TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES"

Transcripción

1 TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES 1 Matrices Definición 11 Una matriz es un arreglo rectangular de números reales de la forma a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm Las líneas horizontales (verticales) son las filas (columnas) de la matriz La matriz es de orden n m si consta de n filas y de m columnas El conjunto de todas las matrices de orden n m se denota M n m El elemento a ij pertences a la fila i-ésima y a la columna j-ésima de la matriz Utilizaremos muy a menudo la forma abreviada A = (a ij ) i=1,,n j=1,,m para referirnos a la matriz, o incluso A = (a ij ) La diagonal principal de una matriz es la diagonal que va desde el elemento a 11 hasta el elemnto a ss, donde s = min{n, m} es el mínimo de filas y columnas Una matriz es cuadrada si n = m La traza de una matriz cuadrada A es la suma de sus elementos diagnoales, traza (A) = n i=1 a ii Definición 12 La matriz identidad de orden n es I n = La matriz nula, = O n es la matriz cuadrada con todos sus elementos nulos Definición 13 La traspuesta de una matriz A M n m se denota por A t, y es la matriz que resulta al intercambiar las filas por las columnas de A a 11 a 21 a n1 A t a 12 a 22 a n2 = M m n a 1m a 2m a nm Definición 14 Una matriz es simétrica si A = A, y antisimétrica si A = A una matriz simétrica o antisimétrica es necesariamente cuadrada La matriz identidad es simétrica, pero no es antisimétrica De hecho, una matriz antisimétrica tiene todos sus elementos en la diagonal principal nulos Basta observar que A y A tienen la misma giagonal principal (esto es cierto para cualquier matriz); dado que A = A, debe ser a ii = a ii = a ii, por lo que 2a ii = 0 y a ii = 0 1

2 2 TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES 2 Operaciones con matrices La suma de dos matrices del mismo orden n m, es la matriz cuyos elementos son la suma de los elementos que ocupan la mima posición en las matrices originales Por tanto, si A = (a ij ) i=1,,n j=1,,m y B = (b ij) i=1,,n j=1,,m Ejemplo 21 Hallar A + B, donde A = A + B = A + B = (a ij + b ij ) i=1,,n ( j=1,,m ( ( 2) 5 + ( 3) ) ( y B = ) ( ) = ) El producto una matriz por un escalar es la matriz cuyos elementos son el producto de los elementos de la matriz original por el escalar Por tanto, si A = (a ij ) i=1,,n j=1,,m y λ R, entocnes λa = (λa ij ) i=1,,n Ejemplo 22 Sea λ = 3 y A = ( j=1,,m ) Entonces 3A = ( ) El producto de una matriz n m y una matriz m p (en es preciso orden) es una matriz de orden n p cuyo elemento en la fila i y columna j es el producto escalar (de vectores) de la fila i-ésima de la primera matriz por la columna j-ésima de la segunda matriz Por tanto, si A = (a ij ) i=1,,n j=1,,m and B = (b ij) j=1,,m k=1,,p, la matriz producto, C = AB M n p, tiene por elementos c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a im b mj ( ) Ejemplo 23 Hallar AB y BA, donde A = and B = ( ) 49 8= ( 4) Respuesta: AB = Sin embargo, BA no tiene sentido, dado que las dimensiones de las matrices no son compatibles para realizar el producto 21 Propiedades En las propiedades que se enumeran a continuación, se asume que las matrices que intervienen son de orden compatible para poder realizar las operaciones indicadas También, α, β R (1) (A t ) t = A (2) (A + B) t = A t + B t (3) A + B = B + A (la suma es commutativa) (4) A + (B + C) = (A + B) + C (la suma es asociativa) (5) α(a + B) = αa + αb (6) (α + β)a = αa + βa (7) La multiplicación de matrices no es commutativa, es decir, AB y BA en general no coinciden (8) A(BC) = (AB)C (el producto es asociativo)

3 TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES 3 (9) A(B + C) = AC + AB y A(B + C) = AB + AC (el producto es distributivo respecto a la adición) (10) I n A = AI n = A and O n A = AO n = O n Cuando queremos resolver una ecuación del tipo 5x = 10, simplemente dividimos por 5, 5 1 5x = , y obtenemos trivialmente la solución x = 2 Si la ecuacin es matricial AX = B, donde A y B son matrices dadas y X es la matriz incógnita, existirá un objeto similar a 5 1 en el ejemplo escalar, tal que permita resolver la ecuación matricial? Obviamente, si existe, ese objeto debe cumplir A 1 A = I n Definición 24 Una matriz cuadrada A es regular o inversible si y sólo si existe una matriz B tal que AB = BA = I n La matriz B se llama matriz inversa de A y se denota A 1 Al contrario que con los números reales, ( no toda ) matriz no nula admite inversa Por 1 1 ejemplo, si consideramos la matriz A = y suponemos que admite inversa B = 1 1 ( ) x y, entonces al realizar el producto BA encontramos que, por una parte, x + y = 1 z t y por otra, x + y = 0, lo que no puede ser Luego, A no admite inversa Teorema 25 La matriz inversa es única La unicidad de A 1 se prueba fácilmente Por reducción al absurdo, si B es otra matriz inversa de A con B A 1, entonces BA = I n y Contradicción B = BI n = B(AA 1 ) = (BA)A 1 = I n A 1 = A 1 22 Propiedades de la matriz inversa Asumimos que las matrices que intervienen en las propiedades siguientes son regulares (1) (A 1 ) 1 = A (2) (A T ) 1 = (A 1 ) T (3) (AB) 1 = B 1 A 1 3 Determinantes En la ecuación matricial AX = B, si existiera A 1, entonces X = A 1 B y hemos solucionado dicha ecuación Es importante, pues, contar con un criterio que nos permita decidir qué matrices admiten inversa Resulta que esta información queda resumida en un único número que puede asociarse a toda matriz cuadrada, el determinante de una matriz A toda matriz cuadrada A le asociamos un número real llamado el determinante de A y denotamos por A o det (A), de la siguiente forma Para una matriz de orden 1, A = ((a), det (A) ) = a a b Para una matriz de orden 2, A =, det (A) = ad bc c d Para una matriz de orden 3 a 11 a 12 a 13 det (A) = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 a 21 a 12 a 13 a 32 a 33 + a 31 a 12 a 13 a 22 a 23

4 4 TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES Esta expresión se conoce como el desarrollo del determinante por la primera columna de la matriz; este desarrollo puede hacerse, siguinedo las mismas pautas, por cualquier fila o columna, dando el mismo resultado Es importante tener en cuenta el signo ( 1) i+j colocado delante del término a ij Antes de continuar con la definición inductiva para el caso general, veamos un ejemplo Ejemplo 31 Calcular el deteminante mediante su desarrollo por la segunda columna = ( 1) ( 1) ( 1) = 2 ( 3) + 3 (0) (1) 1 = 5 Para una matriz de orden n general, el m todo de definicióne s el mismo que para matrices de orden 3, mediante eld esarrollo del determinante por una fila o columna, reduciendo de esta forma el cálculo del determinante de un determinante de orden n al cálculo de n determinantes de orden n 1 Por ejemplo,para un determinante de orden 4, hay que calcular 4 determinantes de orden 3 Para dar la definición general precisa, necesitamos introducir los siguientes dos conceptos Definición 32 Dada una matriz A de orden n, el menor complementario del elemento a ij, denotado M ij, es el determinante de orden n 1 que resulta de la eliminación de la fila i y de la columna j que contiene dicho elemento El adjunto de a ij, denotado A ij, es dicho menor complementario, multiplicado por el factor ( 1) i+j, es decir, A ij = ( 1) i+j M ij Definición 33 El determinante de una matriz cuadrada A M n se define por or, equivalently A = a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in (desarrollo de A por la fila i) A = a 1j A 1j + a 2j A 2j + + a nj A nj Ejemplo 34 Hallar el determinante (desarrollo de A por la columna j) Respuesta: Desarrollando el determinante por la tercera columna, tenemos = ( 1) ( 1) Propiedades de los determinantes Asumimos que las matrices A y B son cuadradas de orden n y λ R (1) A = A t (2) λa = λ n A (3) AB = A B (4) Una matriz A es regular si y sólo si A 0; en este caso, A 1 = 1 A

5 TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES 5 (5) Al intercambiar dos líneas paralelas (filas o columnas) en un determinante, el determinante cambia de signo (6) Si un determinante tiene dos líneas paralelas (filas o columnas) iguales, entonces el determinante es 0 (7) Si todos los elementos de una fila o columna de un determinante se multiplican por una cosntante λ, entocnes el valor del determnate queda multiplicado por dicha constante λ (8) Al sumar una fila multiplicada por una constante (o columna) a otra fila (columna) no cambia el valor del determinante Por ejemplo = ya que el segundo determinante se obtiene del primero al restar a la segunda fila la primera multiplicada por 4 El siguiente resultado es fundamental Teorema 35 Una matriz cuadrada A admite inversa si y sólo si A 0 4 Operaciones elementales con matrices Cálculo de la matriz inversa Las siguientes operaciones con las filas y columnas de una matriz A M n m se denominan operaciones elementales El intercambio de líneas paralelas de A (filas o columnas) La multiplicación de una línea de A (fila o columna) por una constante diferente de 0 La suma a una línea de A (fila o columna), un múltiplo de otra línea paralela de A Todas estas operacioens pueden ser dadas en términos de producto de matrices adecuadas (llamadas elementales) por A Una operación sobre las filas de A es equivalente a la multiplicación por la izquierda por una matriz elemental E M n De la misma forma, una operación sobre las columnas de A es equivalente a la multiplicación por la derecha por una matriz elemental E M n Por ejemplo, para intercambiar las filas 1 y 3 de la matriz A = , multiplicamos por la izquierda por la matriz elemental E = para obtener EA = =

6 6 TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES Para intercambiar las filas 1 y 2, la matriz elemental es E = la fila 2 de A la fila 3 pero multiplciada por7, la matriz elemental es E = manera que EA = = Para multiplciar la fila 2 de A por 5, consideramos la matriz elemental E = de manera que EA = = Para sumar a , de Estamos interesados en el método de Gauss de cálculo de la inversa de una matriz regular mediante operaciones elementales Definición 41 Dos matrices A y B del mismo orden son equivalentes si una de ellas puede obtenerse de la otra mediante operaciones elementales Teorema 42 Si A M n es regular, entocnes A es equivalente a la matriz identidad I n, es decir, existen matrices elementales E 1,, E r y E 1,, E r, tales que E r E 1 A = I n and AE 1 E r = I n Por tanto, la inversa de la matriz A es A 1 = E r E 1 = E 1 E r Esto significa que podemos encontrar la inversa de A mediante un número finito de operaciones elementales en las filas de la matriz Desde un punto de vista práctico el método de Gauss consiste en escribir una matriz ampliada a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n (A I n ) = a n1 a n2 a nn y realizar operaciones elementales sobre las filas de A hasta que sta se transforma en la matriz identidad I n La matriz en que se transforma la matriz identidad inicial, es la inversa de A, A 1 Ejemplo 43 Hallar la inversa de la matriz A = Respuesta: Se considera la matriz (A I 3 ) = En las operaciones siguientes, f i denota la fila i y f i ± λf j significa que sumamos (restamos) λ veces la,

7 fila j a la fila i (f 3 f 1 ) (2f 2 f 3 ) TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES ( ) 1 2 Por tanto, la inversa de la matriz es ; ; (f 3 + f 2 ) (2f 1 f 2 ) /2 1/2 1/ /2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 A 1 = 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 5 Rango de una matriz El concepto de rango de matrices es fundamental en el estudio de los sistemas lineales de ecuaciones Definición 51 La forma escalonada inferior de una matriz A M n m es la matriz equivalente B M n m con ceros por debajo de la diagonal principal Por tanto, la forma escalonada se obtiene al realizar operaciones elementales con las filas de A hasta conseguir que todos los elementos a 21, a 31, a 32, sean nulos Por ejemplo, la matriz E = es la forma escalonada inferior de la matriz A = , ya que ambas son matrices equivalentes (compruébese!) Definición 52 El rango de una matriz A M n m, denotado rango (A), es el número de filas no nulas en la matriz escalonada inferior equivalente a A Por ejemplo, el rango de la matriz A anterior es 3, ya que el número de filas no nulas de E es 3 51 Propiedades del rango de una matriz Sean A, B M n m (1) Las matrices A y B son equivalentes si y sólo si rango (A) = rango (B) (2) rango (A t ) = rango (A) (3) rango (A) min{n, m} (4) Si A es cuadrada, entonces rango (A) = n si y sólo si A 0

8 8 TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES Ejemplo 53 Hallar el rango de la matriz A = Respuesta: El rango es a lo sumo 3 Para hallarlo exactamente, busquemos la forma escalonada de A r 1+r (1/2)r 2+r /2 Luego el rango de A es 3 (pues quedan tres filas no nulas en la matriz escalonada) Existe una definición alternativa de rango, por supuesto, equivalente a la dada Definición 54 Dada una matriz A M n m, un menor de orden r de A es cualquiera de los determinantes de orden r que pueden construirse con r filas y r columnas de A Teorema 55 El rango de A coincide con el orden del mayor menor no nulo de A Notar que para determinar el rango de una matriz A con este método, podemos utilizar cualquiera de sus matrices equivalentes, en particular, la dorma escalonada de la matriz A Ejemplo 56 Calcular el rango de A = Respuesta: El rango es 3 a lo más En lugar de hallar la forma escalonada equivalente de A, vamos a calcularlo por menores Notar que , por lo que el rango de A es 2 al menos Si encontramos un menor no nulo de orden 3, entonces el rango de A es 3 En principio, podríamos necesitar calcular 4 menores de orden 3 (paramos en el momento en que encontramos uno no nulo) = 0, = 0, = 0, = 0 Por tanto, el rango es 2 Por supuesto, se obtiene el mismo resultado mediante transformaciones elementales f f 2 2f f 3 f

Tema 1: Matrices y Determinantes

Tema 1: Matrices y Determinantes Tema 1: Matrices y Determinantes September 14, 2009 1 Matrices Definición 11 Una matriz es un arreglo rectangular de números reales a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm Se dice que una matriz

Más detalles

Capítulo 1: Diagonalización de matrices

Capítulo 1: Diagonalización de matrices Capítulo : Diagonalización de matrices Matrices y determinantes Definición Una matriz es un arreglo rectangular de números reales a a a m a A a a m a n a n a nm La matriz es de orden n m si consta de n

Más detalles

Matrices. En este capítulo: matrices, determinantes. matriz inversa

Matrices. En este capítulo: matrices, determinantes. matriz inversa Matrices En este capítulo: matrices, determinantes matriz inversa 1 1.1 Matrices De manera informal una matriz es un rectángulo de números dentro de unos paréntesis. A = a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a

Más detalles

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales David Ariza-Ruiz 10 de octubre de 2012 1 Matrices Una matriz es una tabla numérica rectangular de m filas y n columnas dispuesta de la siguiente

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Capítulo 4 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices El problema central del Álgebra Lineal es la resolución de ecuaciones lineales simultáneas Una ecuación lineal con n-incógnitas x 1, x 2,, x n es una

Más detalles

Contenido. 2 Operatoria con matrices. 3 Determinantes. 4 Matrices elementales. 1 Definición y tipos de matrices

Contenido. 2 Operatoria con matrices. 3 Determinantes. 4 Matrices elementales. 1 Definición y tipos de matrices elementales Diciembre 2010 Contenido Definición y tipos de matrices elementales 1 Definición y tipos de matrices 2 3 4 elementales 5 elementales Definición 1.1 (Matriz) Una matriz de m filas y n columnas

Más detalles

Conjuntos y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales

Conjuntos y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales 1 Conjuntos y matrices Sistemas de ecuaciones lineales 11 Matrices Nuestro objetivo consiste en estudiar sistemas de ecuaciones del tipo: a 11 x 1 ++ a 1m x m = b 1 a n1 x 1 ++ a nm x m = b n Una solución

Más detalles

TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS.

TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. 1. MATRICES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. DEFINICIÓN: Las matrices son tablas numéricas rectangulares

Más detalles

Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales.

Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales. 12 de octubre de 2014 Matrices Una matriz A m n es una colección de números ordenados en filas y columnas a 11 a 12 a 1n f 1 a 21 a 22 a 2n f 2....... a m1 a m2 a mn f m c 1 c 2 c n Decimos que la dimensión

Más detalles

Definición: Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y coinciden los elementos que ocupan el mismo lugar.

Definición: Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y coinciden los elementos que ocupan el mismo lugar. UNIDAD 03: MATRICES Y DETERMINANTES. 3.1 Conceptos de Matrices. 3.1.1 Definición de matriz. Definición: Se lama matriz de orden m x n a un arreglo rectangular de números dispuestos en m renglones y n columnas.

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES CONCEPTO MATRICES Se llama matriz de orden (dimensión) m n a un conjunto de m n elementos dispuestos en m filas y n columnas Se representa por A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn j=1,2,,n

Más detalles

Definición Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.

Definición Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. Tema 1 Matrices 1.1. Conceptos básicos y ejemplos Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. NOTA:

Más detalles

Matrices. Álgebra de matrices.

Matrices. Álgebra de matrices. Matrices. Álgebra de matrices. 1. Definiciones generales Definición 1.1 Si m y n son dos números naturales, se llama matriz de números reales de orden m n a una aplicación A : {1, 2, 3,..., m} {1, 2, 3,...,

Más detalles

Matrices: repaso. Denotaremos con M m n el conjunto de matrices de tamaño m n, o sea, de m filas y n columnas. Una matriz A M m n es de la forma A =

Matrices: repaso. Denotaremos con M m n el conjunto de matrices de tamaño m n, o sea, de m filas y n columnas. Una matriz A M m n es de la forma A = Matrices: repaso Denotaremos con M m n el conjunto de matrices de tamaño m n, o sea, de m filas y n columnas Una matriz A M m n es de la forma a 11 a 1n A = a m1 a mn Denotaremos A ij = a ij el coeficiente

Más detalles

Matrices y determinantes

Matrices y determinantes Matrices y determinantes 1 Ejemplo Cuál es el tamaño de las siguientes matrices? Cuál es el elemento a 21, b 23, c 42? 2 Tipos de matrices Matriz renglón o vector renglón Matriz columna o vector columna

Más detalles

de la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ).

de la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ). INTRODUCCIÓN. MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.

Más detalles

Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes

Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes José M. Salazar Octubre de 2016 Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes Lección 1. Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes

Más detalles

ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL

ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL 520142 ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL Primer Semestre, Universidad de Concepción CAPITULO 7. MATRICES DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición: Matriz Sean

Más detalles

MATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL. MATRICES. Profesor: Fernando Ureña Portero MATRICES

MATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL. MATRICES. Profesor: Fernando Ureña Portero MATRICES CONCEPTO DE MATRIZ Definición: Se denomina matriz A o (a ij ) a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas : Columnas Filas Elemento a ij : Cada uno

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3

ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3 ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3 Matrices y determinantes (Curso 010 011). Sea A una matriz diagonal n n y supongamos que todos los elementos de su diagonal son distintos entre sí. Demostrar

Más detalles

TEMA 7: MATRICES. OPERACIONES.

TEMA 7: MATRICES. OPERACIONES. TEMA 7: MATRICES. OPERACIONES. 1. MATRICES. TIPOS DE MATRICES. Se llama matriz de orden m x n (m filas y n columnas) a un conjunto de m n elementos, distribuidos en m filas y n columnas y encerrados entre

Más detalles

3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE

3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE 3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2011-2012 3.1.1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método

Más detalles

Lo rojo sería la diagonal principal.

Lo rojo sería la diagonal principal. MATRICES. Son listas o tablas de elementos y que tienen m filas y n columnas. La dimensión de la matriz es el número se filas y de columnas y se escribe así: mxn (siendo m el nº de filas y n el de columnas).

Más detalles

Matrices y Sistemas Lineales

Matrices y Sistemas Lineales Matrices y Sistemas Lineales Álvarez S, Caballero MV y Sánchez M a M salvarez@umes, mvictori@umes, marvega@umes 1 ÍNDICE Matemáticas Cero Índice 1 Definiciones 3 11 Matrices 3 12 Sistemas lineales 5 2

Más detalles

Matrices y Sistemas de Ecuaciones lineales

Matrices y Sistemas de Ecuaciones lineales Matrices y Sistemas de Ecuaciones lineales Llamaremos M m n (K) al conjunto de las matrices A = (a ij ) (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) donde los elementos a ij pertenecen a un cuerpo K. Las matrices,

Más detalles

1. Matrices. Operaciones con matrices

1. Matrices. Operaciones con matrices REPASO MUY BÁSICO DE MATRICES. Matrices. Operaciones con matrices.. Introducción Las matrices aparecieron por primera vez hacia el año 850, introducidas por el inglés J. J. Sylvester. Su desarrollo se

Más detalles

TEMA V. Pues bien, a estas caracterizaciones de los sistemas de ecuaciones lineales se las llamó matrices. En el caso del sistema considerado tenemos:

TEMA V. Pues bien, a estas caracterizaciones de los sistemas de ecuaciones lineales se las llamó matrices. En el caso del sistema considerado tenemos: TEMA V 1. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales: Realmente quien determina la naturaleza y las soluciones del sistema, no son las incógnitas: x, y,

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3

ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3 ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3 Matrices y determinantes (Curso 2011 2012) 2. Sea A una matriz diagonal n n y supongamos que todos los elementos de su diagonal son distintos entre sí.

Más detalles

Matrices y Sistemas Lineales

Matrices y Sistemas Lineales Matrices y Sistemas Lineales Álvarez S, Caballero MV y Sánchez M a M salvarez@umes, mvictori@umes, marvega@umes Índice 1 Definiciones 3 11 Matrices 3 12 Sistemas lineales 6 2 Herramientas 8 21 Operaciones

Más detalles

MATRICES. Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

MATRICES. Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente. 1 MATRICES Una matriz es una tabla ordenada de escalares a ij de la forma La matriz anterior se denota también por (a ij ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a ij ). Los términos horizontales

Más detalles

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Capítulo 4 Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales DEFINICIÓN DE MATRIZ DE NÚMEROS REALES Una matriz de números reales de tamaño m n es un conjunto ordenado por filas y columnas de números

Más detalles

Estos apuntes se han sacado de la página de internet de vitutor con pequeñas modificaciones.

Estos apuntes se han sacado de la página de internet de vitutor con pequeñas modificaciones. TEMA 1: MATRICES Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento

Más detalles

MATRICES. TIPOS DE MATRICES Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:

MATRICES. TIPOS DE MATRICES Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en: Repaso de Matrices MATRICES Una matriz es una tabla ordenada de escalares a ij de la forma La matriz anterior se denota también por (a ij ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a ij ). Los términos

Más detalles

3. Matrices. 1 Definiciones básicas. 2 Operaciones con matrices. 2.2 Producto de una matriz por un escalar. 2.1 Suma de matrices.

3. Matrices. 1 Definiciones básicas. 2 Operaciones con matrices. 2.2 Producto de una matriz por un escalar. 2.1 Suma de matrices. Tema I Capítulo 3 Matrices Álgebra Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC 3 Matrices 1 Definiciones básicas Definición 11 Una matriz A de dimensión m n es un conjunto de escalares

Más detalles

Sistemas Lineales y Matrices

Sistemas Lineales y Matrices Profesores Hernán Giraldo y Omar Saldarriaga Instituto de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Ejemplo Solución de sistemas de ecuaciones lineales, usaremos este

Más detalles

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo:

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo: 1 MATRICES CONCEPTOS BÁSICOS Definición: Matriz Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo: es una matriz de 3 x 2 (que se lee 3 por 2 ) pues es un arreglo rectangular de números con

Más detalles

Matrices 2º curso de Bachillerato Ciencias y tecnología

Matrices 2º curso de Bachillerato Ciencias y tecnología MATRICES Índice:. Introducción-------------------------------------------------------------------------------------- 2. Definición de matriz-----------------------------------------------------------------------------

Más detalles

Matrices 3. Matrices. Verónica Briceño V. agosto 2012

Matrices 3. Matrices. Verónica Briceño V. agosto 2012 3 agosto 2012 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Matriz Inversa En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Matriz Inversa Determinante En esta Presentación... En esta Presentación

Más detalles

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1, con una o varias incógnitas. Dos ecuaciones son equivalentes

Más detalles

Matrices. José Vicente Romero Bauset. ETSIT-curso 2009/2010. José Vicente Romero Bauset Tema 1.- Matrices. 1

Matrices. José Vicente Romero Bauset. ETSIT-curso 2009/2010. José Vicente Romero Bauset Tema 1.- Matrices. 1 Matrices José Vicente Romero Bauset ETSIT-curso 2009/2010 José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 1 Introducción Por qué estudiar las matrices? Son muchas las situaciones de la vida real en las que

Más detalles

Tema 1: Matrices. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico.

Tema 1: Matrices. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico. Tema 1: Matrices El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico. 1. Terminología Comenzamos con la definición de matriz

Más detalles

Matrices 1. Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Matrices 1. Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Matrices 1 Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se

Más detalles

Algunos Tipos de matrices. Matrices. Algunos Tipos de matrices. Algunos Tipos de matrices

Algunos Tipos de matrices. Matrices. Algunos Tipos de matrices. Algunos Tipos de matrices Matrices Una matriz de orden m n es un conjunto ordenado de m n números reales dispuestos en m filas y n columnas de la forma: A = a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n a i1 a i2 a ij a in a m1 a m2

Más detalles

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales Introducción Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley

Más detalles

Clase 8 Matrices Álgebra Lineal

Clase 8 Matrices Álgebra Lineal Clase 8 Matrices Álgebra Lineal Código Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Matrices Definición Una matriz es un arreglo rectangular de números denominados entradas

Más detalles

Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se llaman elementos de la matriz. ) ( + ( ) ( )

Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se llaman elementos de la matriz. ) ( + ( ) ( ) MATRICES Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se llaman elementos de la matriz. Ejemplo 1. Algunos ejemplos de matrices ( + ( ) ( + ( ) El tamaño o el orden de una

Más detalles

Definición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas.

Definición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas. 1.- CONCEPTO DE MATRIZ. TIPOS DE MATRICES Definición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas. 1 3 4 Por ejemplo, A = es una matriz de 2 filas y 3 columnas 0 5

Más detalles

Matriz A = Se denomina MATRIZ a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Matriz A = Se denomina MATRIZ a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. MATRICES Matriz Se denomina MATRIZ a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n A = a i1 a ij a in a m1 a

Más detalles

DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES

DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRA DE MATRICES DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES DEFINICIONES 2 Las matrices y los determinantes son herramientas

Más detalles

Matrices y sistemas lineales

Matrices y sistemas lineales 15 Matemáticas I : Preliminares Tema 2 Matrices y sistemas lineales 2.1 Definiciones básicas Una matriz es una tabla rectangular de números, es decir, una distribución ordenada de números. Los números

Más detalles

Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES

Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES 1. DEFINICIÓN Y TIPO DE MATRICES DEFINICIÓN. Una matriz es un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas. Si en ese conjunto hay m n números escritos

Más detalles

UNIDAD 1 : MATRICES Y DETERMINANTES

UNIDAD 1 : MATRICES Y DETERMINANTES Material de estudio 05: Matrices y UNIDAD : MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe

Más detalles

MATRICES DETERMINANTES

MATRICES DETERMINANTES MATRICES Y DETERMINANTES INTRODUCCIÓN, MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de

Más detalles

Matemáticas Física Curso de Temporada Verano Ing. Pablo Marcelo Flores Jara

Matemáticas Física Curso de Temporada Verano Ing. Pablo Marcelo Flores Jara Matemáticas Física Curso de Temporada Verano 2016 Ing. Pablo Marcelo Flores Jara pablofloresjara@gmail.com UNIDAD III: INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO MATRICIAL Ing. Pablo Marcelo Flores Jara pablofloresjara@gmail.com

Más detalles

MATEMÁTICAS II: MATRICES Y DETERMINANTES

MATEMÁTICAS II: MATRICES Y DETERMINANTES MATRICES Llamaremos matriz de números reales de orden (o dimensión) m n a un conjunto ordenado de m n números reales, dispuestos en m filas y n columnas: A a 11 a 12 a 13 a 1j a 1n a 21 a 22 a 23 a 2j

Más detalles

1. Lección 3: Matrices y Determinantes

1. Lección 3: Matrices y Determinantes Apuntes: Matemáticas Empresariales II 1. Lección 3: Matrices y Determinantes Se define matriz de orden n m a todo conjunto de n m elementos de un cuerpo K, dispuestos en n filas y m columnas: A n m = (

Más detalles

1 ÁLGEBRA DE MATRICES

1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1.1 DEFINICIONES Las matrices son tablas numéricas rectangulares. Se dice que una matriz es de dimensión m n si tiene m filas y n columnas. Cada elemento de una matriz se designa

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Sistemas de Ecuaciones Lineales Sistemas de Ecuaciones Lineales 1 Sistemas de ecuaciones y matrices Definición 1 Una ecuación lineal en las variables x 1, x 2,..., x n es una ecuación de la forma con a 1, a 2... y b números reales. a

Más detalles

Matrices. Observación: Es usual designar una matriz por letras mayúsculas: A, B, C,... 3 B =

Matrices. Observación: Es usual designar una matriz por letras mayúsculas: A, B, C,... 3 B = Definición: A una ordenación o arreglo rectangular de ciertos objetos se define como matriz (en este curso nos interesa que los objetos de la matriz sean numeros reales. Observación: Es usual designar

Más detalles

Tema 3: MATRICES. Prof. Rafael López Camino Departamento de Geometría y Topología Universidad de Granada

Tema 3: MATRICES. Prof. Rafael López Camino Departamento de Geometría y Topología Universidad de Granada Tema 3: MATRICES Prof. Rafael López Camino Departamento de Geometría y Topología Universidad de Granada Material docente para el alumno Asignatura: Geometría I. Curso 2003/04 Licenciatura: Matemáticas

Más detalles

Matrices y Determinantes.

Matrices y Determinantes. Tema II Capítulo 1 Matrices Álgebra Lineal I Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC Tema II Matrices y Determinantes 1 Matrices 1 Definiciones básicas Definición 11 Una matriz A de

Más detalles

A-PDF Page Cut DEMO: Purchase from to remove the watermark Ejercicios resueltos 29

A-PDF Page Cut DEMO: Purchase from  to remove the watermark Ejercicios resueltos 29 wwwapuntesdematesweeblycom A-PDF Page Cut DEMO: Purchase from wwwa-pdfcom to remove the watermark Ejercicios resueltos 29 Qué coste conlleva el cálculo de la inversa de una matriz A R n n? Calculando A

Más detalles

MATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS

MATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS Definición: se llama matriz de m filas y n columnas sobre un cuerpo K (R ó C), a una ordenación rectangular de la forma Notación: a11 a...... a1n a21 a...... a2n A = M M M donde cada elemento a ij Є K

Más detalles

Matrices y Determinantes

Matrices y Determinantes Capítulo 1 Matrices y Determinantes 11 Matrices Generalidades Definición 11 Sea E un conjunto cualquiera, m, n N Definimos matriz de orden m n sobre E a una expresión de la forma: a 11 a 12 a 1n a 21 a

Más detalles

MATRICES. Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

MATRICES. Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. MATRICES Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento

Más detalles

APÉNDICE A. Algebra matricial

APÉNDICE A. Algebra matricial APÉNDICE A Algebra matricial El estudio de la econometría requiere cierta familiaridad con el álgebra matricial. La teoría de matrices simplifica la descripción, desarrollo y aplicación de los métodos

Más detalles

Matemáticas 2.º Bachillerato. Matemáticas 2.º Bachillerato. Matemáticas 2.º Bachillerato. Ejemplo:

Matemáticas 2.º Bachillerato. Matemáticas 2.º Bachillerato. Matemáticas 2.º Bachillerato. Ejemplo: Mapa conceptual Determinante de segundo orden Dada una matriz cuadrada de segundo orden: a a 11 12 A = a a 21 22 se llama determinante de A al número real: det (A)= A = a11 a 12 = a a a a a21 a22 11 22

Más detalles

Matemá'cas generales

Matemá'cas generales Matemá'cas generales Matrices y Sistemas Patricia Gómez García José Antonio Álvarez García DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN Este tema se publica bajo Licencia: Crea've Commons

Más detalles

Matriz sobre K = R o C de dimensión m n

Matriz sobre K = R o C de dimensión m n 2 Matrices y Determinantes 21 Matrices Matriz sobre K = R o C de dimensión m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Tipos de matrices: Cuadrada: n n = (a ij) i=1,,m j=1,,n Nula: (0) i,j 1 0

Más detalles

Se llama adjunto de un elemento de una matriz A, al número resultante de multiplicar por el determinante de la matriz complementaria

Se llama adjunto de un elemento de una matriz A, al número resultante de multiplicar por el determinante de la matriz complementaria T.3: MATRICES Y DETERMINANTES 3.1 Determinantes de segundo orden Se llama determinante de a: 3.2 Determinantes de tercer orden Se llama determinante de a: Ejercicio 1: Halla los determinantes de las siguientes

Más detalles

a) La adición y la multiplicación de matries cuadradas del mismo orden, están bien definidas.

a) La adición y la multiplicación de matries cuadradas del mismo orden, están bien definidas. MATRICES CUADRADAS Definición: ( Cuadradas Una matriz A es una matriz cuadrada de orden n, si y solo si, A es de oreden n n, es decir, A tiene n filas y n columnas: a 11 a 1n a n1 a nn Observación: a La

Más detalles

APUNTES ALGEBRA SUPERIOR

APUNTES ALGEBRA SUPERIOR 1-1-016 APUNTES ALGEBRA SUPERIOR Apuntes del Docente Esp. Pedro Alberto Arias Quintero. Departamento De Ciencias Básicas, Unidades Tecnológicas de Santander. Contenido MATRICES Y DETERMINANTES... ELEMENTOS

Más detalles

11.SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DEFINICIÓN DE ECUACIÓN LINEAL DEFINICIÓN DE SISTEMA LINEAL Y CONJUNTO SOLUCIÓN

11.SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DEFINICIÓN DE ECUACIÓN LINEAL DEFINICIÓN DE SISTEMA LINEAL Y CONJUNTO SOLUCIÓN ÍNDICE 11SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 219 111 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN LINEAL 219 112 DEFINICIÓN DE SISTEMA LINEAL Y CONJUNTO SOLUCIÓN 220 113 EQUIVALENCIA Y COMPATIBILIDAD 220 11 REPRESENTACIÓN MATRICIAL

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales Tema 1 Sistemas de ecuaciones lineales 11 Definiciones Sea K un cuerpo Una ECUACIÓN LINEAL CON COEFICIENTES EN K es una expresión del tipo a 1 x 1 + + a n x n = b, en la que n es un número natural y a

Más detalles

BLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES.

BLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES. BLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES. Matrices: Se llama matriz de dimensión m n a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma: 11 a 12 a 13... a 1n A= a a 21

Más detalles

1. Matrices y determinantes

1. Matrices y determinantes A-PDF Page Cut DEMO: Purchase www.apuntesdemates.weebly.com from www.a-pdf.com to remove the watermark 1. Matrices y determinantes 1.1 Notación y definiciones Definición 1.1 [Matriz] Una matriz es una

Más detalles

Resumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

Resumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones Resumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales 1 Matrices Una matriz con coeficientes sobre un cuerpo K (normalmente K R) consiste en una colección de números (o escalares) del cuerpo

Más detalles

Una matriz es una tabla ordenada (por filas y columnas) de escalares a i j de la forma: ... ... a... ...

Una matriz es una tabla ordenada (por filas y columnas) de escalares a i j de la forma: ... ... a... ... MATRICES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 1 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad

Más detalles

INVERSA DE UNA MATRIZ

INVERSA DE UNA MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ Profesores Omar Darío Saldarriaga Ortíz Ivan Darío Gómez Hernán Giraldo 2009 Definición Sean x = x 1 x n y y = y 1 y n vectores de n componentes, definimos el producto interno o producto

Más detalles

Tema I. Matrices y determinantes

Tema I. Matrices y determinantes Tema I. Matrices y determinantes 2007 Carmen Moreno Valencia 1. Matrices sobre un cuerpo 2. Operaciones con matrices 3. Determinante de una matriz cuadrada 4. Menor complementario y adjunto 5. Cálculo

Más detalles

MATRICES. Una matriz es un ordenamiento rectangular de números. Los siguientes son ejemplos de matrices.

MATRICES. Una matriz es un ordenamiento rectangular de números. Los siguientes son ejemplos de matrices. MATRICES Una matriz es un ordenamiento rectangular de números Los siguientes son ejemplos de matrices [ [ 1 2 1 2 3 1 0 4 1 2 A, B, C 0 1, D 0 1 2 3 2 1 1 1 1 1 2 1 1 En una matriz se pueden identificar

Más detalles

MATRICES. Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden x (que se lee por ).

MATRICES. Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden x (que se lee por ). 1 MATRICES 1 Una matriz es una disposición rectangular de números (Reales); la forma general de una matriz con filas y columnas es Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden

Más detalles

El álgebra de las matrices Suma y producto por un escalar Producto de matrices Propiedades y ejemplos

El álgebra de las matrices Suma y producto por un escalar Producto de matrices Propiedades y ejemplos El álgebra de las matrices Suma y producto por un escalar Producto de matrices Propiedades y ejemplos c Jana Rodriguez Hertz p. 1/1 Suma de matrices - definición Si dos matrices A,B M m n K tienen el mismo

Más detalles

Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales.

Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales. UNIVERSIDAD DE MURCIA Departamento de Matemáticas Óptica y Optometría Resúmenes Curso 2007-2008 Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales. Una matriz A de orden m n es una colección de m

Más detalles

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES 3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Página 74 Determinantes de orden 2 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y calcula el determinante de la matriz de los coeficientes:

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES y SISTEMAS DE ECUACIONES ES Y MATRICES Sergio Stive Solano 1 Febrero de 2015 1 Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.com y SISTEMAS DE ECUACIONES ES Y MATRICES Sergio Stive Solano 1 Febrero de 2015

Más detalles

Es decir, det A = producto de diagonal principal producto de diagonal secundaria. Determinante de una matriz cuadrada de orden 3

Es decir, det A = producto de diagonal principal producto de diagonal secundaria. Determinante de una matriz cuadrada de orden 3 1.- DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA Determinante de una matriz cuadrada de orden 1 Dada una matriz cuadrada de orden 1, A = (a), se define det A = det (a) = a Determinante de una matriz cuadrada de

Más detalles

1. Utilizar el método de Gauss para clasificar y resolver cuando sea posible los siguientes sistemas: x 3y + 7z = 10 5x y + z = 8 x + 4y 10z = 11

1. Utilizar el método de Gauss para clasificar y resolver cuando sea posible los siguientes sistemas: x 3y + 7z = 10 5x y + z = 8 x + 4y 10z = 11 Teorema de Rouché Frobenius: Si A es la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales y AM la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales. Si r(a = r(am = número de incógnitas =

Más detalles

DETERMINANTES UNIDAD 3. Página 76

DETERMINANTES UNIDAD 3. Página 76 UNIDAD 3 DETERMINANTE Página 76 Determinantes de orden 2 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y calcula el determinante de la matriz de los coeficientes: 2x + 3y 29 5x 3y 8 4x + y

Más detalles

Matrices y Determinantes

Matrices y Determinantes Apuntes de Álgebra Lineal Capítulo 3 Matrices y Determinantes 31 Operaciones con matrices 311 Suma, resta y multiplicación por escalares Las matrices de un tamaño fijo m n se pueden sumar entre sí y esta

Más detalles

Menor, cofactor y comatriz

Menor, cofactor y comatriz Menor, cofactor y comatriz Sea A una matriz cuadrada de orden n. Al quitarle la línea i y la columna j se obtiene una submatriz de orden n-1, que se denota habitualmente A i,j. Por ejemplo, con n = 4,

Más detalles

Matrices y determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales

Matrices y determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales Tema 0 Matrices y determinantes Sistemas de ecuaciones lineales 01 Introducción Definición 011 Se llama matriz a un conjunto ordenado de números, dispuestos en filas y columnas, formando un rectángulo

Más detalles

Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que

Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que MATRICES INVERTIBLES Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que AB = BA = I siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Profesores Omar Darío Saldarriaga Ortíz Ivan Darío Gómez Hernán Giraldo 2009 Definición Una matriz es un arreglo rectangular de números reales en m filas y n a 11 a 1n columnas

Más detalles

MATRICES. M(n) ó M nxn A =

MATRICES. M(n) ó M nxn A = MTRICES Definición de matriz. Una matriz de orden m n es un conjunto de m n elementos pertenecientes a un conjunto, que para nosotros tendrá estructura de cuerpo conmutativo y lo denotaremos por K, dispuestos

Más detalles

Tema 5: Sistemas de ecuaciones lineales.

Tema 5: Sistemas de ecuaciones lineales. TEORÍA DE ÁLGEBRA: Tema 5 DIPLOMATURA DE ESTADÍSTICA 1 Tema 5: Sistemas de ecuaciones lineales 1 Definiciones generales Definición 11 Una ecuación lineal con n incognitas es una expresión del tipo a 1

Más detalles

APUNTES DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

APUNTES DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES APUNTES DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ignacio López Torres. Reservados todos los derechos. Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio electrónico

Más detalles

Matrices. Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas.

Matrices. Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Matrices Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento

Más detalles

PAIEP. Sistemas de Ecuaciones Lineales

PAIEP. Sistemas de Ecuaciones Lineales Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile Sistemas de Ecuaciones Lineales Consideremos el sistema lineal de dos ecuaciones y dos incógnitas x + y = 2 2x

Más detalles