Máquinas Secuenciales, Autómatas y Lenguajes Tema 5: Propiedades de los Lenguajes Regulares. Luis Peña

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1 Máquinas Secuenciales, Autómatas y Lenguajes Tema 5: Propiedades de los Lenguajes Regulares Luis Peña

2 Lenguaje Regular Definición 1 (Lenguaje Regular) Un lenguaje L se denomina regular si y sólo si existe un AFD A tal que L= L(A). Se pueden dar definiciones equivalentes utilizando expresiones regulares o gramáticas regulares. Curso

3 Lenguaje Regular Preguntas a responder: Son los lenguajes que se obtienen al aplicar determinadas operaciones a lenguajes regulares también regulares? Cómo se puede decidir (de forma automática) si un lenguaje regular tiene ciertas propiedades: si es finito, vacío, o infinito? Existe algún método para saber si un lenguaje dado es regular o no? Curso

4 Sumario Tema 5: Propiedades de los lenguajes regulares. 1. Identificación de lenguajes no regulares. 2. Operaciones sobre lenguajes. 3. Algoritmos de decisión. Curso

5 Sumario Tema 5: Propiedades de los lenguajes regulares. 1. Identificación de lenguajes no regulares. 2. Operaciones sobre lenguajes. 3. Algoritmos de decisión. Curso

6 Identificación de Lenguajes no regulares No todos los lenguajes son regulares. Los AF sólo tienen una capacidad limitada en el proceso de identificación de palabras: Tienen un número limitado de estados La única información de la que disponen está en la estructura de este número finito de estados Curso

7 Identificación de Lenguajes no regulares Ejemplo: El lenguaje L={a n b n n>=0} no es regular. Intuición: No puede ser regular: se necesitaría un Autómata con infinitos estados para reconocerlo. Curso

8 Identificación de Lenguajes no regulares Ejemplo: El lenguaje L={a n b n n>=0} no es regular. Intuición: Construir de manera incremental los AFD para:... L 0 ={}, L 1 ={,ab}, L 2 ={,ab,aabb}, L 3 ={,ab,aabb,aaabbb}, Curso

9 Identificación de Lenguajes no regulares Ejemplo: El lenguaje L={a n b n n>=0} no es regular. Intuición: El número de estados de los autómatas aumenta para cada uno de estos lenguajes. No es posible encontrar AFD, tales que el número de estados no aumente de un lenguaje L i al siguiente L i+1. Eso indica que el autómata que reconoce el lenguaje L requiere un número infinito de estados. Curso

10 Identificación de Lenguajes no regulares Que características tiene un lenguaje para ser regular/no regular? Lenguajes finitos: Todos los lenguajes finitos son regulares. Lenguajes infinitos: No todos los lenguajes infinitos son regulares. Curso

11 Identificación de Lenguajes no regulares Ejemplo: L={a(ab) n a n0} (Lenguaje Regular Infinito). El siguiente AFD A reconoce L: A reconoce las palabras aa, aaba, aababa,... q a 0 q 1 b b q 3 a a b q 2 * Curso

12 Identificación de Lenguajes no regulares Ejemplo: L={a(ab) n a n0} (Regular Infinito). Se puede observar lo siguiente: x=aaba se puede descomponer en tres cadenas: x=u.v.w=a.ab.a (con v) y todas las palabras u.v i.w, es decir, a.(ab) i.a, (con i0) pertenecen a L. Se repite para todas xl con x 4. Ejemplo: aabababa=a.ab.ababa a.(ab) i.ababal (i0) Las palabras xl con x <4 no tienen esta propiedad. Ejemplo: aa Intento 1: aa=a.a. a.a i.l Intento 2: aa=.a.a.a i.al Intento 3: aa=.aa..(aa) i.l Curso

13 Identificación de Lenguajes no regulares Ejemplo: L={a(ab) n a n0} (Regular Infinito). Con x suficientemente grande (aababa), el autómata entra en un bucle q 0...q i...q i...q f. Por tanto, se puede descomponer x en tres partes u.v.w, donde: u la subcadena que se acepta antes del bucle (de q 0 a q i ) v la subcadena que se acepta en el bucle (de q i a q i ) w la subcadena que se acepta después del bucle (de q i a q f ) El autómata, al aceptar palabras similar a x, podría recorrer el bucle 0,1,2,3,... veces. Curso

14 Identificación de Lenguajes no regulares Ejemplo: L={a(ab) n a n0} (Regular Infinito). Por tanto, el autómata también acepta las cadenas que se obtienen a partir de x=u.v.w eliminando la subcadena v o bombeándola varias veces. La propiedad de bombeo es común a todos los lenguajes regulares infinitos y se describe de forma general en el Lema de Bombeo. Curso

15 Identificación de Lenguajes no regulares Teorema 2 (Lema de Bombeo) Sea L un lenguaje regular infinito. Entonces existe una constante n (número natural) tal que para toda palabra xl con x n, existe una descomposición de x en tres subcadenas. x=uvw que cumplen: a) uv n b) v > 0 c) uv i w L, para todo i número natural Curso

16 Identificación de Lenguajes no regulares Demostración Lema de Bombeo L es regular existe un AFD mínimo A=(Q,,q 0,f,F) con L(A)=L. Definimos n= Q. Sea x=a 1 a 2 a 3...a m L una palabra cualquiera y mn. x L A acepta x: a 1 a 2 a 3 a m q 0 q 1 q 2...q m (con q i Q, q m F) Son m+1 estados dado que x tiene m símbolos. Curso

17 Identificación de Lenguajes no regulares Demostración Lema de Bombeo A sólo tiene n estados distintos y m+1>n existe por lo menos un estado repetido: a 1 a k a k+1 a j+1 a m q 0...q k...q j...q m con q k =q j. Si q k =q j eles el primer estado repetido, x puede descomponerse en tres subcadenas: x=u. v. w = a 1...a k. a k+1...a j. a j+1...a m Curso

18 Identificación de Lenguajes no regulares Demostración Lema de Bombeo u, v cumplen que: u.v n: v > 0: La primera repetición de un estado ocurre obviamente en los n+1 primeros estados. Por tanto, u.v=a 1...a k. a k+1...a j tiene como mucho n símbolos. Entre los dos estados repetidos hay por lo menos una transición:...q k...q j... Por tanto, v= a k+1...a j tiene por lo menos un símbolo. Curso

19 Identificación de Lenguajes no regulares Demostración Lema de Bombeo u, v y w cumplen que: u.v i.w L para i0 se observa el grafo de transición: a k+1... a j u.v 0.w= a 1...a k.a j+1...a m L u.v i.w= a 1...a k.(a k+1...a j ) i.a j+1...a m L q 0 a 1 a... k q k =q a j+1 a m j... q m+1 Curso

20 Identificación de Lenguajes no regulares Aplicación del Lema de Bombeo Para que sirve el lema de bombeo? Para demostrar que ciertos lenguajes no son regulares. Observación: El lema no sirve para demostrar que un lenguaje es regular. (Proporciona una condición necesaria pero no suficiente.) Para demostrar que un lenguaje no es regular basta probar que no cumple el lema de bombeo. Estas demostraciones son siempre por contradicción. Curso

21 Identificación de Lenguajes no regulares Aplicación del Lema de Bombeo Se supone que L es regular (debe de cumplir el lema de bombeo). Se elige un valor genérico n (no especificado). Se selecciona una palabra xl (en función de n) con x n Se descompone x en u.v.w, tal que u.v n y v >0, de todas las formas posibles. Se demuestra que para todas estas descomposiciones existe siempre i tal que u.v i.w L. Si se consigue demostrar que para todas estas descomposiciones existe siempre i, tal que u.v i.w L, L no cumple el lema y, por tanto, no es regular. Curso

22 Identificación de Lenguajes no regulares Ejemplos (Lema de Bombeo): L={a n b n nn, n0} L={a m b 2m mn, m0} Curso

23 Identificación de Lenguajes no regulares Ejemplos (Lema de Bombeo): Es el lenguaje L={yy -1 y{a,b} * } regular? Sea el lenguaje L={a n b m c m m,n1}. Demuestra que L no cumple el lema de bombeo. Es el lenguaje L={a m m= n i=0(i), n0} regular? Curso

24 Sumario Tema 5: Propiedades de los lenguajes regulares. 1. Identificación de lenguajes no regulares. 2. Operaciones sobre lenguajes. 3. Algoritmos de decisión. Curso

25 Operaciones sobre lenguajes Teorema 3: Dados dos lenguajes regulares L 1 y L 2, los lenguajes L 1 L 2, L 1 L 2 y L 1 * también son regulares. Demostración: Si L 1 y L 2 son regulares, existen dos ER r 1 y r 2 tales que: L 1 =L(r 1 ) y L 2 =L(r 2 ). Definición de las operaciones de cierre, concatenación y suma de ER: L 1 L 2 = L(r 1 )L(r 2 )=L(r 1 +r 2 ) Existen ER L1L2, L1L2 y L 1 L 2 = L(r 1 )L(r 2 ) = L(r 1 r 2 ) L1* son L 1* = L(r 1 ) * =L(r 1* ) regulares Curso

26 Operaciones sobre lenguajes Teorema 4: Dado un lenguaje regular L definido, su complemento L también es regular. Demostración: Dado que L es regular, existe un AFD A=(Q,, q 0, f, F), tal que L(A) = L. Consideremos el autómata A =(Q,, q 0, f, Q-F). A acepta exactamente todas las palabras del lenguaje universal * que el autómata A rechaza. Por tanto: L L(A ) = * - L(A) = * - L =. Curso

27 Operaciones sobre lenguajes Teorema 6: Dados dos lenguajes regulares L 1 y L 2 definidos, el lenguaje L 1 L 2 también es regular. Demostración: a) No constructiva: Por las leyes de Morgan: L 1 L 2 = L (La operación de intersección se puede 1 L 2 reducir a las operaciones complemento y unión.) Curso

28 Operaciones sobre lenguajes Teorema 6: Dados dos lenguajes regulares L 1 y L 2 definidos, el lenguaje L 1 L 2 también es regular. Demostración: b) Constructiva: Dado que L 1 y L 2 son regulares, existen dos AFDs: A 1 =(Q 1,, q 01, f 1, F 1 ) y A 2 =(Q 2,, q 02, f 2, F 2 ) tales que L(A 1 )=L 1 y L(A 2 )=L 2. Considérese el autómata A=(Q 1 Q 2,, (q 01,q 02 ), f, F 1 F 2 ) donde: f((p,q),a)=(f 1 (p,a), f 2 (q,a)) Se cumple que L(A)= L 1 L 2, por lo que L 1 L 2 es un lenguaje regular. Curso

29 Operaciones sobre lenguajes Ejemplo: L={a n b m nn, n,m0, nm} Es un lenguaje regular? Utilizando operaciones sobre lenguajes: {a * b * } L = {a n b n nn, n0} Curso

30 Operaciones sobre lenguajes Teorema 7: Dados dos lenguajes regular L 1 y L 2, el lenguaje diferencia L 1 -L 2 también es regular. Demostración: Por las leyes de Morgan: L 1 -L 2 =L 1. Ya se ha demostrado que tanto el complemento de un lenguaje regular como la unión de dos lenguajes regulares son regulares. L 2 Curso

31 Operaciones sobre lenguajes Teorema 8: Dado un lenguaje regular L, su lenguaje inverso L -1 también es regular. Demostración: L es regular, existe una ER r tal que L(r)=L. Para demostrar que L -1 es regular construiremos una ER r -1 tal que L(r 1 )=L -1 a partir de r: Si r =, o r=a o r=, entonces r -1 =r Si r=r 1 +r 2, entonces r -1 = r 1-1 +r 2-1 Si r=r 1 r 2, entonces r -1 = r 2-1 r 1-1 Si r=r 1*, entonces r -1 =(r 1-1 ) * Curso

32 Operaciones sobre lenguajes Definición 9 (homomorfismo): Sean y alfabetos. Se llama homomorfismo a una función h: *, tal que asigna una palabra de * a cada símbolo de. Esta definición se puede extender para definir la función h para palabras de : w=a 1 a 2...a n * h(w)=h(a 1 )h(a 2 )...h(a n ) * Curso

33 Operaciones sobre lenguajes Definición 10 (imagen homomórfica): Dado un lenguaje L* y dado un homomorfismo h:*, se llama imagen homomórfica de L respecto a h al lenguaje definido de la siguiente manera: h(l)={h(w) wl}. Curso

34 Operaciones sobre lenguajes Teorema 11 Sean y dos alfabetos y sea L un lenguaje regular definido sobre. Sea h:* un homomorfismo. Entonces la imagen homomórfica de L respecto a h también es regular. Curso

35 Operaciones sobre lenguajes Demostración: L es regular, existe una ER r tal que L(r)=L. Construiremos recursivamente una ER r tal que L(r )=h(l) a partir de r: Si r = o r=, entonces r =r Si r = a, a, entonces r =(h(a)) Si r=r 1 +r 2, entonces r = r 1 +r 2 Si r=r 1 r 2, entonces r = r 1 r 2 Si r=r 1*, entonces r =(r 1 ) * Es decir, se sustituye cada símbolo a en r por la cadena h(a). r es una expresión regular que representa h(l), por lo que h(l) es regular. Curso

36 Operaciones sobre lenguajes Ejemplo: Demuestra que el lenguaje L={a n b m c m m,n1} no es regular mediante el uso de una imagen homomórfica de L. L={x x{(,)}, paréntesis bien balanceados} Es un lenguaje regular? (Lema de Bombeo). Demostrar que HTML es un lenguaje no regular (idea: imagen homomórfica con un lenguaje no regular conocido). Curso

37 Sumario Tema 5: Propiedades de los lenguajes regulares. 1. Identificación de lenguajes no regulares. 2. Operaciones sobre lenguajes. 3. Algoritmos de decisión. Curso

38 Algoritmos de decisión Teorema 12 ( Es L vacío?): Dado un lenguaje regular L, existe un algoritmo para decidir si dicho lenguaje es vacío. Demostración: Considérese el autómata finito determinista mínimo que acepta L. L es vacío si y sólo si el AFD mínimo no tiene estados finales. Curso

39 Algoritmos de decisión Teorema 13 ( Es L infinito?): Dado un lenguaje regular L, existe un algoritmo para decidir si dicho lenguaje es infinito. Demostración: Considérese el diagrama de transiciones del AFD A mínimo tal que L(A)=L. L es infinito si y sólo si existe un ciclo en un nodo de este autómata. Curso

40 Algoritmos de decisión Teorema 14 (Pertenencia a un lenguaje): Dado un lenguaje regular L, existe un algoritmo para decidir si una palabra w pertenece al lenguaje. Demostración: Considérese el diagrama de transiciones del AFD A tal que L(A)=L. Simulamos el funcionamiento del autómata tomando como entrada la palabra w. Si el estado en el que termina la simulación es un estado final, entonces wl; en otro caso, w no pertenece a L. Curso

41 Algoritmos de decisión Teorema 15 (Igualdad entre lenguajes): Dados dos lenguajes regulares L 1 y L 2, existe un algoritmo para decidir si dichos lenguajes son equivalentes, es decir, si L 1 = L 2. Demostración: a) Dado que L 1 y L 2 son regulares, existen dos AFD mínimos A 1 y A 2 tales que L(A 1 )=L 1 y L(A 2 )=L 2. Los dos lenguajes son equivalentes si A 1 y A 2 son isomorfos. b) Construye un AFD A para L 3 =(L 1 L ) ( L L 2 ). 2 1 L 1 =L 2, si y solo si L 3 es vacío. Curso

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