Índice. Tema 7: Residuos y Polos. Singularidades aisladas. Singularidades evitables. Marisa Serrano, José Ángel Huidobro

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1 Índice Marisa Serrano, José Ángel Huidobro 1 Universidad de Oviedo 2 mlserrano@uniovi.es jahuidobro@uniovi.es Singularidades evitables Definición 7.1 Una función f se dice que tiene en z 0 una singularidad aislada si r > 0 tal que f es analítica en 0 < z z 0 < r. En el punto z 0 la función no es analítica o no está definida. Ejemplo 7.1 f (z) = ez z 2 y g(z) = 1 sen(z) Ejemplo 7.2 tienen en cero una singularidad aislada. Halle los puntos donde las funciones f (z) = log 0 (z) y g(z) = sen(z) no son analíticas y estudie si son singularidades z aisladas. Sea z 0 una singularidad aislada de una función f y sea X n= a n (z z 0 ) n (1) el desarrollo de Laurent de f en 0 < z z 0 < r. z 0 es singularidad evitable si a n = 0 para todo n < 0. En este caso la función f puede extenderse al punto z 0 como una función analítica definiendo f (z 0 ) = a 0.

2 Polos Singularidades esenciales z 0 es polo si sólo hay un número finito de coeficientes no nulos con subíndice negativo. El polo es de orden m, m N, si a n = 0 para todo n Z, n < m y a m 0. El desarrollo es del tipo: f (z) = X n= m a n (z z 0 ) n (2) z 0 es una singularidad esencial si no es evitable ni polo. En el desarrollo hay por tanto infinitos coeficientes con subíndice negativo no nulos. En el caso de que el polo sea de orden uno suele decirse que es un polo simple. Clasificación de polos Ejemplo 7.3 Estudie el tipo de singularidad que presentan las funciones siguientes en los puntos indicados: (a) f (z) = sen(z) z (b) g(z) = ez z2 (c) h(z) = e 1/(z i) en i. Proposición 7.1 Sea z 0 una singularidad aislada de una función f. El punto z 0 es un polo de orden m si, y sólo si, existe una función g analítica en z 0 tal que f (z) = g(z) (z z 0 ) m en un entorno d 0 y g(z 0 ) 0.

3 Cálculo del orden de un polo Supongamos que f es el cociente de dos funciones f 1 y f 2 que presentan en z 0 es un cero de orden n 1 y n 2 respectivamente, n 2 > n 1. Podemos escribir entonces: f (z) = f 1(z) f 2 (z) = (z z 0) n1 g 1 (z) (z z 0 ) n 2 g2 (z) g 1 y g 2 analíticas y g 1 (z 0 ), g 2 (z 0 ) 0. Entonces g(z) f (z) = (z z 0 ) n con g(z) = g 1(z) 2 n 1 g 2 (z). f tiene en z 0 un polo de orden n 2 n 1. Ejemplo 7.4 Estudie el tipo de singularidad que presentan las funciones siguientes en los puntos indicados: (a) f (z) = sen(z) (b) g(z) = en 1 y 2. (z 2)(z 1) 2 Residuos Teorema 7.1 Definición 7.2 Sea f una función que presenta en z 0 una singularidad aislada. Sabemos que f admite un desarrollo de Laurent en una región del tipo 0 < z z 0 < r para algún r < 0. El coeficiente a 1 se llama residuo de f en z 0 y se denota por Res(f, z 0 ). Sea U un subconjunto simplemente conexo de C y sean a 1,, a n puntos de U que son singularidades aisladas de una función f analítica en U \ {a 1,, a n }. Sea σ un arco cerrado simple contenido en U que rodea a los puntos a 1,, a n y recorrido en sentido positivo. Se verifica entonces que Z σ f (z) dz = 2πi nx k=1 Res(f, a k ) (3)

4 Ejemplo Cálculo de residuos Ejemplo 7.5 Calcule Z C(0,1) z 3 dz. Proposición 7.2 Sea z 0 un polo de orden m > 1 de una función f. Se verifica entonces que 1 d (m 1) ((z z 0 ) m f (z)) Res(f, z 0 ) = l«ım z z0 (m 1)! dz m 1 (4) Si z 0 es un polo simple de f, se verifica entonces que Res(f, z 0 ) = l«ım z z0 (z z 0 )f (z) (5) Cálculo de residuos Ejemplo 7.6 Ejemplo 7.7 ez 1 sen(z 2 ) Corolario Sea z 0 un polo simple de una función f de la forma f = g h siendo z 0 cero de orden uno de h y g(z 0 ) 0. Se verifica entonces que Res(f, z 0 ) = g(z 0) h (z 0 ) (6)

5 Ejemplo 7.8 sen(z) Identificación de coeficientes. Ejemplo z sen(z)