Resolución de ecuaciones según Al-Khowarizmi Carlos O. Suárez Alemán

Transcripción

1 Resolución de ecuaciones según Al-Khowarizmi Carlos O. Suárez Alemán Mahoma nace aproimadamente en el año 70 en La Meca y muere en Medina en el año 63. Un siglo después los árabes tienen el control del Imperio Bizantino, Egipto, Siria, Persia, la India, etc. En el año 7 el estado islámico se escindió en dos partes, el reino occidental, con capital en Córdoba, y la oriental en Bagdad. Los árabes recogen la herencia griega, los trabajos de diofanto, etc. Alrededor del 800 traducen al árabe los Elementos de Euclides de los bizantinos. Traducen a Ptolomeo en el año 87. También, entre otros, a Apolonio, Arquímedes, Herón y la obras hindúes. Conocieron el sistema posicional de los hindúes, pero a pesar de que estos últimos aceptaban los números negativos, ellos los rechazaron. Del 60 al 70 fue un desierto intelectual. Abu Ja far Muhammad ibn Musá Al-Khowarizmi (ca. 70-ca. 80) (780-86) escribe en el año 830, en lenguaje retórico, el primer tratado de álgebra titulado Hisab al-jabr w al-muqäbala cuyas raíces se encuentran en la obra de hindú Bramagupta (c. 98), aunque también tine influencias babilónicas y griegas. De esta obra proviene la palabra álgebra ( al-jabr ) que significa restauración indicando que se restaura el equilibrio mediante la transposición de términos de una ecuación; Por otro lado w almuqäbala significa la simplificación de la epresión mediante la cancelación de términos semejantes de cada lado de la ecuación. De este modo la ecuación 7 = 3, por al-jabr pasaría a ser = y por w al-muqäbala quedaría como =. En los seis primeros capítulos considera la solución de las ecuaciones cuadráticas. Distinguían cinco casos de estas ecuaciones (seis si se cuentan las ecuaciones de primer grado). Con estos seis tipos se agotan todas las posibilidades de ecuaciones lineales y cuadráticas que tengan una raíz positiva, recordemos que la raíces negativas o nulas no eran consideradas, por lo que, en estas condiciones, la epresión de Al-Khowarizmi es sistemática y ehaustiva. Veamos todos los casos 1 : Tesoro igual a raíces Tesoro igual a números Raíces igual a números Tesoro y raíces igual a números Tesoro y números igual a raíces Tesoro igual a raíces y números a = b a = c b = c a + b = c a + c = b a = b + c Las soluciones están formuladas en forma de recetas orientadas a completar cuadrados y aplicados a ejemplos concretos. Las fórmulas se justifican mediante construcciones geométricas. Veamos a continuación la forma de resolver ecuaciones de segundo grado propuestas por Al-Khwarizmi, concretamente nos referimos al cuarto caso, una ecuación del tipo + = 39: Debes tomar la mitad del número de raíces, esto es cinco, y multiplicarlo por sí mismo y obtienes, al que le sumas el número 39, con resultado 6. Tomas la raíz cuadrada de este número que es 8 y le restas la mitad de las raíces y obtienes 3, que es el valor buscado = ( ) + 39 = 3 1 En las epresiones hay que entender que Tesoro es y que raíces es. 1

2 que se corresponde en general, para una ecuación + p = p con observar que Por lo que + 1 p p + } {{ } = q + p (1) ( + p ) = p + (p ) + q Al-Khowarizmi aporta la siguiente justificación geométrica: Para resolver esta ecuación identifica con un cuadrado al que aneiona un rectángulo de altura y base, esta figura tendrá un área total de 39 unidades. Continúa con la división del rectángulo en dos partes iguales por la base, de base cada una, trasladando y girando 90 o se llega a la figura: Completando ésta con un cuadrado de lado, tendríamos una figura en la cual el área total es de 39 + = 6 unidades y que también es un cuadrado de lado +.

3 Pero, como su área es de 6 unidades, el lado debe ser 8, y por tanto debe ser 3. En este caso, aunque Al Kwarizmi es consciente de que la solución 7, también es posible, no la contempla por ser negativa. Otro ejemplo interesante el la resolución por Al-Khowarizmi del quinto caso: El quinto caso: Divide en dos partes, multiplica cada parte por sí misma, suma y obtendrás 8 dirhams. La solución que él epone para este problema es la siguiente: Llamamos a una de las partes, la otra será, multiplícala por si misma, así obtendrás 0+ 0, y multiplicando por, tendrás. Súmalas y obtendrás 0+ 0, 8 dirhams. Enriquece los 0 + del 0 deficiente que añadirás a los 8 obteniendo 0 +, Devuelve esto a un único, lo que harás tomando la mitad de todo lo que tienes, obtendrás 0 +, 9 + Haz el equilibrio ahí dentro, es decir quita de los 0 los 9, se quedará 1 +, Debes tomar la mitad del número de las raíces, en este caso, multiplícalo por sí mismo, obtienes al que debes restar los números, en este caso 1, obteniendo. Etrae la raíz cuadrada que es y lo restas del número de la mitad de las raíces, que era, y obtienes 3 que es la solución. Si deseas puedes también sumar ese valor a la mitad de las raíces que es y obtienes 7, que también es solución. Cuando un problema está dado en esta forma, puedes ensayar con la adición. Si no resulta, es indudable que resultará con la sustracción. Este es el único caso en que hay que tomar la mitad de las raíces, y que puede ofrecer solución por adición o sustracción. Si observamos este procedimiento de una forma geométrica, observamos que la solución que él epone para este problema es la siguiente: Supone que es un cuadrado de lado desconocido y añade un rectángulo de la misma altura y base indeterminada pero con área 1. Al ser igual que, como la altura de la figura es, entonces la base debe ser, por lo que divide esta base por la mitad y levanta un cuadrado con este lado: 3

4 Ahora resta un cuadrado desde la parte superior del cuadrado de lado : Y observa que las zonas sombreadas tienen la misma área, por lo tanto el área sombreada de la siguiente figura también es 1. Pero el área del cuadrado grande era, por lo que el área del cuadrado más pequeño es -1=, de donde su lado es y por tanto,, que es la altura del rectángulo, mide -=3. Utilizando un dibujo semejante Al-Khwarizmi encuentra la otra solución positiva = 7. Para una ecuación general + q = p, el procedimiento es el siguiente: = p ± (p ) q

5 Al-Khwarizmi efectúa además una discusión de las soluciones en función del discriminante en los siguientes términos: Además hay que observar que si en este caso el cuadrado de la mitad de las raíces es menor que los números, no hay solución. Si es igual a esos números, la solución es la mitad de las raíces sin aumentos o disminuciones. Conviene destacar que los seis primeros capítulos son aritméticos y que las justificaciones geométricas están tras el capítulo seto y se trata del método euclideo de aplicación de áreas. Así el álgebra de Al-Khowarizmi recoge el sistema de numeración hindú, la solución sistemática de las ecuaciones de o grado de mesopotamia y el marco geométrico y lógico de justificación griego. Este libro es al Álgebra, lo que los Elementos a la Geometría: la mejor eposición elemental disponible del álgebra hasta los tiempos modernos (Renacimiento), con el inconveniente d la forma retórica de su redacción. La necesaria notación simbólica llegará mucho después (S. XVIII) en Europa. ACTIVIDAD Prepar una serie de ejercicios destinados a que los alumnos de un curso de 3 o de ESO que no han resuelto nunca una ecuación de o grado obtengan la fórmula general = b ± b ac a para a + b + c = 0 según la técnica de Al-Khowarizmi.