3.11 Trasformada de Laplace de una función periódica 246

Transcripción

1 3. Trformd d plc d un función priódic Trformd d plc d un función priódic Dfinición 3.. Un función f llmd priódic i y olo i, it un númro no nulo f tl qu impr y cundo té n l dominio d f, tmbién lo té + p, y f ( + p) = f( ) El mnor d tl vlor poitivo d p (i it) llm l príodo d f. Cd un d l funcion no, cono, cnt y cocnt tinn priodo y l otr do funcion trigonométric (tngnt y cotngnt) tinn príodo = π. Y qu l funcion no, cono, cnt, cocnt tinn príodo, un vz qu conocmo u vlor pr < <, tnmo todo u vlor; d mnr nálog, puto qu l funcion tngnt y cotngnt tinn príodo, un vz qu conocmo u vlor pr < <, tnmo todo u vlor. funcion priódic tinn cirt propidd, tl como n( + k) = n( ) co( + k) = co( ) c( + k) = c( ) cc( + k) = cc( ) tn( + k) = tn ( ) cot( + k) = cot ( ) Dond k culquir númro ntro. En l figur 3.. ), b), c) mutrn l gráfic d funcion trigonométric báic tn( ) 6 6 cot( ) Intituto Tcnológico d Chihuhu / C. Báic Amli C. Aguirr Prr

2 3. Trformd d plc d un función priódic 47 Figur 3.. ) tn( ),cot( ) in( ) 5 5 co( ) 5 5 Figur 3.. b) n( ),co( ) c() 5 5 cc( ) 6 6 Figur 3.. c)c( ),cc( ) Figur 3.. Funcion trigonométric báic En l gráfic d l figur 3.. pud prcir l priodicidd d l funcion, con príodo, í l qu l funcion n pr o impr, por u imtrí con l j y, o con l orign. Intituto Tcnológico d Chihuhu / C. Báic Amli C. Aguirr Prr

3 3. Trformd d plc d un función priódic 48 Etndr priódicmnt un función tomr l gmnto d l gráfic qu quir tndr ir rpitiéndolo d curdo l príodo d dicho gmnto d l gráfic. Trnformd d plc d un función priódic Si l príodo d un función priódic T, ntonc f ( t + T) = f( t). S pud dtrminr l trnformd d plc d un función priódic mdint l intgrción d un príodo. Torm 3.. Si f ( t ) continu por trmo n (, ), d ordn ponncil y priódic con priodo T, T () = f() t dt () { f T ( o Ejmplo 3.. Dtrmin l trnformd d plc d l función d príodo T =, cuy gráfic t t < f() t = t < f(t) t Figur 3.. Dint d Sirr Utilizndo () dl torm 3.. Por propidd d intgrl tnmo qu Intituto Tcnológico d Chihuhu / C. Báic Amli C. Aguirr Prr

4 3. Trformd d plc d un función priódic 49 { f () = ( () t dt + () ) dt () O bin { f () = t dt Hcindo u = t y dv = ( ) dt, ntonc du = dt y v = Por lo qu u intgrl rí { f () = t dt (3) ( ) Dpué d intgrr (3), tnmo { ()} t f t = Sutituyndo lo límit f t = { ()} Simplificndo { ()} { ()} () () ( ) ( ) f t = f t = +, finlmnt { f() = + (4) Ejmplo 3.. Encontrr l trnformd d plc d l función dint d irr qu mutr n l figur.3..3 Intituto Tcnológico d Chihuhu / C. Báic Amli C. Aguirr Prr

5 3. Trformd d plc d un función priódic 5 f(t) b b t Figur 3..3 Dint d irr con priodo T = b En l gráfic d l figur 3..3 podmo obrvr qu f () t = t, ddo qu b priodo T = b, por lo tnto plicndo l fórmul () m =, l b b { f () = t dt b (5) b Intgrndo { ()} t f t = b b b, utituyndo límit b b b ( ) ( ) f t = b { ()} b (6) Simplificndo { ()} Fctorizndo { } b b b f t = + b b b b f() t = + ( ) b b b Rcomodndo { f() b = + b b, finlmnt Intituto Tcnológico d Chihuhu / C. Báic Amli C. Aguirr Prr

6 3. Trformd d plc d un función priódic 5 { f() = + (7) b b ( ) Ejmplo 3..3 Encontrr l trnformd d plc d l función ond cudrd < t < f() t = < t < con priodo T = f(t) 3 t Figur 3..4 Ond Cudrd con priodo D tl mnr qu l trnformd d plc rí ( ) ( ) { } ( ) f () t = () dt + () dt (8) Por lo qu { f { f() () = ( ) dt, intgrndo =, utituyndo límit Intituto Tcnológico d Chihuhu / C. Báic Amli C. Aguirr Prr

7 3. Trformd d plc d un función priódic 5 f t = { ()} { f() = ( ) ( ) +, implificndo { f () = ( ) ( Dcomponindo l dnomindor ( ) n binomio conjugdo ( ( + Rult { f() = + ( ) Ejmplo 3..4 Encontrr l trnformd d plc d l función mndro qu mutr n l figur 3..5 < t < f() t = < t < con priodo T = f(t) 3 4 t Figur 3..5 Función mndro D tl mnr qu l trnformd d plc rí Intituto Tcnológico d Chihuhu / C. Báic Amli C. Aguirr Prr

8 3. Trformd d plc d un función priódic 53 ( ) ( ) dt { } ( ) f () t = () dt + ( ) f ( t) = ( ) dt ( ) dt Por lo qu { } ( ) Rultndo { ()} ( f t = + Sutituyndo límit { ()} f t = + + Fctorizndo y implificndo { } ( ) ( f() t = + + El gundo fctor corrpond un binomio l cudrdo por lo qu () = { f ( ) ( ) Dcomponmo n binomio conjugdo l dnomindor () = { f ( )( ) ( + ) Simplificndo { f() = ( ( + Ejmplo 3..5 Encontrr l trnformd d plc d l función f () t () = n t pr < t < π, con priodo T = π, qu mutr n l figur 3..5 Intituto Tcnológico d Chihuhu / C. Báic Amli C. Aguirr Prr

9 3. Trformd d plc d un función priódic 54 f(t) t π π 3π Figur 3..5 f () t n( t) = pr < t < π, con priodo T = π D tl mnr qu l trnformd d plc rí plicndo () { ()} ( π ) ( π { () } f t = n t dt (9) Aplicndo l fórmul d l intgrl u u n( bu) du = n ( bu) b co( bu) b + () Por lo qu π { f() = n () t co() t + () Sutituyndo límit d l intgrl n () { } ( ) f() t = n ( π) co ( π) n ( ) co( ) + + Intituto Tcnológico d Chihuhu / C. Báic Amli C. Aguirr Prr

10 3. Trformd d plc d un función priódic 55 Simplificndo { f() = [ ] [ ] + () ( + + En MthCd l vlución d l intgrl (9) π. t. p( π. ) in( t) dt π..( p( π. )) Rcomodndo { f() Simplificndo = +, ( + + ( + ( { f() = (3) + Intituto Tcnológico d Chihuhu / C. Báic Amli C. Aguirr Prr