Inferencia. (Teoría y problemas) I. Espejo Miranda. M. A. López Sánchez. A. Sánchez Navas C. Valero Franco

Transcripción

1 Iferecia Estadística (Teoría y problemas) I. Espejo Mirada F. Ferádez Palací M. A. López Sáchez M. Muñoz Márquez A. M. Rodríguez Chía A. Sáchez Navas C. Valero Fraco

2 c Servicio de Publicacioes. Uiversidad de Cádiz I. Espejo Mirada, F. Ferádez Palací, M. A. López Sáchez, M. Muñoz Márquez, A. M. Rodríguez Chía, A. Sáchez Navas, C. Valero Fraco Edita: Servicio de Publicacioes de la Uiversidad de Cádiz c/ Doctor Marañó, Cádiz (España) ISBN: Se cocede permiso para copiar, distribuir y/o modificar este documeto bajo los térmios de la Licecia de Documetació Libre de GNU, Versió 1. o cualquier otra versió posterior publicada por la Free Software Foudatio. Ua traducció de la licecia está icluida e la secció titulada Licecia de Documetació Libre de GNU. Permissio is grated to copy, distribute ad/or modify this documet uder the terms of the GNU Free Documetatio Licese, Versio 1. or ay later versio published by the Free Software Foudatio. A copy of the licese is icluded i the sectio etitled GNU Free Documetatio Licese.

3 Iferecia Estadística (Revisió: Marzo 007) I. Espejo Mirada, F. Ferádez Palací, M. A. López Sáchez, M. Muñoz Márquez, A. M. Rodríguez Chía, A. Sáchez Navas, C. Valero Fraco c 007 Servicio de Publicacioes de la Uiversidad de Cádiz Capítulo 3 Estimació por itervalos de cofiaza 1. Itroducció E el capítulo aterior se estudiaro tato las propiedades deseables para u estimador de u determiado parámetro poblacioal, como la forma de calcularlos. Estos estimadores proporcioa, para ua muestra cocreta, u valor putual que se deomia estimació putual. Si embargo, a pesar de la idudable utilidad de este procedimieto, e la práctica, cuado se realiza la estimació de u parámetro se ecesita obteer ua medida de la fiabilidad de dicha estimació, medida de la que se carece e el proceso de estimació putual, de este modo, surge la ecesidad de ecotrar u método que permita calcular ua regió que cotega al valor del parámetro co ua cierta garatía. El capítulo se ha orgaizado itroduciedo e primer lugar el Método del Pivote, para calcular seguidamete Itervalos de cofiaza de parámetros e poblacioes Normales basádose e el mismo. A cotiuació se ha itroducido otros métodos de obteció de estimadores que se ha cosiderado iteresates, pero que dada su complejidad o su relativo uso viee marcados co. E cocreto, el Método asitótico basado e el Teorema cetral del límite va a permitir calcular itervalos e poblacioes Biomiales. El tema cocluye co u epígrafe dedicado a la determiació del tamaño muestral para cumplir co el objetivo de

4 4 Capítulo 3. Estimació por itervalos de cofiaza precisió establecido. Existe iumerables situacioes reales dode es ecesario ecotrar regioes e las cuales se tega la cofiaza o cierto grado de seguridad de que e ellas se halle el valor de u parámetro descoocido de la població. A modo de ejemplos: Ejemplo 3.1 Ejemplo 3. U vededor desea establecer la duració de la garatía de u determiado electrodoméstico, de forma que durate el período de garatía deba sustituir el meor úmero posible de piezas. El tiempo hasta el primer fallo, viee dado por ua variable aleatoria, X, tal que, EX = θ, dode θ es u parámetro descoocido. Si el vededor o quiere pagar igua pieza, el tiempo de garatía debería de ser ulo, pero ésto supodría ua mala image cara al público, co los cosecuetes perjuicios. Por tato, deberá buscar ua cota iferior del tiempo hasta que se produzca el primer fallo del electrodoméstico, cofiado e que la vida media de ese electrodoméstico sea superior a esa cota iferior. Es decir, extraída ua m.a.s., X, de la població, para > 0 se busca θ(x) tal que P θ(x) θ 1. U laboratorio está iteresado e estudiar la toxicidad media de u determiado producto químico, para ello quiere establecer ua cota superior de dicha media y así teer cierta certeza o seguridad de que la toxicidad del producto estará por debajo de esa cota superior. Por tato, si la toxicidad del producto viee dada por ua variable aleatoria, X, tal que EX = θ dode θ es u parámetro descoocido, se quiere obteer ua cota superior del ivel de toxicidad medio cofiado e que dicho ivel se ecuetre por debajo de esa cota. Es decir, ex-

5 3.1 Itroducció 43 traída ua m.a.s., X, de esta població, para > 0 se busca θ(x) tal que P θ θ(x) 1. Ejemplo 3.3 Ua empresa tabaquera desea estudiar el ivel medio de icotia de sus cigarros. A la compañía le iteresa que el ivel medio de icotia se ecuetre etre uos márgees debido a que u ivel medio alto supoe que el cigarro es muy perjudicial para la salud y u ivel medio bajo implica que el cigarro carece de sabor. De este modo, si el ivel de icotia de u cigarro viee dado por ua variable aleatoria, X, tal que EX = θ, dode θ es u parámetro descoocido, se desea, a partir de ua m.a.s., X, y para > 0 obteer θ(x) y θ(x) tal que P θ(x) θ θ(x) 1. Estos ejemplos poe de maifiesto la ecesidad que existe de costruir regioes dode se tega la cofiaza de ecotrar el parámetro. Nuestro estudio se cetra e el caso e que el parámetro sea uidimesioal y las regioes sea itervalos, por ello, de ahora e adelate, se hablará de itervalos de cofiaza. Dada ua m.a.s. X procedete de ua variable aleatoria, X, cuya distribució depede de u parámetro descoocido θ y dadas las variables aleatorias θ(x) y θ(x). Se defie itervalo de cofiaza de ivel 1 a u itervalo θ(x), θ(x), tal que P θ(x) θ θ(x) 1. (3.1) Nótese, que e la defiició aterior se habla de ivel de cofiaza 1, si embargo, la probabilidad e dicha expresió es mayor o igual que 1, esto se debe a que existe situacioes, como e poblacioes discretas, dode o es posible que dicha probabilidad sea exactamete 1. Como se puede apreciar, los extremos del itervalo so variables aleatorias que depede de la muestra y que toma para ua realizació

6 44 Capítulo 3. Estimació por itervalos de cofiaza muestral determiada, x, dos valores putuales. Así pues, el objetivo de este tema va a ser ecotrar θ(x) y θ(x), extremos del itervalo de cofiaza, cumpliedo determiados criterios relativos a la calidad de dicho itervalo. Como ilustració del sigificado de itervalo aleatorio se tiee el siguiete ejemplo: Ejemplo 3.4 Sea X ua variable aleatoria que sigue ua distribució U(0, θ). El ivel de cofiaza, basado e ua muestra de tamaño uo, del itervalo aleatorio X, X es: 1 P X θ X = P θ X θ = 1. Tras esta apreciació, hay que teer cuidado a la hora de iterpretar el sigificado de la expresió (3.1), ya que θ es u valor descoocido pero costate, por ello, su iterpretació correcta es que la probabilidad de que el itervalo aleatorio θ(x), θ(x) cotega el valor del parámetro, θ, es, al meos, 1. Por otra parte, ua vez tomada ua muestra, se obtiee u itervalo fijo, co lo cual o tiee setido hablar de probabilidad, ya que el valor del parámetro perteecerá o o a ese itervalo fijo, es decir, lo hará co probabilidad 1 ó 0. La explicació aterior justifica que tega que hablarse e térmios de cofiaza cuado se cosidera ua muestra cocreta. De esta forma, si el itervalo obteido para ua muestra cocreta se ha costruido co u ivel de cofiaza de 0 95, se prevé que dicho itervalo cotiee al valor del parámetro, ya que de cada 100 realizacioes muestrales, aproximadamete el itervalo cocreto para 95 de ellas cotiee dicho parámetro. E la defiició (3.1) se ha hablado de itervalo de cofiaza e el caso acotado, pero de igual forma, como se aprecia e los ejemplos, puede hablarse de itervalo de cofiaza acotado iferiormete para θ a u ivel de cofiaza 1, como el itervalo θ(x), + ) dode θ(x) verifica que P θ(x) θ 1, y de itervalo de cofiaza acotado superiormete para θ a u ivel de cofiaza 1 como el itervalo (, θ(x), dode θ(x) verifica que P θ(x) θ 1.

7 3. Itervalos de cofiaza de logitud míima 45. Itervalos de cofiaza de logitud míima Se puede observar que al ampliar la logitud de u itervalo de cofiaza aumeta tambié su ivel de cofiaza, de hecho, si se cosidera el itervalo (, + ) se obtiee u itervalo a u ivel de cofiaza 1. Por otro lado, a u ivel de cofiaza prefijado, se puede comprobar que o existe u úico itervalo. Por ello, se platea el problema de elegir de etre todos los itervalos a u ivel prefijado, alguo co uas determiadas características. Desde u puto de vista práctico, el itervalo de logitud míima es ua elecció iteresate, ya que al coservar el ivel de cofiaza, éste os da ua estimació del parámetro más ajustada que el resto de itervalos del mismo ivel de cofiaza. Si embargo, dicha elecció preseta el problema de que este itervalo o siempre se puede calcular; e dicho caso, se recurre a ua solució alterativa como puede ser la búsqueda del itervalo que tega logitud míima esperada, es decir, aquel que miimice la expresió Eθ(X) θ(x). Fialmete, cuado tampoco pueda resolverse este problema, el criterio más empleado cosiste e el reparto equitativo del complemetario del ivel de cofiaza etre las dos colas, es decir, P θ(x) θ = P θ(x) θ =. Este criterio preseta la vetaja de que coduce a u itervalo úico y que e el caso de distribució simétrica co respecto al parámetro es de logitud míima. A cotiuació se da alguos procedimietos para obteer itervalos de cofiaza e las situacioes que usualmete se preseta. 3. Método del pivote Se cosidera ua m.a.s. X procedete de ua població defiida por ua variable aleatoria X, cuya distribució depeda de u parámetro descoocido θ. El objetivo de esta secció va a ser desarrollar u

8 46 Capítulo 3. Estimació por itervalos de cofiaza método para calcular itervalos de cofiaza a partir de ua fució de la muestra que cotega al parámetro y cuya distribució o depeda de él. A cotiuació, se muestra u ejemplo que ilustra este procedimieto. Ejemplo 3.5 Sea X ua m.a.s. extraída de ua N(µ, ), se busca u itervalo de cofiaza para µ a u ivel de cofiaza 1. Para ello, se sabe que X N(µ, ), σ por tato X µ N(0, 1), co lo cual se puede tomar las costates k 1 () y k () verificado P k 1 () X µ k () = 1, de dode se obtiee que P X k () µ X k 1 () = 1 y por tato u itervalo de cofiaza a ivel 1 para µ es X k (), X k 1 (). Obsérvese que k 1 () y k () so costates cuyo valor depede del valor escogido. Se dice que T (x; θ) es u pivote o catidad pivotal si T (x; θ) es ua fució moótoa e θ para todo valor muestral x, la ecuació λ = T (x; θ) tiee solució para todo λ y la distribució de T (X; θ) es idepediete de θ. Si existe T (x; θ) pivote se puede costruir u itervalo de cofiaza para θ a cualquier ivel. Ejemplo 3.6 Sea X ua m.a.s. extraída de ua població co distribució U(0, θ). Se quiere ecotrar u itervalo de cofiaza para θ a u ivel de sigificació 1. Para ello se cosidera como estimador de θ

9 3.3 Método del pivote 47 a ˆθ(X) = máx{x 1,..., X } que se sabe tiee ua fució de distribució ( ) t Fˆθ(X) (t) = θ que al ser fució de distribució de ua variable aleatoria cotiua verifica que Fˆθ(X) (ˆθ(X)) U(0, 1), co lo cual se puede ecotrar k 1 () y k () tales que P k 1 () Fˆθ(ˆθ(X)) k () = 1. Por simplicidad se toma k 1 () = y k () = 1. Resolviedo las siguietes ecuacioes ( ) ˆθ(X) = se obtiee que; θ ( ) ˆθ(X) = 1 θ, θ = ˆθ(X) ( ) 1 ˆθ(X) θ = (1 ), 1 co lo cual u itervalo de cofiaza a u ivel 1 para θ es, I 1 (θ) = ˆθ(X) ˆθ(X),. (1 ) 1 ( ) 1 Hay que hacer otar que este procedimieto o coduce a u úico itervalo de cofiaza, ya que k 1 () y k () se puede escoger de formas diferetes para que cumpla P k 1 () T (X; θ) k () = 1

10 48 Capítulo 3. Estimació por itervalos de cofiaza de lo cual puede deducirse que existe diferetes θ(x) y θ(x) tal que P θ(x) θ θ(x) = 1. Como ya se cometó e la secció aterior, k 1 () y k () se elige de maera que θ(x) θ(x) sea míima, co lo cual, se habrá obteido u itervalo de cofiaza a u ivel 1 de logitud míima costruido a partir de T (X; θ). Si embargo, o podrá decirse que es u itervalo de logitud míima de etre todos los itervalos de cofiaza a ivel 1, ya que podría existir otro pivote T del cual se obtuviera u itervalo más pequeño. 4. Itervalos de cofiaza e poblacioes Normales Debido a la importacia que tiee las poblacioes Normales, se ha dedicado este apartado al estudio de los itervalos de cofiaza para sus parámetros. Por otro lado, la facilidad del cálculo de catidades pivotales que preseta estas poblacioes hace recomedable la obteció de estos itervalos de cofiaza a través del método pivotal. E esta secció se trata tato los itervalos de cofiaza e ua població como e dos poblacioes Normales. E ambos casos, depediedo del parámetro para el cual se busca u itervalo de cofiaza y del coocimieto o o de los otros parámetros, se preseta diferetes situacioes que a cotiuació va a ser estudiadas. E primer lugar se aaliza las distitas situacioes para el caso de ua població X que sigue ua Normal de media µ y variaza σ y de la cual se extrae ua m.a.s., X, de tamaño. Posteriormete se estudia el caso de dos poblacioes Normales de medias µ 1 y µ, variazas σ1 y σ y de las cuales se extrae dos m.a.s., X e Y, de tamaños 1 y, respectivamete. Las tablas 3.1 y 3. resume los resultados que se va a obteer e lo que sigue.

11 3.4 Itervalos de cofiaza e poblacioes Normales Itervalo de cofiaza para la media, coocida la variaza Debido a que se quiere ecotrar u itervalo de cofiaza para σ la media y se sabe que X N(µ, ), puede elegirse como pivote la tipificació de dicha variable aleatoria, es decir, T (X; θ) = X µ N(0, 1), σ co lo cual, dado u ivel de cofiaza 1, para ua variable aleatoria Z N(0, 1) se pretede ecotrar k 1 () y k () (que para u mejor etedimieto será deotados por k 1 = k 1 () y k = k ()), tales que P k 1 Z k = 1. Dados 1, 0 tales que 1 + = ( 1 y represeta el reparto de la probabilidad etre las dos colas), k 1 y k se obtedrá a partir de las igualdades P Z k 1 = 1 P Z k =. Ua vez calculados k 1 y k se obtiee que 1 = P k 1 X µ k σ σ σ = P k 1 X µ k σ σ = P X k µ X k 1. Se observa que para cada elecció de 1 y tales que 1 + =, se obtiee u itervalo diferete; co lo cual, como se decía ateriormete, se escogerá de etre todos ellos el de logitud míima para este pivote, siempre que ello sea posible. Es decir, Mi Sujeto a σ X k 1 σ (X k ) = σ (k k 1 ) F Z (k ) F Z (k 1 ) = 1

12 50 Capítulo 3. Estimació por itervalos de cofiaza dode F Z es la fució de distribució de ua N(0, 1). Para ecotrar dicho itervalo se recurre al método de los multiplicadores de Lagrage. A partir de la fució ψ(k 1, k, λ) = σ (k k 1 ) + λ (F Z (k ) F Z (k 1 ) (1 )), se obtiee el siguiete sistema de ecuacioes: ψ(k 1, k, λ) k = σ + λf Z (k ) = 0 ψ(k 1, k, λ) k 1 = σ λf Z (k 1 ) = 0 ψ(k 1, k, λ) λ = F Z (k ) F z (k 1 ) (1 ) = 0, siedo f Z la fució de desidad de ua N(0, 1). Sumado las dos primeras ecuacioes y operado se obtiee que e 1 k = e 1 k 1, de dode se deduce que Por tato, las solucioes so: k 1 = k. 1. k 1 = k, esta solució o es válida pues se tedría u itervalo de logitud ula.. k 1 = k, co lo cual k = Z 1, dode Z 1, verifica que F Z (Z 1 ) = 1. Es decir, el itervalo de cofiaza más pequeño coicide co el obteido por el reparto equitativo de etre ambas colas; lo cual era esperable ya que la distribució Normal es simétrica respecto a su media. El itervalo e forma explícita viee dado por la expresió I 1 (µ) = X Z 1 σ, X + Z 1 σ.

13 3.4 Itervalos de cofiaza e poblacioes Normales 51 Ejemplo 3.7 Co el fi de estudiar el úmero medio de flexioes cotiuadas que puede realizar sus alumos, u profesor de educació física somete a 80 de ellos, elegidos aleatoriamete, a ua prueba. Los resultados fuero los siguietes: Flexioes Alumos Se sabe que el úmero de flexioes se distribuye segú ua Normal de variaza poblacioal 7 5. Para costruir u itervalo de cofiaza al 95 % para la media del úmero de flexioes, se tiee que la media muestral es x = y que Z 1 = Por tato, el itervalo obteido para esta muestra cocreta, viee dado por I 0 95(µ) = ± 1 96 = 49 18, Itervalo de cofiaza para la media, descoocida la variaza Deotado por S c a la cuasivariaza muestral y usado que X y S c so idepedietes, se tiee que X µ N(0, 1) σ ( 1) S c σ χ 1 = X µ S c t 1, dode t 1 represeta la distribució t-studet co 1 grados de libertad. Se puede observar que T (X, µ) = X µ S c es u pivote, co lo cual, puede usarse para obteer u itervalo de cofiaza para la media de ua població Normal cuado la variaza es descoocida. Operado

14 5 Capítulo 3. Estimació por itervalos de cofiaza igual que e el caso aterior se tedría I 1 (µ) = X t 1,1 S c, X + t 1,1 que expresado e térmios de la variaza, S, I 1 (µ) = X t 1,1 S 1, X + t 1,1 S c, S. 1 Ejemplo 3.8 A partir de ua muestra de 0 literas cuyos periodos de duració (e horas) ha sido se quiere obteer u itervalo de cofiaza al 95 % para la vida media de ua població de literas que se distribuye ormalmete. Teiedo e cueta que x = 434, S c = y que para = 0 05 y = 0 es t 1,1 = 093, se tiee que u itervalo de cofiaza al 95 % para la vida media de las literas es I 0 95(µ) = 434 ± = , Itervalo de cofiaza para la variaza, coocida la media E este caso, puesto que X i µ σ N(0, 1) y X i µ σ, para i = 1,...,, so idepedietes dos a dos, se tiee que T (X; θ) = ( ) Xi µ χ σ, i=1 dode χ represeta la distribució Chi cuadrado co grados de libertad. Utilizado T (X; θ) como pivote y defiiedo Sµ i=1 = (X i µ),

15 3.4 Itervalos de cofiaza e poblacioes Normales 53 el itervalo de cofiaza a u ivel 1 viee dado por S I 1 (σ µ Sµ ) =,. χ,1 χ, 4.4. Itervalo de cofiaza para la variaza, descoocida la media Por el Teorema de Fisher se tiee que (X i X) σ i=1 χ 1. Razoado de igual forma que e el apartado aterior se obtiee que el itervalo de cofiaza a u ivel 1 para σ es I 1 (σ ( 1)Sc ) = χ, ( 1)S c 1,1 χ, 1, que expresado e térmios de la variaza, S, queda I 1 (σ S S ) =,. χ 1,1 χ 1, Ejemplo 3.9 Se sabe que el peso por comprimido de u cierto preparado farmacéutico se distribuye segú ua Normal. Co el objeto de estudiar la variaza de la distribució, se extrae ua m.a.s. de 6 artículos. Sabiedo que la variaza muestral es igual a 40, se pretede estimar la variaza poblacioal mediate u itervalo de cofiaza al 90 %. Puesto que µ es descoocida, u itervalo de cofiaza para σ viee dado por I 1 (σ S S ) =,, χ 1,1 χ 1,

16 54 Capítulo 3. Estimació por itervalos de cofiaza dode = 0 1, = 6, y S = 40. Así, χ 5,0 95 = y χ 5,0 05 = 1 145; co lo cual, I 0 90(σ ) = , = 1 68, Itervalo de cofiaza para la diferecia de medias de muestras apareadas Sea X e Y dos m.a.s. de tamaño y apareadas, de tal forma que la primera procede de ua població N(µ 1, σ 1 ) y la seguda de ua població N(µ, σ ). Ates de proporcioar el itervalo para la diferecia de medias de estas dos poblacioes, se hace ecesario idicar qué se etiede por muestras apareadas. Se dice que dos muestras X e Y está apareadas cuado los datos de las muestras viee por parejas, uo de cada ua de ellas, de maera que cada idividuo proporcioa dos observacioes. Ejemplo 3.10 Para estudiar los efectos de u determiado fármaco para adelgazar, se seleccioa aleatoriamete 6 persoas y se toma ota de sus pesos ates y después de admiistrarles el medicameto. Ates Después Como puede observarse, los datos viee por parejas: peso ates y después, dos datos por idividuo. Parece lógico que los datos se ecuetre relacioados etre sí. E los casos de muestras apareadas, el modo de proceder para obteer u itervalo de cofiaza para la diferecia de medias es co-

17 3.4 Itervalos de cofiaza e poblacioes Normales 55 siderar ua úica muestra formada por la diferecia de los pares de valores, D = X Y, reduciedo así el problema a ecotrar u itervalo de cofiaza para la media de ua població. Ejemplo 3.11 Si se quisiera costruir u itervalo de cofiaza para la diferecia de medias de los datos del ejemplo aterior, supoiedo que ambas so m.a.s. procedetes de poblacioes Normales, bastaría cosiderar ua ueva muestra: D = X Y, siedo X los pesos ates del tratamieto y Y los pesos después del mismo. Así, los valores de la ueva muestra D de tamaño = 6 so , cuya media muestral es x = 1 58 y su cuasivariaza Sc = El itervalo de cofiaza para la diferecia de medias viee dado por S I 1 (µ D ) = D t 1,1 c S, D+t 1,1 c. Para = 0 05, se tiee t 1,1 = t 5,0 975 = 57 y el itervalo queda I 0 95(µ D ) = 3 41, Itervalo de cofiaza para la diferecia de medias de muestras idepedietes Sea ahora dos m.a.s. X e Y de tamaños 1 y, respectivamete, idepedietes etre sí, de tal forma que la primera procede de ua població N(µ 1, σ 1 ) y la seguda de ua població N(µ, σ ). Usado que X y Y so idepedietes, se sabe que ( X N µ 1, ( Y N µ, ) σ 1 1 ) σ = X Y N µ 1 µ, σ 1 + σ, 1

18 56 Capítulo 3. Estimació por itervalos de cofiaza y usado que Sc 1 y Sc so idepedietes, se tiee que ( 1 1) S c 1 σ 1 ( 1) S c σ χ 1 1 χ 1 = ( 1 1) S c 1 σ 1 + ( 1) S c σ χ 1 +, dode S c 1 y S c so las cuasivariazas muestrales para las muestras X e Y respectivamete. El pivote que permite costruir el itervalo de cofiaza para la diferecia de medias de ambas poblacioes, se costruye basádose e los resultados ateriores, y depede e gra medida del coocimieto o o de las variazas poblacioales Itervalo de cofiaza cuado las variazas so coocidas Se sabe que σ1 X Y N µ 1 µ, + σ 1 co lo cual se puede tomar como pivote X Y (µ 1 µ ) σ σ N(0, 1),, de dode siguiedo la metodología aterior se obtiee que P X Y Z 1 = 1 σ σ por tato el itervalo buscado es I 1 (µ 1 µ ) = = X Y Z 1 µ 1 µ X Y+Z 1 σ σ = σ1 + σ σ1, X Y +Z σ. 1

19 3.4 Itervalos de cofiaza e poblacioes Normales 57 Ejemplo 3.1 Se quiere estudiar la diferecia de las vidas medias de dos tipos de lámparas. Para ello, se toma ua muestra de 150 lámparas de tipo H y otra, idepediete de la aterior, de 00 lámparas de tipo N, obteiédose que las de tipo H tiee ua vida media de 1400 horas y ua desviació típica de 10, y que las de tipo N tiee ua vida media de 100 horas y desviació típica 80. Para estimar la diferecia de medias se costruye u itervalo de cofiaza al 95 %, que viee dado por X H Y N ± Z 1 σ H H + σ N N. Sustituyedo e la expresió aterior, se obtiee ± 1 96, y por tato, I 0 95(µ H µ N ) = 177 8, Itervalo de cofiaza cuado las variazas so descoocidas e iguales Como Sc 1 y Sc so idepedietes, se sabe que ( 1 1) S c 1 σ ( 1) S c σ χ 1 1 χ 1 = ( 1 1)S c 1 + ( 1)S c σ χ 1 + y puesto que X y Sc 1, así como, Y y Sc so idepedietes, se tiee el pivote T (X, Y, µ 1 µ ) = ( ) = X Y (µ 1 µ ) σ ( 1 1)S c 1 +( 1)S c σ ( 1 + )

20 58 Capítulo 3. Estimació por itervalos de cofiaza = X Y (µ ( 1 µ ) ) 1 t (1 1)Sc 1 +( 1)S 1+, c obteiédose como itervalo de cofiaza I 1 (µ 1 µ ) = = X Y ± t 1 +,1 ( ) ( 1 1)Sc 1 +( 1)Sc que expresado e fució de la variaza muestral queda I 1 (µ 1 µ ) = = X Y ± t 1 +,1 1 S1 + S ( ) Ejemplo 3.13 De ua població N(µ 1, σ ), se extrae ua m.a.s. de tamaño 10, tal que la media muestral es 4 1 y la variaza muestral es De otra població N(µ, σ ) se toma otra m.a.s. de tamaño 16 e idepediete de la aterior, cuya media y variaza muestrales so y 3 609, respectivamete. Se quiere obteer u itervalo de cofiaza del 95 % para la diferecia de medias poblacioales. Puesto que la variazas poblacioales so descoocidas pero iguales, el itervalo de cofiaza para la diferecia de medias viee dado por X Y ± t 1 +,1 1 S 1 + S 1 + ( ). Para = 0 05 se tiee que t 4,0 975 = Así, ± ( ) 1. Por tato, I 0 95(µ 1 µ ) = 1 648, 0748.

21 3.4 Itervalos de cofiaza e poblacioes Normales Itervalo de cofiaza cuado las variazas so descoocidas y distitas E este caso, puesto que X y S c 1, así como, Y y S c so idepedietes, se tiee que así como Por tato X Y (µ 1 µ ) σ σ N(0, 1), ( 1 1) S c 1 σ 1 + ( 1) S c σ χ 1 +. X Y (µ 1 µ ) r σ 1 + σ 1 ( 1 1) S c1 σ 1 +( 1) S c σ 1 + t 1 +, pero como se ve el estadístico depede de σ 1 y σ por lo que se recurre a la aproximació de Welch, e fució de la cual el estadístico X Y (µ 1 µ ), Sc 1 + S c 1 tiee ua distribució aproximada t a,1 siedo a u factor corrector que se calcula tomado el etero más próximo a ( ) Sc S c a = ( 1 S ) ( c S ) c +1 y dode el itervalo de cofiaza para µ 1 µ viee dado por Sc I 1 (µ 1 µ ) = X Y ± t 1 a,1 + S c. 1

22 60 Capítulo 3. Estimació por itervalos de cofiaza Ejemplo 3.14 Para realizar u estudio sobre la hipertesió y sus cosecuecias, se toma dos muestras de 13 y 16 pacietes de ciudades distitas. Los datos muestrales obteidos fuero los siguietes: x 1 = 166 mm. S c1 = 8 mm. x = mm. S c = 7 mm. Supuesto que ambas poblacioes so Normales y que sus variazas so descoocidas y distitas, se quiere determiar u itervalo de cofiaza al 95 % para la diferecia de medias. Lo primero es calcular el valor de a. ( ) Sc S c a = ( 1 S ) ( c S ) c 1 = Luego se toma a = 13. Por otra parte, puesto que t 13,0 975 = 16, el itervalo buscado es I 0 95(µ 1 µ ) = ± = 15 89, Itervalo de cofiaza para el cociete de variazas Al ser S c1 y S c idepedietes, se tiee que ( 1 1) S c 1 σ 1 ( 1) S c σ χ 1 1 χ 1 = 1 1 Sc σ1 1 Sc 1 σ = Sc 1 σ1 Sc σ F 1 1, 1, co lo cual, hay que determiar k 1 y k que verifique la igualdad P k 1 F 1 1, 1 k = 1. Usado el método del reparto equitativo del ivel de sigificació, se

23 3.4 Itervalos de cofiaza e poblacioes Normales 61 obtiee que el itervalo de cofiaza buscado es ( ) σ I 1 1 σ = 1 F 1 1, 1,1 S c 1 S c, 1 F 1 1, 1, Sc 1 Sc, y puesto que S c = ( ) σ I 1 1 σ = 1 S, se tiee el itervalo S 1 1 F 1 1, 1,1, 1 S F 1 1, 1, S 1. 1 S Ejemplo 3.15 Co el fi de estudiar el gasto de combustible de dos motos procedetes de dos compañías diferetes, C1 y C, se seleccioa al azar 9 motos de la compañía C1 y 1 de la C. Las de la compañía C1 proporcioa ua media de 18 km recorridos por cada litro de combustible, co ua cuasivariaza de 1 1 km /l y las de la compañía C, ua media de 15 km/l y ua cuasivariaza de 9 km /l. Sabiedo que la distacia recorrida por cada litro de combustible se distribuye ormalmete e las dos compañías, se pretede obteer u itervalo de cofiaza al 90 % para el cociete de variazas. Llamado S c 1 y S c a las cuasivariazas muestrales de las motos de las compañías 1 y y teiedo e cueta que = 0 1, se tiee que para 1 = 9 y = 1 es F 1 1, 1, = 0 34 y F 1 1, 1,1 = 95. Así pues, u itervalo de cofiaza al 90 % para el cociete de variazas viee dado por ( ) σ I = σ 95 9, = 0 13, 1 1.

24 6 Capítulo 3. Estimació por itervalos de cofiaza 5. Método basado e la desigualdad de Tchebychev E el método del pivote se parte del coocimieto, salvo parámetros, de la distribució de la variable aleatoria que defie la població. Si embargo, e esta secció se aborda ua metodología que permite obteer u itervalo de cofiaza para u parámetro de la població coociedo úicamete la media y variaza del estimador de dicho parámetro. Para ello, se usará la desigualdad de Tchebychev, la cual dice que dada ua variable aleatoria, X, tal que EX = µ y VX = σ, se verifica que P X µ kσ > 1 1 k. Sea ˆθ(X) u estimador del parámetro que se quiere estudiar, usado la desigualdad aterior se puede ecotrar u itervalo de cofiaza co ua cota iferior del ivel de cofiaza prefijado. Así pues, se verifica que P ˆθ Eˆθ k Vˆθ > 1 1 k. E el caso de que el estimador sea isesgado se podrá obteer u itervalo co ivel de cofiaza de al meos 1 que viee dado a partir de las expresioes 1 1 k = 1 k = 1 P ˆθ 1 Vˆθ θ ˆθ + 1 Vˆθ 1. De lo cual se deduce que u itervalo de cofiaza es Vˆθ I 1 (θ) = ˆθ, ˆθ Vˆθ +. E el caso particular de que se quiera ecotrar u itervalo de cofiaza para la media de ua població de la cual se cooce la variaza, puede tomarse como estimador X. De esta forma se obtiee el itervalo I 1 (µ) = X σ, X + σ.

25 3.6 Método asitótico basado e el Teorema Cetral del Límite 63 Ejemplo 3.16 Se quiere comparar el itervalo obteido e este método co el obteido usado el método del pivote bajo la hipótesis de Normalidad. E este caso, el itervalo veía dado por X Z 1 σ, X + Z 1 σ, co lo cual la amplitud de este itervalo es Z 1 σ, mietras que para el método basado e la desigualdad de Tchebychev, la amplitud del itervalo es 1 σ. Para el caso de u itervalo de cofiaza a u ivel de 0 95 y puesto que Z 1 = 1 96 y 1 = 4 47, se puede deducir que auque el método aproximado es aplicable e situacioes muy geerales, preseta la desvetaja de o proporcioar u itervalo co bueas propiedades. 6. Método asitótico basado e el Teorema Cetral del Límite Esta secció está dedicada a la búsqueda de itervalos de cofiaza para la media de ua població de la cual se posee ua muestra de gra tamaño, es decir, se va a costruir u itervalo de cofiaza asitótico para la media. Cuado se busca el itervalo de cofiaza para la media de ua població, el estimador atural es la media muestral X. Si embargo, puede suceder que se descoozca su distribució y cosecuetemete o se pueda calcular dicho itervalo. Para superar esta dificultad, se utiliza el Teorema Cetral del Límite. Ates de cotiuar es ecesario itroducir el cocepto de covergecia e distribució o e ley.

26 64 Capítulo 3. Estimació por itervalos de cofiaza Dada (X ) N ua sucesió de variables aleatorias co fució de distribució F. Se dice que X coverge e ley o e distribució a ua variable aleatoria X co fució de distribució F, si F (x) F (x) e todo puto de cotiuidad de F, este tipo de covergecia se deota por X d X o X l X. Así mismo, será de gra utilidad el siguiete teorema coocido como Teorema de Liderberg Lévy. Dadas X 1,..., X, variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas, tales que, EX = µ y VX = σ <. Etoces: X µ d N(0, 1). σ Por tato, siempre que el objetivo sea obteer u itervalo de cofiaza para la media, se puede aplicar este teorema y usar las mismas técicas empleadas para obteer el itervalo de cofiaza para la media de ua població Normal, co la salvedad de que e este caso el ivel de cofiaza de este itervalo o será exacto, sio aproximado. Debido a que e la mayoría de las situacioes reales que se preseta la variaza poblacioal es descoocida, e este método asitótico la variaza poblacioal, se aproxima por la muestral, obteiédose que X µ d N(0, 1). S 6.1. Itervalos de cofiaza para la proporció Cosidérese ua m.a.s. X extraída de ua població defiida por ua variable aleatoria X, distribuida segú ua Berouilli de parámetro p. Si la variable aleatoria toma valores 0 y 1, el estimador de máxima verosimilitud del parámetro p es ˆp = 1 X i = X. i=1

27 3.6 Método asitótico basado e el Teorema Cetral del Límite 65 Puesto que E ˆp = p Vˆp = p(1 p), puede deducirse, aplicado ua variate del Teorema de Liderberg Levy para este tipo de distribucioes, que ˆp p p(1 p) d N(0, 1). A partir de este resultado se puede costruir u itervalo de cofiaza, bie directamete, o a través de la doble aproximació, dode p(1 p) es sustituido por su estimador ˆp(1 ˆp). Véase qué itervalos se obtiee por ambos métodos: 1. Si utilizar la doble aproximació y haciedo k = Z 1. 1 = P k N(0, 1) k ˆp p = P k k p(1 p) = P (ˆp p) k p(1 p) = P (ˆp + p pˆp) k p(1 p) ) ) = P (1 + k p (ˆp + k p + ˆp 0 k (ˆp + p = ) ± (ˆp + k ) 4(1 + k )ˆp (1 + k ). Por tato el itervalo es k (ˆp + I 1 (p) = ) ± (ˆp + k ) 4(1 + k )ˆp (1 + k ),

28 66 Capítulo 3. Estimació por itervalos de cofiaza o equivaletemete I 1 (p) = ˆp 1 + k + 1 (1 + k ) ± k 4ˆp(1 ˆp) + k (1 + k ).. Utilizado la doble aproximació y el mismo valor para k = Z 1. 1 = P k N(0, 1) k = ˆp p = P k k = ˆp(1 ˆp) = P ˆp k k ˆp(1 ˆp) p ˆp + de dode se deduce que el itervalo es I 1 (p) = ˆp ± k ˆp(1 ˆp). ˆp(1 ˆp), Como puede observarse el primer itervalo obteido coverge al segudo. Ejemplo 3.17 E uas eleccioes, el cadidato A desea estimar, al 95 % de cofiaza, la proporció de votates que está a su favor. Co este fi, toma ua muestra aleatoria de 100 votates, observado que el 55 % so partidarios suyos, obteiedo u itervalo de cofiaza de sus probabilidades de triufo igual a I 0 95(p) = = ˆp ± Z ± 1 96 = 0 55 ± 0 1 = 0 45, ˆp(1 ˆp) Itervalo de cofiaza para la diferecia de proporcioes Se cosidera dos muestras aleatorias simples X e Y, de tamaños 1 y e idepedietes etre sí, extraídas de poblacioes co distribucioes Berouilli de parámetros p 1 y p respectivamete. El objetivo

29 3.6 Método asitótico basado e el Teorema Cetral del Límite 67 cosiste e ecotrar u itervalo de cofiaza para la diferecia de sus proporcioes. Como e el caso aterior, se obtiee que los estimadores máximo verosímiles para ambas muestras so: verificádose que ˆp 1 = 1 1 X i ˆp = 1 1 i=1 Eˆp 1 = p 1 Vˆp 1 = p 1(1 p 1 ) d p 1 (1 p 1 ) ˆp 1 N p 1, 1 1 i=1 Y i y Eˆp = p Vˆp = p (1 p ) d p (1 p ) ˆp N p,. Puesto que ambas muestras so idepedietes se tiee que ˆp 1 ˆp d N p 1 (1 p 1 ) p 1 p, + p (1 p ) 1 de lo cual puede deducirse usado la doble aproximació la expresió P Z 1 ˆp 1 ˆp (p 1 p ) Z 1 ˆp1 (1 ˆp 1 ) 1 + ˆp (1 ˆp ) siedo el itervalo de cofiaza buscado igual a I 1 (p 1 p ) = ˆp 1 ˆp ± Z 1 ˆp 1 (1 ˆp 1 ) = 1, + ˆp (1 ˆp ). 1

30 68 Capítulo 3. Estimació por itervalos de cofiaza Ejemplo 3.18 Ua determiada empresa quiere saber si su uevo producto tedrá más aceptació e la població adulta o etre los jóvees. Para ello, cosidera ua m.a.s. de 400 adultos y 600 jóvees, observado que sólo a 100 adultos y 300 jóvees les había gustado su iovador producto. Para comparar las proporcioes de adultos y jóvees a los que les gusta el producto, a u ivel de cofiaza del 99 %, se cosidera el itervalo de cofiaza ˆp 1 ˆp ± Z 1 Si se cosidera ˆp1 (1 ˆp 1 ) 1 + ˆp (1 ˆp ). p 1 = proporció de jóvees a los que gusta p = proporció de adultos a los que gusta etoces ˆp 1 = = 0 5 y ˆp = = 0 5, co lo que el itervalo queda ± 58 es decir, I 0 99(p 1 p ) = 0 19, Itervalo asitótico para cualquier parámetro E el apartado aterior, se estudió la costrucció de u itervalo de cofiaza para la media de ua població a través de métodos asitóticos. E esta secció, se extiede el método aterior a cualquier parámetro del cual se dispoga u estimador máximo verosímil. Para ello, se cosidera el siguiete resultado., Teorema 3.1 Si se verifica las codicioes de Fisher Wolfowitz el es-

31 3.7 Itervalo asitótico para cualquier parámetro 69 timador máximo verosímil de θ, ˆθ MV, es asitóticamete Normal: dode I(θ) = E ˆθ MV (X) θ (I(θ)) 1 log f(x, θ) θ. d N(0, 1), Así, dada ua m.a.s. procedete de ua població cuya distribució depede de u parámetro θ descoocido y supoiedo coocido su estimador de máxima verosimilitud, el itervalo de cofiaza para dicho parámetro viee dado por la expresió 1 = P = P Z 1 ˆθ MV (X) θ I(θ) ˆθMV (X) Z 1 obteiédose el itervalo I 1 (θ) = Ejemplo 3.19 ˆθMV (X) Z 1 Z 1 I(θ) θ ˆθMV (X) + Z 1 I(θ), I(θ), ˆθMV + Z 1 I(θ). Sea X ua m.a.s. extraída de ua població de Poisso de parámetro descoocido λ. Se sabe que el estimador de máxima verosimilitud para λ es ˆλ MV (X) = X y la catidad de iformació de Fisher para esta distribució es de lo cual se deduce que I(λ) = λ, X λ λ d N(0, 1), y dode, o bie, puede sustituirse λ, como se vio ateriormete, e el deomiador por u estimador

32 70 Capítulo 3. Estimació por itervalos de cofiaza cosistete como es X, o resolverse directamete. Si se sustituye, se obtiee que: d N(0, 1) X λ X y de aquí, el itervalo de cofiaza para λ es X I 1 (λ) = X Z 1, X + Z 1 X. 8. Determiació del tamaño muestral Ua vez estudiados diferetes métodos de costrucció de u itervalo de cofiaza, se poe de maifiesto la importacia del tamaño muestral e los procesos ifereciales y más cocretamete, e la costrucció de itervalos de cofiaza para la media de ua població. E esta secció, el objetivo va a cosistir e fijar el tamaño muestral para que el error cometido e el proceso de estimació de dichos itervalos sea meor que ua catidad prefijada. Así, depediedo del coocimieto o o de la variaza se puede distiguir los siguietes casos: 8.1. Determiació del tamaño muestral para estimar la media, coocida la variaza Tato e el caso que la població sea ua població N(µ, σ), como e el caso de que el tamaño muestral sea suficietemete grade se ha visto que P o equivaletemete X Z 1 σ P µ X + Z 1 σ = 1, X µ Z 1 σ = 1, co lo cual, ua medida del error cometido e la estimació de la media viee dada por X µ, siedo Z 1 σ ua cota de dicho error.

33 3.8 Determiació del tamaño muestral 71 Por tato, se puede calcular el tamaño muestral para que el error absoluto cometido e la estimació sea a lo sumo ua catidad prefijada ε, de la forma Z1 = σ ε. Ejemplo 3.0 Se pretede estimar la media µ de ua població Normal de variaza y se quiere teer ua cofiaza del 95 % de que el error absoluto de estimació sea meor de Determíese el tamaño de la muestra. Para = 0 05 es Z 1 ε = 0 05 se tiee que = (1 96) (0 05) = = Por tato, para 8.. Determiació del tamaño muestral para estimar la media, descoocida la variaza De igual forma que e el caso aterior, se obtiee que u itervalo de cofiaza a ivel 1 para la media de ua població es S P X t 1,1 c S µ X + t c 1,1 = 1, o equivaletemete P X µ t 1,1 S c = 1. Razoado de igual forma que e el apartado aterior, el tamaño muestral ecesario para obteer u error de estimació meor que ua catidad prefijada, ε, debe ser t 1,1 S c ε.

34 7 Capítulo 3. Estimació por itervalos de cofiaza 8.3. Determiació del tamaño muestral para la proporció E las seccioes ateriores se estudió que el itervalo de cofiaza para la proporció de ua població viee dada por ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) P ˆp Z 1 p ˆp + Z 1 = 1, o equivaletemete P ˆp p Z 1 ˆp(1 ˆp) = 1. Siguiedo el razoamieto de los apartados ateriores se obtiee que el tamaño ecesario para cometer u error meor que ua catidad prefijada, ε, debe ser mayor que Ejemplo 3.1 Z 1 ˆp(1 ˆp) ε. Co el fi de orgaizar su producció, ua determiada fábrica emprede ua ivestigació para coocer la proporció de cosumidores que adquiere su producto. Se quiere que el error de estimació máximo sea del 3 % co ua cofiaza del 95 %, así que se trata de averiguar cuál debe ser el tamaño de la muestra para que se cumpla estos objetivos. Se puede observar que ada se sabe acerca de ˆp. E esta ocasió y puesto que máx ˆp(1 ˆp) = 1 4, se tedrá que 1 4 Z 1 ε. Como ε = 0 03 y = 0 05, se tiee que Z = Así, 0 5 (1 96) (0 03) = Por tato, el tamaño de la muestra ha de ser como míimo de 1068 cosumidores.

35 9. Tablas de Itervalos de Cofiaza 3.9 Tablas de Itervalos de Cofiaza 73 Distribució Parámetro Casos Itervalo Normal N (µ, σ ) µ σ coocida x ± Z 1 σ σ descoocida < 30 x ± t 1,1 30 S c x ± Z S 1 c Descoocida 30 Beroulli B(p) Normal N (µ, σ ) µ p σ σ coocida σ descoocida Muestras grades µ coocida µ descoocida x ± Z 1 σ S c x ± Z 1 ˆp ± Z 1 ˆpˆq ˆp = x ˆq = 1 x ( ) S µ χ,1, S µ χ, (x i µ) i=1 Sµ = ( ) ( 1)Sc χ, ( 1)S c 1,1 χ 1, Poisso Muestras λ x ± Z 1 x P(λ) grades Tabla 3.1: Itervalos de cofiaza para ua població

36 74 Capítulo 3. Estimació por itervalos de cofiaza Distribució Parámetro Casos Itervalo Normales Idep. N (µ 1, σ 1 ) N (µ, σ ) σ 1, σ coocidas µ 1 µ σ 1 = σ descoocidas σ 1 σ descoocidas Normales σ d Depe. µ 1 µ coocida N (µ 1, σ 1 ) N (µ, σ ) Normales N (µ 1, σ 1 ) N (µ, σ ) Beroulli B(p 1 ) B(p ) σ 1 σ p 1 p σ d descoocida µ 1, µ descoocidas 1 x 1, x 1 (1 x 1 ) (1 x ) 1 p 1, p ( x 1 x ) ± Z 1 σ σ x 1 x ± t m,1 S p co m = 1 + Sp = ( 1 1)Sc 1 + ( 1)Sc 1 + Sc x 1 x ± t a, S c ( S a = c1 / 1 + Sc ) / ( ) S ( ) c1 / 1 S c / d ± Z 1 σ d d = x1 x < 30 d ± t 1,1 30 S cd d ± Z 1 S cd ( Sc 1 /Sc Sc F, 1 /S ) c 1 1, 1,1 F 1 1, 1, (ˆp 1 ˆp ) ± Z 1 ˆp1ˆq ˆp ˆq ˆp 1 = x 1 ˆp = x ˆq 1 = 1 x 1 ˆq = 1 x 1 q 1, q 5 Tabla 3.: Itervalos de cofiaza para dos poblacioes

37 3.10 Ejercicios Ejercicios Ejercicios resueltos 3.1 Se ha geerado aleatoriamete 0 datos extraídos de ua població N(0, 4), obteiédose que X = y S c = Obteer u itervalo de cofiaza a u ivel de cofiaza 1 para el caso e que σ = 1 y e el caso e que o se coozca su valor. De igual forma, calcúlese los itervalos de cofiaza para σ e el caso de que µ = 0 y e el caso de que se descoozca su valor. Solució: Los resultados obteidos viee reflejados e la tabla 3.3. Itervalos ( = 0 05) X = Amplitud del Sc = itervalo σ = 1 I 1 (µ) = 0 437, = σ descoocida I 1 (µ) = 0 407, = 0 74 µ = 0 I 1 (σ ) = 47, 4 36 = µ descoocida I 1 (σ ) = 449, 4 75 = 1 86 Tabla 3.3: Resultados: Distribució N(µ, σ) Hay que señalar que el itervalo ecotrado cuado σ es descoocida es más pequeño que el ecotrado cuado es coocida. Esto se debe a que cuado σ es descoocida se toma la cuasivariaza (o variaza), que e este caso vale S c = , que es más pequeño que el valor de σ = Ecuétrese itervalos de cofiaza para la Expoecial de parámetro λ por los métodos del pivote, la desigualdad de Tchebychev y los métodos asitóticos I y II. Compárese los resultados obteidos para u ivel de cofiaza del 95 % cuado a) la muestra es de tamaño 100 y la media muestral X =

38 76 Capítulo 3. Estimació por itervalos de cofiaza b) la muestra es de tamaño y la media muestral X = Solució: Los resultados obteidos viee reflejados e la tabla 3.4, dode la amplitud del itervalo se deota por. Método Pivotal Desigualdad de Tchebychev I. Asitótico I (T.C.L.) I. Asitótico II (M.V.) Itervalo de cofiaza P P X i X i i=1 i=1 g, 1,,1 g 1,, X X, X X Z 1, Z = 100 = X = X = , 0 69 = , = , , 0 56 = 0 66 = , , 0 51 = 0 9 ( ) ( ) X 1 Z 1, X 1 Z , 0 67 = 0 = , 0 51 = Tabla 3.4: Resultados: Distribució Exp(λ) ( = 0 05) 10.. Ejercicios propuestos 3.1. U fabricate diseña u experimeto para estimar la tesió de ruptura media de ua fibra. Para ello, observa las tesioes de ruptura, e libras, de 16 hilos de dicha fibra seleccioados aleatoriamete. Las tesioes so 0 8, 0 6, 1 0, 0 9, 19 9, 0, 19 8, 19 6, 0 9, 1 1, 0 4, 0 6, 19 7, 19 6, 0 3, 0 7. Si la tesió de ruptura se distribuye segú ua Normal de desviació típica σ = 0 45 libras, costrúyase u itervalo al 98 % para el

39 valor real de la tesió de ruptura promedio de la fibra Ejercicios El ayutamieto de ua determiada ciudad está iteresado e estimar la catidad promedio de diero que gasta los turistas durate su estacia e la ciudad. Ua ecuesta llevada a cabo etre ua muestra aleatoria de turistas obtuvo los siguietes datos expresados e euros: 150, 175, 163, 148, 14, 189, 135, 174, 168, 15, 158, 184, 134, 146, 155, 163. Supoiedo que la catidad gastada al día es ua variable aleatoria Normal, obtégase los itervalos de cofiaza para el promedio de diero que gasta los turistas al día, estimados al 90, 95 y 98 % A partir de ua muestra de 6 embotelladoras de agua, se observa que el úmero medio de botellas lleas es de 71 por miuto y que su variaza es de Supoiedo Normalidad, calcule u itervalo de cofiaza del 95 % para el úmero medio de botellas relleas Se está realizado u estudio para determiar el grado de precisió de las medidas efectuadas por u aparato. Para ello, se realiza 10 medidas, observádose que preseta ua desviació típica de 0 3 uidades. Supoiedo Normalidad, obtégase u itervalo de cofiaza al 99 % para la desviació típica de las medidas llevadas a cabo por el aparato Dos uiversidades sigue métodos distitos a la hora de matricular a sus alumos. Para comparar el tiempo que los alumos tarda e completar los trámites de matrícula se seleccioó al azar ua muestra de 100 alumos de cada uiversidad, obteiédose los siguietes resultados, expresados e miutos, x 1 = 50 ; x = 5 9; S 1 = 4 8; S = 5 4. Supuesto que ambas muestras so idepedietes y procedetes de poblacioes Normales, obtégase los itervalos al 90, 95 y 99 % para la diferecia de las medias del tiempo de matrícula.

40 78 Capítulo 3. Estimació por itervalos de cofiaza 3.6. U agricultor siembra dos tipos de tomates híbridos e cico parcelas diferetes. Las produccioes, e quitales métricos por hectáreas so las siguietes: Híbrido I Híbrido II Si se supoe que las poblacioes so Normales: a) Costruya u itervalo de cofiaza del 90 % para la diferecia etre las produccioes medias. b) Costruya u itervalo de cofiaza del 90 % para el cociete de las variazas Para estudiar la diferecia de estaturas medias, medidas e cetímetros, de estudiates varoes e las facultades de ciecias de Cádiz y Málaga, se toma ua muestra aleatoria de 15 estudiates e cada facultad, obteiédose: Cádiz Málaga Obtega el itervalo de cofiaza al 99 % para la diferecia de estaturas medias etre ambos colectivos de estudiates. Se supoe que las estaturas sigue ua distribució Normal y que las variazas poblacioales so iguales Se está realizado u estudio sobre la evolució del ivel de colesterol de las persoas, para lo cual se seleccioa 10 idividuos al azar y se les somete a ua ueva dieta alimeticia durate seis meses, tras la cual se les volvió a medir el ivel de colesterol e mg/dl. Supoiedo Normalidad, obtega u itervalo de cofiaza al 90 % para la diferecia de medias.

41 3.10 Ejercicios 79 Ates Después Ua fábrica produce barras de hierro cuya logitud sigue ua distribució Normal. A partir de la muestra 100 9, 101, 100, 100 4, 99 8, 100 1, 101 5, 100 4, 101 7, media. a) Ecuetre u itervalo de cofiaza para la logitud b) Tras revisar la maquiaria, se obtuvo ua ueva muestra: 99 7, 100 7, 97 8, 98 8, 101 4, 100 3, 98 7, 101 1, 99 4, Estudie si se produjo algú cambio e la logitud media de la barras Partiedo de ua m.a.s. de tamaño, costruya u itervalo de cofiaza utilizado la desigualdad de Tchebychev co u ivel 1 para el parámetro θ de las siguietes ditribucioes: a) B(θ). b) U(0, θ). c) N(0, θ) E u comercio se recibe u lote de 00 artículos de los cuales 8 está defectuosos. Obtégase itervalos de cofiaza al 90, 95 y 99 % para la proporció de artículos defectuosos E ua població de iños se desea hacer ua campaña de vacuació. Se quiere saber cuátas vacuas debe preverse, co u 95 % de cofiaza, si de ua m.a.s. de 90 ecuestados 30 estaba vacuados A partir de ua muestra de tamaño 100, cuya media fue 0 37, obtega u itervalo de cofiaza del 9 5 % para el parámetro de ua distribució B(1, p).

42 80 Capítulo 3. Estimació por itervalos de cofiaza A partir de ua muestra de 150 efermos escogidos etre los admitidos e u hospital durate u periodo de tres años, se observó que 19 teía algú tipo de seguro hospitalario. E u segudo hospital, se tomó otra muestra de 160 idividuos, extraída de forma similar, de los cuales 144 teía algú tipo de seguro. Ecuetre los itervalos al 90, 95 y 99 % de cofiaza para la diferecia de proporcioes Co el propósito de estudiar la catidad de icotia de ua determiada marca de cigarrillos se toma ua muestra de 100 de ellos, ecotrádose ua media de 6 mg. Se sabe que la catidad de icotia se distribuye ormalmete, y que su desviació típica es de 8 mg. a) Obtega u itervalo de cofiaza para el coteido medio e icotia al 99 %. b) Estudie cuál debe ser el tamaño de la muestra para que la amplitud del itervalo dismiuya e mg Determie el tamaño muestral ecesario para estimar la media de ua població Normal co variaza igual a 1 y u 90 % de cofiaza, de maera que el error e la estimació o sea mayor de 0 01.