1. Sucesiones. Sucesiones. Compacidad. {( 1) n, n N} = { 1, 1, 1, 1, 1, 1,... } es una sucesión de elementos del conjunto { 1, 1}, y la familia

Transcripción

1 1.. De una manera informal, una sucesión es una familia de elementos de un conjunto, ordenada según el índice de los números naturales. Los elementos pueden estar repetidos o no. Por ejemplo la familia de los números de la forma {( 1) n, n N} = { 1, 1, 1, 1, 1, 1,... } es una sucesión de elementos del conjunto { 1, 1}, y la familia {2n, n N} = {2, 4, 6, 8,... } es la sucesión de los números pares, ordenados de menor a mayor. No cualquier conjunto se puede ordenar de esta manera: por ejemplo, el conjunto de los números enteros se puede ordenar en una sucesión de varias maneras, una de ellas es Z = {0, 1, 1, 2, 2, 3, 3,... } Los números racionales positivos también se pueden ordenar en sucesión: identificando cada número racional con un cociente de dos números naturales, podemos ordenarlos como el producto cartesiano Sin embargo el conjunto de todos los números reales del intervalo [0, 1] no se puede ordenar en una sucesión.

2 Definición (Sucesión). Sea X un conjunto cualquiera. Una sucesión en X es una aplicación x : N X. que a cada número natural hace corresponder un elemento de X. x : N X n x(n) = x n Se suele identificar la sucesión con el conjunto ordenado de sus imágenes, por lo que se escribe x(n) = (x n ) n N, o simplemente (x n ) n En nuestro caso, el conjunto X es el espacio eucĺıdeo R m, por lo que podemos definir las siguientes operaciones: Dadas dos sucesiones (x n ) n e (y n ) n, se define (x n ) n + (y n ) n = (x n + y n ) n y si a R, se define a(x n ) n = (ax n ) n de modo que el conjunto de las sucesiones de vectores de R n es también un espacio vectorial (de dimensión infinita)

3 Definición (Subsucesión). Sea x : N R m una sucesión en R m, y sea n : N N una función estrictamente creciente. A la composición x n se le llama subsucesión de x. N n N x R m k n(k) = n k x n(k) = x nk se escribe (x nk ) k Una subsucesión es una selección de infinitos elementos de la sucesión (x n ) n conservando el orden de aparición Ejemplo 1. Toda sucesión es subsucesión de si misma, tomando n k = k la identidad. Ejemplo 2. Si n k = 2k, (x nk ) k es la subsucesión de los términos de índice par de (x n ) n Ejemplo 3. en R 2 y en R 3 a. ((1 + 1n, 12 ) ) n b. ( (n, ( 1) n, (1 1 ) n )n ) n n

4 . Definición (Límite de una sucesión). Una sucesión en R m, (x n ) n se dice convergente si existe un punto x R m de modo que para cada ɛ > 0 existe un número natural n 0 (que depende de ɛ) tal que para todo n > n 0 se verifica x n x < ɛ El punto x se llama ĺımite de la sucesión, y se escribe lim n x n = x, o también (x n ) n x, y se dice que x es el ĺımite cuando n tiende a infinito de (x n ) n Observaciones: 1. Una sucesión convergente en R m tiene que tener como ĺımite un punto de R m. Esto quiere decir en particular que no contemplamos sucesiones que tiendan a infinito o a menos infinito, ni siquiera en el caso n=1. 2. Una sucesión convergente sólo puede tener un ĺımite: En efecto, si (x n ) n x y (x n ) n y, con x y, tomando 0 < ɛ = x y /2, tienen que existir dos números naturales n 1 y n 2 de modo que si n n 1, entonces x n x < ɛ, y si n n 2 entonces x n y < ɛ. Si escogemos N = max{n 1, n 2 } tenemos x y = x x N + x N y x x N + x N y < < 2ɛ = x y

5 lo que es absurdo; luego tiene que ser x = y 3. (x n ) n x en R m si y sólo si ( x n x ) n 0 en R 4. Si (x n ) x x e (y n ) n y entonces (x n + y n ) n x + y. 5. Si (x n ) x x, para todo a R, (ax n ) n ax Teorema. Una sucesión (x n ) n converge a un punto x si y sólo si toda subsucesión suya (x nk ) k converge también a x Demostración: Supongamos primero que (x n ) n converge a x, y sea (x nk ) k una subsucesión cualquiera de (x n ) n. Dado ɛ > 0, sabemos que existe un n 0 N tal que si n n 0 entonces x n x < ɛ Como (n k ) k es una sucesión creciente de números naturales, tiende a infinito, luego dado ese n 0 existirá un k 0 N tal que si k k 0 entonces n k n 0. Y entonces para todo k k 0 se verifica x nk x < ɛ. Luego efectivamente (x nk ) k x El recíproco es trivial, ya que una sucesión es siempre subsucesión de si misma. Hay una relación directa entre la convergencia de sucesiones y la topología de un conjunto: se puede determinar la adherencia, el interior, la frontera,... de un conjunto mediante propiedades

6 de convergencia de ciertas sucesiones. Por ejemplo, utilizaremos en muchas ocasiones el siguiente resultado Proposición (Caracterización de la adherencia mediante sucesiones).. 1. Si (x n ) n x, entonces x es un punto adherente del conjunto {x n ; n N} 2. Un punto x está en la adherencia de un conjunto A si y sólo si existe una sucesión (x n ) n de elementos de A que converge a x Definición (Sucesión de Cauchy). Una sucesión (x n ) n se dice de Cauchy (o sucesión fundamental) si verifica la siguiente condición: Para todo ɛ > 0 existe un índice n 0 N tal que si n n 0 y m n 0 entonces x n x m < ɛ Proposición. Dada una sucesión (z n ) n de vectores de R m, cada z n = (z n 1,..., z n m), (z n ) n es convergente a un punto z = (z 1,..., z m ) si y sólo si cada sucesión (z n i ) n converge a z i ; y (z n ) n es de Cauchy si y sólo si cada sucesión (z n i ) n es de Cauchy. Ejemplo 4. En los ejemplos 3, la sucesión a. ( (1 + 1, 1 ) ) tiende al punto (1, 0), y la sucesión n 2 n n b. ( (n, ( 1) n, (1 1 n )n ) ) no tiene ĺımite. n Las sucesiones convergentes son siempre de Cauchy, y una de las propiedades fundamentales del cuerpo de los números reales es que en R toda sucesión de Cauchy es siempre convergente. Esta propiedad es la completitud de R. La diferencia entre las dos definiciones radica entre otras cosas en que para saber que una sucesión es de Cauchy no hace falta saber cuál es el ĺımite.

7 Por ejemplo, la sucesión ( n k=0 1 ) k! n es de Cauchy, y su ĺımite es, por definición, el número e. La proposición anterior, aplicada a las componentes de los vectores de R m, demuestra que también R m es completo: toda sucesión de vectores en R m que sea de Cauchy es también convergente..

8 2.. Algunas propiedades y problemas fundamentales relacionadas con la continuidad de funciones de una variable se deben a propiedades de los intervalos cerrados y acotado, como el hecho de que si es continua alcance su máximo y su mínimo, o de que si es biyectiva tenga inversa continua. Cuando estudiamos funciones definidas en espacios de dimensión mayor, el papel de los intervalos cerrados y acotados lo juegan los conjuntos que llamamos compactos. La definición topológica de un conjunto compacto es un tanto críptica, pero estudiando luego sus propiedades tendremos una idea más intuitiva de qué clase de conjuntos son, hasta que lleguemos al Teorema de Heine Borel, que caracteriza los conjuntos compactos en R n como aquellos que son cerrados y acotados. Definición (Recubrimientos Abiertos). Dado un conjunto A en R n, se llama un recubrimiento abierto de A a una familia cualquiera U = {U i, i I} de conjunto abiertos de R n tal que A i I U i Por ejemplo, si para cada punto x de A llamamos U x a la bola abierta de centro x y radio 1, U x = B(x, 1), la familia U = {U x, x A} es un recubrimiento abierto de A.

9 Se dice que un recubrimiento U admite un subrecubrimiento finito, si se puede extraer una cantidad finita de conjuntos U i1, U i2,..., U ik de la familia U que también recubra a A, es decir, de modo que. A k j=1 U ij Definición (Conjuntos Compactos). Un conjunto K contenido en R n es compacto si de todo recubrimiento abierto de K se puede extraer un subrecubrimiento finito. Ejemplo 5. Por ejemplo, el semiplano A = {(x, y) : y > 0} no puede ser un conjunto compacto: Definamos la familia de conjuntos abiertos formada por todas las bolas abiertas de centro (0, 0) y radio positivo, U = {U r = B((0, 0), r), r > 0}. Si U admitiese un subrecubrimiento finito, tendríamos A k U rj = j=1 n B((0, 0), r j ) j=1 si ordenamos los radios, podemos suponer r 1 < r 2 < < r k y entonces tendríamos A B((0, 0), r k ), que es la bola de mayor radio, y esto es falso.

10 . Ejemplo 6. Los puntos de una sucesión convergente, más su ĺımite, forman un conjunto compacto. Por ejemplo, sea (x n ) n = ( 1 ) n n y sea K = { 1, n N} {0}. n Si U = {U i, i I} es un recubrimiento abierto de K, K i I U i, y tiene que existir algún i 0 de modo que 0 U i0. Como U i0 es abierto, existe una bola B(0, r) = ( r, r) contenida en U i0. Y como ( 1 ) n n tiende a cero, dado r > 0, el radio de esa bola, existe un índice n 0 N tal que si n > n 0 entonces 1 B(0, r) (es decir, 1 < r) n n Entonces para todo n > n 0 se tiene 1 B(0, r) U n i 0 : todos los elementos de K posteriores al de índice n 0 están en el abierto U i0. Para recubrir todo el conjunto K hará falta como mucho un abierto más para cada uno de los puntos de índice menor o igual que n 0, de modo que cada 1 U n i n para 1 n n 0. Así K n 0 j=0 U i j, y efectivamente U admite un subrecubrimiento finito. La manipulación de la definición de conjunto compacto es como se ve muy complicada, así que uno de los teoremas más importantes es el que viene a continuación, que da una caracterización de los conjuntos compactos de R m (y en general de cualquier espacio métrico) mediante sucesiones. Para la demostración del teorema utilizaremos el siguiente Lema. Lema 1. Sea (x n ) n una sucesión en R m, y sea A = {x n, n N}, el conjunto de puntos definidos por la sucesión. Si x es un punto de acumulación de A, entonces existe una subsucesión (x nk ) k de (x n ) n que converge a x

11 . Demostración: Observemos en primer lugar que en general, un punto x es de acumulación de un conjunto A si y sólo si lo es de A \ {x}, así que podemos suponer que x n x para todo n. Vamos a construir una subsucesión de (x n ) n que converge a x: consideramos una bola de centro x y radio r 1 = 1. Como x A, existe un punto x n1 de A tal que x n1 B(x, 1) Llamamos ahora r 2 = 1 min{ x x 2 i, 1 i n 1 }. r 2 es mayor que cero, ya que hemos supuesto que todos los elementos de A son distintos de x, y tiene que existir un punto x n2 A B(x, r 2 ). Por la definición de r 2, tienen que ser n 2 > n 1, y además r 2 1 x x 2 n 1 < 1 2 Una vez construido x nk, definimos r k+1 = 1 min{ x x 2 i, 1 i n k } > 0, y existirá un punto x nk+1 A B(x, r k+1 ). Y por la definición de r k+1 necesariamente n k+1 > n k y r k+1 < 1. 2 k De esta forma, (x nk ) k es una subsucesión de (x n ) n, y converge a x

12 Teorema (Teorema de Bolzano y Weierstrass). Sea K un subconjunto de R m. Son equivalentes:. 1. K es compacto. 2. Todo conjunto infinito contenido en K tiene al menos un punto de acumulación perteneciente a K. 3. Toda sucesión de elementos de K tiene al menos una subsucesión convergente a un elemento de K. Demostración: (Saltar al final de la demostración) Supongamos en primer lugar que K es compacto, y sea A un subconjunto de K. Vamos a suponer que A no tiene ningún punto de acumulación en K, y a demostrar que entonces A es finito. Si A no tiene puntos de acumulación en K, dado un punto cualquiera x de K existe un radio r x > 0 de modo que la bola de centro x y radio r x no tiene ningún punto de A distinto de x: para cada x K r x > 0 tal que B(x, r x ) A {x}

13 . Llamemos U = {B(x, r x ), x K} la familia formada por todas estas bolas. Como las bolas abiertas son conjuntos abiertos, y cada punto de K es el centro de una de las bolas, U es un recubrimiento abierto de K. De la hipótesis de que K es compacto se deduce que U admite un subrecubrimiento finito, es decir, que existe una cantidad finita de puntos x 1,..., x p en K de modo que K p B(x i, r xi ) i=1 Pero entonces ( p ) A = A K A B(x i, r xi ) = = i=1 p (A B(x i, r xi )) {x 1,..., x p } i=1 y por tanto A es finito. En segundo lugar, vamos a demostrar que la segunda hipótesis implica la tercera. Suponemos ahora que todo conjunto infinito contenido en K tiene al menos un punto de acumulación en K.

14 . Sea (x n ) n una sucesión de elementos de K, y sea A el conjunto de puntos definido por la sucesión, A = {x n, n N}. Si A es finito, entonces en la sucesión (x n ) n hay algún elemento que se repite infinitas veces, formando una subsucesión constante de (x n ) n, que por supuesto es convergente a ese elemento de K. Si por el contrario A es infinito, entonces por hipótesis tiene al menos un punto de acumulación x en K. Y aplicando el lema anterior, entonces existe una subsucesión (x nk ) k que converge a x. En tercer lugar, nos queda demostrar que de la tercera hipótesis se deduce que K es compacto. Esta última parte la demostramos en dos pasos. Primer paso: para todo ɛ > 0 existe una familia finita de puntos de K, {x 1,..., x p } (qué cantidad de puntos y cuáles dependerá de ɛ), tal que K p B(x i, ɛ) i=1 En efecto, si esto no es cierto, existe un ɛ > 0 tal que K no está contenido en ninguna unión finita de bolas de radio ɛ y centro en puntos de K. Entonces dado x 1 un punto de K, K B(x 1, ɛ), luego existe un punto x 2 K tal que x 1 x 2 ɛ. Tampoco K puede estar contenido en la unión de las dos bolas, K B(x 1, ɛ) B(x 2, ɛ), luego existe un punto x 3 K con x 1 x 3 ɛ y x 2 x 3 ɛ.

15 Repitiendo el proceso, podemos construir una sucesión (x n ) n de puntos de K, tal que si i j entonces x i x j ɛ. Evidentemente esta sucesión no contiene ninguna subsucesión convergente, en contra de la hipótesis.. Segundo paso: vamos a suponer ahora que existe algún recubrimiento abierto U = {U i, i I} de K que no admite ningún subrecubrimiento finito, y a ver que esto nos lleva a una contradicción. Sea ɛ = 1/2; aplicando el paso anterior, existe una familia finita de puntos {x 1,..., x p } de K tal que K p i=1 B(x i, 1/2) ( p ) p K = K B(x i, 1/2) = B(x i, 1/2)) i=1 i=1(k i I U i

16 Si U no admite un subrecubrimiento finito, entonces para al menos una de estas bolas, que vamos a llamar B 1, el conjunto K B 1 no puede cubrirse con una cantidad finita de abiertos U i de U. B 1. K K

17 . Tomamos ahora ɛ = 1/4. Repitiendo el argumento, existirá una familia finita de puntos {x 1,..., x m } de K tales que K m i=1 B(x i, 1/4). Consideramos entre estas bolas las que cortan a B 1, y entonces, como ( m ) K B 1 K B 1 B(x i, 1/4) K U i i I i=1 existirá al menos una de estas bolas de radio 1/4, B 2, de modo que K B 1 B 2 no puede cubrirse con una cantidad finita de abiertos de U Repitiendo el proceso, construimos una sucesión de bolas tales que:

18 el radio de cada B n es 1 2 n ; para cada n N, B n B n+1 K B 1 B n no puede nunca cubrirse por una cantidad finita de conjuntos de U.. Llamamos (x n ) n a la sucesión formada por los centros de las bolas B n. Por un lado de la condición B n B n+1 se deduce que x n x n n n+1 = 3 2 n+1 < 1 2 n 1 luego si m y n son dos números naturales, con m > n tendremos x n x m x n x n+1 + x n+1 x n x m 1 x m n n 2 = m 2 = n 1 2 m que evidentemente se puede hacer todo lo pequeño que queramos con tal de que n ( y m) sean suficientemente grandes. Es decir, la sucesión (x n ) n es de Cauchy. Y como R m es completo, (x n ) n converge a un punto x R m

19 . Por otro lado, por hipótesis la sucesión tiene que tener al menos una subsucesión (x nk ) k convergente a un punto x de K. Por las propiedades de los ĺımites, entonces la subsucesión tendría dos ĺımites, x y x, luego tiene que ser x = x K. Así que (x n ) n es convergente a un punto x de K. Como U es un recubrimiento abierto de K, existe algún abierto U i0 en U tal que x U i0. Como U i0 es abierto, existe una bola centrada en x contenida en U i0, B(x, r) U i0. Como la sucesión tiende a x, dado ɛ = r/2, existe un índice n 0 N tal que si n > n 0 todos los elementos x n B(x, r/2). Tomando un número n suficientemente grande, podemos suponer que 1, el radio de B 2 n n, es menor que r/2. Y entonces B n = B(x n, 1 2 n ) B(x, r) U i 0 y K B 1 B n B n U i0 está contenido en un sólo abierto de U, en contradicción con la construcción de las bolas B n. Luego U tiene que admitir algún subrecubrimiento finito. Y esto termina la demostración. (Volver al enunciado)

20 Hay aún otro teorema fundamental para la caracterización de los conjuntos compactos en R m, el Teorema de Heine Borel. La demostración de este teorema se basa en una propiedad fundamental de los números reales, que enunciamos en el siguiente Lema:. Lema 2. Toda sucesión acotada de números reales tiene al menos una subsucesión convergente (por ejemplo, a su ĺımite superior) Teorema (Teorema de Heine Borel). Un conjunto K de R m es compacto si y sólo si es cerrado y acotado. Demostración: (Saltar al final de la demostración) Supongamos primero que K es compacto. K es cerrado: sea x un punto de la adherencia de K; tenemos que demostrar que x K. Como x K, existe una sucesión (x n ) n de puntos de K que tiende a x. Además aplicando el Teorema de Bolzano y Weierstrass, (x n ) n tiene al menos una subsucesión (x nk ) k convergente a un punto x 0 de K. Pero entonces esa subsucesión tiene que converger a x y a x 0, y como el ĺımite de una sucesión es único, tiene que ser x = x 0 K. K es acotado: supongamos que K no es acotado, y sea x 1 un punto cualquiera de K. Entonces K no está contenido en B(x 1, 1), luego existe un punto x 2 K tal que x 1 x 2 1 Tampoco puede estar K contenido en B(x 1, 1) B(x 2, 1), porque sería acotado, luego existe un punto x 3 K tal que x 1 x 3 1 y x 2 x 3 1.

21 . Repitiendo este procedimiento, construimos una sucesión (x n ) n de puntos de K tal que si i j la distancia x i x j 1, y que por tanto no tiene ninguna subsucesión convergente, en contradicción con la hipótesis de que K es compacto por el Teorema de Bolzano y Weierstrass. Recíprocamente, supongamos ahora que K es cerrado y acotado, y sea (x n ) n una sucesión de puntos de K. Pongamos cada vector x n de la forma x n = (x n 1, x n 2,..., x n m). Como K es acotado, existe una constante R > 0 de modo que x < R para todo x de K, y en particular x n < R para todo n. Consideremos la sucesión formada por las primeras coordenadas de cada vector, (x n 1) n, verifica x n 1 x n < R Así (x n 1) n es una sucesión acotada de números reales, y por tanto tiene una subsucesión convergente (x n k 1 ) k a un número real x 1. De la sucesión original nos quedamos con los términos que corresponden a esta subsucesión, (x nk ) k, y por comodidad, la volvemos a llamar (x n ) n. Sabemos que la sucesión de las primeras coordenadas es convergente, (x n 1) n x 1. Consideramos ahora la sucesión formada por las segundas coordenadas, (x n 2) n. Razonando como antes, x n 2 x n < R es también una sucesión acotada de números reales, y por tanto tiene una subsucesión (x n k 2 ) k convergente a un número real x 2.

22 . Volvemos a quedarnos, de la sucesión original, con los términos que corresponden a esta subsucesión, y la volvemos a llamar (x n ) n. Así tenemos una subsucesión (x n ) n de la sucesión original en la que las primeras y las segundas coordenadas forman sucesiones convergentes, (x n 1) n x 1 y (x n 2) n x 2 Repitiendo este proceso m veces, construimos una subsucesión (x n ) n en la que cada coordenada es convergente a un número x i (x n i ) n x i Así (x n ) n x = (x 1,..., x m ). Para terminar la demostración queda por ver que este punto ĺımite está en K. Ahora bien, el ĺımite de una sucesión siempre está en la adherencia del conjunto de puntos de la sucesión x {x n, n N} K = K por ser K cerrado por hipótesis, y esto termina la demostración. (Volver al enunciado) El teorema de Bolzano Weierstrass caracteriza los conjuntos compactos de cualquier espacio métrico. Sin embargo el teorema de Heine Borel sólo es cierto en espacios métricos de dimensión finita, similares a R m.