MATEMÁTICAS II: MATRICES Y DETERMINANTES

Transcripción

1 MATRICES Llamaremos matriz de números reales de orden (o dimensión) m n a un conjunto ordenado de m n números reales, dispuestos en m filas y n columnas: A a 11 a 12 a 13 a 1j a 1n a 21 a 22 a 23 a 2j a 2n a i1 a i2 a i3 a ij a in a m1 a m2 a m3 a mj a mn m n Con el símbolo a ij nos referiremos al elemento situado en la fila i y la columna j, y se escribirá: A (a ij ) m n Si m n se dice que la matriz es cuadrada, y que su orden es n Para multiplicar una matriz por un número, se multiplican todos los elementos de la matriz por dicho número Se pueden sumar o restar matrices siempre que tengan el mismo orden, en cuyo caso la operación se hace respetando la posición, como sigue: Hay bastantes tipos de matrices: matriz fila (una sola fila), matriz columna (una sola columna), matriz rectangular (distinto número de filas que de columnas), matriz cuadrada (en éstas, los elementos a ii forman la diagonal principal; la diagonal secundaria es la otra diagonal; las matrices rectangulares no tienen diagonales), matriz nula (todos sus elementos valen cero), matriz escalonada por filas o columnas (al principio de cada fila (columna) hay al menos un elemento nulo más que en la fila (columna) anterior) Dentro de las matrices cuadradas destacan: matriz triangular superior (los elementos bajo la diagonal principal son ceros), matriz triangular inferior (los elementos sobre la diagonal principal son ceros), matriz diagonal (los elementos que no están en la diagonal principal son ceros), matriz escalar (matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal principal iguales entre sí) y matriz unidad (matriz escalar con la diagonal principal formada por unos) La matriz traspuesta A t de una matriz dada A es la matriz cuyas filas son las columnas de ésta: ( ) t Se dice que una matriz cuadrada es simétrica cuando coincide con su traspuesta, y que es hemisimétrica o antisimétrica cuando sumada con su traspuesta da la matriz nula PRODUCTO DE MATRICES La matriz A m n se puede multiplicar por B k p sólo si n k, o sea, si el número de columnas de A es igual al número de filas de B El resultado de este producto es otra matriz de orden m p: A m n B n p C m p (c ij ) m p en la que el elemento de la fila i y la columna j se obtiene a partir de la fila i de la primera matriz A y de la columna j de la segunda matriz B, como sigue: c ij a i1 a i2 a ik a in b 1j b 2j a kj b nj a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj + + a in b nj Por ejemplo: Es evidente que el producto de matrices no es conmutativo Pero sí tiene las propiedades asociativa y distributiva Para las matrices cuadradas de orden n, la matriz unidad I n es el elemento neutro del producto de matrices DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LI- NEALES Lo que sigue se puede aplicar tanto a filas como a columnas Si denotamos por F 1, F 2,, F m a las filas de una matriz, una combinación lineal de algunas de ellas es cualquier expresión de la forma α i F i +α j F j ++α k F k, donde α i, α j,, α k son números Una vez elegidas algunas filas de una matriz, se dice que son linealmente dependientes (conjunto ligado) si alguna de ellas se puede expresar como combinación lineal de las demás Por ejemplo, dadas unas cuantas filas de una matriz cualquiera, son linealmente dependientes si: - hay dos o más filas iguales - una de ellas es la suma de varias de las otras - una de ellas es nula - hay dos filas proporcionales Por el contrario, si al buscar unos números α i, α j,, α k que hagan que se anule una combinación lineal α i F i +α j F j + + α k F k, esto sólo sucede cuando todos los números valen cero, se dice que dichas filas F i, F j,, F k son linealmente independientes Dicho de otra manera, al plantear α i F i + α j F j + + α k F k 0 no se puede despejar ninguna fila como combinación lineal de las demás IES Carolina Coronado - Departamento de Matemáticas - Curso

2 RANGO Se llama rango por filas de una matriz al mayor número de filas linealmente independientes Resulta que coincide con el mayor número de columnas linealmente independientes (el rango por filas es igual al rango por columnas) El rango de una matriz no se modifica si hacemos las siguientes operaciones sobre ella, llamadas operaciones elementales: - cambiar el orden de las filas - multiplicar una fila por un número distinto de cero - sumarle a una fila una combinación lineal de las demás El rango de una matriz escalonada por filas o columnas es, respectivamente, el número de filas o columnas no completamente nulas Usando las operaciones elementales mencionadas se puede escalonar cualquier matriz no nula, para hallar su rango (a esto se le llama método de Gauss) MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ CUA- DRADA Una matriz A cuadrada de orden n, se dice que es invertible si existe una matriz B del mismo orden, tal que : A B I n Se dice que la matriz B es la inversa de A y se denotará por A 1 En este acaso, A A 1 A 1 A I n Si existe, la matriz inversa de una matriz dada es única Las matrices cuadradas que tienen inversa se llaman regulares, inversibles o invertibles Las matrices que no tienen inversa se llaman singulares Que una matriz cuadrada de orden n tenga inversa equivale a que su rango sea n Otras propiedades: Sean A y B matrices regulares: 1 A 1 también es una matriz regular y ( A 1) 1 A 2 A t también es regular y (A t ) 1 ( A 1) t 3 A B también es regular y (A B) 1 B 1 A 1 El método de Gauss para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada A consiste en colocar a la derecha de A la matriz unidad, formando una matriz con el doble de columnas, y, mediante operaciones elementales por filas convertir A en la matriz unidad; esas operaciones convierten a la matriz unidad que se puso al lado en la matriz inversa A 1 ; por ejemplo: A ; construimos ; intercambiamos las filas: ; a la segunda fila le res tamos la primera multiplicada por 2: ; cambiamos de signo la segunda fila: ; a ( ) la primera fila le sumamos la segunda: ; la inversa queda A Otro tipo de matriz: A es ortogonal, cuando su traspuesta coincide con su inversa, A t A 1 DETERMINANTES El determinante de una matriz cuadrada de orden n es un número asociado a ella que se define como la suma de los posibles productos de n términos de la matriz elegidos de manera que en cada producto haya uno y sólo un elemento de cada fila y de cada columna, multiplicando además cada producto por +1 o 1, dependiendo de los elementos elegidos Por ejemplo: -Determinante de orden dos: a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 22 a 12 a 21 No es necesario poner los paréntesis de la matriz para calcular el determinante de una matriz, de hecho, no se suele poner Al ordenar los elementos de cada producto por filas, los subíndices de las columnas forman lo que se conoce como permutación ; en a 11 a 22, tenemos la permutación 12 mientras que en a 12 a 21 la permutación es 21 ; para darle el signo al producto se cuenta el número de inversiones, que es el número de veces que hay elementos con un orden no natural: en la permutación 12, no hay inversiones, pero en 21 hay una inversión ( 2 está antes de 1 ) Si el número de inversiones es cero o par (la permutación se dice par) el producto se queda como está; si es impar se multiplica por 1 Por eso es así el determinante de orden dos -Determinante de orden tres: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 { } a11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 Si nos fijamos en los índices de la columnas (los subrayados) y contamos las inversiones de cada permutación distinguimos las permutaciones pares de las impares, con el signo correspondiente para cada una de ellas En general, el determinante de una matriz cuadrada de orden n, A (a ij ), y lo representaremos por A, es el número que se obtiene sumando todos los productos que se puedan formar con n elementos de la matriz, tomando un elemento de cada fila y de cada columna, y adjudicando a cada producto el signo + ó según lo siguiente: si a 1i1 a 2i2 a 3i3 a nin es uno de dichos productos (con sus factores ordenados respecto al primer subíndice), el número de inversiones de la permutación formada por los segundos subíndices i 1 i 2 i 3 i n será par o impar; si es par el signo es + y si es impar - En consecuencia, siendo s el número de inversiones de cada permutación i 1 i 2 i 3 i n, la definición de determinante queda: A (a ij ) ( 1) s a 1i1 a 2i2 a 3i3 a nin La suma anterior consta de tantos sumandos como permutaciones pueden hacerse con los n primeros números naturales, es decir, n! (n 1) n Por eso el determinante de orden dos tiene dos términos (2! 2), el de orden tres seis, (3! ), el de orden cuatro, 24, (4! ) y así sucesivamente, por lo que en la práctica, para calcular determinantes de orden cuatro o más, no se aplica la definición directamente IES Carolina Coronado - Departamento de Matemáticas - Curso

3 MENORES Y ADJUNTOS Dada una matriz A, llamaremos submatriz a cualquier matriz que quede al eliminar algunas filas y/o columnas de A Un menor de orden k es el determinante de cualquier submatriz cuadrada de orden k Si A es una matriz cuadrada - el menor complementario del elemento a ij es el determinante de la submatriz que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j Se suele denotar por α ij o por m ij - el adjunto del elemento a ij es A ij ( 1) i+j α ij (es el menor complementario si i + j es par o su opuesto si i + j es impar) El valor de un determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea (fila o columna) por sus respectivos adjuntos PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1 El valor de A no varía si se intercambian filas por columnas, A A t (Puede comprobrarse para determinantes de orden 2 y 3) A partir de aquí, las propiedades se enuncian sólo para filas, siendo también válidas para columnas 2 Si una fila de A sólo tiene ceros, entonces A 0 (Todos los sumandos de A, que son productos, tendrán un elemento de dicha fila, luego serán nulos) 3 Si en A se intercambian dos filas, obteniéndose la matriz B, entonces B A (Compruébese para un determinante de orden 3) 4 Si en A existen dos filas iguales, entonces A 0 (Según la propiedad anterior, al intercambiarse tales filas se obtendrá otra matriz, B, tal que B A, pero como B A, se tendrá A 0, único valor que no cambia al cambiar su signo) 5 Si se multiplican todos los elementos de una fila de A por un mismo número k, obteniéndose la matriz B, entonces B k A (En el desarrollo de B por los elementos de dicha fila y sus adjuntos, k es un factor común; al sacarlo fuera, queda k A ) 6 Si en A existen dos filas proporcionales, entonces A 0 (Al sacar el factor de proporcionalidad, quedan dos filas iguales) 7 Si una fila F i de A se puede expresar como una suma de dos filas, F i G i+h i, A puede expresarse como suma de dos determinantes, cada uno de los cuales tiene todas las filas iguales a las de A, excepto F i, que queda sustituida por G i y H i, respectivamente: F i G i + H i G i + H i (Al desarrollar por los adjuntos de la fila F i G i + H i, aplicando la propiedad distributiva, quedan los desarrollos de los dos determinantes mencionados) 8 El valor de A no se modifica si a una fila se le suma otra fila multiplicada por un número F i + kf j F j F i F j 0 kf j + F j (Al hacer dicha suma, según lo anterior, el nuevo determinante se puede expresar como el original más otro que tiene dos filas proporcionales, que, por tanto, vale cero) 9 La suma de los productos de los elementos de una fila de A por los adjuntos de otra fila es igual a cero (La suma en cuestión es el desarrollo por adjuntos de un determinante con dos filas iguales) 10 El determinante del producto de dos matrices es el producto de los respectivos determinantes: A B A B CÁLCULO DEL RANGO USANDO MENORES Dada una matriz A, los menores obtenidos a partir de filas que sean dependientes entre sí valen cero Por tanto, si un menor es distinto de cero, las filas de las que se ha obtenido son independientes Aunque es un poco más difícil de demostrar, sucede lo siguiente: - Supongamos que una matriz A tiene un menor de orden n no nulo extraído de ciertas filas F i s (esto significa que dichas filas son independientes); - al añadirle elementos de otra fila concreta G k, completando con las diferentes columnas se forman menores de orden n + 1 (a esto se le llama orlar ); si para esta fila G k todos los menores de orden n + 1 así formados son nulos, resulta que la fila G k es linealmente dependiente de las filas F i s De esta forma, se reduce mucho el número de menores a calcular para obtener el rango de una matriz, siendo éste el mayor orden de los menores que sean no nulos Recordemos que el rango por filas coincide con el rango por columnas CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR ADJUNTOS Antes se han visto dos resultados: 1 El valor de un determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea (fila o columna) por sus respectivos adjuntos 2 La suma de los productos de los elementos de una fila de A por los adjuntos de otra fila es igual a cero Por tanto, recordando la notación habitual, según la cual A ij representa el adjunto de a ij, y Adj(A) es la matriz de dichos adjuntos se tiene: a 11 a 1n A 11 A n1 A (Adj(A)) t a n1 a nn A 1n A nn A A Por tanto, se tiene que, A 1 1 A (Adj(A))t, al ser única la inversa de una matriz Además, la inversa de A existe si y sólo si A 0 IES Carolina Coronado - Departamento de Matemáticas - Curso

4 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (CRAMER) Como ya conocemos los sistemas de ecuaciones de dos ecuaciones con dos incógnitas, de tres ecuaciones con tres incógnitas, pensemos en un sistema de n ecuaciones con n a 11 x a 1n x n b 1 a 21 x a 2n x n b 2 incógnitas, x 1, x 2,, x n : a n1 x a nn x n b n Este sistema se puede expresar de forma matricial: a 11 a 1n x 1 b 1, donde a n1 a nn x n b n a 11 a 1n A es la matriz de coeficientes; a n1 a nn X x 1 x n es la columna de incógnitas y b es la columna de términos independientes El sistema se puede expresar A X b, y, si A 0, existe la inversa de A, quedando: X A 1 b 1 A (Adj(A))t b, desarrollando x 1 b 1 A 11 A j1 A n1 x i 1 A A 1i A ji A ni b j A 1n A jn A nn x n b n de donde cada incógnita x i queda x i 1 A (A 1i b A ji b j + + A ni b n ) Como los adjuntos que aparecen A 1i,, A ji,, A ni son los de la columna i, el paréntesis anterior se puede expresar como el determinante que resulta de sustituir en A la columna de los coeficientes de x i por la columna de términos independientes: x i 1 A a 11 b 1 a 1n a i1 b i a in a n1 b n a nn Cuando se puede hacer todo esto, o sea, cuando se trata de un sistema que tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas con el determinante de la matriz de coeficientes no nulo, de dicho sistema se dice que es un sistema de Cramer y la fórmula anterior para obtener la solución (única al venir dada por esta fórmula) se conoce como regla de Cramer b 1 b n SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (EN GENERAL) En general, los sistemas de ecuaciones lineales no tienen por qué tener el mismo número de ecuaciones que de incógnitas Seguiremos usando la misma notación, cambiando lo que haya que cambiar Ya hemos hablado de coeficientes, incógnitas y términos independientes En general la matriz de coeficientes tiene a 11 a 1n la forma A para un sistema de m a m1 a mn ecuaciones con n incógnitas a 11 a 1n b 1 La matriz A a m1 a mn b m matriz ampliada con los términos independientes se llama Es evidente, y se señala para evitar errores, que el rango de esta matriz ampliada A nunca puede ser inferior al rango de A Diremos que n números reales (s 1, s 2,, s n ) forman una solución del sistema si al sustituir en las ecuaciones cada incógnita x i por s i, dichas ecuaciones se transforman en identidades correctas Discutir un sistema consiste en averiguar si posee alguna solución y, en caso afirmativo, cuántas Diremos que un sistema es compatible si tiene alguna solución Un sistema compatible en R o bien admite una solución única (diremos que es compatible determinado) o bien infinitas (diremos que es compatible indeterminado) Si un sistema no tiene solución, diremos que es incompatible Resolver un sistema compatible consiste en encontrar todas sus soluciones Se dice que dos sistemas de ecuaciones lineales con el mismo número de incógnitas (aunque no tengan el mismo número de ecuaciones) son equivalentes si tienen las mismas soluciones; es decir, si toda solución del primero es solución del segundo y viceversa Una solución de un sistema también verifica cualquier combinación lineal de varias ecuaciones del sistema Se obtiene un sistema de ecuaciones equivalente a otro dado si: - se altera el orden de las ecuaciones - se quita una ecuación que sea combinación lineal de otras - se sustituye una ecuación por la que resulta de multiplicarla por un número distinto de cero - se sustituye una ecuación por la que resulta de sumarle una combinación lineal de otras IES Carolina Coronado - Departamento de Matemáticas - Curso

5 TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS Consta de dos afirmaciones: a) Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si y sólo si el rango de la matriz de sus coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada con los términos independientes b) En caso de compatibilidad, si dichos rangos coinciden con el número de incógnitas, el sistema es compatible determinado; si el rango de ambas matrices es menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado Demostración: Para demostrar a), hay que probar que (1 o ) si el sistema es compatible, los rangos de ambas matrices coinciden y que (2 o ) si los rangos son iguales, el sistema es compatible (la afirmación b) sale como consecuencia de esta segunda prueba) Veamos ambas: (Prueba de 1 o ): Si un sistema es compatible, existe una solución s 1, s 2,, s n, que puede usarse para escribir la columna de términos independientes b como combinación lineal de las columnas de la matriz de coeficientes: a 11 a m1 s a 1n a mn s n Entonces, añadir dicha columna b no aumenta el rango, se tiene rango(a) rango(a ) (Prueba de 2 o ): Si los rangos de las matrices mencionadas A y A son iguales, llamémosle r rango(a) rango(a ), habrá r filas de A linealmente independientes, correspondientes a r ecuaciones del sistema; por tanto, podemos eliminar las demás ecuaciones, que son dependientes; de las r filas que han quedado se podrá extraer un menor no nulo de orden r, M r, cuyas columnas son los coeficientes de r incógnitas; se distinguen dos opciones: - Si r n, (n o de incógnitas), tenemos un sistema de Cramer, que tiene solución única, como ya se vio, siendo el sistema compatible determinado - Si r < n, reescribimos el sistema pasando a los segundos miembros los términos de las incógnitas cuyos coeficientes no están en el menor no nulo M r ; nos queda también un sistema de Cramer, cuya solución viene dada en función de las incógnitas que se han pasado a los segundos miembros, por lo que, como pueden tomar valores cualesquiera, hacen que en este caso existan infinitas soluciones, siendo el sistema compatible indeterminado b 1 b m SISTEMAS HOMOGÉNEOS Son sistemas cuya columna de terminos independientes es nula Es evidente que siempre tienen al menos la solución formada por ceros, que se conoce como solución trivial A veces, a los sistemas homogéneos cuya única solución es la trivial, se les llama sistemas homogéneos incompatibles Lo mejor es clasificarlos en dos grupos: sistemas homogéneos de solución trivial o sistemas homogéneos con infinitas soluciones MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER SIS- TEMAS Dado un sistema, si escalonamos su matriz ampliada usando operaciones elementales, el resultado es la matriz ampliada de un sistema equivalente, que es muy fácil de resolver: - si en la última ecuación no quedan incógnitas y el término independiente es no nulo, el sistema es incompatible - en los demás casos, se resuelve empezando por la última ecuación y usando lo que va saliendo en las anteriores En algunas ocasiones, la solución dependerá de algunas de las incógnitas (sistema compatible indeterminado) y en otras no (sistema compatible determinado) IES Carolina Coronado - Departamento de Matemáticas - Curso