Taller 6 La fórmula de Euler y los Sólidos Platónicos Profesor: Maximiliano Leyton

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Josefina Ojeda Aranda
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Taller 6 La fórmula de Euler y los Sólidos Platónicos Profesor: Maximiliano Leyton I. Fórmula de Euler Ejercicio 1. Considere un cuadrado y escoja arbitrariamente 10 puntos en su interior.

1 Taller 6 La fórmula de Euler y los Sólidos Platónicos Profesor: Maximiliano Leyton I. Fórmula de Euler Ejercicio 1. Considere un cuadrado y escoja arbitrariamente 10 puntos en su interior. Utilizando estos puntos y los vértices del cuadrado haga una triangulación del cuadrado, es decir, subdivida el cuadrado en triángulos de tal forma que estos no se traslapen y que sus vértices estén en el conjunto formado por los 10 puntos y los vértices del cuadrado. Calcule el número de triángulos obtenidos. Instituto de Matemática y Física 1

2 Respuesta. 22 triángulos Grafos Informalmente, un grafo es un conjunto de objetos llamados vértices unidos por enlaces llamados aristas. Ejemplo Observaciones Un bucle es una arista que conecta un vértice consigo mismo. Las aristas múltiples, son dos o más aristas que son que conectan a dos vértices. Definición Cuando un Grafo no tiene bucles ni aristas múltiples es llamado Grafo Simple. Instituto de Matemática y Física 2

3 Ejemplos No es un Grafo Simple Es un Grafo Simple Estos grafos son iguales. Grafos Planos Definición ( Muy Importante) Un Grafo Plano es un grafo simple que puede ser dibujado en el plano sin que ninguna arista se cruce. Ejemplo Estas son dos formas de dibujar el mismo grafo. Observe que en el dibujo de la derecha no hay aristas que se crucen. Conclusión Este grafo es plano. Observación. Instituto de Matemática y Física 3

aristas del grafo; 3) 3 C es la cantidad de caras del grafo, es decir, las regiones conectadas por aristas, incluyendo la región externa e infinita.

4 Observemos que el Ejercicio 1 tiene asociado, de forma natural, un grafo plano. Ejercicio 2 Verifique que el siguiente grafo no es un grafo plano. Observación Si un grafo plano es dibujado sin intersección de aristas, entonces podemos definir los siguientes números: 1) 1 V es la cantidad de vértices del grafo; 2) 2 A es la cantidad de aristas del grafo; 3) 3 C es la cantidad de caras del grafo, es decir, las regiones conectadas por aristas, incluyendo la región externa e infinita. Ejemplo V = 4 A = 6 C = 4 El siguiente teorema fue demostrado por Leonhard Euler. Este resultado ha tenido consecuencias muy importantes en las matemáticas. Teorema (Fórmula de Euler) Para todo grafo plano se satisface la siguiente fórmula: V A + C = 2 Ejemplo Instituto de Matemática y Física 4

V = 4 A = 6 C = 4 V A + C = 2 4 6 + 4 = 2 Ejercicio (1) Ejercicio (1) Considere un cuadrado y escoja arbitrariamente 10 puntos en su interior.

5 V = 4 A = 6 C = 4 V A + C = = 2 Ejercicio (1) Ejercicio (1) Considere un cuadrado y escoja arbitrariamente 10 puntos en su interior. Utilizando estos puntos y los vértices del cuadrado haga una triangulación del cuadrado. Calcule el número de triángulos. Solución: Sea T el número de triángulos contenidos en el cuadrado. Sabemos que este problema tiene asociado un grafo plano. Del enunciado del ejercicio tenemos: V = = 14, C = T + 1 Utilizando que los triángulos tienen tres aristas y que la cara exterior tiene cuatro, podemos deducir que: 2 A = 4 + 3T Sustituyendo en la fórmula V A + C = 2 obtenemos: 4 + 3T 14 + T + 1 = 2 2 Lo que implica que T = 22. Más ejemplos: Ejemplo 1. El grafo de una pelota de futbol es un grafo plano Ejemplo 2. Instituto de Matemática y Física 5

6 Ejemplo 3. II. Sólidos Platónicos El gran problema de esta sección es: Problema Porqué las caras de una pelota no son todas iguales? Poliedros Un poliedro es un cuerpo geométrico cerrado, limitado por caras poligonales. Definición Instituto de Matemática y Física 6

Un Poliedro Simple es aquel que podría inflarse hasta formar una esfera.

cuales quiera de sus puntos está contenido en el poliedro.

Definición Un poliedro convexo es llamado poliedro regular convexo cuando cumple las dos siguientes condiciones: 1) Sus caras

7 Un Poliedro Simple es aquel que podría inflarse hasta formar una esfera. Es un poliedro simple No es un poliedro simple Definición Un poliedro convexo es aquel en el que el segmento que une dos cuales quiera de sus puntos está contenido en el poliedro. Ejemplo Es un poliedro convexo No es un poliedro convexo Proposición Todo poliedro convexo es un poliedro simple. Definición Un poliedro convexo es llamado poliedro regular convexo cuando cumple las dos siguientes condiciones: 1) Sus caras son polígonos regulares idénticos; 2) En cada vértice concurren el mismo número de caras (equivalentemente, el mismo número de aristas). Sólidos Platónicos Los Sólidos Platónicos son ejemplos de poliedros regulares convexos Instituto de Matemática y Física 7

la geometría es: Teorema Los poliedros regulares convexos son exactamente los Sólidos

8 Si bien los Sólidos Platónicos fueron fuertemente estudiados por Platón, ellos ya eran conocidos por el hombre mucho antes. Escocia 3000 a.c. Uno de los resultados sorprendentes de la geometría es: Teorema Los poliedros regulares convexos son exactamente los Sólidos Platónicos. Este teorema explica nuestra pregunta acerca la pelota de fútbol Instituto de Matemática y Física 8

9 Cuadro de propiedades de los Sólidos Platónicos El icosaedro tiene muy pocas caras para ser una buena pelota de fútbol! Teorema Los poliedros regulares convexos son exactamente los Sólidos Platónicos Demostración Como el poliedro es simple satisface la formula de Euler V A + C = 2. Como es regular podemos suponer que cada cara es polígono de n lados y que a cada vértice concurren l aristas. De donde podemos deducir las siguientes fórmulas: 2 A = nc y 2 A = l V Así obtenemos C 2A 2A = y V = n l Remplazando en la fórmula de Euler obtenemos: 2A 2A A + = 2 l n Dividiendo por 2A y reordenando los términos se tiene: = + l n A 2 Como A es obligatoriamente mayor que 0, obtenemos que: > l n 2 Como n 3 y l 3, se verifica que las únicas soluciones son las siguientes Instituto de Matemática y Física 9

10 Ejercicios ( n, l) Poliedro regular convexo (3, 3) Tetraedro (3, 4) Octaedro (3, 5) Icosaedro (4, 3) Cubo (hexaedro) (5, 3) Dodecaedro 1. Considere dos cuadrado y escoja arbitrariamente 10 puntos en el interior de cada uno de ellos. En cada cuadrado, utilizando los 10 puntos y los vértices del cuadrado, haga una triangulación de este. Es decir, subdivida el cuadrado en triángulos de tal forma que estos no se traslapen y que sus vértices estén en el conjunto formado por los 10 puntos y los vértices del cuadrado. Calcule el número de triángulos obtenidos en cada uno de los cuadrados. 2. Verifique que el siguiente grafo es plano 3. Verifique que el siguiente grafo no es plano (problema difícil): 4. Haga un cuadro donde se especifiquen el número de aristas, el número de vértices y el número y el tipo de caras de los sólidos platónicos. 5. Explique porque las caras de una pelota de fútbol no son todas iguales. Instituto de Matemática y Física 10

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