1. Intervalos de Conanza

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1 M. Iiesta Uiversidad de Murcia INFERENCIA ESTADÍSTICA Tema 3.: Itervalos de coaza Objetivos Costruir itervalos de coaza para los parámetros más importates. Aplicar coveietemete los IC atediedo a cada situació experimetal. Comparar dos medias o dos proporcioes muestrales y aalizar posibles diferecias sigicativas.. Itervalos de Coaza Co el objetivo de estimar u parámetro poblacioal, u itervalo de coaza es u rago de valores calculado a partir de ua muestra e el cual se ecuetra el verdadero valor del parámetro co ua probabilidad determiada. A la semiamplitud de dicho itervalo se le llamará error de estimació. La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se ecuetre e el itervalo costruido se deomia ivel de coaza y se deota. La probabilidad de equivocaros se llama ivel de sigicació y se simboliza por. Deició. Sea X,..., X ua m.a.s. de tamaño, procedete de X fx, ϑ co ϑ descoocido. Sea ϑ, ϑ ua pareja de estimadores, tal que la probabilidad de que el itervalo IC = ϑ, ϑ cotega el verdadero valor de ϑ es de, jada de atemao, etoces a IC se le llama itervalo a ivel de coaza 00 % para el parámetro ϑ. Veremos que los casos más frecuetes será los itervalos para medias, proporcioes y diferecias de éstas, así como para variazas, desviacioes típicas y cocietes de éstas. Aú así, a cotiuació damos u esquema de costrucció de itervalos de coaza para cualquier parámetro. Auque el esquema es simple su aplicació o es trivial e muchos casos, aparte de los usuales ates mecioados. Veremos que el puto esecial e dicho esquema es la búsqueda del Estadístico ivote que debe reuir ciertos requisitos. Este puto está absolutamete resuelto e los ejemplos que usaremos... Método de Costrucció Sea X,..., X ua m.a.s. de tamaño, procedete de X fx, ϑ co ϑ descoocido. Las etapas para costruir u itervalo para el parámetro ϑ so: ágia:

2 M. Iiesta Uiversidad de Murcia Método para costruir u itervalo de coaza. Costruir w = gx,..., X, ϑ, que recibe el ombre de estadístico pivote, tal que: a Sea moótoa e ϑ. b Tega distribució coocida. c Su distribució o depeda de igú parámetro descoocido.. Ecotrar a, b, tales que a w b = Estos valores a y b debe ser tales que el itervalo que dee sea el más corto posible. 3. Ivertir la fució w para ecotrar dos estimadores ϑ y ϑ tales que: a w b = ϑ ϑ ϑ = Ejemplo. Sea X N µ, co coocida y µ descoocida. Etoces, e primer lugar, deimos el estadístico pivote como: Sabiedo que w N 0, se tiee Nota.3 z de. z z X z Del mismo modo t, X µ w = X µ z X µ z bµ µ X + z }{{} bµ = = = es la abscisa de la distribució ormal que deja a su izquierda u área será la abscisa de la distribució t de Studet co grados de libertad que deja a su izquierda u área de. Ejemplo.4 Sea X N µ, co µ y descoocidas. Se tiee que: X N µ, Z = X µ N 0, ágia:

3 M. Iiesta Uiversidad de Murcia or otra parte, se cumple lo siguiete: S X i = X i= S χ Como la variable t de Studet se obtiee mediate la trasformació siguiete estadístico cumple co los requisitos Z t el χ t = X µ S = X µ S t Es decir, el estadístico pivote es t, y por lo tato: t, X µ S t, X t, t, S X µ t, S bµ µ X S + t, }{{} bµ = S = Ejemplo.5 Dada X N µ, 0 y {X,..., X 6 } co X = calcular u itervalo de coaza al 95 % para el parámetro descoocido µ. IC = X ± Z = ± Nota.6 Cuado las muestras o so ormales es posible ecotrar itervalos aproximados usado muestras de tamaño grade. E estas situacioes los estadísticos pivotes seguirá distribucioes aproximadas. Ejemplo.7 Sea X B, p y {X,..., X } ua m.a.s. procedete de X. Como i= p = X i = X = fra y V p = V fra = p p resulta el itervalo aproximado p ± z p z p p bp p p estimada por V p = bp bp p p + z para p co p p bp ágia: 3

4 M. Iiesta Uiversidad de Murcia. Determiació del tamaño de muestra Vamos a cosiderar cómo se puede jar el tamaño de la muestra e los casos de estimació por itervalos cuado deseamos acotar el error de estimació, es decir, la semiamplitud del itervalo, que deotaremos por e. or ejemplo, cuado estimamos µ co coocida y jado el ivel de coaza, queremos lo que coseguimos haciedo z / < e > z / e E el caso de o coocer la variaza podemos aproximarla por ua estimació o ua cota de la misma Ejemplo. Supogamos que deseamos coocer el tamaño de muestra para que ua proporció estimada diste de la proporció real e meos de 0.05, co probabilidad p p Como la variaza de p es podemos acotar ésta haciedo p p 0.5, así si queremos que sea z / p p < e basta que sea pero como p es descoocido, si p p > z / e > z / 0.5 e e particular tambié se verica la codició aterior. Es decir, e el caso del ejemplo sería: o lo que es igual > = Resume de Itervalos más frecuetes ua sola muestra E la siguiete tabla se recoge la expresió de los itervalos de coaza de los parámetros más coocidos. La forma de obteer estos ha sido usado u apropiado estadístico de cotraste, que tambié aparece e la misma tabla juto co su distribució de probabilidad. Cada situació habrá que emarcarla e ua de las que aparece a cotiuació. ágia: 4

5 M. Iiesta Uiversidad de Murcia arámetro oblació Estadístico Distribució Itervalo de coaza µ Normal co coocida µ Normal co descoocida µ No ormal co coocida 30 µ No ormal co descoocida 30 p Beroulli 30 λ oisso 30 / S/ / S/ p p p p N0, x ± z / t x ± t, / S N0, x ± z / N0, x ± z / S N0, p ± z / p p Normal co µ descoocida S χ x λ λ/ N0, x ± z / x S S, χ, / χ,/ 4. Caso de dos muestras E ocasioes es ecesario cotrastar la homogeeidad de dos muestras para proosticar si procede de la misma població o o. Es decir, se trata de resolver algua de las siguietes cuestioes: ¾So dos muestras ormales procedetes de la misma població ormal?, o bie, ¾proviee de distribucioes ormales de misma media y/o misma variaza? ¾So dos muestras de Beroulli procedetes de ua població co la misma probabilidad de éxito?. E pricipio este objetivo lo llevaremos a cabo co itervalos de coaza y más tarde lo resolveremos mediate test de hipótesis. ¾Cómo podemos iterpretar los resultados de u itervalo de coaza para desvelar ua cuestió como la aterior?. Cetrémoos e la diferecia de medias, de mometo. Auque las muestras provega de la misma població es razoable que al observar dos muestras de ella se obtega medias muestrales distitas, estas diferecias se atribuye al azar. Si embargo al calcular el itervalo de coaza para la diferecia de dos medias, éste debe coteer el valor cero. or el cotrario, si el itervalo de coaza para la diferecia de medias o cotiee al cero decimos que la diferecia de medias muestrales es sigicativa y sería lo mismo que cocluir que las medias teóricas so diferetes. Este mismo argumeto podemos elaborar para la diferecia de variazas, si bie e este caso el parámetro que se cotrasta es el cociete de variazas y admitiremos que o hay diferecias sigicativas etre ellas si el correspodiete itervalo cotiee el valor. De ocurrir lo cotrario, es decir, si el itervalo o cotiee el uo, se cocluirá que las variazas poblacioales so diferetes puesto que las variazas muestrales acusa diferecias sigicativas. ágia: 5

6 arámetros oblacioes Estadístico Distribució Itervalo de coaza Normales idep., µ y µ descoocidas S / S / F, S /S F,, /, S /S F,,/ µ µ µ µ Normales idep., y coocidas Normales idep., = descoocidas x µ + x µ + S + S + N0, x x ± z / t+ x x ± t +, / + + S + S + µ µ µ µ µ µ Normales idep., descoocidas No Normales idep.,, descoocidas > 30, > 30 Normales apareadas, D = X X x µ S + S tm m = c + c c = S / S / +S / x x ± t m, / x µ S + S aprox. N0, D µd SD t D ± t SD, / x x ± z / S S + S + S p p Beroulli, idep., 30, 30 p p p p p p + p p N0, p p ± z / p p + p p

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