Tema 4: Operaciones sobre lenguajes regulares

Transcripción

1 Tem 4: Operciones sore lengujes regulres Deprtmento de Sistems Informáticos y Computción DSIC - UPV p.1/19

2 Tem 4: Propieddes de los lengujes regulres Lem de omeo pr lengujes regulres. Propieddes de cierre Operciones oolens: Unión, Intersección, Complementción Diferenci Reverso Conctención y Clusur Homomorfismo y Homomorfismo Inverso Minimizción de utómts finitos. DSIC - UPV p.2/19

3 Lem de omeo Se L un lenguje regulr sore Σ. Existe un número nturl n (dependiente del lenguje L) tl que x L si x n, existen u, v, w Σ tles que x = uvw y donde: 1. uv n 2. v 1 3. i 0, uv i w L Condición necesri (no suficiente) pr que un lenguje se regulr Útil pr demostrr ue un lenguje no es regulr Tomr n como el vlor de l constnte del lem de omeo Escoger un plr x tl que x n Considerr tods ls posiles fctorizciones de x Mostrr que, pr tods ls fctorizciones posiles, puede encontrrse un vlor de i tl que uv i w L DSIC - UPV p.3/19

4 Lem de omeo Ejercicios: L 1 = {0 i 1 i i 0} L 2 = {0 n n es primo} L 3 = {w {0 + 1} w 0 > w 1 } L 4 = {w {0 + 1} w 0 = w 1 } L 5 = {0 n 1 m n m 0} L 6 = {0 i2 i 1} DSIC - UPV p.4/19

5 Propieddes de cierre Un conjunto C es cerrdo jo un operción sii: x, y C x y C Cierre respecto Intersección Sen L 1, L 2 L 3, entonces existen dos utómts A 1, A 2 tles que L 1 = L(A 1 ), L 2 = L(A 2 ), donde A i = (Q i, Σ, δ i, q i, F i ), i = 1, 2 Construimos A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) donde: Q = Q 1 Q 2 q 0 = [q 1, q 2 ] F = F 1 F 2 δ([p 1, p 2 ], ) = [δ 1 (p 1, ), δ 2 (p 2, )], p 1 Q 1, p 2 Q 2, Σ DSIC - UPV p.5/19

6 Propieddes de cierre q 1 q 2 q 1 q 3 q 2 A 1 A 2 L(A 1 ) L(A 2 )? DSIC - UPV p.6/19

7 Propieddes de cierre Cierre respecto Unión Sen L 1, L 2 L 3, entonces existen dos utómts completos A 2, A 2 tles que L 1 = L(A 1 ), L 2 = L(A 2 ) donde A i = (Q i, Σ, δ i, q i, F i ), i = 1, 2 Construimos A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) donde: Q = Q 1 Q 2 q 0 = [q 1, q 2 ] F = F 1 Q 2 Q 1 F 2 δ([p 1, p 2 ], ) = [δ 1 (p 1, ), δ 2 (p 2, )], p 1 Q 1, p 2 Q 2, Σ DSIC - UPV p.7/19

8 Propieddes de cierre 0 0 q 1 q 2 q 1 1 q q 2 0 A 1 A 2 L(A 1 ) L(A 2 )? DSIC - UPV p.8/19

9 Propieddes de cierre Cierre respecto Complementción Se L L 3, entonces existe un utómt completo A tl que L = L(A) donde A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) El utómt A = (Q, Σ, δ, q 0, Q F ) cept L Cierre respecto Diferenci Sen L 1, L 2 L 3. Nótese que L 1 L 2 = L 1 L 2 DSIC - UPV p.9/19

10 Propieddes de cierre Cierre respecto Reverso Sen L 1 L 3, entonces existe un utómt A = (Q, Σ, δ, q 0, {q f }). Si F > 1 puede modificrse el utómt pr que pose un único estdo finl. Construimos A = (Q, Σ, δ, q f, q 0 ) donde: q δ(p, ) p δ (q, ) DSIC - UPV p.10/19

11 Propieddes de cierre Cierre respecto Conctención Sen L 1, L 2 L 3, entonces existen dos utómts A 1, A 2 tles que L 1 = L(A 1 ), L 2 = L(A 2 ) donde A i = (Q i, Σ, δ i, q i, F i ), (i = 1, 2) y tles que Q 1 Q 2 = Construimos A = (Q, Σ, δ, q 1, F 2 ) donde: Q = Q 1 Q 2 δ = δ 1 δ 2 δ donde q 2 δ (p, λ), p F 1 DSIC - UPV p.11/19

12 Propieddes de cierre Cierre respecto Clusur Se L L 3, entonces existe un utómt A tl que L = L(A) donde A = (Q, Σ, δ 0, q 0, F ) Construimos A = (Q, Σ, δ, q n, F ) donde: Q = Q 1 {q n }, q n Q F = F {q n } δ (p, ) = δ(p, ), p Q, Σ q n δ (p, λ), p F δ (q n, λ) = {q 0 } DSIC - UPV p.12/19

13 Propieddes de cierre Cierre jo Homomorfismo Se h : Σ y L 1 L 3. Existe un expresión regulr r 1 tl que L 1 = L(r 1 ) Construimos un expresión regulr r resultdo de sustituir cd símolo Σ por su imgen h(), utilizndo prentesis pr mntener el orden de ctución de los operdores Cierre jo Homomorfismo Inverso Se h : Σ y L 1 L 3, entonces existe un utómt A 1 tl que L 1 = L(A 1 ) y donde A = (Q,, δ, q 0, F ) Construimos A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) donde: { δ δ(p, h()) si δ(p, h()) (p, ) = en otro cso DSIC - UPV p.13/19

14 Propieddes de cierre q 1 q 4 q 2 q 3 h(0) = h(1) = h(2) = λ h 1 (L(A))? DSIC - UPV p.14/19

15 Minimizción de utómts finitos Un AFD A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) es ccesile si pr todo q Q existe un plr x Σ tl que δ(q 0, x) = q Se A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) un AFD completo y ccesile. Definimos l relción de indistiguiilidd en Q como: q, q Q : (q q x Σ (δ(q, x) F δ(q, x) F )) Se A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) un AFD completo y ccesile y se l relción de indistiguiilidd. Se define el utómt cociente A/ = (Q, Sigm, δ, q 0, F ) como: Q = {[q] q Q} q 0 = [q 0 ] F = {[q] q F } δ ([q], ) = [δ(q, )] DSIC - UPV p.15/19

16 Minimizción de utómts finitos Se A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) un AFD completo y ccesile y se l relción de indistiguiilidd. El utomt A/ es el AFD mínimo que cept L(A) Se A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) un AFD completo y ccesile y se un entero k 0. Se define l relción de k-distinguiilidd k como: q, q Q : (q k q x Σ, x k, (δ(q, x) F δ(q, x) F )) k 0, p k+1 q p k q k 0, p q p k q k 0, p k+1 q p k q Σ, δ(p, ) k δ(q, ) DSIC - UPV p.16/19

17 Minimizción de utómts finitos Algoritmo de minimizción de AFD: 1. π 0 = {Q F, F } 2. Otener π k+1 prtir de π k B(p, π k+1 ) == B(q, π k+1 ) { B(p, π k ) == B(q, π k ) Σ, B(δ(p, ), π k ) == B(δ(q, ), 3. Si π k+1 es distint π k ir 2 DSIC - UPV p.17/19

18 Minimizción de utómts finitos Ejercicio: 0 1 q 0 1 q 1 3 q q 1 2 q 1 4 q 6 q DSIC - UPV p.18/19

19 Minimizción de utómts finitos Ejercicio: q 0 q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 DSIC - UPV p.19/19