Átomos Hidrogenoides

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1 Átomos Hidrogenoides Gonzalo Abal Instituto de Física Facultad de Ingeniería Montevideo, Uruguay August 18, 2004 Contents 1 Introducción 1 2 Potenciales con simetría esférica Armónicos Esféricos Ecuación radial Orbitales atómicos Forma de los orbitales Degeneración Momento Angular Efecto Zeeman Momento magnético del electrón Interacción con un campo magnético uniforme Interacción con un campo magnético no uniforme Spin Introducción En estas notas mostramos como determinar las funciones de onda de los estados estacionarios del electrón en átomos hidrogenoides. Los átomos hidrogenoides consisten de un único electrón en interacción Coulombiana con un núcleo masivo de carga Ze. Dado que la diferencia de masas es muy grande, M/m 1861, se puede suponer que el núcleo permanece estacionario y el problema de dos cuerpos se reduce al movimiento del electrón en un campo de fuerza central de tipo Coulombiano. En la Sección 2 mostramos que la dependencia angular de las funciones de onda está dada por los Armónicos Esféricos y éste hecho no depende de los detalles de la interacción, sino sólamente de su simetría central. Para potenciales centrales, el problema puede ser reducido a una ecuación radial, que trataremos en la Sección 2.2. Algunos de los estados estacionarios presentan simetría central, pero otros no. Estos estados se describen brevemente en la Sección 2.3. correo electrónico: 1

2 2 POTENCIALES CON SIMETRÍA ESFÉRICA 2 El momento angular del electrón es una de las cantidades, juega un rol importante en la estructura fina de los niveles de energía del átomo. En la Sección 3 se mestra como la interacción entre el Spin del electrón y los efectos magnéticos asociados a su carga eléctrica dan orígen a una separación de los niveles de energía. 2 Potenciales con simetría esférica En esta sección usamos el método de separación de variables para obtener la dependencia angular de la función de onda del electrón cuando el potencial tiene simetría esférica. Por el momento, no es necesario especificar los detalles del potencial, sinó que basta suponer que V = V (r). Como el potencial no depende del tiempo, la función de onda de un estado estacionario es de la forma Ψ(r, θ, ϕ; t) = Φ(r, θ, ϕ)e iet/. La parte espacial, Φ, satisface la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, que en coordenadas esféricas es ] [ 2 2m 2 + V (r) Φ(r, θ, ϕ) = HΦ(r, θ, ϕ) = EΦ(r, θ, ϕ). (1) El operador Laplaciano en esféricas esta dado por 2 = 1 2 ( r r 2 r + 1 r 2 sin θ sin θ θ θ 2.1 Armónicos Esféricos ) + 1 r 2 sin 2 θ 2 ϕ 2. (2) Buscando una solución de la forma Φ(r, θ, ϕ) = R(r)P (θ)q(ϕ), se sustituye en la ec. (1) y, luego de multiplicar por r 2 sin 2 θ/φ, se obtiene r sin 2 θ R 2 r 2 (rr)+2m 2 r2 sin 2 θ [E V (r)]+ sin θ P ( sin θ P ) = 1 2 Q θ θ Q ϕ 2 = m2. (3) El primer miembro no depende de ϕ y el segundo es sólo función de ϕ por lo que ambos deben ser iguales a una constante, m 2. La función Q satisface la ecuación 2 Q ϕ 2 + m2 Q = 0 (4) de modo que Q(ϕ) = e imϕ. Dado que ϕ es una variable angular definida en [0, 2π) y la función de onda debe ser univaluada se tiene Q(ϕ) = Q(ϕ + 2π) y m debe ser un entero. Este es el primer número cuántico del problema y se denomina número cuántico magnético por su rol en la separación de los niveles de energía del átomo en presencia de un campo magnético (Sección 3.1). La otra ecuación resultante de (3), luego de dividir entre sin 2 θ, se reescribe como r 2 2m (rr) + R r2 2 r2 [E V (r)] = 1 ( sin θ P ) + m2 P sin θ θ θ sin 2 = l(l + 1). θ (5) De nuevo, como el primer miembro depende sólo de r y el segundo es sólo función de θ ambos deben ser iguales a una constante, l(l + 1) (la forma elegida para

3 2 POTENCIALES CON SIMETRÍA ESFÉRICA 3 estas constantes esta dictada por su uso posterior). Usando la variable auxiliar x = cos θ, la ecuación en θ se reduce a la ecuación asociada de Legendre [1], [ d (1 x 2 ) dp ] ] + [l(l + 1) m2 dx dx 1 x 2 P (x) = 0. (6) Se puede probar, usando la técnica de series de potencias, que esta ecuación solo tiene soluciones acotadas si l es un entero no negativo tal que l m (7) es decir que, para cada m, el número l toma los valores l = m, m Este es el segundo número cuántico, denominado número cuántico orbital por su relación con el momento angular del electrón. Las soluciones acotadas de (6) son las funciones asociadas de Legendre, definidas por P m l (x) ( 1)m 2 l l! (1 x 2 m/2 dl+m ) dx l+m (x2 1) l. (8) Para m = 0 estas funciones son los familiares polinomios de Legendre, Pl 0(x) = P l(x). La dependencia angular de la función de onda, Pl m (cos θ)e imϕ, se expresa mas convenientemente en términos de los armónicos esféricos [1] 2l + 1 (l m)! Y lm (θ, ϕ) 4π (l + m)! P l m (cos θ)e imϕ. (9) Estas funciones forman un conjunto ortonormal completo en la esfera unitaria. Es decir que la constante en (9) se ha elegido de modo que 2π 0 dϕ π 0 sin θdθ Y lm(θ, ϕ)y l m (θ, ϕ) = δ ll δ mm (10) donde δ ij es la función delta de Kröneker. A continuación se listan los primeros armónicos esféricos, 1 Y 00 (θ, ϕ) = 4π 3 Y 10 (θ, ϕ) = 4π cos θ 3 Y 1,±1 (θ, ϕ) = sin θe±iϕ 8π ( 5 3 Y 20 (θ, ϕ) = 4π 2 cos2 θ 1 ) 2 15 Y 2,±1 (θ, ϕ) = sin θ cos θ e±iϕ 8π 15 Y 2,±2 (θ, ϕ) = 2π sin2 θe ±2iϕ. (11) El hecho de que la ec. () sólo depende de m 2, hace que la dependecia de éstas funciones en el signo de m sea en cierto modo trivial. De hecho, éstas funciones satisfacen la relación Y l, m = ( 1) m Y lm.

4 2 POTENCIALES CON SIMETRÍA ESFÉRICA Ecuación radial Hasta el momento no ha sido necesario especificar la forma detallada del potencial V (r). La ec. (5) implica que la parte radial de la función de onda satisface 1 d 2 [ ] 2m (rr) + r dr2 2 E V (r) 2 l(l + 1) 2mr 2 R = 0 (12) de modo que, en problemas con simetría esférica, es usual definir el potencial efectivo V ef V (r) + 2 l(l + 1) 2mr 2. (13) En problemas de fuerzas centrales en Mecánica Clásica, el término centrífugo es L 2 /2mr 2, donde L es el momento angular constante del movimiento. La cantidad 2 l(l + 1) tiene unidades de momento angular y, como veremos, el potencial efectivo (13) también tiene en cuenta los efectos centrífugos de la rotación asociados al momento angular. La ecuación (12) se conoce con el nombre de ecuación radial y es la que es necesario resolver en problemas con simetría esférica. Esta ecuación determina, además, los posibles niveles de energía del electrón. Para describir átomos hidrogenoides especificamos el potencial Coulombiano V (r) = k Ze2 (14) r donde e es la carga elemental, Z el número atómico y k una constante que depende del sistema de unidades elegido. En unidades gaussianas k = 1 y en unidades internacionales, k = 1/4πɛ 0. Nos interesan lso estados ligados asociados al potencial Coulombiano, por lo que E < 0. Lso estados con E > 0 forman un contínuo y corresponden a electrones libres que interacúan con la carga positiva en el orígen. Es conveniente expresar la ecucaión radial en términos de variables adimensionadas para lo cual definimos, para E < 0, α = 2mE/ 2 ρ = 2αr (15) γ = k mze2 2 α. (16) En términos de la posición adimensionada ρ, la ecuación radial para el potencial Coulombiano se reduce a la ecuación de Laguerre [1] d 2 1 ρ dr 2 (ρr) + [ 1 l(l + 1) 4 ρ 2 + γ ρ ] R(ρ) = 0. (17) De nuevo, el hecho de que R sea solución acotada de esta ecuación impone ciertas restricciones. Usando la técnica de series de potencias, se puede demostrar que sólo existen soluciones acotadas si γ es un entero positivo de modo que γ = n = l + 1, l + 2,... (18) Es decir, que aparece el tercer número cuántico n del problema. En este caso, cuando n > l es un enetero positivo, las soluciones a (17) son las funciones asociadas de Laguerre R nl (ρ) = C n e ρ/2 ρ l Π n (ρ) (19)

5 2 POTENCIALES CON SIMETRÍA ESFÉRICA 5 Figure 1: Distribución radial p(r) definida en la ec. (25). En orden descendente, las curvas corresponden al estado fundamental (n,l)=(1,0) y los estados excitados (2,0),(2,1) y (3,0),(3,1),(3,2) respectivamente. donde Π n (ρ) es un polinomio de grado n 1 y C n es una constante de normalización. La función de onda completa del electrón es entonces de la forma Φ(r, θ, ϕ) = R nl (2αr)Y lm (θ, ϕ). (20) Dado que los armónicos esféricos están normalizados de acuerdo a (10), la normalización de la función de onda requiere que las funciones R nl también estén normalizadas de acuerdo a 0 r 2 dr Rnl 2 (r) = 1. (21) Esta condición determina el valor de la constante C n en (19). La condición γ = n cuantiza los niveles de energía del electrón en el átomo. En efecto, usando (15) y (18), las energías permitidas son E n = k 2 mz2 e n 2 = ε 0 n 2. (22) La constante ε 0 corresponde a la energía de ionización del átomo hidrogenoide. Es decir, la energía que es necesario suministrarle para liberar al electrón. Para Z = 1 resulta ε 0 = 13.6 ev. El número cuántico n determina el valor de la energía y también los posibles valores de los números l y m cuando el electrón tiene energía E n. Por esta razón se denomina número cuántico principal. Es conveniente definir el radio de Bohr a 0 = 2 = A (23) kme2 de modo que ε 0 = 2 /2ma 2 0 y, en términos de a 0, los niveles de enrgía son E n = 2 Z 2 /2ma 2 0 n2. El radio de Bohr es una distancia característica del

6 2 POTENCIALES CON SIMETRÍA ESFÉRICA 6 Figure 2: Distribución angular p(θ) definida en el texto. Arriba: estados con l = y m = l, para los cuales el orbital es cercano al plano xy. Abajo: estados con l = 3. Observe que para l = 3, m = 0 el orbital es cercano al eje z. átomo. Observe que la variable adimensionada ρ se puede expresar como ρ = 2r a 0 n por lo que la escala ρ depende de la energía a través de n. (24) 2.3 Orbitales atómicos Forma de los orbitales La densidad de probabilidad radial P (r) es la probabilidad de encontrar al electrón en un cascarón esférico de radios en [r, r + dr]. p(r) se calcula integrando angularmente la densidad de probabilidad espacial Φ 2. Observe que la dependencia en ϕ de la función de onda es simplemente una fase e imϕ y entonces Φ 2 no depende de ϕ. Definiendo el diferencial de ángulo sólido dω sin θdθdϕ se tiene p(r) = dω Φ 2 = r 2 R nl (r), (25) esfera donde se ha usado la condición de normalización (10) para los armónicos esféricos. Esta es una distribución de probabilidad porque la normalización de la función de onda asegura que p(r)dr = 1. En la Figura 1 se muestra la distribución 0 radial de varios estados estacionarios en escala absoluta, r/a 0. Observe que a mayor energía, el electrón tiene mas chance de estar lejos del n cleo. Los valores esperados de la distancia al orígen (posición radial) se calculan a partir del integral < r >= 0 r 3 R 2 nl dr. (26) En forma similar se puede calcular < r 2 > y obtener la desviación estándar σ r = < r 2 > < r > 2. La posición del electrón no esta bien determinada (es

7 2 POTENCIALES CON SIMETRÍA ESFÉRICA 7 Figure 3: Distribución de probabilidad conjunta p(r, θ) r 2 R 2 nl ˆP m l (θ) 2 sin θdθ para varios valores de los números cuánticos (n, l, m). En orden descendente por columna, de izquierda a derecha, son: (1, 0, 0), (2, 0, 0), (3, 0, 0), (2, 1, ±1), (2, 1, 0), (3, 1, ±1), (3, 1, 0) y (3, 2, ±2), (3, 2, ±1), (3, 2, 0). una variable aleatórea con distribución p(r)) pero sus propiedades estadísticas están implícitas en la función de onda. La dependendencia angular p(θ) de la densidad de probabilidad se puede obtener integrando en la coordenada radial de modo que, usando la normalización de la función radial (21), p(θ) = 0 Φ 2 r 2 dr = Y lm (θ, ϕ) 2 [P m l (θ)] 2 (27) y la dependencia angular queda dada por las funcines generalizadas de Legendre al cuadrado. En la Fig. 2 se muestra esta dependencia para varios estados estacionarios. Antes de sacar mas conclusiones sobre la dependencia angular es necesario establecer algunos hechos sobre el momento angular. Finalmente, en la Fig. 3 se muestra la densidad de probabilidad espacial completa p(r, θ) r 2 Rnl 2 [P l m (θ)] 2 sin θdθ para varios estados estacionarios Degeneración Los estados estacionarios del electrón quedan determinados por los tres números cuánticos n, l, m, pero la energía depende sólo del número cuántico principal. Es decir que diferentes estados comparten la misma energía. Estos estados se denominán degenerados. El nivel de energía E n, común a varios estados degenerados, también se denomina nivel degenerado. La degeneración g n de un nivel de energía es el número de estados diferentes que tienen esa energía. En el caso de los átomos hidrogenoides, para un n dado l = 0, 1, 2... n 1 y para cada l el número cuántico magnético m toma 2l + 1 valores de modo que la

8 3 MOMENTO ANGULAR 8 degeneración del nivel E n es n 1 g n = (2l + 1) = n 2. (28) l=0 Es decir que, por ejemplo, el nivel E 10 es compartido por 100 estados cuánticos diferentes 1. Podemos preguntar porque no depende la energía de los números m y l. La independencia de m es consecuencia de la simetría esférica del potencial. Después de todo, la ecuación radial determina los niveles de energía y no depende de m. Como se verá en la Sección 3.1, si rompemos la simetría esférica del problema colocando el átomo en un campo magnético uniforme en la dirección ẑ, los niveles de energía pasan a depender del número m. La independencia de l responde a algo mas sútil. Despues de todo, la ecuación radial (17) depende del valor de l. De hecho, los niveles de energía asociados a esta ecuación para cualquier potencial no Coulombiano, denderían de l. Es decir que la degeneración en l es una consecuencia (y una particularidad) de la dependencia 1/r del potencial Coulombiano. En el caso de los átomos multielectrónicos, las interacción es entre los electrones hacen que el potencial se desvíe un poco de la forma Coulombina (apantallamiento). Si bien esto es en general un efecto pequeño, es suficiente para romper la degeneración en l y en átomos multielectrónicos los niveles de energía son diferentes para diferentes valores de l. 3 Momento Angular El operador momento angular se define, como en mecánica clásica, a partir del operador cantidad de movimiento p = i, L r p = i r. (29) Usando por el momento la notación (x 1, x 2, x 3 ) para las componentes cartesianas (x, y, z) del vector posición, es inmediato verificar que las correspondientes componentes cartesianas del operador vectorial L verifican ( ) L i = i x j x k (30) x k x j para (i, j, k) una permutación cíclica de (1, 2, 3). Alternativamente, las componentes de cartesianas de L se pueden expresar en coordenadas esféricas como ( L x = i sin ϕ ) + cot θ cos ϕ θ ϕ ( L y = i cos ϕ ) + cot θ sin ϕ θ ϕ L z = i ϕ. (31) Es llamativa la simplicidad de la componente z del momento angular. De hecho, dado que la dependencia de la función de onda en ϕ es simplemente e imϕ, es 1 Si además incluimos la degeneración de spin, éste número se duplica.

9 3 MOMENTO ANGULAR 9 Figure 4: Lugar geómétrico del vector momento angular para l = 2 y los posibles valores de m = 0. ± 1, ±2. Observe que la elección de la dirección z es arbitraria. evidente que se cumple L z Φ nlm = m Φ nlm. (32) Es decir que la función de onda es autofunción del operador L z con autovalor m. Si calculamos el valor esperado de la componente z del momento angular, obtenemos < L z >= dr 3 Φ nlml z Φ nlm = m dr 3 Φ nlmφ nlm = m. (33) Es decir que el número cuántico m fija el valor esperado la componente z del momento angular. Se puede verificar directamente que la función de onda no es autofunción de las otras componentes cartesianas L x Φ nlm constφ nlm L y Φ nlm constφ nlm. (34) Sin embargo el operador L 2 = L 2 x + L2 y + L2 z si tiene una acción simple sobre los estados estacionarios del electrón. La forma de este operador se puede obtener de las ecs. (31) como [ ( 1 L 2 = 2 sin θ ) ] sin θ θ θ sin 2 θ ϕ 2 (35) Es un ejercicio sencillo mostrar, usando la ec. (5) que la función de onda Φ nlm es autofunción de L 2 con autovalor 2 l(l + 1), es decir que L 2 Φ nlm = l(l + 1) 2 Φ nlm. (36) La consecuencia directa de esto es que el valor esperado del módulo de L es < L >= < L 2 > = l(l + 1). (37) Tambien es evidente que los operadores L z y L 2 conmutan con el operador hamiltoniano H definido en (1). Basta observar que H se puede escribir como H = 2 2m 2 + V (r) = 2 2mr 2 r 2 r + L2 + V (r) (38) 2mr2 y como [L 2, L z ] = 0 resulta que [H, L 2 ] = [H, L z ] = 0. Esto significa que ambos operadores L 2 y L z son constantes del movimiento. Los estados estacionarios Φ nlm del electrón tienen tres magnitudes bien definidas: una energía E n, una componente z de momento angular m y un módulo del momento angular l(l + 1). No están bien definidos en cambio la posición, la cantidad de movimiento lineal o su energía cinética. Para estas magnitudes sólo es posible conocer sus valores medios.

10 3 MOMENTO ANGULAR Efecto Zeeman Al colocar un átomo en un campo magnético uniforme los niveles de energía se desdoblan de acuerdo al valor del número cuántico magnético. Esto se conoce como el efecto Zeeman. Para ver por que esto es asi, debemos calcular el momento magnético asociado a la circulación del electrón Momento magnético del electrón En general, una corriente I que recorre un circuito plano que encierra un área A tiene asociado un momento magnético µ = IA. El electrón es una carga en movimiento y tiene asociada una corriente y un momento magnético. El cálculo cuántico del momento magnético esta fuera del alcance de este curso. Afortunadamente un argumento clásico elemental da el mismo resultado. Supongamos que el electrón, de carga e, se desplaza en una órbita circular de radio r con velocidad v. Su momento angular es L = mvrẑ siendo ẑ la dirección normal al plano de su órbita. La corriente asociada a esta circulación de carga es simplemente I = ev/2πr. Por lo tanto el momento magnético es µ l = Iπr 2 ẑ = evr/2ẑ. Expresando esto en términos del momento angular se tiene la relación entre operadores vectoriales µ l = g l µ 0 L (39) donde µ 0 = e /2m es una constante conocida como el magnetón de Bohr y g l = 1 es el factor giromagnético orbital del electrón. Su presencia, inocua en la ec. (39), quedará justificada cuando se trate el caso del spin. Es decir que el momento magnético asociado a la corriente electrónica es antiparalelo y proporcional en magnitud al momento angular del electrón Interacción con un campo magnético uniforme La interacción entre un momento magnético µ y un campo magnético B es bien conocida de los cursos previos de electromagnetismo. Aparece un torque (momneto de fuerza) µ B que tiene a alinear el momento magnético en la dirección del campo B aplicado. En otras palabras, el plano de la órbita tiende a ser perpendicular a la dirección definida por el campo. Nos interesa en particular la energía potencial de orientación U = µ l B. (40) Esta energía es mínima si µ y B son colineales. Admitiremos sin mas justificación que las relaciones entre operadores vectoriales (39) y (40) son válidas. Cuando el átomo de encuentra en una región donde hay un campo magnético uniforme B el operador hamiltoniano se modifica, de su forma (38) con simétria esférica, a H = H 0 µ l B (41) donde H 0 se refiere al operador hamiltoniano (38) en ausencia de campo B. Evidentemente, las funciones Φ nlm obtenidas en la sección 2 para el caso con simetría esférica son autofunciones de H 0 pero no de H. Ahora el campo B define una dirección privilegiada en el espacio y rompe la simetría esférica del problema. Sin embargo, admitamos que para campos magnéticos no muy

11 3 MOMENTO ANGULAR 11 E m=+1 m= 0 m=-1 Figure 5: Ejemplo del Efecto Zeeman. Al colocar un átomo en un campo magnético un nivel de energía con l = 1 se desdobla en tres niveles, de acuerdo a los posibles valores del número cuántico magnético m l = 0, m l = ±1. La separación entre los niveles es µ 0 B. intensos el efecto en las funciones de onda es pequeño de modo que a primer orden puede ser ignorado. Calculemos entonces el valor esperado de la energía del electrón usando 2 los estados estacionarios Φ nlm correspondientes al caso B = 0. El valor esperado de la energía es approximadamente E =< H >=< H 0 µ l B >=< H 0 > < µ l B > ε 0 n 2 < µ l B > (42) donde los niveles ε 0 /n 2 son los del electrón en ausencia del campo magnético. Usando el hecho de que el momento magnético es proporcional al momento angular y eligiendo la dirección z como la dirección del campo B, se tiene que < µ l B >= g l µ 0 < L B >= g l µ 0 B < L z >= m l µ 0 B. (43) Por lo tanto, obtenemos el resultado de que en presencia de un campo magnético los niveles de energía del electrón pasan a depender del número cuántico m E nml = ε 0 n 2 + m lµ 0 B. (44) Observe que para el nivel fundamental n = 1 se tiene l = m l = 0 y no hay desdoblamiento. Este es un nivel con simetría esférica y momento magnético nulo en la dirección del campo. El nivel n = 2, se desdobla en tres niveles con una separación E = µ 0 B entre ellos. El efecto es pequeño, incluso para campos relativamente grandes como B 1 Tesla. En efecto, usando µ 0 = ev/tesla se tiene µ 0 B/E Ademas de desdoblar los niveles de energía, el campo B tiene el efecto de ordenar la dependencia temporal del momento angular. El momento magnético (y el momento angular) experimentan un torque τ = µ l B = d L dt (45) que causa que precesionen en torno al eje z con una frecuencia determinada, como se muestra en la Fig. 6. Descomponiento el momento magnético en sus 2 Esto corresponde formalmente a realizar un cálculo perturbativo de los niveles de energía primer orden no nulo.

12 3 MOMENTO ANGULAR 12 z µ z µ x ϕ µ y Figure 6: Descomposición del momento magnético en sus componentes ortogonales. frecuencia angular de precesión, ω L, esta asociada a la variación de este vector, ec. (46). La componentes, µ l = µ z + µ, resulta que la componente a lo largo del campo magnético (dirección z en la Fig. 6) no varía. Entonces la variación del momento magnético es d µ l = d µ = µ dϕê ϕ = µ ω L dtê ϕ. (46) De lo anterior, usando las ecs. (39) y (45), se obtiene la frecuencia de precesión ω L = µ 0B (47) conocida como frequencia de Larmor. Una medida de esta frecuencia es una medida de la separación energética entre estados con diferente m. 3.2 Interacción con un campo magnético no uniforme En 1922, Stern y Gerlach hacen pasar un haz de átomos con momento magnético conocido a través de un campo magnético no uniforme y observan la cuantización de las componentes z del momento magnético y del momento angular. Un momento magnético en un campo B no uniforme experimenta una fuerza neta F = ( µ ) B. (48) Un dipolo eléctrico en un campo eléctrico no uniforme experimenta una fuerza análoga. En el caso particular en que el campo es en la dirección z y sólo depende de z, esta ecuación implica que la fuerza también es en la dirección z y está dada por db F z = µ z dz. (49) Es decir que un haz de átomos con un estado (n, l, m l ) experimentan una fuerza vertical F z = µ 0 m l db/dz que depende del signo y la magnitud de m l. Esta fuerza se manifiesta en una deflexión vertical medida por la distancia vertical a la cual impacta el haz en la pantalla. Esta experiencia permite comprobar directamente la cuantización del momento angular. Sin embargo, en el caso de la plata (Ag) que en su estado fundamental tiene simetría esférica y momento magnético orbital nulo, se observa que el haz se descompone en dos haces que se desvían verticalmente. El mismo efecto, observan Phipps y Taylor en 1925, trabajando con un haz de átomos de Hidrógeno en su estado fundamental. Estas experiencias conducen a la idea de spin. Los detalles

13 3 MOMENTO ANGULAR 13 de estas experiencias históricas se encuentran en el texto [2] y son importantes, porque fundamentan las propiedades físicas del spin del electrón. 3.3 Spin El electrón tiene un grado de libertad adicional además de los tres grados de libertad asociados a su posición espacial (r, θ, ϕ). En otras palabras, son necesarias cuatro coordenadas independientes para especificar el estado de un electrón. El cuarto grado de libertad es de naturaleza cuántica (no tiene análogo clásico) y se denomina spin. En el caso del electrón, ésta coordenada adicional puede tomar sólo dos valores que convencionalmente se toman como s z = ±1/2.Afortuadamente esto hace que la descripción del spin del electrón, una variable discreta y binaria, sea extremadamente sencilla. El spin S es un momento angular intrínseco del electrón. Tiene todas las características de un momento angular. En particular tiene un operador asociado Ŝ que actua sobre la función de onda del electrón que ahora depende de cuatro números cuánticos nlm, m s Ŝ 2 Φ nlm,ms = s(s + 1) 2 Φ nlm,ms = Φ nlm,ms. (50) Es decir que el valor del número cuántico s es fijo: s = 1/2. El electrón es una partícula de spin 1/2. El módulo del vector de spin tiene el valor bien definido y constante S = 3 /2. Además, la función de onda es autofunción de la componente z del vector de spin, Ŝ z Φ nlm,ms = m s Φ nlm,ms = ± 1 2 Φ nlm,m s (51) Se llega a los dos valores m s = ±1/2 a partir de la condición m s s = 1/2 y suponiendo que m s varía de a una unidad. Por supuesto, si el momento magnético de un átomo en un estado con l = 0 es medido, lo que se observa son los dos valores del momento magnético asociado al spin. Este momento magnético se vincula al spin por una ecuación similar a (52), µ 0 µ = g s S (52) En particular, de (51) resulta que la componente z del momento magnético de spin toma los valores ±g s µ 0 /2. Las deflexiones obervadas en experiencias como las de Stern Gerlach y Phipps y Taylor [2] son consistentes con µ z = ±µ 0, de modo que el factor giromagnético de spin para el electrón es el doble que el orbital, es decir g s = 2. En suma, el electrón tiene un momento angular intrínseco (spin) de módulo bien definido y constante. En un estado estacionario la componente z del spin esta bien definida y puede tomar sólo los dos valores ± /2. Los efectos magnéticos sobre el spin se perciben a través del momento magnético de spin µ s, que se relaciona con S con un factor giromagnético g s = 2. La función de onda pasa a depender de un número cuántico adicional, m s, que toma los valores ±1/2. Evidentemente, en ausencia de un campo magnético, la degeneración de un determinado nivel de energía aumenta en un factor 2 debido al grado de libertad de spin.

14 REFERENCES 14 El momento magnético orbital representa una corriente asociada al movimiento orbital del electrón. Esta corriente produce efectos magnéticos que interactúan con el momento magnético de spin. Se puede pensar que en el caso del electrón, hay una interacción entre dos corrientes, la orbital y la intrínseca. Esta interacción se conoce con el nombre de acoplameinto L S y da orígen a un desdoblamiento de niveles de energía como el discutido en el efecto Zeeman, sólo que esto ocurre en ausencia de campo magnético externo. Esta es la estructura fina del espectro del atómo. No discutiremos este efecto en esta versión de las notas. References [1] Abramowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions [2] Eisberg, Fundamentals of Quantum Physics.

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