MUESTREO EN POBLACIONES FINITAS

Transcripción

1 MUESTREO EN POBLACIONES FINITAS Antono Morllas A.Morllas: Muestreo 1

2 MUESTREO EN POBLACIONES FINITAS 1. Conceptos estadístcos báscos. Etapas en el muestreo 3. Tpos de error 4. Métodos de muestreo 5. Tamaño de la muestra e nferenca 6. Muestreo en poblacones fntas 6.1 Muestreo aleatoro smple 6. Muestreo aleatoro estratfcado A.Morllas: Muestreo

3 INTRODUCCIÓN Dos aspectos báscos de la nferenca estadístca, no vstos aún: Proceso de seleccón de la muestra: Métodos de muestreo Tamaño adecuado en poblacones fntas: Fabldad y coste A.Morllas: Muestreo 3

4 ETAPAS EN EL MUESTREO. ESQUEMA 1.Defnr la INFORMACIÓN que se necesta 6. Conclusones sobre la POBLACIÓN. Determnar la POBLACIÓN y ver LISTADO 5. Uso de la muestra para INFERENCIA 3. MÉTODO de muestreo y TAMAÑO de la muestra 4. Cuestonaro: NO RESPUESTA y garantzar FIABILIDAD (DISEÑO) A.Morllas: Muestreo 4

5 TIPOS DE ERROR Debdos al muestreo ncertdumbre Ajenos al muestreo: 1. Defncón ncorrecta de la poblacón. Respuestas falsas o mprecsas 3. Falta de respuesta posble sesgo 4. Sesgo en la seleccón elementos muestrales 5. Errores de manpulacón, tabulacón y cálculo No hay un crtero general para evtarlos y/o analzarlos mnmzarlos A.Morllas: Muestreo 5

6 MÉTODOS DE MUESTREO Muestreo aleatoro: Undad muestral elemental: a.1) muestreo aleatoro smple a.) muestreo aleatoro sstemátco a.3) muestreo aleatoro estratfcado Undad muestral grupo: b.1) muestreo por áreas y conglomerados b.) muestreo por etapas Muestreo no aleatoro y semaleatoro: En general, no centífco ; no estuda precsón: c.1) por cuotas c.) de juco u opnón A.Morllas: Muestreo 6

7 MUESTREO ALEATORIO SIMPLE Srve de base a los demás métodos Es el más sencllo desde el punto de vsta teórco Todos los elementos muestrales se tratan como guales La seleccón es sn reposcón Todas las muestras posbles son gualmente probables Cuando N es muy grande su coste es muy alto A.Morllas: Muestreo 7

8 MUESTREO ALEATORIO SISTEMÁTICO Se necesta un lstado ordenado de los elementos El orden no debe afectar a la aleatoredad sesgo Se seleccona al azar el prmer elemento muestral (k) menor que p=n/n n grupos o clases de p elementos. Elegdo éste, los demás se obtenen sumándole p al anteror: k+p, k+p,... El método garantza que aparezcan elementos de todas las clases, por lo que puede generar muestras más representatvas que el muestreo aleatoro smple A.Morllas: Muestreo 8

9 MUESTREO ALEATORIO SISTEMÁTICO N = tamaño poblacón n = tamaño muestra Lstado k<p 1 k+p (N/n)=p k+p k+3p N El orden no debe afectar a la aleatoredad A.Morllas: Muestreo 9

10 MUESTREO ESTRATIFICADO En ocasones es ndspensable agrupar los elementos de la poblacón en clases o estratos, que han de ser: Homogéneos en sus elementos Heterogéneos entre sí Mejor nformacón. Reduce errores y costes Dentro de cada estrato se aplcará un muestreo aleatoro smple o sstemátco A.Morllas: Muestreo 10

11 MUESTREO POR CONGLOMERADOS Conglomerado: grupo de elementos de la poblacón La undad de muestreo es el conglomerado Se selecconan aleatoramente certo número de conglomerados y se nvestgan todos sus elementos Característcas: homogenedad entre conglomerados; heterogenedad dentro de cada conglomerado Se reduce problema de lstado (solo para undades selecconadas), no es necesaro saber tamaño poblacón, entrevstas dentro del grupo (conglomerado) menos costoso A.Morllas: Muestreo 11

12 MUESTREO POR ETAPAS Generalzacón del muestreo por conglomerados Suele hacerse descendendo de conglomerados más grandes a más pequeños: Provnca Muncpo Barro Edfco Famla En cada etapa se aplca el muestreo aleatoro, sstemátco o estratfcado Objetvo: Reducr al mínmo el coste del lstado A.Morllas: Muestreo 1

13 VENTAJAS E INCONVENIENTES MUESTREO ALEATORIO SIMPLE CARACTERISTICAS Se seleccona una muestra de tamaño n de una poblacón de N undades. Cada elemento tene una probabldad de nclusón gual y conocda de n/n. VENTAJAS Sencllo y de fácl comprensón. INCONVENIENTES Requere que se posea de antemano un lstado completo de toda la poblacón. Coste. A.Morllas: Muestreo 13

14 VENTAJAS E INCONVENIENTES MUESTREO SISTEMÁTICO CARACTERISTICAS Consegur un lstado de los N elementos de la poblacón. Determnar p= N/n. Elegr un número aleatoro, k, entre 1 y p (k= arranque aleatoro). Selecconar los elementos de la lsta. VENTAJAS Fácl de aplcar. Cuando la poblacón está ordenada, asegura una cobertura de undades de todos los tpos. INCONVENIENTES S la constante de muestreo está asocada con el fenómeno de nterés, las estmacones obtendas a partr de la muestra pueden contener sesgo de seleccón A.Morllas: Muestreo 14

15 VENTAJAS E INCONVENIENTES MUESTREO ESTRATIFICADO CARACTERISTICAS VENTAJAS INCONVENIENTES Estratfca la muestra según certas varables de nterés. Para ello debemos conocer la composcón estratfcada de la poblacón objetvo. El tamaño muestral se reparte entre los dstntos estratos defndos en la poblacón, según certos crteros. Tende a asegurar muestra adecuada a la poblacón. Estmacones más precsas. Muestra más semejante a la poblacón (varables estratfcadoras). Se ha de conocer la dstrbucón en la poblacón de las varables utlzadas para la estratfcacón. A.Morllas: Muestreo 15

16 VENTAJAS E INCONVENIENTES MUESTREO CONGLOMERADOS-ETAPAS CARACTERISTICAS Se selecconan aleatoramente certo número de conglomerados. Se nvestgan todos los elementos de cada uno de ellos. Se realzan varas fases de muestreo sucesvas, de más grandes a más pequeños (embudo) VENTAJAS Es muy efcente cuando la poblacón es muy grande y dspersa. No es precso tener un lstado de toda la poblacón. Menor coste. INCONVENIENTES El error estándar es mayor que en el muestreo aleatoro smple o estratfcado. El cálculo del error estándar es complejo. A.Morllas: Muestreo 16

17 TAMAÑO MUESTRAL E INFERENCIA La muestra debe reproducr las característcas de la poblacón. Hay dos cuestones báscas: - Cantdad de elementos de la muestra - Generalzacón de sus resultados a la poblacón Ambas cosas, tamaño muestral y métodos de nferenca, están relaconadas con la precsón de las estmacones. A.Morllas: Muestreo 17

18 Error: ERROR E INTERVALO DE CONFIANZA CASO DE LA MEDIA ε = µ x Intervalo de confanza (1-α): x z σ µ x + z σ 1 α / x 1 α / x Z α/ 1 α/ 1( α) Z Z1 α / N(0,1) x µ = N(0,1) σ / n µ x z σ σ = 1 α / ε = µ x = z 1 / α A.Morllas: Muestreo 18 x σ n x σ n

19 TAMAÑO MUESTRAL PARA LA MEDIA POBLACIONES INFINITAS Despejando de la últma expresón, para un nvel de confanza (1-α) y un error máxmo permtdo de tamaño ε, se obtene: z n 1 α / = ε σ n = (para una confanza del 95,5% el percentl de Z vale ) 4 σ ε A.Morllas: Muestreo 19

20 TAMAÑO MUESTRAL PROPORCIÓN POBLACIONES INFINITAS Recordemos que: Error: Despejando: n máxma: σ = ˆp pq n = p pˆ = z ε 1 α / n n pq n z1 α / pq 4pq = n = ε ε max 4pq 4 0, 5 1 = = = ε ε ε A.Morllas: Muestreo 0

21 ESTIMACIÓN POR INTERVALOS Una vez fjado el tamaño de la muestra: La mejor estmacón por puntos del gasto medo será la meda de la muestra. La de la proporcón, la observada en la muestra. Con ellas, y obtenda la varanza del estmador, podremos construr los correspondentes ntervalos de confanza, que nos dan una dea de la horqulla en que se mueve el verdadero valor del parámetro. A.Morllas: Muestreo 1

22 ESTIMACIÓN POR INTERVALOS Meda : ( x z σ µ x + z σ ) 1 α / x 1 α / x Proporcón : ( pˆ z σ p pˆ + z σ ) 1 α / pˆ 1 α / pˆ A.Morllas: Muestreo

23 MUESTREO POBLACIONES FINITAS POBLACIÓN FINITA: el número de elementos de la muestra puede llegar a ser una proporcón aprecable de los de la poblacón. La precsón de la estmacón sería superor, al estar mejor representada el conjunto de la poblacón. La varanza del estmador ha de corregrse por el factor: N -n N -1 A.Morllas: Muestreo 3

24 MUESTREO ALEATORIO SIMPLE TAMAÑO DE LA MUESTRA: MEDIA Error máxmo permtdo, al estmar µ por la meda muestral, para un nvel de confanza: ε= z σ 1-α/ x σ = x ε z 1-α/ µ (x± ε ) Luego fjar el error máxmo permtdo equvale a predetermnar la varanza del estmador (funcón de n), para un nvel de confanza dado - 100(1-α)% - El tamaño de la muestra puede calcularse a partr de cualquera de estas dos expresones ) (ε, σ x A.Morllas: Muestreo 4

25 MUESTREO ALEATORIO SIMPLE TAMAÑO DE LA MUESTRA: MEDIA (CÁLCULO A) A partr de la varanza del estmador: σ N -n σ = x n N -1 Operando: n(n -1) σ =σ (N -n)=σn -σn x n(n -1) σ +σn= σn x Nz σ n = Nσ = 1-α/ (N - 1) σ σ (N -1)ε +z σ x + 1-α/ al hacer σ = ε/ z x 1-α/ σ desconocda encuesta ploto A.Morllas: Muestreo 5

26 MUESTREO ALEATORIO SIMPLE TAMAÑO DE LA MUESTRA: MEDIA (CÁLCULO B) Elevando el error al cuadrado: ε = z σ 1-α/ x Introducendo la varanza del estmador: σ ε = z (N -n) 1-α/ n (N -1) Operando: n(n -1)ε = z σ (N -n)= z σ N -z σ n 1-α/ 1-α/ 1-α/ n(n -1)ε + z σn= z σn 1-α/ 1-α/ Nz σ al hacer ε = z σ n= 1-α/ = Nσ 1-α/ x (N -1)ε +z σ 1- (N -1) σ σ desconocda α/ x +σ encuesta ploto A.Morllas: Muestreo 6

27 Estmacón por puntos: MUESTREO ALEATORIO SIMPLE INFERENCIA SOBRE LA MEDIA x= 1 n n x =1 Estmacón por ntervalos: µ (x± z σ ˆ ) 1-α/ x N -n En poblacones fntas: σ = σ factor de correccón x n N -1 Como σ es desconocda se estma medante: s ˆ N -1 nsesgado N ˆ Hacendo operacones σ ˆ = s (N -n) x n N Para utlzar la normal, n será sufcentemente grande. σ x S n es pequeña y se supone normaldad t de Student desconocda A.Morllas: Muestreo 7

28 MUESTREO ALEATORIO SIMPLE TAMAÑO DE LA MUESTRA: PROPORCIÓN Varanza del estmador: σ = pq N -n pˆ n N -1 Nz pq n= Npq = 1-α/ (N -1)σ p ˆ + pq (N -1) ε +z 1-α/ pq Como p no se conoce, o se estma o n max : al hacer 0,5Nz n = 0,5N = 1-α / max ( N -1)σ p ˆ +0,5 (N -1)ε +0, 5z 1-α/ σ = ε pˆ z1-α/ A.Morllas: Muestreo 8

29 MUESTREO ALEATORIO SIMPLE INFERENCIA SOBRE LA PROPORCIÓN Estmacón por puntos: p= ˆ x n x = número de observacones con la característca estudada Estmacón por ntervalos: p (p± ˆ z σ ˆ ) 1-α/ p ˆ σ = pq N -n pˆ n N -1 pq ˆ ˆ (N -1) (n-1) N σ ˆ = pq ˆ ˆ (N -n) p ˆ (n-1) N A.Morllas: Muestreo 9

30 MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO Poblacón dvdda en K estratos: Tamaños muestrales de los estratos: N 1 + N N K = N n 1 + n n K = n Medas poblaconales de los estratos: µ 1 µ... µ K Medas muestrales de los estratos: x x... x 1 K Proporcones muestrales en estratos: ˆp ˆp.. ˆp 1 K En cada estrato se hace un muestreo aleatoro smple: Estmadores nsesgados (µ, p ): x ˆp Estmadores nsesgados de la varanca de x y ˆp : s ˆ (N -n ) σ ˆ = x n N pq ˆ ˆ ( N - n ) ˆ σ = p ˆ ( n -1) N A.Morllas: Muestreo 30

31 DISTRIBUCIÓN DE LA MUESTRA ENTRE ESTRATOS-1 No hay una respuesta únca Crteros de asgnacón (afjacón): 1. Unforme: todos gual; poco sentdo real.. Proporconal: La proporcón de elementos de la poblacón en cada estrato se aplca a la muestra: N N = n n n = N N n A.Morllas: Muestreo 31

32 DISTRIBUCIÓN DE LA MUESTRA ENTRE ESTRATOS- 3. Óptma: Pondera el crtero anteror con las varanzas de los respectvos estratos, asgnando más observacones a los estratos con mayor varanza poblaconal. Es el más deseable s el objetvo únco es la precsón en la estmacón: N σ n = n Meda y total: K σ, encuesta ploto N σ =1 Proporcón: N p q n = n K n máxma N p q =1 A.Morllas: Muestreo 3

33 MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO TAMAÑO DE LA MUESTRA: MEDIA Asgnacón proporconal: K N σ n= =1 ; con σ = ε 1 K x Nσ z x + N σ 1-α/ N =1 Asgnacón óptma: 1 K N σ Denom. de n N n= =1 ; con σ = ε 1 K x z Nσ x + N σ 1-α/ N =1 A.Morllas: Muestreo 33

34 MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO TAMAÑO DE LA MUESTRA: PROPORCIÓN Asgnacón proporconal: Asgnacón óptma: K N p q n= =1 ; con σ = ε 1 K pˆ Nσ z pˆ + N p q α/ N =1 1 K N p q N n= =1 ; con σ = ε 1 K pˆ Nσ z pˆ + N p q α/ N =1 A.Morllas: Muestreo 34

35 MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO INFERENCIA SOBRE LA MEDIA Estmacón por puntos: 1 K µ= N µ N =1 x = 1 K N x N =1 Estmacón por ntervalos: K σ ˆ = 1 N σˆ x x N =1 µ (x ±z σ ˆ ) 1-α/ x A.Morllas: Muestreo 35

36 MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO INFERENCIA SOBRE LA PROPORCIÓN Proporcones poblaconales de los estratos: p, p,... p 1 K Proporcones muestrales de los estratos: pˆ, pˆ,... pˆ 1 K Estmacón por puntos: 1 K p= N p N ˆ 1 K p= N p ˆ =1 N =1 Estmacón por ntervalos: ˆ K σ = 1 ˆ N σ ˆ p pˆ N =1 p (p± ˆ z σ ˆ ) 1-α/ p ˆ pˆ q ˆ (N -n ) σ ˆ = p ˆ (n -1) N A.Morllas: Muestreo 36