Ecuaciones Diferenciales Parciales. Estrategias para su Solución Numérica y Computacional.

Transcripción

1 Ecuaciones Diferenciales Parciales. Estrategias para su Solución Numérica y Computacional. L. Héctor Juárez V. Departamento de Matemáticas UAM Iztapalapa Noviembre, 2 XLIII Congreso Nacional de la SMM

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3 Inicio de las EDP: Ecuaciones de la Física-Matemática

4 El inicio de las EDP El estudio de las ecuaciones diferenciales parciales inicio en el siglo XVIII con los trabajos de los suizos d Alembert y Euler y los franceses Lagrange y Laplace. Las ecuaciones diferenciales parciales aparecieron en el contexto de la modelación matemática de fenómenos de la física del medio continuo. MODELOS Cuerdas vibrantes El campo gravitacional Newtoniano Conducción del calor Dinámica de fluidos Elasticidad Electrostática Electricidad y magnetismo

5 La ecuación de onda unidimensional d Alembert, 752. modelo de una cuerda vibrante: u = u(x, t) 2 u t 2 = c2 2 u x 2 (u tt = c 2 u xx ) Oprimir para animación El problema de Cauchy Dados el desplazamiento y vel. inicial u(, x) = f (x), u t (, x) = g(x) Calcular la solución de la ecuación Solución (fórmula de d Alembert): u(t, x) = 2 [f (x ct) + f (x + ct)]+ 2c x+ct x ct g(y) dy. Jean le Rond d Alembert (77 783)

6 Derivación de la ecuación de onda x = longitud de un tramo m = su masa ρ = densidad. Componente horizontal de la tensión T T cos(α) = T 2 cos(β) Segunda ley de Newton: F = m a T 2 sen(β) T sen(α) = ρ x 2 u 2 t tan(β) tan(α) = ρ x T ( u x x 2 u 2 t u (x + x, t) (x, t) x ) = ρ T 2 u 2 t Cuando x, se obtiene 2 u t 2 = c2 2 u x 2 c = ρ T

7 La ecuación de onda multidimensional Euler, 759, y D. Bernoulli, 762: estudio de ondas acústicas 2 u t 2 = c2 [ 2 ] u x u y u z 2 Aplicaciones Ondas de sonido en un tubo ó en una barra Oscilaciones torsionales de una barra Ondas largas en un canal recto Leonhard Paul Euler (77 783) Transmisión de electricidad en un cable aislado de baja resistencia Flujos de aire supersónicos Oprimir para animación Daniel Bernoulli (7 782)

8 La teoría general de las soluciones de la ecuación de Laplace se conoce como Teoría del Potencial. Ecuación de Laplace Laplace, aprox. 78: estudio de campos potenciales gravitacionales 2 ϕ x ϕ y ϕ z 2 = ϕ xx + ϕ yy + ϕ zz = div grad ϕ = 2 ϕ = ϕ = Funciones armónicas: ϕ(x, y, z), muy importantes en muchos campos de la ciencia: Electromagnetismo Astronomía Dinámica de fluidos Pierre-Simon, marqués de Laplace ( ) Describen el comportamiento de los potenciales eléctricos, gravitacionales y de los fluidos.

9 Problema con valores en al frontera Problema típico: encontrar una solución que satisface valores arbitrarios en la frontera Ω de un dominio acotado Ω. Ejemplo: encontrar ϕ(r, θ) armónica sobre el círculo de radio uno, tal que ϕ(, θ) = φ(θ). Solución (Poisson): ϕ(r, θ) = 2π 2π r 2 + r 2 2r cos(θ θ ) u(θ )dθ Siméon Denis Poisson (78-84) Poisson también es conocido por la ecuación que lleva su nombre ϕ = f la cual tiene aplicaciones en electrostática, ingeniería mecánica y física teórica

10 Ecuación de calor Fourier, 8 822, Théorie analytique de la chaleur ) [ u 2 ] u = κ t x u y u u tt = κ [u xx + u yy + u zz ] z 2 u tt = κ 2 u u tt = κ u Derivación de la ecuación de calor: Ley defourier: q = D u (flujo local de calor) Enegía térmica total Q en V : Q = V c s ρ u(x, t) dv Flujo de calor a través de S: S q n ds Jean Baptiste Joseph Fourier, Conservación de la energía (sin fuentes) dq dt = S q n ds c s ρ u V t dv = (D u) dv Ec. calor con κ = D/c s ρ V Oprimir para animación

11 Problema de Cauchy: u(x, ) = f (x) Ejemplo: u t = u xx, u(x, ) = cos(2x) u x (, t) = u x (, t) = Solución: u(x, t) = sen(2) 2 + A n cos(nπx) e kn2 π 2 t A n = 2 cos(2x) cos(nπx) dx animación Aplicaciones Procesos de difusión: Física, química y proc. ind.) Estadística: conexión con movimiento Browniano Augustin Louis Cauchy, Probabilidad: describe caminatas aleatorias. Evolución de distribuciones en procesos aleatorios. Ecuación de Schrödinger para una partícula libre. Matemática financiera: modelación de opciones (Black Scholes) Transmisión telegráfica en cables de baja conductancia o capacitancia

12 Clasificación de las EDP Los tres principales tipos de EDP de la física matemática fueron introducidas entre la mitad del siglo XVIII y principios del siglo XIX: EDP lineal de 2o. orden en 2 var.: Au xx + Bu xy + Cu yy +... = Secciones cónicas: A x 2 + B xy + C y =. B 2 4AC < : Elíptica (Ecuación de Laplace) 2. B 2 4AC = : Parabólica (Ecuación de calor) 3. B 2 4AC > : Hiperbólica (Ecuación de onda) Hay EDP de 2o. orden que no se pueden clasificar: Ecuación de Euler Tricomi: u xx = x u yy Flujos transónicos (aeronáutica): Hiperbólica si x > Elíptica si x < FA-8_hornet_transonic. Parabólica si x =

13 Algunos métodos de solución análitica Método de las caracterísiticas. Tipicamente para EDP de er. orden Métodos de Tranformadas (Laplace, Fourier,...) Funciones de Green Cambio de variables Separación de variables Series de Fourier Métodos de Grupos de Lie

14 EDP Más Complejas

15 La realidad es compleja En aplicaciones reales las EDP usualmente Son no lineales. Por, ejemplo, en la ecuación del calor la constante de difusión térmica k realmente depende de la solución e incluso puede depender de la dirección: u t = κ(u) u Modelan fenómeneos en regiones complejas. Por ejemplo, la ecuación de calor (aunque lineal) en un dominio complejo, usualemte no tiene solución analítica. Combinan diferentes operadores. Por ejemplo la ecuación de Fisher (advección-difusión-reacción) p t + u p = D 2 p + s p ( p) Contienen combinaciones de las anteriores dificultades

16 Ecuaciones de Euler, 755 Flujos de fluidos inviscidos (ρu) t ρ t + (ρu) = + (u (ρu)) + p I = E + (u(e + p)) =, t Las ecuaciones de Euler son hiperbólicas no lineales y sus soluciones generales son ondas u, vector de velocidades. p, presión. ρ, densidad. Al igual que las olas oceánicas las ondas descritas por la E, energía por u. de volumen. ecuación de Euler se rompen y se forman las ondas de choque surface_waves.jpg

17 Ecuaciones de Navier Stokes Navier, Poisson, 83 Stokes, 845: movimiento de fluidos viscosos como agua y aire ( ) u ρ t + u u = p + T + f ρ t + (ρu) = Navier.jpg Claude Louis Navier, Uno de los conjuntos de EDP más útiles: describe la física de un gran numéro de fenómenos de interés científico, académico y económico. Fluidos incompresibles Inercia {}}{ ( u ) ρ + u }{{} t } {{ u } Aceleración Aceleración convectiva no estacionaria u = = p }{{} + µ 2 u }{{} Gradiente Viscosidad de presión + f }{{} Otras fuerzas Stokes.jpg George Gabriel Stokes, 89 93

18 Aplicaciones Las ecuaciones de NS modelan Movimiento de líquidos y gases Corrientes oceánicas Movimiento de estrellas dentro de las galaxias Fenómenos complejos en biología Las ecuaciones de NS son útiles en El estudio de flujo de sangre El diseño de autos y aeroplanos El estudio fenómenos meteorológicos El estudio de transporte de contaminantes Y muchas otras aplicaciones Oprimir para animaciones

19 Elasticidad lineal Navier, 82 y Cauchy, 822: Es el estudio matemático de como se deforman los objetos sólidos y de sus esfuerzos internos debido a cargas externas dadas (Mecánica del medio continuo) Ecuaciones de Navier Cauchy (λ + µ) ( u) + µ 2 u + F = donde µ el el módulo de rígidez, λ es un parámetro de Lamé, u es desplazamiento, F son las fuerzas de cuerpo.

20 Ecuaciones de Maxwell: Teoría electromagnética, 864 Ley de Gauss E = ρ ε (campo eléctrico) Ley de Gauss B = (campo magnético) Ley de Faraday E = B t Ley de Ampère E B = µ J + µ ε t James Clerk Maxwell, E: campo eléctrico B: campo magnético J: densidad de corriente ρ: densidad de carga ɛ : pemitividad µ : permeabilidad Johann Carl Friedrich Gauss ( ) Michael Faraday ( André Marie Ampère ( )

21 Controversia sobre el papel de Maxwell Contibrución: corrección en el término de corriente de desplazamiento (On Physical Lines of Force 86) Le permitió derivar la ecuación de onda electromagnética en su artículo Dynamical Theory of the Electromagnetic Field ( 2 c 2 2 t 2 ( 2 c 2 2 t 2 ) E = ) B = La luz es una onda electromágnetica (confirmado experimentalmente por Heinrich Hertz en 887). Se dice que las ecuaciones de Maxwell se llamaron ecuaciones de Hertz-Heaviside pero que Einstein, por alguna razón, les llamo ecuaciones de Maxwell Hertz.

22 Métodos de Aproximación de las EDP

23 Algunos métodos de aproximación Diferencias finitas Elemento finito Volumen finito Métodos sin malla (malla libre) Elementos de frontera Métodos espectrales Métodos de partículas Lattice Boltzamnn Monte Carlo Perturbación Series...

24 Los métodos más usados Discretization techniques Diferencias Finitas/forma diferencial Finite differences / differential Discretization form techniques Aproximación de valores nodales approximation of nodal derivatives Finite differences / differential form simple and effective, easy to derive approximation of nodal derivatives limited to (block-)structured meshes simple and effective, easy to derive Finite limited volumes to (block-)structured / integral form meshes approximation of integrals Finite volumes / integral form conservative by construction approximation of integrals suitable for arbitrary meshes conservative by construction Finite suitable elements for / arbitrary weak form meshes weighted residual formulation Finite elements / weak form remarkably flexible and general weighted residual formulation suitable for arbitrary meshes remarkably flexible and general Fácil, efectivo y simple Limitado a mallas structuradas (por bloques) Volumen Finito/forma integral Aproximación de integrales Conservativos por construcción Adecuado para mallas generales suitable for arbitrary meshes

25 Finite volumes / integral form approximation of integrals conservative by construction suitable for arbitrary meshes Elemento Finito/forma débil Finite elements / weak form Aprox. formulación variacional weighted residual formulation Gran flexibilidad y generalidad remarkably flexible and general suitable for arbitrary meshes Adecuado para mallas generales Métodos sin Malla/RBF No involucra integración numérica Fácil y simple No requiere discretización del dominio

26 Ü ¼ Ü ½ Ü ½ Ü Ü ½ Æ Ü Æ ½ Ü Método de diferencias finitas Finite difference method Idea: Sustituir las ecuaciones diferenciales por ecuaciones en Principle: derivatives in the partial differential equation are approximated diferencias by linear combinations of function values at the grid points Principio Las derivadas parciales en la ecuación se sustituyen por combinaciones D: Ω lineales = (, X), de valores u i u(xde i ), la función i =,,. en.., Nlos nodos de la malla. grid points x i = i x mesh size x = X N ¼ First-order derivatives D : u ( x) Ω(, u( x + x) u( x) = X), lim u i u(x i ), u( x) u( x x) = i = lim,, N. x x x x x u( x + x) u( x x) = lim (by definition) x 2 x Puntos de malla: x i = i x = i h Tamaño de malla: h = x = L/N

27 Aproximación de las derivadas de primer orden Derivadas de primer orden u u( x + h) u( x) u( x) u( x h) ( x) = lim = lim x h h h h u( x + h) u( x h) = lim h 2h Dif. hacia adelante Dif. hacia atrás Diferencias centrales ( ) u u ( ) i+ u i u u ( ) i u i u u i+ u i x x x x x x T : T 2 : i Expansión en series de Taylor: u(x) = ( ) u u i+ = u i + x x i ( ) u u i = u i x x i i + ( x)2 2 + ( x)2 2 n= ( 2 ) u x 2 i ( 2 ) u x 2 i i ( ) u (x x i ) n x i n! + ( x)3 6 ( x)3 6 ( 3 ) u x 3 + i ( 3 ) u x 3 + i

28 Aproximaciones Diferencia hacia adelante de er orden ( ) u T = = u i+ u i ( x) ( 2 ) u x x 2 x 2 i i Error de Truncamiento O( x) Diferencia hacia atrás de er. orden ( ) u T 2 = = u i u i + ( x) ( 2 ) u x x 2 x 2 i i O( x) Diferencia central de er. orden ( ) u T T 2 = = u i+ u i ( x)2 x 2 x 6 T + T 2 2 i Diferencia central de 2do. orden ( 2 ) u = x 2 = u i+ 2 u i + u i x 2 x 2 2 i ( 3 ) u x 3 + i ( 4 ) u x 4 i O( x 2 ) O( x 2 )

29 Ecuación de Difusión -D u t (x, t) = u xx (x, t) en < x <, t > u(, t) = u(, t) =, t >, u(x, ) = u (x), x Se divide (, ) en J subintervalos t Δx Se divide (, t f ) en N subintervalos x = /J x j = j x, j =,,..., J. t = t f /N t n = n t, n =,,..., N. t t n+ n Δt x x x j j j+ x u(x j, t n ) se aproxima por medio del valor nodal U n j

30 Esquema explícito t Δx U n+ j t U n j = Un j+ 2Un j + U n j ( x) 2, (Ec. en dif.) U n = U n J =, n N, (C.f.) t t n+ n Δt Esquema U j = u (x j ), j J. (C.i.) implícito t x xj x j j+ Δx x U n+ j t U n j = Un+ j+ 2Un+ j + U n+ j ( x) 2, (Ec. en dif.) U n = U n J =, n N, (C.f.) t t n+ n Δt Promedios U n+ j t U n j U j = u (x j ), j J. (C.i.) pesados = θ Un+ j+ 2Un+ j + U n+ j ( x) 2 +( θ) Un j+ 2Un j + U n j ( x) 2. θ (Método de C N : θ = /2.) t t t n+ n x x xj x j j+ Δx xj x j j+ x Δt x

31 Esquema explícito (ν = t/ x 2 Número de difusión) U j = u (x j ), j J Para n =,..., N Fin U n = U n+ j = U n j + ν ( U n j+ 2U n j + U n j ), j J U n J = Esquema implícito ν U n+ j + ( + 2 ν) Un+ j ν U n+ j+ = Un j, j J Sistema de ecuaciones A U = b Promedios pesados. Para j J θ ν U n+ j + ( + 2 θ ν) Un+ j θ ν U n+ j+ = Un j + ( θ) ν (U n j 2U n j + U n j+) Sistema de ecuaciones A U = b

32 Para el esquema implícito 2 2 A(ν) = I+ν U = 2 Para el método θ 2 2 A 2 (θ, ν) = I+θ ν U = 2 donde b n j = U n j + ( θ) ν (U n j 2Un j + U n j+ ). U n+ U n+ 2.. U n+ J 2 U n+ J U n+ U n+ 2.. U n+ J 2 U n+ J b = b = U n U n 2.. U n J 2 U n J b n b n 2.. b n J 2 b n J

33 n = n = n = n = Δt =.2 Δt =.3 Solución por el método explícito: Estabilidad condicional

34 n =.3.2 n = n =.3.2. n = n = n = n = n = Δt =.3 ( ν =.52 ) Δt =.25 ( ν = 5) Solución por el método implícito (o por el theta): Estabilidad

35 Estabilidad Numérica Un esquema de diferencias finitas es Estable, si los errores cometidos en un paso de tiempo no causa que los errores crezcan a medida que los cálculos continuan. Neutralmente estable, si los errores permanecen constantes. Inestable, si los errores crecen conforme avanzan los cálculos. Procedimiento para investigar la estabilidad: Análisis de Von Neumann, esta basado en la descomposición de Fourier del error: Crank, J.; Nicolson, P. (947), A Practical Method for Numerical Evaluation of Solutions of Partial Differential Equations of Heat Conduction Type, Proc. Camb. Phil. Soc, 43: Charney, J. G.; Fjørtoft, R.; von Neumann, J. (95), Numerical Integration of the Barotropic Vorticity Equation, Tellus 2: Método explicito : condicionalmente estable D t x 2 2 t x 2 2 D Método implícito y θ: incondicionalmente estables.

36 Consistencia Para el esquema explícito: ( ) n u t j ( 2 ) n u x 2 j = un+ j uj n t un j+ 2 un j uj n ( x) 2 t 2 (u tt) n j + x 2 2 (u xxxx) n j + O( t 2 ) + O( x 4 ) = error de truncamiento: O( t) + O( x 2 ) En forma análoga se encuentra que Esquema Error de truncamiento Implícito Crank Nicolson O( t) + O( x 2 ) O( t 2 ) + O( x 2 ) ESQUEMA CONSISTENTE: La discretización de la EDP se transforma en la exacta cuando t y x.

37 Principio del máximo Se sabe tanto desde el punto de vista matemático y como físico que la solución u(x, t) está acotada inferiormente y superiormente por los extremos de los valores iniciales y los valores de frontera. t Δx t t n+ n Δt xj xj xj+ x Puntos sobre los que se toma el máximo y el mínimo. Condición: ν( θ) 2. Crank-Nicolson: ν.

38 n = n = n = 2.5 n = n = 4.5 n = n = 6 n = Δt =.25 ( ν = ) Δt =.5 ( ν = 2 ) Resultados con θ = /2 (C N), J = y ν = y ν = 2.

39 Problema bidimensional u t = D u = D (u xx + u yy ), (x, y) Ω, t >, u(x, y, ) = u (x, y) (x, y) Ω, u(x, y, t) = g(x, y, t) (x, y) Ω, t. Ω = [, X] [, Y ] Discretización: x = X I, x i = i x, i =,,..., I, y = Y J, y j = j y, j =,,..., J, t = t f N, t n = n t, n =,,..., N. Ui,j n u(x i, y j, t n ) Esquema explicíto U n+ i,j t U n i,j [ U n i,j 2Ui,j n + Ui+,j n = a ( x) 2 + Un i,j 2Un i,j + Ui,j+ n ] ( y) 2.

40 Notación: Esquema explícito: U n+ U n t ν x = D t/( x) 2 ν y = D t/( y) 2 Consistencia: U := U i,j δ 2 x U := U i,j 2U i,j + U i+,j δ 2 y U := U i,j 2U i,j + U i,j+ [ δ 2 = a x U n ( x) 2 + δ2 y U n ] ( y) 2 = U n+ = U n + ν x δx 2 U n + ν y δy 2 U n T (x, t) = 2 u tt t a 2 Estabilidad: ν x + ν y /2 [u xxxx ( x) 2 + u yyyy ( y) 2 ] +... O( t)

41 El método θ U n+ U n t = a δ2 x (θ U n+ + ( θ) U n ) ( x) 2 + a δ2 y (θ U n+ + ( θ) U n ) ( y) 2 Crank Nicolson: θ = /2 ( 2 ν x δ 2 x 2 ν y δ 2 y ) U n+ = ( + 2 ν x δ 2 x + 2 ν y δ 2 y ) U n Sistema lineal con (I ) (J ) ecuaciones. Para ilustrar, si x = y (ν x = ν y ), la matriz del sistema es: A I 4 A = I+ ν I A I I A I con A = I A 4 Método muy caro! Consistente e incondicionalmente estable. T (x, t) = O( x 2 ) + O( y 2 ) + O( t 2 )

42 Métodos ADI Peaceman Rachford (955) U n+/2 U n t/2 U n+ U n+/2 t/2 = a δ2 x Un+/2 ( x) 2 = a δ2 x Un+/2 ( x) 2 + a δ 2 y Un ( y) 2 + a δ 2 y Un+ ( y) 2 { { IMPLICITO EN x EXPLICITO EN y EXPLICITO EN x IMPLICITO EN y n Δ t (n+ (n 2 )Δt +)Δt ( 2 νx δ2 x ) Un+/2 = ( + 2 νy δ2 y ) Un ( 2 νy δ2 y ) Un+ = ( + 2 νx δ2 x ) Un+/2 y Δx y j+ y j y j Δy J sistemas tridiagonales de orden I x xi x i i+ I sistemas tridiagonales de orden J x

43 n = n = Y X Y.2.4 X.6.8 n = 6 n = Y X Y.2.4 X.6.8 Resultados con ADI, I = J = 48, y t =.25

44 n = n = Y X Y.2.4 X.6.8 n = 5 n = Y.2.4 X Y.2.4 X.6.8 n = 3 n = Y.2.4 X Y.2.4 X.6.8

45 Ecuación D de convección pura u t + c u =, < x <, t >. x u(x, ) = u (x). Posibles casos: c = cte. c = c(x, t) c = c(u) (caso no lineal) Características: Curvas en (x, t) sobre las cuales u(x, t) es contante = du dt = u t + u dx x dt = dx dt = c Método de las características: Se escogen puntos distintos (x j ) j J Se calculan las características: dx = c, con dt x() = x j. Entonces, u(x, t) = u (x j ) para todo (x, t) sobre la carterística que pasa por x j. t x j 8 2 x

46 Caso Ejemplo c = const. dx = c, dt x c t = x j x() = x j c = 3, u (x) = e 2 x 2 2 t u c = 3 Sol.: u(x, t) = u (x c t) x 2 x j 4 6 x 5 5 c = c(u) dx = c(u), dt x c(u) t = x j x() = x j c = u, u (4x )2 (x) = e Sol.: u(x, t) = u (x c(u) t) x Cualquir método numérico debe tomar en cuenta las características t.8.6 t x

47 Esquema explícito u n+ j uj n t Análisis de Fourier + c un j uj n x µ = c t x = = u n+ j = ( µ) u n j + µ u n j (Número de Courant). Modo de Fourier continuo: u k (x, t) = e i w t e i k x satisface la EDP si w = c k (relación de dispersión) u k (x, t) = e i k x c t. Modo de Fourier discreto: u n j (k) = λ n e i k j x satisface la ED si λ(k) = µ ( e i k x). λ 2 si µ

48 Estabilidad y consistencia Estabilidad: El análisis (von Neumann) indica que si c > (upwind), es estable si < µ. c < (downwind), es inestable µ. Para obtener un esquema estable sustituya j por j + en la discretización de u/ x Esquema upwind { u n+ j = uj n uj n uj n µ si c > uj+ n un j si c < = un j t x c n j 2 c n j+ 2 (u n j u n j ) si c > (u n j+ un j ) si c < uj n t { ( ) ( ) } c n +sig c n (u n 2 x j 2 j j uj ) n + c n +sig c n (u 2 j+ 2 j+ j+ u n n j ) 2 Truncamiento (c > ) T n j uj n t { u t + t 2 u tt +... = un+ j + c un j uj n x } n j + c { u x x 2 u xx +... } n j (u tt ) n j 2 t a (u xx) n j 2 x +... = O( t) + O( x).

49 Condición CFL (Courant-Friedrichs-Lewy) R. Courant, K. Friedrichs and H. Lewy, Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik, Mathematische Annalen,,, pages 32 74, 928. R. Courant, K. Friedrichs and H. Lewy, On the partial difference equationes of mathematical physics, IBM Journal, 967, pp (Traducción al inglés del original) La solución discreta no debe ser independiente de los datos que determinan la solución de le EDP. Es decir, el dominio de dependencia de la solución de la EDP debe estar contenido dentro del dominio de dependencia del esquema numérico. Lado izquierdo: no se satisface CFL. Lado derecho: se satisface CFL. /c = pendiente de la linea característica que la condición CFL es: c t x = µ = c t x.

50 Convergencia Un esquema numérico es convergente si lim t, x U n i = u(x i, t n ). Teorema de equivalencia de Lax: Lax, P. D.; Richtmyer, R. D. Survey of the stability of linear finite difference equations. Comm. Pure Appl. Math., 9 (956), consistencia + estabilidad = convergencia Para un esquema de diferencias finitas (lineal) consistente (bien planteado) convergencia equivale a estabilidad Esquemas consistentes con propiedades de convergencia (estabilidad) diferentes u n+ j u n+ j uj n t uj n t uj n t u n+ j + c un j u n j x = converge si µ + c un+ j u n+ j = siempre converge x + c un j+ un j 2 x = nunca converge

51 Amplitud y fase Modo de Fourier continuo: u k (x, t) = e i k x c t = e i w t e i k x con w = c k Amplitud: const. =. Fase: cambia por c k t = µ ξ en un paso del tiempo ξ = k x Modo de Fourier discreto: u n j (k) = λ n e i k j x λ(k) = µ ( e i k x) = [( µ) + µ cos ξ] + i µ senξ Amplitud: λ 2 = 4 µ ( µ) ξ 2 ( 2 ξ 2 + ) 2 Modo amortiguado, salvo cuando µ =. Error O(ξ) Fase: arg(λ) = µξ [ 6 ( µ) ( 2µ) ξ2 + ] Solo con µ = se obtiene el cambio de fase. Error O(ξ 2 ). Con µ = /2 el error oscila alrededor de. Ver ejemplos en MATLAB

52 Lax-Wendroff P.D. Lax; B. Wendroff (96), Systems of conservation laws, Commun. Pure Appl. Math., 3: Idea: u(x, t + t) u(x, t) u t (x, t) = t u(x, t + t) u(x, t) = t Esquema: t 2 u tt(x, t) + O( t 2 ) t 2 c2 u xx (x, t) + O( t 2 ) U n+ j t U n j c Un j+ Un j 2 x = t Un 2 c2 j+ 2 Un j + Uj n x 2 Difusión artificial U n+ j = U n j µ 2 Truncamiento: O( t 2 ) + O( x 2 ) { ( ( µ) Uj+ Uj n ) ( + ( + µ) Uj Uj )} n

53 Análisis de Fourier Factor de crecimiento de los modos discretos λ(k) = 2 µ sen 2 (ξ/2) i µ senξ, Amplitud de los modos: µ = c t x, ξ = k x λ 2 = 4µ 2 ( µ 2 ) sen 4 2 ξ = 4 µ 2 ( µ 2 ) ( ) 4 ξ 2 ξ3 2 + = O(ξ 4 ) Amortiguamiento pequeño y con µ = no hay. Estabilidad, si µ Fase de los modos: arg(λ) = tan [ µ senξ 2 µ 2 sen 2 2 [ ξ = µ ξ ] 6 ( µ2 ) ξ 2 + ] = µ ξ [ O(ξ 2 ) ] Error relativo de fase O(ξ 2 ), de un solo signo (retraso en fase) ejemplo en MATLAB

54 Leyes de Conservación En situaciones prácticas, las ec. hiperbólicas aparecen en la forma u t + u u f (u) = = + c(u) x t x = con c(u) = f (u). Forma de conservación o ley de conservación. Teorema de tranporte de Reynolds: Sea V (t) un volumen de una sustancia que transporta una propiedad α(t) con una velocidad u, entonces [ ] d α α(t) dv = + (α u) dv. dt V (t) V (t) t Conservación de masa: Sea ρ = ρ( x, t) la densidad de la sustancia dentro del volumen arbitrario V (t), La masa total dentro del volumen es constante (si no hay fuentes o sumideros): = d dt V (t) ρ dv = V (t) [ ρ t + (ρ u) ] dv = ρ t + (ρ u) = En una dimensión se obtiene: ρ t + (ρu) = (f (u) = ρ u) x

55 Conservación de momentum: Sea S(t) la superficie que encierra el volumen V (t) d ρ u dv = σ n ds + ρ g dv dt V (t) S(t) V (t) [ ] ρ u [ + (ρ u u) dv = σ + ρ g ] dv t ρ u t V (t) V (t) + (ρ u u) = σ + ρ g = [ p I + µ( u + u T ) ] + ρ g = p + µ 2 u + ρ g Caso D: (ρ u) + t x Ecuación de Burgers (948): u t + x ( ρ u 2 + p ) µ 2 u x 2 = ρ f ( ) 2 u2 = µ 2 u x 2 Diseñada para estudiar la teoría de las turbulencias. De interés pos su parecido a la ecuación de Navier Stokes y Euler. De interés en dinámica de fluidos porque desarrolla shocks para µ pequeño. Cuando µ aparecen soluciones discontinuas.

56 Caso límite de la ecuación de Burgers: µ =. u t + x ( 2 u2 ) =, es decir f (u) = 2 u2 Modelo simple de choques en el flujo de un gas Esquema de Lax Wendroff para u t + (f (u)) x = u(x, t + t) u(x, t) u t (x, t) = t u(x, t + t) u(x, t) = t Sea c(u) = f (u), entonces U n+ j t U n j + f (Un j+ ) f (Un j ) 2 x t 2 u tt(x, t) + O( t 2 ) + t 2 [f (u) (f (u)) x ] x + O( t 2 ) = t 2 [ )] δ x c(uj n ) δ x (f (Uj n ) x 2 Operador de diferencias centradas: δ x (Uj n ) = U n U n j+ 2 j 2

57 U n+ j = Uj n t { [ 2 x donde c(u) = f (u). Ejemplo: ] [f x c(un j+/2 ) (U n ] [f (U n t [ + t x c(un j /2 ) u t + u u x =, x >, t >, u(x, ) = e (4x )2, x, u(, t) =, t. j+) f (Uj n )+ ] + j ) f (Uj )+ n ] } Ejemplo MATLAB (L-W y Upwind)