Álgebra I Práctica 1 - Conjuntos, Relaciones y Funciones

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1 FEyN - U - Vno 204 onjuntos Álg I Páti - onjuntos, Rlions y Funions Si s un suonjunto un onjunto nil V, notmos po l omplmnto spto V.. Do l onjunto = {, 2, 3}, tmin uáls ls siguints imions son vs i) ii) {} iii) {2, } iv) {, 3} v) {2} 2. Do l onjunto = {, 2, {3}, {, 2}}, tmin uáls ls siguints imions son vs: i) 3 ii) {3} iii) {3} iv) {{3}} v) {, 2} vi) {, 2} vii) {{, 2}} viii) {{, 2}, 3} ix) x) xi) xii) 3. Dtmin si n uno los siguints sos i) = {, 2, 3}, = {5, 4, 3, 2, } ii) = {, 2, 3}, = {, 2, {3}, 3} iii) = {x R / 2 < x < 3}, = {x R / x 2 < 3} iv) = { }, = 4. i) Dsii los siguints suonjuntos R po ompnsión mint un sol uión: { 3,, 5}, (, 2] [7, + ) ii) Dsii los siguints suonjuntos R 2 po ompnsión mint un sol uión: i) ii) iii) iv) v) vi) 2 vii) (*) viii) 2 2

2 Álg I Páti Págin 2 5. Dos = {, 3, 5, 7, 8, } y = {, 3, 5, 7, 8, }, hll,, y. 6. Dos los suonjuntos = {, 2, 7, 3}, = {, {3}, 0} y = { 2, {, 2, 3}, 3} l onjunto nil V = {, {3}, 2, 7, 0, {, 2, 3}, 3}, hll i) ( ) ii) ( ) ( ) iii) 7. Dos suonjuntos,, un onjunto nil V, sii ( ) n téminos intsions y omplmntos, y ( ) n téminos unions y omplmntos. 8. Sn, y onjuntos. Rpsnt n un igm Vnn i) ( ) ii) ( ) iii) ( ) 9. Enont ómuls qu sin ls pts ys los siguints igms Vnn, utilizno únimnt intsions, unions y omplmntos. i) ii) iii) 0. Hll l onjunto P() pts n los sos i) = {} ii) = {, } iii) = {, {, 2}} iv) = {,, } v) = {,, { }} vi) =. Sn y onjuntos. Po qu P() P(). 2. Sn p, q poposiions Vs o Flss. omp ls tls v p q, q p, p q, (p q) (uno p po p q s pu n su lug q p s i qu s un mostión po ontípoo, mints qu uno s pu n su lug qu p q s lso (llv un ontiión), s i qu s un mostión po l suo). 3. Dii si son vs o lss i) () n N, n 5 () n N, n 5 () n N, n 5 n 8 () n N, n 5 n 8 () n N, m N, m > n () n N, m N, m > n ii) Ng ls poposiions ntios, y n so vii qu l poposiión ng tin l vlo v opusto l l oiginl. iii) En uno los sos siguints, ii si ls os poposiions tinn l mismo vlo v. D un ontjmplo uno no s l so. () x, y, p(x, y) y y, x, p(x, y) () x, y, p(x, y) y y, x, p(x, y) () x, y, p(x, y) y y, x, p(x, y) () x, p(x) y x, p(x) 4. Dtmin uáls ls siguints imions son vs ulsqui sn los suonjuntos, y un onjunto nil V y uáls no. P ls qu sn vs, un mostión, p ls ots un ontjmplo. FEyN - U - Vno 204

3 Álg I Páti Págin 3 i) ( ) = ( ) ( ) ii) ( ) ( ) iii) ( ) iv) = = 5. Sn, y suonjuntos un onjunto nil V. Po qu i) ( ) = ( ) ( ) ii) ( ) = ( ) ( ) iii) ( ) = iv) ( ) = ( ) v) = vi) vii) ( ) = ( ) ( ) viii) = ( ) = 6. Un miso nví sñls ints unis un pto tvés un l onuto. S ipon iltos qu jn ps uns sñls sí y ots no, pnino sus unis. ilto uno stos iltos tin un llv qu l ionl invit l spto unis qu l ilto j ps. ilto ilto invtio Los iltos pun onts n si o n pllo p om nuvos iltos. onxión si onxión pll S onsi ho n l onjunto tos ls unis y s intii ilto on l suonjunto omo po qulls unis qu ést j ps. Osv qu on l intiiión ién stli, s tinn ls siguints osponnis: Filto invtio omplmnto, onxión si Intsión, onxión pll Unión i) Disñ iuitos p l onstuión los siguints iltos pti los iltos, y () ( ) () ( ) () ( ) () ( ) ( ) () ( ) ( ) () ii) Disñ iuitos p l onstuión los siguints iltos pti los iltos,,, D () ( D ( ) ) () ( (D ) (D ) ) ( ( D) ) FEyN - U - Vno 204

4 Álg I Páti Págin 4 () ( ) (D ) iii) Risñ l siguint iuito onstuyno oto quivlnt po qu utili únimnt os iltos. qué onjunto ospon l ilto sultnt? iv) Son los siguints iuitos quivlnts? En so imtivo sii l inti onjuntos qu sult y mostl. 7. Sn = {, 2, 3}, = {, 3, 5, 7}. Hll,, ( ) ( ). 8. Sn, y onjuntos. Po qu i) ( ) = ( ) ( ) ii) ( ) = ( ) ( ) iii) ( ) = ( ) ( ) iv) ( ) = ( ) ( ) Rlions 9. Sn = {, 2, 3} y = {, 3, 5, 7}. Vii si ls siguints son lions n y n so imtivo gils po mio un igm on lhs n, y po mio puntos n l pouto tsino. i) R = {(, ), (, 3), (, 7), (3, ), (3, 5)} ii) R = {(, ), (, 3), (2, 7), (3, 2), (3, 5)} iii) R = {(, ), (, 3), (2, 7), (3, 3), (3, 5)} iv) R = {(, ), (, 3), (, 7), (3, ), (3, 3), (3, 7)} v) R = {(, ), (2, 7), (3, 7)} vi) R = {(, 3), (2, ), (3, 7)} vii) R = viii) R = 20. Sn = {, 2, 3} y = {, 3, 5, 7}. Dsii po xtnsión un ls lions siguints n : i) (, ) R ii) (, ) R > iii) (, ) R s p iv) (, ) R + > 6 2. S = {,,,,,, g, h}. P uno los siguints gáios sii po xtnsión l lión n qu psnt y tmin si s lxiv, siméti, ntisiméti o tnsitiv. FEyN - U - Vno 204

5 Álg I Páti Págin 5 i) ii) g g h h iii) g iv) g h h 22. S = {, 2, 3, 4, 5, 6}. Gi l lión R = {(, ), (, 3), (3, ), (3, 3), (6, 4), (4, 6), (4, 4), (6, 6)} omo stá hho n l jiio ntio. 23. S = {,,,,, } y s R l lión n psnt po l gáio Hll l mínim nti ps qu s n gg R mn qu l nuv lión otni s i) lxiv, ii) siméti, iii) tnsitiv, iv) lxiv y siméti, v) siméti y tnsitiv, vi) lxiv y tnsitiv vii) quivlni. 24. En uno los siguints sos tmin si l lión R n s lxiv, siméti, ntisiméti, tnsitiv, quivlni o on. i) = {, 2, 3, 4, 5}, R = {(, ), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)} ii) = {, 2, 3, 4, 5, 6}, R = {(, ), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)} iii) = {, 2, 3, 4, 5}, R = {(, ), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (, 2), (, 3), (2, 5), (, 5)} iv) = N, R = {(, ) N N / + s p} v) = Z, R = {(, ) Z Z / } vi) = N, R ini po R s múltiplo vii) = P(R), R ini po X R Y X {, 2, 3} Y {, 2, 3} 25. S un onjunto. Dsii tos ls lions n qu son l vz i) simétis y ntisimétis ii) quivlni y on Pu un lión n no s ni siméti ni ntisiméti? FEyN - U - Vno 204

6 Álg I Páti Págin S = {,,,,, }. D l lión quivlni n : R = {(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, )} hll l ls, l ls, l ls, l ls, y l ptiión soi R. 27. S = {, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}. Hll y gi l lión quivlni n soi l ptiión { {, 3}, {2, 6, 7}, {4, 8, 9, 0}, {5} }. uánts lss quivlni istints tin? Hll un psntnt p ls. 28. En l onjunto Z númos ntos, s l lión quivlni po l pi: os númos stán lionos si y solo si tinn l mism pi (son mos ps o mos imps). uánts lss quivlni istints tin? Hll l psntnt más simpl posil p ls. 29. En l onjunto Z númos ntos, s l sigunt lión: os númos stán lionos si tminn n l mismo ígito. Vii qu s un lión quivlni. uánts lss quivlni istints tin? Hll l psntnt más simpl posil p ls. 30. En l onjunto toos los suonjuntos initos N, s l lión quivlni po l inl (s i, l nti lmntos): os suonjuntos stán lionos si y solo si tinn l mism nti lmntos. uánts lss quivlni istints tin? Hll l psntnt más simpl posil p ls. Funions 3. Dtmin qué lions l jiio 9 son unions n, y qué lions l jiio 24 son unions n. 32. Dtmin si R s un unión n n los sos i) = {, 2, 3, 4, 5}, = {,,, }, R = {(, ), (2, ), (3, ), (4, ), (5, ), (3, )} ii) = {, 2, 3, 4, 5}, = {,,, }, R = {(, ), (2, ), (3, ), (4, )} iii) = R, = N, R = {(, ) R N / = 2 3} iv) = Z, = Z, R = {(, ) Z Z / + s ivisil po 5} 33. Dtmin si ls siguints unions son inytivs, soytivs o iytivs. P ls qu sn iytivs hll l invs y p ls qu no sn soytivs hll l imgn. i) : R R, (x) = 2x 2 5 ii) : R R, (x) = 2x 3 5 iii) : R 2 R, (x, y) = x + y iv) : R R 3, (x) = (2x, x 2, x 7) { n v) : N N, (n) = 2 si n s p n + si n s imp { n si n s p vi) : N N, (n) = 2n si n s imp vii) : Z Z Z, (, ) = 3 2 { 2 si > 0 viii) : Z N, () = 2 si i) Ds ls unions : N N, (n) = { n 2 2 si n s ivisil po 6 3n + n los otos sos lul ( g)(3, 4), ( g)(2, 5) y ( g)(3, 2). y g : N N N, g(n, m) = n(m+), FEyN - U - Vno 204

7 Álg I Páti Págin 7 ii) Ds ls unions : R R, (x) = { x 2 si x 7 2x si x > 7 y g : N R, g(n) = n, hll toos los n N tls qu ( g)(n) = 3 y tls qu ( g)(n) = Hll g n los sos i) : R R, (x) = 2x 2 8 y g : R R, g(x) = x + 3 ii) : R R, (x) = x + 3 y g : R R, g(x) = 2x 2 8 { n 2 si n s ivisil po 4 iii) : N N, (n) = y g : N N, g(n) = 4n n + si n no s ivisil po 4 iv) : R R R, (x) = (x + 5, 3x) y g : N R, g(n) = n 36. Hll os unions : N N y g : N N tls qu g = i N y g i N, on i N : N N not l unión inti l onjunto N. 37. Sn, y onjuntos. Po qu si : y g : son unions ntons vln i) si g s inytiv ntons g s inytiv. ii) si g s soytiv ntons s soytiv iii) si y g son inytivs ntons g s inytiv iv) si y g son soytivs ntons g s soytiv v) si y g son iytivs ntons g s iytiv 38. S l onjunto toos los yts, s i tos ls xpsions l om , on i = 0 o, 0 i 7, s lo qu s llm un it. Po jmplo 0000 y son yts. S onsin ls siguints unions n : i) R (po ight): splz it un lug hi l h, pon un 0 n l it 7 y st l it 0. Po jmplo R(0000) = 0000 y R( ) = ii) L (po lt): splz it un lug hi l izqui, pon un 0 n l it 0 y st l it 7. Po jmplo L(0000) = y L( ) = iii) (po n) tú un y lógio ( ) it it on un yt o (0 0 = 0, 0 = 0, 0 = 0, = ). Po jmplo si = 000, (0000) = y ( ) = iv) O (po o tú un o lógio ( ) it it on un yt o (0 0 = 0, 0 =, 0 =, = ). Po jmplo si = 000, O (0000) = 0 y O ( ) = 000. v) X (po xo) tú un o lógio xlusivo ( ) it it on un yt o (0 0 = 0, 0 =, 0 =, = 0). Po jmplo si = 000, X (0000) = 000 y X ( ) = lul R L, L R, y o,, O, O, X X. Un sol sts unions s iytiv: sui uál y nont su invs. omintoi onjuntos, lions y unions. 39. Si un onjunto tin n lmntos uántos suonjuntos on lmnto pos y uántos suonjuntos on n lmntos pos? FEyN - U - Vno 204

8 Álg I Páti Págin Do l onjunto nil V = {n N / n s múltiplo 5}, tmin l inl l omplmnto l suonjunto V inio po = {n V / n 32}. 4. uántos númos ntuls hy mnos o iguls qu 000 qu no son ni múltiplos 3 ni múltiplos 5? 42. Dos suonjuntos initos,, un onjunto nil V, lul #( ) n téminos los inls,, y sus intsions. 43. i) Un ompñí tin 420 mplos los uls 60 otuvion un umnto y un snso, 240 otuvion solo un umnto y 5 otuvion solo un snso. uántos mplos no otuvion ni umnto ni snso? ii) En l listo insipions un gupo 50 stuints, igun 83 insipions n nálisis y 67 n Álg. más s s qu 45 los stuints s noton n ms mtis. uántos los stuints no stán insiptos n ningún uso? iii) En un instituto iioms on hy 0 lumnos, ls lss inglés tinn 63 insiptos, ls lmán 30 y ls nés 50. S s qu 7 lumnos stuin los ts iioms, 30 solo stuin inglés, 3 solo stuin lmán y 25 solo stuin nés. uántos lumnos stuin xtmnt os iioms? uántos inglés y lmán po no nés? uántos no stuin ninguno sos iioms? 44. Si s un onjunto on n lmntos, uál s l inl l onjunto P()? 45. Si s qui po mint un tl v un nunio, omo n los jiios so onjuntos, qu involu k onjuntos,..., k, uánts ils v tn l tl v? 46. Si s un onjunto on n lmntos y s un onjunto on m lmntos, uál s l inl l onjunto? 47. Sn,..., k onjuntos, on k N. S in l onjunto k omo l onjunto k-upls ons on pim lmnto n, sguno lmnto n 2, t. Es i: k = {(,..., k ) :,..., k k }. Si,..., k son toos onjuntos initos, uál s l inl k? 48. Si hy 3 uts istints p i unos is Rosio, 4 uts istints p i Rosio Snt F, y 2 p i Snt F Ronquist uántos oms istints hy p i unos is Ronquist psno po ls os ius intmis? 49. Si s un onjunto on n lmntos y s un onjunto on m lmntos, uánts lions n hy? Y n? 50. Si s un onjunto on n lmntos uánts lions n hy? uánts lls son lxivs? uánts lls son simétis? uánts lls son lxivs y simétis? 5. S X = {, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}. S in l lión R n P(X) n l om R {, 2, 3} = {, 2, 3}. i) Po qu R s un lión quivlni y sii po ompnsión l ls = {, 3, 5}. ii) uántos lmntos tin l ls = {, 3, 5}? 52. S X = {, 2,..., 20}. S in l siguint lión R n P(X): i) Po qu R s un lión on. R = ii) uántos onjuntos P(X) umpln qu {, 2, 3, 4, 5, 6} R? FEyN - U - Vno 204

9 Álg I Páti Págin i) Hll tos ls ptiions los onjuntos = {}, = {, 2}, = {, 2, 3}. uánts lions quivlni istints hy n, y? ii) S (n) l nti ptiions qu tin un onjunto n lmntos. Exps (4) n unión (), (2) y (3), y lul (4). ((n) s llm l n-ésimo númo ll, po Ei Tmpl ll, , mtmátio y uto ini iión soés.) 54. Sn = {, 2, 3, 4, 5} y = {, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, 2}. S F l onjunto tos ls unions :. i) uántos lmntos tin l onjunto F? ii) uántos lmntos tin l onjunto { F : 0 / Im()}? iii) uántos lmntos tin l onjunto { F : 0 Im()}? iv) uántos lmntos tin l onjunto { F : () {2, 4, 6} }? 55. Sn = {, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y = {8, 9, 0,, 2, 3, 4}. i) uánts unions iytivs : hy? ii) uánts unions iytivs : hy tls qu ({, 2, 3}) = {2, 3, 4}? 56. D uánts oms s pun pmut los númos, 2, 3, 4, 5 y 6? Po jmplo, tos ls pmutions, 2, 3 son, 2, 3;, 3, 2; 2,, 3; 2, 3, ; 3,, 2; 3, 2,. 57. uántos ngms tin l pl stuio? Po jmplo, toos los ngms l pl o son o, o, o, o, o y o. 58. Sn = {, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y = {, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}. i) uánts unions inytivs : hy? ii) uánts lls son tls qu () s p? iii) uánts lls son tls qu () y (2) son ps? 59. uánts unions iytivs : {, 2, 3, 4, 5, 6, 7} {, 2, 3, 4, 5, 6, 7} tls qu ({, 2, 3}) {3, 4, 5, 6, 7} hy? 60. S = { : {, 2, 3, 4} {, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} tl qu s un unión inytiv}. S R l lión n ini po: R g () + (2) = g() + g(2) i) Po qu R s un lión quivlni. ii) S l unión ini po (n) = n + 2. uántos lmntos tin su ls quivlni? FEyN - U - Vno 204