Aplicación de la Mecánica Cuántica a sistemas sencillos

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1 Aplicción de l Mecánic Cuántic sistems sencillos Antonio M. Márquez Deprtmento de Químic Físic Universidd de Sevill Curso -17 Problem 1 Clcule los vlores promedio de x y x pr un prtícul en el estdo n = 5 moviéndose en un cj monodimensionl de longitud = m. Es x = x? Explique su respuest. El vlor esperdo de observble p socido un operdor ˆP puede clculrse como p = Ψ ˆPΨdτ donde l integrl se extiende todo el espcio y Ψ es l función de onds del sistem. En nuestro cso nπx x = x nπx dx = x nπx dx hciendo el cmbio de vrible nos qued t = nπx, x = n π nπ x = t, y dx = nπ nπ dt t t dt = l integrl que nos qued puede resolverse usndo nπ n π t t dt x bxdx = x x b bx 1 cosbx +C 8b siendo b = 1 y teniendo en cuent los límites de integrción, nos qued x = [ x n π x x 1 8 cosx nπ] = = n π n π = = m y que los términos en x son cero y los términos en cosx se nuln entre sí. Procediendo de form similr obtenemos el vlos esperdo de x x = nπx x nπx dx = 1 x nπx dx

2 hciendo el cmbio de vrible t = nπx, nos qued 3 nπ x = t, y dx = nπ nπ dt nπ x = n 3 π 3 t t dt = n 3 π 3 t t dt l integrl que nos hce flt es de l form ( x bxdx = x3 x 6 b 1 ) 8b 3 bx x cosbx +C b con b = 1 nos qued [ ( x = x 3 x n 3 π )x x nπ] 8 cosx = [ = n 3 n 3 π 3 π 3 6 nπ ] [ cosnπ = n n π π 3 1 ] = = n π 3 6n π =.7 1 m Problem Supong que l función de ond de un sistem se puede escribir como 3 3 Ψ(x) = φ 1(x) + φ (x) + + i 3 φ 3 (x) Y que φ 1 (x), φ (x) y φ 3 (x) son funciones propis normlizds del operdor energí cinétic T, con vlores propios E 1, E 1 y E 1, respectivmente. ) Compruebe que Ψ(x) está normlizd. b) Cuáles son los vlores que se pueden obtener l medir l energí cinétic en sistems que se encuentrn en el mismo estdo descrito por l función Ψ(x)? c) Cuál es l probbilidd de obtener cd uno de esos vlores? d) Cuál es el vlor medio de l energí cinétic que se obtendrí l relizr un grn número de medids en sistems idénticos? ) Pr comprobr que l función de ond está normlizd tenemos que comprobr que Ψ (x) Ψ(x)dx = 1 utilizndo l expresión de Ψ(x), tenemos Ψ (x) Ψ(x)dx = [ 3 3 φ 1 (x) + φ (x) + i ] 3 φ3 (x) [ 3 3 φ 1(x) + φ (x) + + i ] 3 φ 3 (x) dx =

3 = 3 φ1 (x)φ 1 (x)dx φ1 (x)φ (x)dx i φ1 (x)φ 3 (x)dx φ (x)φ 1 (x)dx + 3 φ (x)φ (x)dx i 8 8 φ (x)φ 3 (x)dx i φ3 (x)φ 1 (x)dx + 3 3i 8 φ3 (x)φ (x)dx+ + ( 3i)( + 3i) φ3 (x)φ 3 (x)dx ls integrles φ i (x)φ j(x)dx pueden evlurse fácilmente, puesto que son funciones propis de un mismo operdor hermítico, formrán prte de un conjunto completo de funciones ortonormles y φ i (x)φ j (x)dx = δ i j con lo que Ψ (x) Ψ(x)dx = = 1 quedndo comprobdo que l función de ond propuest está normlizd. b) Bsándonos en el postuldo de cuntizción los únicos vlores que se pueden obtener son los vlores propios del operdor socido cuys funciones propis prticipen en l descripción del estdo del sistem. En este cso, los vlores posibles son los vlores propios socidos φ 1, φ y φ 3, es decir E 1, E 1 y E 1 c) Bsándonos en el postuldo de descomposición espectrl podemos identificr l probbilidd de obtener cd uno de esos vlores con el cudrdo del modulo del coeficiente que multiplic l función propi socid en el desrrollo de l función de ond del estdo del sistem. Es decir, en generl, si Ψ = c i φ i i es l función de ond del sistem y ls φ i son funciones propis del operdor en cuestión, l probbilidd de obtener el vlor propio socido φ i es c i c i. En nuestro cso: p 1 = c 1 = 3 l problibidd de obtener E 1 p = c = 3 8 l problibidd de obtener E = E 1 p 3 = c 3c 3 = 7 l problibidd de obtener E 3 = E 1 d) Utilizmos el postuldo de descomposición espectrl pr expresr el vlor medio de l energí cinétic como T = c i c i T i i donde c i son los coneficientes de l funciones propis del operdor energí cinétic (φ i ) y T i sus correspondientes vlores propios. Con esto T = c 1 E 1 + c E + c 3c 3 E 3 = = 3 E E E 1 = = 3 E E E 1 = 3 E 1 3

4 Problem 3 Deduzc un ecución pr l probbilidd de que un prtícul crcterizd por el número cuántico n esté en el primer curto ( x.5) de un cj de predes de potencil infinito, de dimensión. Demuestre que est probbilidd se proxim l límite clásico cundo n. L probbilidd de encontrr un prtícul descrit por l función de ond φ(x) en el intervlo [,b] viene dd por en nuestro cso b p = φ (x)φ(x)dx p = / hciendo el cmbio de vrible tenemos utilizndo tenemos p = / nπx nπx dx = / nπx dx t = nπx x = nπ t dx = nπ dt nπx dx = nπ/ t nπ dt = nπ/ t dt nπ kxdx = x 1 k kx p = [ t nπ 1 ] nπ/ t = [ nπ nπ 8 1 nπ = 1 1 nπ nπ Fácilmente podemos ver que se proxim l límite clásico (1/) cundo n, y que en el segundo término l función trigonométric está cotd ( x 1) y el denomindor crece con n, por tnto el segundo término tiende cero, sólo nos qued el primero y ] = p n = 1 Problem Demuestre que los vlores propios de l energí de l prtícul libre, E = h k /m, son consistentes con el resultdo clásico, E = mv /. L función de ond de l prtícul libre es Ψ + (x) = Ae +ikx Ψ (x) = Ae ikx donde k = π λ

5 y λ es l longitud de ond socid l prtícul. Teniendo en cuent l relción de de Broglie λ = h p tenemos k = π p h = p h y E = h k m = p m = 1 mv Problem 5 El modelo de l prtícul en un cj 1D h sido relevnte en el estudio de los electrones π en un hidrocrburo linel conjugdo. Se sume que éstos pueden ser descrito por ls funciones propis de un prtícul en un cj, cuy longitud L se determin prtir de ls longitudes de los enlces C=C y C-C. En este modelo, los electrones π del butdieno ocupn, en su estdo fundmentl, los niveles n = 1 y n = de un prtícul en un cj de dimensión L = 5.78 Å. Determine l energí socid cd nivel, l energí totl de los electrones π en el estdo fundmentl, l energí del primer estdo excitdo que result de promover un electrón desde n = n = 3, y l diferenci de energí de los dos estdos, E (cm 1 ) y compre con l bnd de bsorción observd pr butdieno 61 cm 1. Clcule el error cometido. Utilizndo el modelo de l prtícul en un cj 1D pr este sistem, tendrímos que L = 5.78 Å y m = m e = kg, y que son los electrones ls prtículs que ocupn los niveles de energí del sistem. Y que tenemos ocupdos dos niveles, podemos clculr ls energís de los mismos como E 1 = h 8m e L 1 = J y E = h 8m e L = J y l energí totl como l sum de ls energís de cd prtícul E π = E 1 + E = J y que tenemos dos prtículs en cd nivel de energí. El estdo excitdo result, según el enuncido, de promover un electrón del nivel n = l nivel n = 3, por lo tnto l energí de dicho estdo será E π = E 1 + E + E 3 = J donde hemos usdo E 3 = h 8m e L 3 = J L diferenci de energí entre los dos estdos es E = E π E π = J y Ẽ = E hc = 5 cm 1 dto que sólo tiene un error del 1.5% respecto del vlor experimentl %error = = 1.5% 61 5

6 Problem 6 Clcule ) el vlor del punto cero de energí de un átomo de He en un cj monodimensionl de longitud 1. cm y b) el cociente entre est energí y el vlor k B T 3 K. ) L energí de punto cero es l energí del primer nivel posible en un sistem. En el cso que se nos indic podemos suponer que ls predes de l cj son de potencil infinito e identificr l energí de punto cero con E = h 8m He L n = h 8m He L = ( ) = = J b) El cociente de dich energí con k B T T = 3 K será E k B T = = Problem 7 Cules son ls energís de los ocho niveles de energí más bjos en un cj tridimensionl de dimension = b y c =? Cuál es l degenerción de cd nivel? Los niveles de energí de un cj tridimensionl vienen ddos por l expresión generl [ ] E = h n x 8m Lx + n y Ly + n z Lz si L x = L y = y L z = E = [ ] h 8m n x + n y + n z h Podemos expresr ls energís en uniddes de energí dndo vlores consecutivos n x, n y y n z 8m n x n y n z E (h /8m ) degenerción / / / y obtener los primeros niveles de 6

7 Problem 8 Considere un prtícul en un cj definid por si x, V (x) = si < x <, si x. Explique por qué cd un de ls siguientes funciones no normlizds es o no ceptble como función de ond, sobre l bse de criterios tles como ser consistente con ls condiciones límite y con l definición de probbilidd socid l producto Ψ (x)ψ(x)dx: ) Acos nπx + A nπx b) B(1 + nπx ) c) Cx 3 (x ) d) D( x)x E e) cos nπx Tenemos que tener en cuent que Ψ(x) debe ser contínu y que Ψ(x) = si x = o si x =. Deber tmbién ser finit, pr que l densidd de probbilidd se finit e integrble. ) No es válid, puesto que l función no se nul en x = ni en x =. Puede ser válid si A =. b) No es válid, y que no se nul en x = ni en x =. c) Es válid. Se nul en x = y x = y es contínu y finit en todo el intervlo. d) Es válid. Se nul en x = y x = y es contínu y finit en todo el intervlo. e) No es válid, y que tom el vlor Ψ(x) = en x = / pr vlores impres de n. Problem 9 L estructur generl de l molécul de porfirin es N H N N H N Est molécul es pln. Sus electrones π pueden estudirse con el modelo de l prtícul en un cj D, sumiendo que estuviern confindos en un cudrdo de ldo L. L molécul de portfirin tiene 6 electrones π. Si proximmos l longitud de l molécul 1 Å, cuál es entonces l menor energí de bsorción previst por este modelo pr est molécul? Clcule el error cometido si el vlor experimentl es 17 cm 1. 7

8 Ddo que el sistem es bidimensionl hy que hcer un esquem de los niveles de energí pr ver cul es el último nivel ocupdo y el primero vcío. L trnsición entre esos dos niveles es l que define l menor energí de bsorción. Culquier otr requerirá myor energí. ( ) h E 8m Sustituyendo vlores ( = m, m = m e ) 5 Aplicndo l expresión E = J y ν = E hc el error respecto del vlor experimentl es %error = E nx,n y = h ( n 8m x + n ) y obtenemos el esquem de energís - expresds en uniddes de ( h /8m ) - que prece l izquierd. El último nivel ocupdo (pr 6 electrones) tiene un energí de y el primero vcío de 5 (y que cd estdo está ocupdo por dos electrones). Por tnto, l trnsición de menor energí será ( ) h E = 5 8m = 15 cm = 1.9% 17 Problem 1 Ls funciones propis del Hmiltonino Ĥ de l prtícul en un cj monodimensionl son tmbién funciones propis del operdor momento linel, ˆp x? Clcule el vlor promedio de ˆp x pr el cso n = 3. Repit el cálculo pr n = 5 y, prtir de estos dos resultdos, sugier un expresión válid pr todos los vlores de n. Cómo compr su resultdo con l predicción bsd en l físic clásic? Comprobemos primero ls funciones de ond de l prtícul en l cj son funciones propis del operdor momento linel. Pr que eso ocurr debemos tener siendo p un esclr (el vlor propio). Tenemos ˆp x Ψ n = i h d dx Ψ n = i h d dx ˆp x Ψ n = p Ψ n nπx = i hnπ nπx cos que no es un ecución de vlor propio. Por tnto ls funciones de ond de l prtícul en un cj no son funciones propis del operdor ˆp x. 8

9 Podemos obtener el vlor esperdo de p x de form generl, pr culquier vlor de n como ( nπx p x = Ψ n ˆp x Ψ n dx = i h d ) nπx dx = dx nπx = i h nπ nπx cos dx = = i h nπx ( ) nπ nπx cos dx = i h nπx = independientemente del vlor de n. Este resultdo concuerd perfectmente con l físic clásic, puesto que tenemos l mism probbilidd de encontrr l prtícul vijndo hci l derech como l izquierd, con el mismo momento linel, por lo que el vlor promedio del mismo será cero. 9

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