Tema 22. El lema de bombeo para LR

Transcripción

1 Tem 22 Lem de omeo pr LLC Dr. Luis A. Pined IBN: Cómo podemos decir si un lenguje es lire del contexto? Definir un GLC o diseñr un AP pr el lenguje Pero que tl si el lenguje se descrie por otros medios: L = { i i c i i 1} Es este lenguje un LLC? Cómo podemos decir si un lenguje es lire del contexto? Usr el Lem del omeo pr LLC Aumir que L es un LLC i se lleg un contrdicción L no lo es Antecedentes: Form Norml de Chomsky (1959) Deido Br-Hillel, Perles & hmir (1961) El lem de omeo pr los LRs es un simplificción del lem de omeo pr LLC El lem de omeo pr LR upongmos que L es un LR reconocido por un FA con n estdos; entonces, pr todo x L con x n, x = uvw pr ls cdens u, v, w que stisfcen: uv n v > 0 For ny m 0, uv m w L q 0 u q i v w q f El ciclo en cdens de LLC i un derivción es suficientemente lrg, lgun vrile se tiene que repetir: * vaz * vwayz * vwxyz donde v, w, x, y, z Σ * Los contextos que están ntes y después de ls vriles en el ldo derecho de un producción (e.g. w & y en A way) se ome con l repetición de dich vrile en l derivción: * vaz * vwayz * vw 2 Ay 2 z * vw 3 Ay 3 z * El ciclo en cdens de LLC Bomendo w & y i x se deriv de A (A * x): vaz * vxz L vwayz * vwxyz L vw 2 Ay 2 z * vw 2 xy 2 z L vw 3 Ay 3 z * vw 3 xy 3 z L 1

2 El lem de omeo pr LLC e G = (V, Σ,, P) un GLC en FNC con un totl de p vriles. Tod cden u en L(G) con u 2 p + 1 pueden escriirse como u = vwxyz, pr ls cdens v, w, x, y & z que stisfcen: wy > 0 wxy 2 p + 1 Pr tod m 0, vw m xy m z L El lem de omeo pr LLC Ls condiciones no vienen de Mrte: pr tod u = vwxyz (i) u 2 p + 1 (ii) wy > 0 (iii) wxy 2 p + 1 pr un prámetro p (i.e. el número de vriles en V) L histori en reve... Ls grmátics en FNC producen estructurs sintáctics en form de ároles inrios; sólo los nodos en el último nivel (ctegoris léxics) tienen un solo hijo (o hij) Un árol inrio de ltur h tiene un cosech 2 h 1 ; por lo tnto, un árol inrio con más de 2 h 1 hojs tiene un ltur myor que h Propieddes de los ároles inrios Altur de un tryectori: número de nodos en l tryectori En un árol inrio completo: número de nodos en el nivel h es 2 h 1 ltur = 1: ltur = 2: nivel 0 nodos = = 2 0 = 1 nivel 1 nodos = = 2 1 = 2 ltur = 3: nodos = = 2 2 = 4 nivel 2 Derivción u con más de 2 h 1 símolos tiene un ltur myor que h Nodos en nivel l = 2 l (nivel = ltur 1) L histori en reve... i un grmátic tiene p vriles, un derivción con 2 p + 1 símolos tiene cundo menos un tryectori con ltur p + 2, por lo que cundo menos un vrile tiene que repetirse (el último nodo es un símolo terminl) El lem de omeo pr LLC Ls condiciones no vienen de Mrte: pr tod u = vwxyz (i) u 2 p + 1 (ii) wy > 0 (iii) wxy 2 p + 1 pr un prámetro p (i.e. el número de vriles en V) (i) grntiz que u se suficientemente grnde pr que un vrile se repit (ii) & (iii) son condiciones necesris en cdens con vriles repetids 2

3 Estructurs en FNC Altur de un árol: ltur de l tryectori más lrg Un estructur producid por un GLC en FNC puede tener menos pero no más de 2 h 1 símolos en el nivel h Producción: AB Número de vriles y profundidd i el número de hojs es > 2 p entonces l ltur es cundo menos p + 2 h = 1: nodos = = Producción: A CD A B Producción: B h = 2: nodos = = No. de vriles h: C D nodos 2 h 1 h = p + 1 nodos 2 p Un cden con más de 2 h 1 símolos tiene un ltur myor que h Enotonces h p + 2 i el número de nodos > 2 p Tmño de cdens y longitud de l derivción If u > 2 p + 1 entonces l ltur es cundo menos p + 2 Estructur en FNC con repetición de vrile h = 1: nodos = = C 1 h = 2: nodos = = h p + 2 nodos = u 2 p+ 1 i hy p vriles diferentes en l grmátic, un cden u tl que u > 2 p + 1 tienen un árol sintáctico cuy ltur es cundo menos p + 2 u = Altur = 7 Vrile repetid = A u = vwxyz C 1 v = i u 2 p + 1 un vrile se repite! C 1 v = wxy = A z = C 5 wxy = A z = C 5 u = nd u = 7 Considere un tryectori de longitud máxim p + 2: Los nodos de hst jo son terminles y los nodos p + 1 superiores contienen vriles! i sólo hy p vriles, un vrile se tiene que repetir! 3

4 El árol jo l A superior L prtición wxy C 1 v = z = C 1 v = z = wxy = wxy = Considere el árol con ríz en nodo A superior que domin wxy: está en l tryectori de longitud myor, por lo que su ltur es p + 2; entonces Depende de ls A s: (l vriles que se repite) wxy 2 p + 1 El contexto de x El contexto de x: w = 0 C 1 v = z = C 1 v = z = wxy = wxy = A C 6 L restricción sore wy: wy > 0 L restricción sore wy: i w = 0 entonces y 0 C 7 El contexto de x : y = 0 C 1 v = L restricción sore wy: i v = 0 entonces w 0 wxy = B A z = El lem de omeo pr LLC Pero si no semos si L es LLC, no semos cul serí su grmátic, ni cunts vriles tendrí! e L un CFL. Existe un entero n tl que pr tod u que stisfce u n existen cdens v, w, x, y & z que stisfcen: u = vwxyz wy > 0 wxy n Y pr todo m 0, vw m xy m z L 4

5 El lem de omeo pr LLC Prue: Encontrr un GLC en FNC que genere L {Λ}. e p el número de vriles en est grmátic & n = 2 p + 1 Uso del El lem de omeo pr LLC Determinr si un lenguje es un LLC L = { i i c i Σ * i 1} Estrtegi: Asumir que el lem de omeo pr los LLC se stisfce pr L i se lleg un contrdicción, L no es un LLC! L = { i i c i Σ * i 1} e n l constnte & u = n n c n u = 3n (Ok: n = 2 p + 1 ) Prticionr u en vwxyz tl que wxy n & wy > 0; Ddo que wxy n, est sucden tiene cundo más dos tipos de símolos (sólo s o sólo s o sólo c s, o s y s o s y c s) L = { i i c i Σ * i 1} Escoger m = 0 en vw m xy m z Ddo que wy > 0, entonces w > 0 o y > 0 (o mos) Los segmentos de dos símolos (e.g. & ) que contienen w & y tienen menos símolos (i.e. m = 0) que el segmento que incluye l símolo restnte, que no está en wxy (i.e. c) L no es un LLC! L = { i i c i Σ * i 1} Escoger m = 0 en vw m xy m z: Cso 1: wxy en el loque de s: w = i, y = j & n-i-j n c n L y que i > 0 o j > 0 & n i j < n Cso 2: wxy tiene s & s: i j c n L y que i < n o j < n (o mos) & i + j < 2n Cso 3: wxy está en ls s: w = i, y = j & n n-i-j c n L y que i > 0 o j > 0 & n i j < n L = { i i c i Σ * i 1} Escoger m = 0 en vw m xy m z: Cso 4: wxy tiene s & c s: n i c j L y que i < n o j < n (o mos) & i + j < 2n Cso 5: wxy está en ls c s: w = c i, y = c j & n n c n-i-j L y que i > 0 o j > 0 & n i j < n 5

6 L = { i i c i Σ * i 1} L strcción: Los segmentos de dos símolos que contienen w & y tienen menos símolos que el segmento que contiene l símolo que no está en wxy (i.e. con m = 0) Cso 1: wxy está en ls s: Cso 2: wxy tiene s & s: i j c n L Cso 3: wxy está en ls s: Cso 2 incluye los csos 1 & 3! El segmento i j < 2n L = { i i c i Σ * i 1} L strcción: Los segmentos de dos símolos que contienen w & y tienen menos símolos que el segmento que contiene l símolo que no está en wxy (i.e. con m = 0) Cso 3: wxy está en ls s: Cso 4: wxy tiene s & c s: n i c j L Cso 5: wxy está en ls c s: El cso 4 incluye los csos 3 & 5! El segmento i c j < 2n L strcción: L = { i i c i Σ * i 1} Los segmentos de dos símolos que contienen w & y tienen menos símolos que el segmento que contiene l símolo que no está en wxy L strcción: e m = 0 p: El segmento i j < 2n & i j c n L q: El segmento i c j < 2n & n i c j L L no es un LLC y que p o q L = {x {,, c} * n (x) < n (x) & n (x) < n c (x) e n l constnte & u = n n+1 c n+1 u = 3n + 2 (ok: n = 2 p + 1 ) Prtición de u en vwxyz tl que wxy n & wy > 0 Otr vez wxy tiene cundo más dos tipos de símolos Cso 1: w o y tienen cundo menos un se m = 2 & i j c n+1 L y que i n + 1 y por lo tnto i c n+1 L = {x {, } * n (x) < n (x) & n (x) < n c (x) e n l constnte & u = n n+1 c n+1 u = 3n + 2 (ok: n = 2 p + 1 ) Prtición de u en vwxyz tl que wxy n & wy > 0 Otr vez wxy tiene cundo más dos tipos de símolos Cso 2: w o y no tienen s se m = 0 & n i c j L y que i < n + 1 o j < n + 1 (o mos) & n (u) n (u) o n (u) n c (u) LLC-Det Pl mrk No-LLC LLC no miguos Pl RL LLC Lengujes Recursivmente Enumerles i i c i 6