums. Si l mriz iee m fils y colums, se escribe sí: ij... m m m... m U.D. de Memáics de l E.T.S.I. e Topogrfí, Geodesi y Crogrfí
76 Mriz cudrd U mriz es cudrd cudo su úmero de fils coicide co el úmero de colums ij U.D. de Memáics de l E.T.S.I. e Topogrfí, Geodesi y Crogrfí 7
77 Mriz ivers de u mriz cudrd Se M (K). Mriz ivers de es l mriz M (K) l que I, siempre que dich mriz exis. U.D. de Memáics de l E.T.S.I. e Topogrfí, Geodesi y Crogrfí
78 Sisems de ecucioes lieles Se llm sisem de m ecucioes lieles co icógis u cojuo de ecucioes lieles de l form: x x... x b x x... x b S... mx mx... mx b m dode los coeficiees ij, i,...,m, j,...,, y los érmios idepediees b i, i,...,m, so esclres de u cuerpo K y x, x,..., x so ls icógis. U.D. de Memáics de l E.T.S.I. e Topogrfí, Geodesi y Crogrfí 8
79 Mriz ilpoee U mriz M (K) es: ilpoee si pr lgú úmero url k, k. L mriz es u divisor de cero. U.D. de Memáics de l E.T.S.I. e Topogrfí, Geodesi y Crogrfí 6
80 Compible Ecució compible es quell que iee lgu solució. Puede ser, su vez, compible deermid cudo iee u úic solució, y compible ideermid cudo iee más de u solució (e ese cso edrá ifiis solucioes). Sisem compible es quél que iee lgu solució. Puede ser, su vez, compible deermido cudo iee u úic solució, y compible ideermido cudo iee más de u solució (e ese cso edrá ifiis solucioes). U.D. de Memáics de l E.T.S.I. e Topogrfí, Geodesi y Crogrfí
81 Mriz uidd L mriz uidd de orde iee ulos odos sus elemeos excepo los de l digol pricipl que so uos; se deo por I U.D. de Memáics de l E.T.S.I. e Topogrfí, Geodesi y Crogrfí 5
82 Dimesió El úmero de elemeos de culquier bse de u espcio vecoril se deomi dimesió del espcio vecoril. Escribiremos dim(v). L dimesió de u espcio fí es l dimesió del espcio vecoril socido Se dice que l mriz ij iee dimesió m ;... m m m... m si m, diremos que es u mriz de orde. U.D. de Memáics de l E.T.S.I. e Topogrfí, Geodesi y Crogrfí 59
83 Solució geerl L solució geerl (ó simplemee l solució) de u ecució es el cojuo formdo por ods ls solucioes priculres. L solució geerl (ó simplemee l solució) de u sisem es el cojuo formdo por ods ls solucioes priculres. Solució priculr U solució priculr de u ecució liel es u -upl de esclres ( c,c,...,c ) l que c c... c b. U solució priculr de u sisem de ecucioes lieles es u -upl de esclres ( c,c,...,c ) que se solució de cd u de ls m ecucioes del sisem. U.D. de Memáics de l E.T.S.I. e Topogrfí, Geodesi y Crogrfí 87
84 Mriz ul L mriz ul de dimesió m es l que iee ulos odos sus elemeos. U.D. de Memáics de l E.T.S.I. e Topogrfí, Geodesi y Crogrfí 7
85 Rgo de u sisem de vecores Rgo de u sisem de vecores es igul l úmero máximo de vecores lielmee idepediees que coiee. Rgo de u plicció liel Rgo de l plicció liel f es l dimesió del subespcio Imge de f. Rgo de u mriz Rgo de l mriz es el orde del meor de myor orde o ulo de. Lo deoremos por r() o bie por rg(). E Esdísic Rgo o recorrido de u vrible esdísic Es l difereci ere el myor y el meor vlor de l vrible esdísic. U.D. de Memáics de l E.T.S.I. e Topogrfí, Geodesi y Crogrfí 7
86 Mriz Orogol U mriz M es orogol cudo su ivers coicide co su rspues, es decir,. U.D. de Memáics de l E.T.S.I. e Topogrfí, Geodesi y Crogrfí 8
87 Lielmee idepediees Se f, f,,f k fils de u mriz culquier. Ls fils f, f,,f k so lielmee idepediees, cudo o se lielmee depediees, es decir, cudo si ( ) f... kf k, siedo () l fil formd por ceros, se deduce obligorimee que i, i. Se,..., vecores de V. Los vecores,..., V so lielmee idepediees, cudo o se lielmee depediees, es decir, cudo si....se deduce obligorimee que i, i. Tmbié se dice que cosiuye u sisem libre. Los puos, B, C y D so lielmee idepediees si lo so los vecores B, C, D. U.D. de Memáics de l E.T.S.I. e Topogrfí, Geodesi y Crogrfí
88 Combició liel Se,..., vecores de V. Llmremos combició liel de los vecores,..., V odo vecor v V de l form v..., siedo,..., K. U.D. de Memáics de l E.T.S.I. e Topogrfí, Geodesi y Crogrfí 8
89 Ecució liel Se llm ecució liel u ecució de l form: x x... x b, dode los coeficiees,,...,, sí como el érmio idepediee b, so esclres de u cuerpo comuivo K, y x, x,..., so ls icógis. x U.D. de Memáics de l E.T.S.I. e Topogrfí, Geodesi y Crogrfí 7
90 Deermie de u mriz cudrd de orde. El deermie de l mriz M (K) es el esclr ; se escribe sí: De. Deermie de u mriz cudrd de orde. El deermie de l mriz M (K) es el esclr: ; se escribe: De. Deermie de u mriz cudrd de orde Si M (K), se defie el deermie de, y se deo como es, l sum de los producos de los elemeos de l primer fil de por sus correspodiees djuos (que será deermies de orde -). i) ii ii ii, desrrollo del deermie de por los elemeos de l fil i-ésim. ii) jj jj jj, desrrollo del deermie de por los elemeos de l colum j-ésim. U.D. de Memáics de l E.T.S.I. e Topogrfí, Geodesi y Crogrfí 5
91 Prámero Símbolo que represe u cose e u problem cuyo vlor puede vrir de uos csos oros. Vrible que ierviee e ls ecucioes de lguos lugres geoméricos. E ls cóics co cero el prámero focl es l semicuerd que ps por el foco perpediculr l eje focl, cuyo vlor es: p b / E l prábol es l disci del foco l direcriz. U.D. de Memáics de l E.T.S.I. e Topogrfí, Geodesi y Crogrfí 5
92 U.D. de Memáics de l E.T.S.I. e Topogrfí, Geodesi y Crogrfí Mriz elemel U mriz elemel es l que se obiee efecudo opercioes elemeles e ls fils de l mriz uidd. Ess opercioes elemeles so: () Iercmbir ere sí ls fils i y j: I(i,j) j i j i () Muliplicr l fil i por u esclr o ulo: I( i) i () Sumr l fil i, l fil j muliplicd por u esclr o ulo: I(i+j) i j i mrices elemeles que se obiee l plicr l mriz uidd ls opercioes elemeles (), () y (), respecivmee. No: Ls opercioes elemeles ere ls colums de u mriz M, se puede expresr de mer álog, como produco, l derech de, por mrices elemeles, ls cules se obiee plicdo l mriz ideidd I l operció elemel correspodiee.
93 Mriz siméric U mriz cudrd es siméric cudo ji, siedo i,j,,...,., es decir, ( ij ) l que ij U.D. de Memáics de l E.T.S.I. e Topogrfí, Geodesi y Crogrfí 5
94 Mriz isiméric U mriz cudrd es isiméric cudo que ij - ji, i,j,,...,., es decir, ( ij ) l U.D. de Memáics de l E.T.S.I. e Topogrfí, Geodesi y Crogrfí 5
95 Méodo de Guss-Jord Se r de rsformr u sisem de ecucioes lieles S, medie opercioes elemeles y siempre que se posible, e u sisem S de l siguiee form que deomiremos digol: x b' x b' S' x b' Méodo de Guss pr el cálculo de l mriz ivers Se M (K) iverible. Si ecormos E,E,..., E m mrices elemeles les que E m...e E I, eoces, E m...e E I y, por o, E m...e E I. Luego, efecudo e ls fils de l mriz uidd ls misms opercioes elemeles que efecuds sobre ls fils de os l rsform e l mriz uidd, obeemos l mriz ivers de. E eso cosise precismee el méodo de Guss cuy form prácic de relizció viee dd por el siguiee esquem: elemele opercioe s s I... I Méodo de Guss pr l resolució de sisems. Se S u sisem de ecucioes lieles, el méodo de Guss cosise e rsformr S, medie opercioes elemeles, e u sisem S de form esclod o rigulr cuy resolució es imedi o se evidee que se icompible. U.D. de Memáics de l E.T.S.I. e Topogrfí, Geodesi y Crogrfí
96 Mriz rigulr iferior Mriz rigulr iferior es l que iee ulos odos los elemeos por ecim de l digol pricipl. Mriz rigulr superior Mriz rigulr superior es l que iee ulos odos los elemeos por debjo de l digol pricipl. U.D. de Memáics de l E.T.S.I. e Topogrfí, Geodesi y Crogrfí 5
97 Deermie de Vdermode b c d b c d b c d b c d c bd bd c Se puede geerlizr... b c... p b c... p b c... p (b )(c )...(p ) (c b)...(p b) U.D. de Memáics de l E.T.S.I. e Topogrfí, Geodesi y Crogrfí 5
98 Icompible Ecució icompible es quell que o iee igu solució: x x... x c, co c. Sisem icompible es quél que o iee igu solució U.D. de Memáics de l E.T.S.I. e Topogrfí, Geodesi y Crogrfí 8
99 Teorem de Rouché-Frobeius... x b... x b Se S X B u sisem liel de m ecucioes m m... m x b m co icógis, siedo l mriz de los coeficiees y * l mriz mplid ( * B). Bjo ess hipóesis se verific que: ) S es compible si y sólo si r()r( * ). ) Si, r()r( * ) eoces S es compible deermido. ) Si r()r( * )< eoces S es compible ideermido. U.D. de Memáics de l E.T.S.I. e Topogrfí, Geodesi y Crogrfí 98
100 Mriz regulr U mriz M (K) es: Regulr cudo. U.D. de Memáics de l E.T.S.I. e Topogrfí, Geodesi y Crogrfí 5
101 Si M (K) ij Meor complemerio del elemeo ij, meor complemerio del elemeo ij, se le deo por ij, y es el deermie de l submriz de orde dos de que se obiee elimido l fil i y l colum j. Meor de orde h de Se l mriz M m (K). U meor de orde h de es el deermie de u submriz cudrd de orde h de. Evideemee, h de ser h m,. U.D. de Memáics de l E.T.S.I. e Topogrfí, Geodesi y Crogrfí 59
102 Comuiv Se V u cojuo dode hemos u operció ier, que desigremos por + V V Comuiv: +BB+ pr culesquier,b V. Se V u cojuo dode hemos u operció ier, que desigremos. por. V V Comuiv:.BB. pr culesquier,b V.
103 Esclr Cd elemeo de u cuerpo K, geerlmee el de los úmeros reles. Cosiuye ls coordeds de u vecor respeco de u bse de u espcio vecoril. Los esclres (,..., ) les que v e e... so ls coordeds del vecor v respeco de l bse B e,..., e del espcio vecoril V. U.D. de Memáics de l E.T.S.I. e Topogrfí, Geodesi y Crogrfí 69
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!!!""#""!!! !!!""#""!!! 25 Obtén con la calculadora: aa) ) ) ,5 = 9.5 x y 2 x 1/y 5 = 2,
Tem Nº ritmétic y álgebr! Obté co l clculdor:, y /y,0 bb ± /y -,0 cc [(--- ---] y /y, dd y ± /y 0,0 ee y /y, f y ± /y 0, gg 0,0 -/ 0,0 00 y ±,00 hh 0, 00 000 /y y ±,0 Epres e form epoecil: dd bb ee cc
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