Universidad Rural de Guatemala. MATEMATICA I Primer semestre 2017 Lic. Francisco Escobar. Teoría de Conjuntos

Transcripción

1 Universidad Rural de Guatemala. MATEMATICA I Primer semestre 2017 Lic. Francisco Escobar Teoría de Conjuntos Guatemala, 04 de febrero de

2 Contenido. Introducción.. Pág. 3 Conjuntos..Pág.4 Notación Pág.5 Clasificación de conjuntos.. Pág.6 Cardinalidad...Pág.9 Operaciones con conjuntos Pág.10 Propiedades de las operaciones...pág.12 Diagrama de Venn... Pág.13 Conclusiones Pág. 15 Bibliografía. Pág. 15 2

3 Introducción Las matemáticas constituyen un conjunto amplio de conocimientos basados en el estudio de patrones y relaciones inherentes a estructuras abstractas. Aunque se desarrollen con independencia de la realidad física, tienen su origen en ella y son de suma utilidad para representarla. Nacen de la necesidad de resolver problemas prácticos y se sustentan por su capacidad para tratar, explicar, predecir y modelar situaciones reales y dar rigor a los conocimientos científicos. Su estructura se halla en continua evolución, tanto por la incorporación de nuevos conocimientos como por su constante interrelación con otras áreas, especialmente en el ámbito de la ciencia y la técnica. 3

4 Conjuntos Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Algunos ejemplos son: A es el conjunto de los números naturales menores que 5. B es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo. C es el conjunto de las vocales a, e, i, o y u. D es el conjunto de los palos de la baraja francesa. Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman elementos o miembros. Se dice que «pertenecen» al conjunto y se denota mediante el símbolo : n 1 la expresión a A se lee entonces como «a está en A», «a pertenece a A», «A contiene a a», etc. Para la noción contraria se usa el símbolo. Por ejemplo: 3 A, D Amarillo B, z C En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él. Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es: AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13,...} Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo: 4

5 S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles} AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul} Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números. Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos. Notación. Existen varias maneras de referirse a un conjunto. En el ejemplo anterior, para los conjuntos A y D se usa una definición intensiva o por comprensión, donde se especifica una propiedad que todos sus elementos poseen. Sin embargo, para los conjuntos B y C se usa una definición extensiva, listando todos sus elementos explícitamente. Es habitual usar llaves para escribir los elementos de un conjunto, de modo que: B = {verde, blanco, rojo} C = {a, e, i, o, u} Esta notación mediante llaves también se utiliza cuando los conjuntos se especifican de forma intensiva mediante una propiedad: A = {Números naturales menores que 5} D = {Palos de la baraja francesa} Otra notación habitual para denotar por comprensión es: A = {m : m es un número natural, y 1 m 5} D = {p : p es un palo de la baraja francesa} F = {n2 : n es un entero y 1 n 10}, 5

6 En estas expresiones los dos puntos («:») significan «tal que». Así, el conjunto F es el conjunto de «los números de la forma n2 tal que n es un número natural entre 1 y 10 (ambos inclusive)», o sea, el conjunto de los diez primeros cuadrados de números naturales. En lugar de los dos puntos se utiliza también la barra vertical () u oblicua «/». Igualdad de conjuntos Conjunto de personas. El conjunto de «personas» mostrado en la imagen, A, tiene 8 miembros. Este conjunto puede representarse mediante llaves o mediante un diagrama de Venn. El orden de las personas en A es irrelevante. Un conjunto está totalmente determinado por sus elementos. Por ello, la igualdad de conjuntos se establece como: Propiedad de la extensionalidad. Dos conjuntos A y B que tengan los mismos elementos son el mismo conjunto, A = B. 6

7 Esta propiedad tiene varias consecuencias. Un mismo conjunto puede especificarse de muchas maneras distintas, en particular extensivas o intensivas. Por ejemplo, el conjunto A de los números naturales menores que 5 es el mismo conjunto que A, el conjunto de los números 1, 2, 3 y 4. También: B = {verde, blanco, rojo} = {colores de la bandera de México} C = {a, e, i, o, u} = {vocales del español} D = {Palos de la baraja francesa} = {,,, } El orden en el que se precisan los elementos tampoco se tiene en cuenta para comparar dos conjuntos: B = {verde, blanco, rojo} = {rojo, verde, blanco} C = {a, e, i, o, u} = {e, i, u, a, o} Además, un conjunto no puede tener elementos «repetidos», ya que un objeto solo puede o bien ser un elemento de dicho conjunto o no serlo. Se da entonces que, por ejemplo: {1, 2} = {1, 2, 1} En ausencia de alguna característica adicional que distinga los «1» repetidos, lo único que puede decirse del conjunto de la derecha es que «1» es uno de sus elementos. Conjunto vacío El conjunto que no contiene ningún elemento se llama el conjunto vacío y se denota por o simplemente {}. Existe un único conjunto vacío, ya que lo único que distingue a un conjunto son sus elementos. 7

8 Subconjuntos. Subconjunto. B es un subconjunto de A (en particular un subconjunto propio). Un subconjunto A de un conjunto B, es un conjunto que contiene algunos de los elementos de B (o quizá todos): Un conjunto A es un subconjunto del conjunto B si cada elemento de A es a su vez un elemento de B. Cuando A es un subconjunto de B, se denota como A B y se dice que «A está contenido en B». También puede escribirse B A, y decirse que B es un superconjunto de A y también «B contiene a A» o «B incluye a A». Todo conjunto A es un subconjunto de sí mismo, ya que siempre se cumple que «cada elemento de A es a su vez un elemento de A». Es habitual establecer una distinción más fina mediante el concepto de subconjunto propio: A es un subconjunto propio de B si es un subconjunto de B pero no es igual a B. Se denota como A B, es decir: A B pero A B (y equivalentemente, para un superconjunto propio, B A). n 2 Ejemplos. El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto propio del «conjunto de todas las personas». {1, 3} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} 8

9 Artículo principal: Conjuntos disjuntos Conjuntos disjuntos. Dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. Por ejemplo, los conjuntos de los números racionales y los números irracionales son disjuntos: no hay ningún número que sea a la vez racional e irracional. La intersección de dos conjuntos disjuntos es el conjunto vacío. Cardinalidad Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. En el caso de un conjunto finito se pueden contar los elementos del conjunto: El número de elementos de un conjunto finito es su cardinal. El cardinal se denota por A, card(a) o #A. Así, en los ejemplos anteriores, se tiene que A = 4 (cuatro números), B = 3 (tres colores) y F = 10 (diez cuadrados). El único conjunto cuyo cardinal es 0 es el conjunto vacío. En un conjunto infinito no hay un número finito de elementos. Es el caso por ejemplo de los números naturales: N = {1, 2, 3,...}. Sin embargo, existe una manera de comparar conjuntos infinitos entre sí, y se obtiene que existen conjuntos infinitos «más grandes» que otros. El «número de elementos» de un conjunto infinito es un número transfinito. La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que posee ese conjunto. El símbolo que representa la cardinalidad de un conjunto A { numero de elementos de A} es n ( A ) {n (A) }. Ejercicio de cardinalidad En una encuesta sobre los medios de transporte urbano más comunes, a cada persona se le pregunta si el taxi, el autobús o el aut particular es el medio más usado para ir al trabajo. Se permite más de una respuesta. El resultado de la encuesta es el siguiente a) 30 personas usan taxi (T) b) 35 personas usan autobús (B) c) 100 personas usan el auto particular (A) d) 15 personas usan taxi y autobús e) 15 personas usan taxi y auto particular f) 20 personas usan autobús y auto particular g) 5 personas usan los tres medios de transporte Se quiere saber el número de personas que respondieron la encuesta, considerando que todos los encuestados respondieron a favor de una o más de las opciones. 9

10 Operaciones con conjuntos Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse para, partiendo de ciertos conjuntos dados, obtener nuevos conjuntos: Unión: (símbolo ) La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como A B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B. Intersección: (símbolo ) La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A B de los elementos comunes a A y B. Diferencia: (símbolo \) La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A \ B que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B. Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene. Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez. Producto cartesiano: (símbolo ) El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A B de todos los pares ordenados (a, b) formados con un primer elemento a perteneciente a A, y un segundo elemento b perteneciente a B. Ejemplos {1, a, 0} {2, b} = {2, b, 1, a, 0} {5, z, } {, a} = { } {5, z, } \ {, a} = {5, z} {, 5} Δ {8, #, } = {5, #, 8} {1, a, 0} {2, b} = {(1, 2), (1, Operaciones con conjuntos Unión 10

11 Intersección Diferencia Complemento Diferencia simétrica b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)} 11

12 Propiedades de las operaciones. Propiedad: Unión intersección Asociativa (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) Conmutativa A B = B A A B = B A Idempotente A A = A A A =A Absorción A (B A) = A A (A B) = A Distributiva A (B C) = (A B) (B A) A (B C) = (A B) (A C) Neutralidad A Ø = A A U = A A U = U A Ø = Ø Complementación A A l = U A A l = Ø Ley de De Morgan (A B) l = A l B l (A B) l = A l B l Además se cumple: (A l ) l = A, A - B = A B l, A - (B C) = (A - B) (A - C), A - (B C) = (A - B) (A - C) 12

13 Diagrama de Venn. Los diagramas de Venn son esquemas usados en la teoría de conjuntos, tema de interés en matemáticas, lógica de clases y razonamiento diagramático. Estos diagramas muestran colecciones (conjuntos) de cosas (elementos) por medio de líneas cerradas. La línea cerrada exterior abarca a todos los elementos bajo consideración, el conjunto universal U. Los diagramas de Venn tienen el nombre de su creador, John Venn, matemático y filósofo británico. Estudiante y más tarde profesor del Caius College de la Universidad de Cambridge, Venn desarrolló toda su producción intelectual en ese ámbito. Los diagramas que hoy conocemos fueron presentados en julio de 1880 en el trabajo titulado De la representación mecánica y diagramática de proposiciones y razonamientos,5 que tuvo gran repercusión en el mundo de la lógica formal. Los diagramas de Venn tienen varios antecedentes. La primera representación gráfica de deducciones lógicas y, en particular, de silogismos se atribuye comúnmente a Gottfried Leibniz. Variantes de la misma fueron empleadas luego por George Boole y Augustus De Morgan, pero fue el gran matemático suizo Leonhard Euler quien primero introdujo una notación clara y sencilla.2 El siguiente diagrama muestra de otro modo la relación de inclusión del ejemplo dado en la introducción. Diagrama de Euler - inclusión Diagrama de Euler Los diagramas de Euler se distinguen de los de Venn en dos aspectos: En ellos no aparecen las regiones vacías y El conjunto universal no se representa. Si bien fue Venn quien introdujo la expresión "universo del discurso", él nunca representó al universal en sus trabajos. Por eso la idea de conjunto universal se 13

14 atribuye habitualmente a Charles Dodgson, más conocido como Lewis Carroll, el lógico y autor de cuentos para niños que popularizó el concepto de conjunto complementario. El conjunto universal fue cuestionado por Bertrand Russell, quien mostró que con tal concepto la teoría de conjuntos resultaba inconsistente. Sin embargo, dicha definición fue rescatada y aun justificada en una reciente extensión de los diagramas de Venn que distingue al universal del Todo (universo del discurso). Por las dos razones recién mencionadas, los diagramas de Venn llegaron a convertirse en el nuevo estándar para la formalización de operaciones lógicas y los sistemas de representación anteriores cayeron en desuso. Tiempo después de la aparición del primer artículo, Venn desarrolló algo más su nuevo sistema en el libro Lógica simbólica, publicado en 1881 y cuyo propósito era interpretar y revisar los trabajos de Boole en el campo de la lógica formal. Este libro sirvió sobre todo para presentar ejemplos del uso de los diagramas. Otro libro de Venn que ayudó a divulgar el nuevo sistema de representación fue el titulado Los principios de la lógica empírica o inductiva, publicado en

15 Conclusiones. La teoría de conjuntos es una herramienta de gran utilidad en la matemática, estudia las relaciones existentes entre un todo y sus partes, al mismo tiempo que sentó las bases para simplificar definiciones de conceptos que resultaban más complejas. Más aún, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de ésta. Bibliografía. njuntos_y_operaciones_agsm/anexo.html Perdomo Salguero, Mario Leonel. Matemáticas I Usac