Actividad 2 Ejercicio 1. Análisis exploratorio con SPSS

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1 Actividad 2 Ejercicio 1. Análisis exploratorio con SPSS En el fichero "empleados.sav" se encuentra información relativa a 474 individuos. Realizar un análisis exploratorio de las variables salario actual (salario) y meses desde el contrato (tiempemp), según categoría laboral (catlab) y etiquetando los casos según nivel educativo (educ). Especificar en cada caso los análisis realizados e interpretar los resultados obtenidos. Definir y explicar el comportamiento y uso de las órdenes y las reglas de sintaxis empleadas por SPSS en el ejercicio. METODOLOGÍA El primer paso en el análisis multivariante es el análisis exploratorio de los datos. Estas técnicas permiten el examen de las características de la distribución de las variables implicadas en el análisis, las relaciones bivariantes (y multivariantes) entre ellas y el análisis de las diferencias entre grupos. Los siguientes pasos implican el análisis de datos ausentes (en caso que sea pertinente), la detección de valores atípicos y finalmente, la comprobación de los supuestos subyacentes en los métodos multivariantes. 1. Análisis exploratorio y gráfico de los datos Se obtuvieron los estadísticos de resumen (utilizando frecuencias) para las variables individuales a fin de obtener una primera observación de los datos. Este primer paso nos permite determinar los valores típicos de las variables, comprobar los supuestos de los procedimientos estadísticos y la calidad de los datos. Mediante el procedimiento de Frecuencias adquirimos los resúmenes para las variables estudiadas, sean nominales (categorías laborales y nivel educativo) o de escala (meses desde el contrato y salario actual). Por su parte, el análisis Descriptivo mediante gráficos de barras y sectores, nos permitió conseguir las comparaciones entre las variables de escala y la distribución normal e identificar casos inusuales en dichas variables. Luego, a fin de obtener un resumen numérico y visual de los datos, para todos los casos y separados por grupos, se realizó un análisis exploratorio seleccionando como variables dependientes al salario actual (salario) y meses desde el contrato (tiempemp), y como variable de factor categoría laboral (catlab) (cuyos valores definirán los grupos de casos). Finalmente se seleccionó el nivel educativo (educ) como variable de identificación para etiquetar los casos. Estadísticos Mediante la opción Estadísticos se obtuvo el resumen del procesamiento de los datos, los estadísticos descriptivos, los estimadores robustos, los valores atípicos y los percentiles (tablas 1-5). Los estadísticos robustos son aquellos que se ven poco afectados por la influencia de los valores extremos de la variable. La mediana es un estadístico de centralización robusto, pero la media no lo es (sí podríamos utilizar la media truncada). Otros estimadores robustos son los estimadores-m que se definen ponderando cada valor en

2 función de su distancia al centro de la distribución. Las observaciones centrales se ponderan por el máximo valor (la unidad) disminuyendo los coeficientes de ponderación a medida que las observaciones se alejan del centro de la distribución, llegando al extremo de ponderar con un cero aquellos valores muy lejanos al centro de la distribución (valores atípicos). La forma de ponderar clasifica los estimadores-m. El estimador-m de Hubert pondera con el valor uno todos los valores situados a menos de de la mediana. El estimador-m de Tukey pondera con un cero los valores situados a de la mediana y el estimador-m de Hampel utiliza tres coeficientes de ponderación según que cada valor de la variable se encuentre a una distancia de la mediana de 1.7, 3.4, y 8.5, respectivamente. Finalmente, el estimador-m de Andrews pondera con un cero los valores situados a de la mediana. Se recomienda utilizar el estimador-m de Hubert cuando la distribución se acerca a la normalidad y no hay muchos valores extremos. Por su parte, cuando existen casos atípicos, es útil utilizar los estimadores-m de Tukey y Andrews. Gráficos Utilizando la orden Gráficos generamos histogramas (figura ), pruebas y gráficos de probabilidad normal (figura ), y diagramas de dispersión por nivel con estadísticos de Levene (figura ). En las Opciones de manipulación de los valores perdidos, se empleó la opción de excluir los casos según lista. El diagrama de tallo y hojas es un procedimiento semigráfico para presentar la información para variables cuantitativas, que es especialmente útil cuando el número total de datos es pequeño (menor que 50). Los principios para la realización de este diagrama se deben a Tukey, e implican: 1) redondear los datos a dos cifras, disponerlos en dos columnas donde la primera columna está compuesta por las decenas (tallo) y la segunda de las unidades (hojas). A la derecha de cada tallo (o clase) se van escribiendo por orden las sucesivas hojas correspondientes a ese tallo. El número de hojas para cada tallo, representa la frecuencia de cada clase. Este diagrama es una combinación entre el histograma de barras y la tabla de frecuencias. Esta herramienta muestra el rango de los datos, dónde están más concentrados, su simetría y la presencia de datos atípicos. Sin embargo, no es muy aconsejable para grandes conjuntos de datos. El gráfico múltiple de caja y bigotes permite analizar, resumir y comparar simultáneamente varios conjuntos de datos univariantes dados, correspondientes a los diferentes grupos en que se subdividieron los valores de la variable salario actual. Esta herramienta permite examinar la posible presencia de normalidad, simetría y valores atípicos (outliers) en el conjunto de datos. Sin embargo, deben analizarse conjuntamente con los gráficos de tallos y hojas (o histogramas digitales) ya que los gráficos de cajas no detectan la presencia de distribuciones multimodales. Este gráfico permite analizar y resumir un conjunto de datos univariante dado. Se divide los datos en cuatro áreas de igual frecuencia, una caja central dividida en dos áreas por una línea vertical y otras dos áreas representadas por dos segmentos horizontales (bigotes) que parten del centro de cada lado vertical de la caja. La caja central encierra el 50 % de los datos. La línea vertical dentro de la caja representa la mediana, mediante la cual se puede evaluar la simetría de los datos (si la línea está en el centro de la caja, indica la inexistencia de asimetría en la variable). La media muestral se indica en el interior de la caja, mediante un signo de más. Los lados verticales de la caja indican los cuartiles inferior y superior de la variable. El bigote de la izquierda señala en sus extremos el primer cuartil Q1 (a la izquierda) y el primer cuartil menos 0.5 veces el rango intercuartílico (Q1-1.5*(Q3-Q1), a la derecha). El bigote de la derecha tiene un extremo en el tercer cuartil Q3 y el otro en el valor dado por Q3+1.5*(Q3-Q1). Los

3 outliers (valores atípicos) se encuentran más allá de los bigotes señalados, y se representan mediante puntos alineados con la línea horizontal central. Al ser la representación simultánea para todos los conjuntos de datos, se podrá comparar medias, medianas, rangos, valores extremos, simetrías y valores atípicos de todos los grupos. 2. Análisis y detección multivariante de casos atípicos Se analizan a través de los gráficos de cajas y bigotes, aunque también podrían utilizarse la distancia D2 de Mahalanobis, el estadístico DFITS y/o la influencia (Leverage). 3. Comprobación de los supuestos del análisis multivariante La presencia de múltiples variables provoca complejidad de relaciones que llevan a distorsiones y sesgos cuando no se cumplen determinados supuestos (normalidad, homoscedasticidad, linealidad, ausencia de autocorrelación o correlación serial y ausencia de multicolinealidad). Normalidad: todas las variables que intervienen en un método de análisis multivariante deben ser normales, y aunque ello no garantiza la normalidad multivariante, suele bastar con la normalidad de cada variable. La comprobación de la normalidad de las variables se realiza mediante métodos gráficos y contrastes estadísticos formales: 1) contraste de Kolmogorov-Smirov de la bondad de ajuste y 2) constraste de normalidad de Shapiro y Wilks. Para el contraste de Kolmogorov-Smirov (K-S) consideramos que la masa total de probabilidad discreta está repartida uniformemente entre los N valores muestrales de forma que, ordenados los valores muestrales de menor a mayor, la función de distribución empírica de la muestra es Fn(x)=Ni/N. este contraste trata de medir el ajuste entre la función de distribución empírica de una muestra y la función de distribución teórica. Como la distribución a ajustar es una normal, el estadístico de K-S se dice que está corregido por Lilliefors. Se utiliza el criterio de p-valor, rechazando la hipótesis nula al nivel alfa cuando el p-valor es menor que alfa, y aceptándose en caso contrario. El contraste de normalidad de Shapiro-Wilks (S-W) es un caso particular de contraste de ajuste, donde se trata de comprobar si los datos provienen de una distribución normal (es un contraste específico para normalidad). Este test mide el ajuste de la muestra a una recta dibujada en papel probabilístico normal. Se rechaza la normalidad cuando el ajuste es bajo, que corresponde a valores pequeños del estadístico del test. Puede también utilizarse el criterio del p-valor, rechazando la hipótesis nula de normalidad de los datos al nivel alfa cuando el p-valor es menor que alfa, y aceptándola en caso contrario. Heteroscedasticidad: en cualquier modelo multivariante suele suponerse que la variable u (término de error) es una variable aleatoria con esperanza nula y matriz de covarianzas constante (hipótesis de homoscedasticidad) y diagonal. Su análisis comienza por el examen gráfico de los residuos (estudentizados) respecto a las variables endógenas y exógenas. Este último gráfico permite determinar cuál es la variable que implica mayor heteroscedasticidad, aquella variable exógena cuyo gráfico se separa más de la aleatoriedad. También se utiliza la gráfica de valores observados respecto a los valores predichos. Aparte de los análisis gráficos en ciertas situaciones es necesario realizar contrastes formales como los de White, Ramsey o Levene. Este último se utiliza para comprobar que la dispersión de la varianza entre grupos formados por variables métricas, se mantiene igual.

4 Multicolinealidad: el supuesto de que las variables sean linealmente independientes (hipótesis de independencia) se analiza mediante la matriz de correlaciones. Valores altos en esta matriz son síntoma de una posible dependencia entre las variables implicadas. Sus soluciones son: ampliar la muestra, realizar transformaciones adecuadas en las variables, sustituir o suprimir alguna de las variables, etc. Autocorrelación: el supuesto de que el término de error es una variable aleatoria con esperanza nula y matriz de covarianza constante y diagonal (hipótesis de no autocorrelación), se evalúa mediante el análisis gráfico de los residuos (residuos estudentizados) respecto del índice temporal (o número de fila), que debe presentan una estructura aleatoria libre de tendencia. También se realizan contrastes formales como los de Durbin-Watson, Wallis, etc. Linealidad: los gráficos de dispersión de las variables con secuencias no lineales y los gráficos residuales con secuencias no aleatorias, permiten detectar la falta de linealidad. RESULTADOS 1. Análisis de frecuencia y descriptivo El procedimiento Frecuencias proporcionó estadísticos y representaciones gráficas que resultan útiles para la descripción de las variables, antes de realizar un análisis descriptivo separado por grupos. El gráfico de sectores es una herramienta visual para la evaluación de las frecuencias relativas de cada categoría. Las tablas de frecuencia indican las frecuencias precisas para cada categoría (tabla 1). Observamos que la mayoría de los individuos muestreados presentan un nivel educativo valorado en 12, seguidos por el nivel educativo 15, lo que significa que la mayoría de los encuestados presentan un alto nivel educativo (figura 1.A). En particular, 190 y 116 individuos corresponden a los niveles educativos valorados en 12 y 15 conformando respectivamente, el 40.1 y 24.5% del total de individuos encuestados. A su vez, la amplia mayoría de los encuestados pertenecen al sector administrativo (figura 1.B). La columna de frecuencias reporta que 363 individuos provienen del sector administrativo, lo que es equivalente al 76.6% del número total de encuestados.

5 A B Figura 1. Evaluación de las frecuencias relativas de cada categoría mediante gráfico de sectores, para las variables nivel educativo (A) y categoría laboral (B). Tabla 1. Casos analizados que han resultado válidos y casos totales, presentes en las categorías laborales (A) y los distintos niveles educativos (B). A Válidos Total Porcentaje Porcentaje Frecuencia Porcentaje válido acumulado ,6 76,6 76, ,7 17,7 94,3 27 5,7 5,7 100, ,0 100,0 B Válidos Total Porcentaje Porcentaje Frecuencia Porcentaje válido acumulado ,1 40,1 40, ,5 24,5 64, ,4 12,4 77, ,2 11,2 88,2 27 5,7 5,7 93,9 11 2,3 2,3 96,2 9 1,9 1,9 98,1 6 1,3 1,3 99,4 2,4,4 99,8 1,2,2 100, ,0 100,0

6 Los estadísticos descriptivos de la variable nivel educativo, así como sus gráficos de sectores respecto a las categorías laborales, se señalan a continuación (tabla y figura 4). En ellos podemos notar que el sector administrativo se encuentra representado por niveles educativos altos, principalmente los 12 y 15 (figura 2.A), que representan el 48.5 y 30.6% del total. También es importante señalar que este sector laboral presenta casi la totalidad de los niveles educativos observados en los encuestadores. Sin embargo, ocurre una gran diferencia en el personal de seguridad, donde los niveles educativos se encuentran mal representados y apenas dos de ellos (8 y 12) completan el 96.3% de los casos (tabla 2). Finalmente, los directivos son el sector laboral que presenta mayor número de casos en niveles educativos altos, donde el nivel correspondiente al valor 16 y 19, llegan a pesar un 41 y 31%, respectivamente (tabla 2). Figura 2. Evaluación de las frecuencias relativas de cada categoría mediante gráfico de sectores, para las variables nivel educativo (A) y categoría laboral (B).

7 Tabla 2. Casos analizados que han resultado válidos y casos totales, presentes en las categorías laborales (A) y los distintos niveles educativos (B). Válidos Total Porcentaje Porcentaje Frecuencia Porcentaje válido acumulado 40 11,0 11,0 11, ,5 48,5 59,5 a. Categoría laboral = 6 1,7 1,7 61, ,6 30,6 91,7 24 6,6 6,6 98,3 3,8,8 99,2 2,6,6 99,7 1,3,3 100, ,0 100,0 Válidos Total Porcentaje Porcentaje Frecuencia Porcentaje válido acumulado 13 48,1 48,1 48, ,1 48,1 96,3 a. Categoría laboral = Válidos Total a. Categoría laboral = 1 3,7 3,7 100, ,0 100,0 Porcentaje Porcentaje Frecuencia Porcentaje válido acumulado 1 1,2 1,2 1,2 4 4,8 4,8 6, ,7 41,7 47,6 8 9,5 9,5 57,1 7 8,3 8,3 65, ,0 31,0 96,4 2 2,4 2,4 98,8 1 1,2 1,2 100, ,0 100,0 Por su parte, la tabla estadística 3, nos reveló aspectos interesantes sobre la distribución de las variables salario actual y meses desde el contrato, comenzando por el resumen de los cinco-números principales (mínimo, cuartiles -25 y 75-, mediana y máximo).

8 Tabla 3. Estadísticos descriptivos para las variables meses desde el contrato y salario actual percibido por los encuestados Meses desde el contrato Meses desde el contrato N Válidos Perdidos Media Mediana Desv. típ. Asimetría Error típ. de asimetría Curtosis Error típ. de curtosis Mínimo Máximo Percentiles ,11 81,00 10,061 -,053,112-1,153, ,00 81,00 90,00 $34, $28, $17, ,125,112 5,378,224 $15,750 $135,000 $24, $28, $37, El centro de la distribución de los meses de contrato puede aproximarse mediante al mediana (o segundo cuartil, que corresponde a 81 meses), y el 50% central donde caen los valores para dicha variable van entre 72 y 90 meses de contrato (el primer y tercer cuartil). También cabe destacar que sus valores extremos son 63 y 98, el mínimo y máximo, respectivamente. La media es muy similar a la mediana, sugiriendo que la distribución es bastante simétrica. Esta sospecha se confirma mediante la observación del valor de asimetría, que es cercano a cero. Respecto al salario actual, el 50% central de los datos se encuentran entre los valores $24000 y $37162 dólares. Los valores extremos de esta variable son $15750 y $135000, y a diferencia de la anterior variable de estudio, en este caso la media dista bastante del valor adoptado por la mediana ($34419 y $28875 dólares, respectivamente). Esta observación, conjuntamente con el elevado valor positivo de la asimetría, indica que la variable presenta una larga cola hacia la derecha, y que por tanto la distribución es asimétrica hacia la derecha (existen algunos valores distantes en la dirección positiva, respecto al centro de la distribución). La asimetría positiva, conjunto a la gran distancia entre la media y la mediana, inflan la desviación típica, de tal manera que no es un estimativo útil de la dispersión de los datos. Un valor alto y positivo de la curtosis nos indica que la distribución de los salarios actuales es más empinada y presenta fuertes colas, respecto a lo esperado para una distribución normal. Las afirmaciones anteriores se corroboran en los histogramas correspondientes a cada variable de estudio, que representan un resumen visual de las distribuciones de los valores (figura 3). La curva normal superpuesta ayuda una vez más a evaluar la asimetría y curtosis de las variables.

9 Figura 3. Histogramas de frecuencia relativa donde se señalan las curvas normales y sus estadísticos descriptivos (media, desviación típica y N total), para las variables de estudio (medes desde el contrato y salario actual). Muchos de los procedimientos estadísticos para datos cuantitativos, son menos seguros cuando la distribución de los valores es marcadamente diferente de la distribución normal, como ocurre en el caso de la variable salario actual. Por ello, si quisiéramos seguir analizando esta variable, su transformación logarítmica nos permitiría colocar la distribución de los valores cercana a la normal. La transformación logarítmica es una elección sensible dado que el salario actual toma solo valores positivos y es asimétrica positiva. Esta afirmación se corrobora mediante los estadísticos descriptivos analizados luego de la transformación de la variable salario actual (tabla 4). Tabla 4. Estadísticos descriptivos de la variable salario actual luego de someterse a una transformación logarítmica de los datos. logsalario N Media Mediana Desv. típ. Asimetría Error típ. de asimetría Curtosis Error típ. de curtosis Mínimo Máximo Percentiles Válidos Perdidos , ,2707, ,001,112,682,224 9,66 11,81 10, , ,5230

10 El nuevo histograma de la variable salario actual transformada (figura 4), permite apreciar que la transformación ha permitido que la distribución de los datos sea cercana a la normal. La curtosis y asimetría se ven notoriamente reducidas, y la media y la media presentan valores próximos entre sí. Asimismo el histograma producido es mucho más cercano a la curva normal (tabla y figura 4). Figura 4. Histograma de frecuencia relativa donde se señalan las curvas normales y sus estadísticos descriptivos (media, desviación típica y N total), para la variable salario actual con transformación logarítmica. Conclusión 1 Hemos evaluado la composición de las variables categorías laborales y niveles educativos, y hemos descripto las distribuciones de los meses desde el contrato y el salario actual que perciben los encuestados. A grandes rasgos, identificamos una pobre representación de los distintos niveles educativos en el sector de empleados de seguridad (figura 2), si bien, éste sector fue el menos encuestado de las categorías laborales (figura 1). También observamos cierta correspondencia entre los altos escalafones laborales y los mayores niveles educativos (figura 1). La variable meses desde el contrato, presentó una distribución aproximadamente normal, con curtosis negativa (figura 3). Identificamos una asimetría positiva en la distribución de los salarios actuales, donde aplicamos la transformación logarítmica, recomendada para futuros análisis de dicha variable (tabla y figura 4).

11 2. Análisis exploratorio de las variables agrupadas según las categorías laborales e identificando el nivel educativo de los valores extremos. En primer lugar obtenemos el resumen de los casos, donde observamos la inexistencia de valores perdidos (tabla 5). Señalamos nuevamente que el personal administrativo está notoriamente mejor representando en la muestra (presenta un número de casos N, más de diez veces mayor al correspondiente a los empleados en seguridad). Tabla 5. Resumen del procesamiento de los casos según las variables: salario actual y meses desde el contrato, y agrupados en categorías laborales. Meses desde el contrato Categoría laboral Casos Válidos Perdidos Total N Porcentaje N Porcentaje N Porcentaje ,0% 0,0% ,0% ,0% 0,0% ,0% ,0% 0,0% ,0% ,0% 0,0% ,0% ,0% 0,0% ,0% ,0% 0,0% ,0% Los estadísticos descriptivos habituales se muestran en la tabla 6, para las variables consideradas y según las categorías laborales analizadas (administrativos, seguridad y directivos; tabla 6). Para el personal de seguridad, la media ($30938) y la media truncada ($31007) son muy similares a la mediana ($30750), sugiriendo que la distribución no presenta una elevada asimétrica. Dicha afirmación se confirma mediante la observación del valor de asimetría, que es cercano a cero y mediante el histograma de los datos (figura 5). A su vez, el 50% central de los datos para los empleados en seguridad, se encuentran entre $30000 y $31200 dólares (primer y tercer cuartil), siendo que el extremo superior de este rango intercuartílico coincide con el de los administrativos. La distribución del salario actual para los administrativos presenta valores de media y mediana alejados entre sí, una gran asimetría (1.905) y una elevada curtosis (7.977). Por consiguiente, la distribución de los salarios actuales, para el grupo de administrativos, es asimétrica positiva y empinada, presentando una larga cola de datos hacia la derecha (figura 1). El 50% de los datos adoptan valores entre los $22800 y $31200 dólares, pero los valores mínimo y máximo alcanzan los $15750 y $80000 dólares, respectivamente. Finalmente el rango del salario actual perteneciente al grupo de los directivos, es diez veces mayor al correspondiente al personal de seguridad y tres quintos más que el de los administrativos. El valor mínimo y máximo para este grupo de trabajadores alcanza los $34410 y $ dólares, respectivamente. Presenta una asimetría positiva (1.181) y curtosis (2.107) moderada, con valores de media y mediana no muy próximos entre sí. Estas observaciones implican que la variable salario actual se distribuye con asimetría positiva en el grupo de los directivos, según como indica el histograma correspondiente (figura 5).

12 Estadístico Tabla 6. Estadísticos descriptivos para las variables salario actual y meses desde el contrato, agrupadas según la categoría laboral del encuestado. Debajo se observan los percentiles según la definición de promedio ponderado. Meses desde el contrato Categoría laboral Media Amplitud recortada intercuartil Media al 5% Mediana Varianza Desv. típ. Mínimo Máximo Rango Asimetría Curtosis $27, $27, $26, E+007 $7, $15,750 $80,000 $64,250 $8,400 1,905 7,977 $30, $31, $30, $2, $24,300 $35,250 $10,950 $1,200 -,368 3,652 $63, $62, $60, E+008 $18, $34,410 $135,000 $100,590 $20,475 1,181 2,107 81,07 81,07 81,00 102,222 10, ,021-1,149 81,56 81,62 80,00 72,026 8, ,087-1,077 81,15 81,21 81,00 108,373 10, ,164-1,230 Promedio ponderado (definición 1) Meses desde el contrato Categoría laboral Percentiles $22,800.0 $26,550.0 $31,200.0 $30,000.0 $30,750.0 $31,200.0 $51,618.8 $60,500.0 $72, ,00 81,00 90,00 76,00 80,00 90,00 73,00 81,00 91,00 Figura 5. Histogramas del salario actual para las categorías laborales de: administrativos, seguridad y directivos.

13 El rango del salario actual para los empleados administrativos, de seguridad y directivos, fue dividido en 16, 7 y 9 clases o intervalos llamados tallos, respectivamente (figura 6). Cada uno de estos intervalos se representan mediante una fila del diagrama (la columna frequency indica la frecuencia absoluta de cada clase). Los diagramas de tallo y hojas indican la existencia de valores extremos, con una frecuencia del: 12% para los administrativos, 2 y 4% para el grupo de personal de seguridad, y 4% para los directivos. Los histogramas de frecuencia (figura 5) y los diagramas de tallo y hojas (figura 6) confirman una asimetría positiva del salario actual para las categorías de administrativos y directivos. En particular, dicha variable presenta un mayor empinamiento y asimetría en el grupo de administrativos, lo que permite pensar en la inexistencia de normalidad. Por su parte, la distribución de ésta variable respecto al personal de seguridad parece indicar un ajuste no muy distante de la distribución normal. ADMINISTRATIVOS Frequency Stem & Leaf 2, , , , , , , , , , , , , , & 3, & 12,00 Extremes (>=43950) SEGURIDAD Frequency Stem & Leaf 2,00 Extremes (=<28500) 1, , , , , ,00 Extremes (>=33750) DIRECTIVOS Frequency Stem & Leaf 3, , , , , , , , ,00 Extremes (>=103500) Figura 6. Gráficos de tallo y hojas de la variable salario actual, correspondientes a las tres categorías laborales consideradas en el presente estudio. En la variable meses desde el contrato se observa que las medias, medias truncadas y medianas, son bastante similares entre sí, para las diferentes categorías de empleo. A su vez, sus estadísticos de asimetría son cercanos a cero y levemente negativos, por lo cual en una primera instancia se podría afirmar que dicha variable presenta distribuciones no muy distantes de la esperada para una distribución normal, para las tres categorías de empleo. Sin embargo, una débil asimetría negativa es observada en el valor de asimetría y también en la proximidad que adoptan el 50% de los valores centrales de los datos (~70-90) respecto a los valores máximos de la variable (~95-98). Los valores de curtosis también son levemente negativos, indicando distribuciones poco empinadas para las tres categorías laborales. Los histogramas y diagramas de tallo y hojas (figuras 7-8), donde no se señala la existencia de valores extremos, indican rasgos no muy distantes respecto a la distribución normal, pero la inexistencia de una correspondencia clara con la misma.

14 Figura 7. Histogramas de los meses de contrato para las categorías laborales de: administrativos, seguridad y directivos. ADMINISTRATIVOS Frequency Stem & Leaf 3, , , , , , , , , , , , , , , , , , , SEGURIDAD Frequency Stem & Leaf 4, , , , , , , DIRECTIVOS Frequency Stem & Leaf 2, , , , , , , , Figura 8. Gráficos de tallo y hojas de la variable meses de contrato, correspondientes a las tres categorías laborales consideradas en el presente estudio.

15 Los estimadores robustos de la variable salario actual, para los administrativos y directivos, se encuentran relativamente cercanos al valor de la mediana, pero ninguno es próximo a la media (tabla 7). En cuanto a los meses desde el contrato, podemos afirmar que para los tres grupos de trabajadores (tabla 7), los estimadores robustos presentan valores cercanos a las medias de cada grupo (aún más similares que su comparación con la mediana). Tabla 7. Estimadores robustos: estimadores-m. En a,b,c,d se indican las constantes de ponderación para los estimadores, que toman los siguientes valores: 1.339, 4.685, y 1.340*pi, respectivamente. Meses desde el contrato Categoría laboral Estimador-M Biponderado Estimador-M Onda de de Huber a de Tukey b de Hampel c Andrews d $26, $26, $26, $26, $30, $30, $30, $30, $61, $59, $61, $59, ,07 81,08 81,05 81,08 81,85 81,55 81,66 81,55 81,35 81,29 81,15 81,29 Los contrastes de normalidad implican evaluar el ajuste de la curva normal a los datos, donde un contraste significativo representa el pobre ajuste de los datos a dicha distribución normal. En la tabla 8 podemos observar que para ambas variables (salarios actuales y meses de contrato) y en casi todas las categorías laborales consideradas en el estudio (excepto el personal de seguridad para la variable meses desde el contrato), los contrastes de normalidad dan significativos, por lo que se ajustan pobremente a una distribución normal. Sin embargo, en el grupo de empleados de seguridad, la variable meses de contrato sí se ajusta bien a una normal (los test no son significativos). Tabla 8. Pruebas de normalidad utilizando los contrastes de Kolmogorov- Smirov (con la corrección de la significación de Lilliefors a ) y Shapiro-Wilks. Meses desde el contrato Categoría laboral *. Este es un límite inferior de la significación verdadera. Kolmogorov-Smirnov a Shapiro-Wilk Estadístico gl Sig. Estadístico gl Sig., ,000, ,000,276 27,000,818 27,000,109 84,016,929 84,000, ,000, ,000,136 27,200*,948 27,191,108 84,017,934 84,000 La tabla de valores extremos indica los cinco mayores y menores valores para las variables salario actual y meses de contrato, en cada categoría laboral (tabla 9). Observamos que el salario de los directivos es casi siempre mayor que el del personal de seguridad (a excepción del caso 462, cuyo salario es del $34410). También se indica que los mayores salarios actuales para los administrativos y directivos, son percibidos por aquellos individuos con niveles educativos altos, que corresponden en mayor medida a los directivos y administrativos: 19 y 16 en el grupo de directivos y 15, 18 y 16, para los administrativos. Sin embargo, los máximos salarios

16 percibidos por individuos de nivel educativo valorado en 16, los administrativos reciben aproximadamente la mitad del salario máximo recibido por los directivos de igual nivel educativo. Respecto a los menores salarios actuales, los directivos continúan presentando, para estos casos, altos niveles educativos (16 y 15), mientras que los administrativos presentaron niveles educativos notoriamente inferiores (8 y 12) para los menores salarios percibidos. Por su parte, los menores valores extremos para los empelados en seguridad (8, 12 y 15) presentan niveles educativos muy similares a los correspondientes a los individuos que presentan los mayores valores extremos del salario (8 y 12), por lo que esta variable no parece incidir en el comportamiento extremo de los salarios actuales. Esto puede explicarse mediante el gráfico de sectores analizado en el apartado anterior (figura 2). Mayores Menores Categoría laboral Tabla 9. Valores extremos (mayores y menores) de las variables salario actual y meses desde el contrato, según la categoría laboral de los encuestados. En a, b,c,d,e,f,g se indica que en la tabla de valores extremo mayores/menores solo se muestra una lista parcial de los casos con el valor correspondiente al señalado. Meses desde el contrato Meses desde el contrato Meses desde el contrato Meses desde el contrato Meses desde el contrato Meses desde el contrato Número del caso Nivel educativo Valor $80,000 $66,875 $54,000 $52,650 $51, c $35,250 $35,250 $34,500 $33,750 $31,950 a e $135,000 $110,625 $103,750 $103,500 $100, f $15,750 $15,900 $16,200 $16,200 $16, d $24,300 $28,500 $29,550 $30,000 $30,000 b $34,410 $37,800 $38,700 $40,050 $40, g En los diagramas de cajas podemos observar una vez más las diferencias en las distribuciones de las variables dependientes, respecto a los grupos laborales (figura 9 y 10). Para el salario actual, los gráficos de cajas señalan los outliers mediante círculo, y los valores extremos con un asterisco. Asimismo, se indica en el gráfico el nivel educativo correspondiente a cada outlier o valor extremo (figura 9, ver conjuntamente la tabla 9). Referente a los meses desde el contrato, no se observan valores extremos de importancia ni outliers (figura 10).

17 Figura 9. Gráfico de cajas y bigotes para la variable salario actual y sus tres categorías laborales: administrativos, seguridad y directivos. Se señalan mediante círculos los outliers y con asterisco los valores extremos. Figura 10. Gráfico de cajas y bigotes para la variable meses desde el contrato y sus tres categorías laborales: administrativos, seguridad y directivos.

18 Figura 11. Gráficos Q-Q normal sin tendencia de la variable salario actual, para las categorías laborales consideradas. Los gráficos Q-Q normales señalan los números de los casos correspondientes a estos extremos (figura 11-12). En los gráficos Q-Q normal, la línea roja recta representa los valores esperados cuando los datos siguen una distribución normal. Observamos nuevamente, en las tres categorías laborales, desvíos respecto a la normalidad, a excepción del grupo de seguridad cuya distribución no es muy clara. A excepción del grupo de seguridad, en los gráficos de evaluación de la normalidad (figuras 11 y 12), observamos dos comportamientos diferenciables según la variable dependiente: 1) un comportamiento curvo o en forma de C, correspondiente al salario actual y 2) una curva en S para la variable meses desde el contrato. En particular, el patrón en forma de C es característico de las distribuciones con asimetría izquierda (negativa). Asimismo, la forma en S del gráfico para los meses desde el contrato, suele encontrarse en distribuciones con largas colas (o colas importantes). Destacamos aquí, el comportamiento aproximadamente normal de la variable meses desde el contrato, para los empleados en seguridad.

19 Figura 12. Gráficos Q-Q normal de los meses de contrato, para las categorías laborales consideradas. Conclusión 2 En resumen, podemos destacar que la variable meses desde el contrato no presenta valores atípicos, cuenta con valores de asimetría y curtosis levemente negativos (tabla 6), que a partir de los gráficos de barras y los Q-Q normales (figuras 7 y 12), nos permiten afirmar que dicha distribución se aparta del comportamiento normal aunque no de manera pronunciada. A su vez, se observaron distribuciones semejantes para los tres sectores laborales (figura 10). Por su parte, para el personal se seguridad, dichos gráficos no son muy claros y los test de normalidad no rechazan la hipótesis de normalidad de los datos (tabla 8). En el salario actual, las discrepancias con la distribución normal son más acentuadas, presentando asimetrías y altos valores de curtosis positivos, con mayores diferencias entre los valores de media y mediana (tabla 6). Las distribuciones no son similares para los tres grupos laborales, presentando una mayor asimetría y curtosis en el caso de los empleados administrativos y rangos superiores para los directivos (figura 5). Dicha afirmación, unida al diagrama de cajas, los gráficos Q-Q normal y los test de normalidad, nos permiten afirmar que, para los administrativos y directivos, las distribuciones del salario actual son asimétricas positivas y algo leptocúrticas (figuras 9 y 11). Aquí encontramos varios casos de valores atípicos y outliers, vinculados al nivel educativo de los individuos encuestados.

20 En conjunto, recordando la similitud en las distribuciones de los meses desde que los encuestados han sido contratados, cabe discutir si los valores extremos del salario se vinculan más directamente con el nivel educativo o con el escalafón laboral. Analizando la tabla 9, los directivos llegan a presentar valores extremos superiores del salario que cuatriplican a los máximos salarios alcanzados por el personal de seguridad (tabla 6). Asimismo, los niveles educativos alcanzados por los directivos son notoriamente superiores a los demás grupos laborales, presentando incluso, altos valores para los menores salarios percibidos por el sector (tabla 9). Sin embargo, la correspondencia entre mayores salarios a mayores niveles educativos, no se ve muy bien explicada por el escalafón laboral, por ejemplo, dada la existencia de casos extremos donde a igual nivel educativo (16) los directivos presentan salarios que duplican los de los administrativos (tabla 9). Por ello, había que realizar otro tipo de análisis más específico para contestar este problema. Finalmente cabe recordar que la encuesta presenta una representación muy desigual de las categorías laborales de lso encuestados, viéndose subestimado el personal de seguridad (figura 1). APÉNDICE SINTAXIS DE LAS FUNCIONES REALIZADAS EN SPSS 1. Análisis de frecuencia y descriptivo Se indican a continuación las órdenes que fueron ejecutadas en SPSS para el análisis de frecuencias correspondiente a los niveles educativos (primer bloque) y las categorías laborales (segundo bloque). Se ordena el análisis de cada variable (/ORDER) y la construcción de los correspondientes gráficos por sectores (/PIECHART). FREQUENCIES VARIABLES=educ /FORMAT=NOTABLE /PIECHART FREQ /ORDER= ANALYSIS. FREQUENCIES VARIABLES=catlab /FORMAT=NOTABLE /PIECHART FREQ /ORDER= ANALYSIS. Las órdenes computadas para la construcción del gráfico por sectores educativos, correspondiente a cada categorías laborales analizada, se detallan en este apartado. Observamos que los datos fueron segmentados según la categoría laboral de los mismos (SEPARATE BY catlab) y luego se aplicó las mismas órdenes que en párrafo anterior. SORT CASES BY catlab. SPLIT FILE SEPARATE BY catlab. FREQUENCIES VARIABLES=educ /PIECHART FREQ /ORDER= ANALYSIS.

21 2. Análisis exploratorio El fichero de órdenes aplicado para al aobtención del análisis exploratorio, consta de la selección de las variables dependientes (VARIABLES) según la categoría laboral (BY) e identificando el nivel educativo de cada individuo (ID). Se solicitó graficar diagramas de cajas, tallo y hojas, histogramas y gráficos Q-Q normal (/PLOT), estableciendo comparaciones según los grupos formados (COMPARE). También se calcularon una serie de estimadores robustos (/MESTIMATORS), percentiles (/PERCENTILES) y la descripción de los valores extremos (/STATISTICS DESCRIPTIVES EXTREME). EXAMINE VARIABLES=salario tiempemp BY catlab /ID= educ /PLOT BOXPLOT STEMLEAF HISTOGRAM NPPLOT /COMPARE GROUP /MESTIMATORS HUBER(1.339) ANDREW(1.34) HAMPEL(1.7,3.4,8.5) TUKEY(4.685) /PERCENTILES(5,10,25,50,75,90,95) HAVERAGE /STATISTICS DESCRIPTIVES EXTREME /CINTERVAL 95 /MISSING LISTWISE /NOTOTAL.