Tema 4: Intersecciones. Perpendicularidad y mínimas distancias. Paralelismo.

Transcripción

1 Tema 4: nteeccone. ependculadad y mínma dtanca. aalelmo. nteeccone. Una nteeccón e el luga geométco de lo punto que petenecen a la vez a todo lo elemento que ntevenen (fgua ). La nteeccón de do plano e una ecta (lano lano = Recta). La nteeccón de plano con ecta e un punto (lano Recta = unto). La nteeccón de te plano e un punto (lano lano lano = unto). α β = α = α β γ = Fgua. nteeccone. Se van a eolve nteeccone ente plano y ecta, empezando po un cao patcula, hata llega a la tuacón má geneal. a) Recta lano poyectante ( α = ) La nteeccón de la ecta con el plano e obtene dectamente donde el plano e encuenta de pefl y e paa a la ota poyeccón (fgua 2 a). b) lano lano poyectante. (α β(,) = ) Se obtenen la nteeccone de cada ecta que defne el plano β con α, egún e eolvó anteomente y ambo punto defnen la ecta nteeccón olucón (fgua 2 b). ao: º β = 2º β = 3º = Recta olucón. c) Recta lano. ( α(m,n) = ) Se taza un plano η auxla que contene a, e elge, po encllez, que ea poyectante. Se obtene la nteeccón de dcho plano con la ecta m y n, de α (cao b) y la ecta que une dcho cota a en, que e la nteeccón pedda (fgua 2 c) ao: º η auxla que contene a. 2º η m = m η n = n η α = m n = 3º = (olucón)

2 a) lanteamento Reolucón ' b) lanteamento Reolucón ' ' ' c) lanteamento Reolucón ' ' l'' n l'' m m n l n l m l' n l' m ' Fgua 2. nteeccone: ecta - plano y plano - plano.

3 d) nteeccón de plano. Cao geneal. Ete cao e puede eolve de dvea foma (como ca todo), e va a aplca un método geneal, en el que e emplean do plano auxlae δ, γ, paalelo al vetcal. Se obtenen aí cuato línea de nteeccón, paalela do a do, la cuale e cotan en do punto, que undo dan la ecta olucón (fgua 3). ao: º δ α = αδ δ β = βδ; αδ βδ = Ι δ 2º γ α = αγ γ β = βγ; αγ βγ = Ι γ 3º Ι δ - Ι γ = (olucón) d) lanteamento ' ' A'' Reolucón A' B'' B' ' ' ' ' ' ' ' ' Fgua 3. nteeccón de plano. Cao geneal.

4 ependculadad y mínma dtanca. - Teoema fundamental de pependculadad. La pependculadad e una popedad que no e coneva en la poyeccón paalela otogonal, peo una de la pependculae e paalela al plano de poyeccón, amba e poyectan pependculamente (fgua 4-a). S una ecta e pependcula a un plano, e pependcula a toda la ecta del plano que paen po u nteeccón (fgua 4-b). (a) (b) (c) h Fgua 4: ependculadad en la poyeccón paalela. Conecuenca del teoema fundamental de pependculadad e que una ecta pependcula a un plano α, (fgua 4-c) e caacteza po que u poyeccone vefcan que: h ; v, ya que al e pependculae toda la ecta del plano α que paan po el pé de la ecta, una de ella e paalela al hozontal y ota e paalela al vetcal, con lo que cumplen el equto paa coneva la pependculadad en la poyeccón. Ejecco: Tácee po el punto, una ecta pependcula al plano α(a,b,c). lanteamento B'' Reolucón B'' A'' C'' A'' v'' ' C'' A' B' C' A' B' v' C'

5 Tácee po el punto, un plano α pependcula a la ecta. lanteamento Reolucón v'' ' v' (h,v) El plano α queda defndo po la ecta h,v. - oblema obe pependculadad y mínma dtanca: La mínma dtanca ente punto, ecta o plano, on egmento pependculae a éto. a) taza po un punto una ecta pependcula a un plano dado -dtanca de un punto a un plano-. d ao: º. Se taza a α po el punto. 2º. α = ε (oyectante de ) α = = 3º. en VM e la dtanca pedda. lanteamento Reolucón y d d'' ' d(vm) ' ' y d d' '= Fgua 5: Dtanca punto plano, en geometía del epaco y en S. Dédco.

6 Reolucón 2 d'' (VM) d' ' '' ' V H De lo método que hay paa eolvelo, e muetan do. En la fgua 5 e euelve guendo lo pao detallado en el coqu. Y en la fgua 6 e plantea u eolucón medante cambo de plano, en el que e túa α(m,n) como poyectante, de ete modo la mínma dtanca apaece en vedadea magntud. d' ' Fgua 6: Dtanca punto plano, medante cambo de lano. b) taza po un punto un plano pependcula a una ecta dada -dtanca de un punto a una ecta-. ao: d º. Se taza α(h,v) po el punto 2º. α = ε (oyectante de ) α = = 3º. en VM e la dtanca pedda. Fgua 7: Dtanca punto ecta, en geometía del epaco. Como en el cao anteo, u eolucón medante cambo de plano, hata tua de punta, o ben el plano, en VM, mplfca el ejecco, obtenéndoe la dtanca en VM (Fgua 8) lanteamento Reolucón v'' Zd d'' ' Zd d (VM) v' d' = ='

7 Reolucón 2 Reolucón 3 d'' '' d'' d' ' d' (VM) d' d'' '' d' (VM) Fgua 8: Dtanca punto ecta. c) Mínma dtanca ente do ecta paalela. ' d d' (VM) ' Fgua 9: Mínma dtanca ente ecta paalela. Al taza un plano pependcula a amba ecta, la dtanca ente la nteeccone e la dtanca d pedda. aa u eolucón, e túa el plano pependcula α en vedadea magntud, e dec, la ecta de punta. e) mínma dtanca ente plano paalelo. En la ecta pependcula a ambo plano e encuenta la dtanca pedda, paa ello e obtene en vedadea magntud la longtud que hay ente la nteeccone de la ecta con dcho plano. En ete cao e euelve medante

8 un cambo de plano, po medo del cual quedan lo plano poyectante (fgua 0). ' ' n m d d' (VM) Fgua 0: Mínma dtanca ente plano paalelo. f) mínma dtanca ente do ecta que e cuzan -pependcula común-. Ete cao e ha vto anteomente al tata cambo de plano ucevo. aalelmo. En lo tema de epeentacón paalela, el paalelmo e coneva en la poyeccón. - oblema obe paalelmo (fgua 2): A) taza po un punto una ecta paalela a ota dada; B) taza po un punto un plano paalelo a oto conocdo; C) taza po una ecta un plano paalelo a ota ecta dada D) taza po un punto una ecta paalela a un plano dado; E) taza po un punto un plano paalelo a una ecta dada;

9 lanteamento A) B) C) D) E) Reolucón A) B) C) D) E) t Fgua : aalelmo. De lo ejecco de paalelmo, meece eeñae, que lo te pmeo cao tenen olucón únca, menta que en el D) la olucón e un conjunto mplemente nfnto o haz de plano que contenen a la ecta paalela a po. Y en el E) la olucón e cualque ecta que paando po ea paalela a ota contenda en el plano α, e dec, el conjunto mplemente nfnto de ecta contenda en un plano paalelo a α po. Su eolucón en el tema dédco e nmedata.