Ondas estacionarias en una cuerda tensa

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1 FS-00 Física General II UNAH Objetivos Universidad Nacional Autónoma de Honduras Facultad de Ciencias Escuela de Física Ondas estacionarias en una cuerda tensa Actualizada y corregida por Fis. Ricardo Salgado y Fis. Luis Zapata Coordinador de la asignatura Fis. Ramón Chávez.. Calcular frecuencias para determinados modos de vibración.. Producir modos normales de vibración en una cuerda fija en los extremos. Materiales y equipo. Montaje especial con cuerda (hilo de nylon), vibrador, prensas y polea. Balanza granataria. Vaso de plástico 4. Recipiente con agua 5. Cinta métrica 6. Soporte de mesa, nuez y varilla roscada 7. Transportadores Marco teórico Ondas Estacionarias Considere funciones de onda para dos ondas sinusoidales transversales que tengan la misma amplitud, frecuencia y longitud de onda pero que viajen en direcciones opuestas en el mismo medio y = A sin (kx wt) y = A sin (kx + wt) donde y representa una onda que viaja en la dirección +x y y representa una que viaja en la dirección x. Al sumar estas dos funciones da la función de onda resultante y: y = y + y = A sin (kx wt) + A sin (kx + wt) utilizando un poco de trigonometría la función de onda resultante se reduce a y = (A sin kx) cos ωt () donde A = amplitud de las ondas iniciales, k = número de onda, ω = frecuencia angular. La ecuación () representa la función de onda de una onda estacionaria. Qué es una onda estacionaria? Es un patrón de oscilación con un contorno estacionario que resulta de la sobreposición de dos ondas idénticas que viajan en direcciones opuestas.

2 FS-00 Física General II UNAH Nodos y Antinodos De la ecuación () se puede observar que la expresión A sin kx es la amplitud de la onda estacionaria. Nodos A los puntos donde A sin kx = 0 se le llaman nodos. Si se resuelve la ecuación para x y recordando que k = π λ se obtienen las posiciones para los nodos donde n = 0,,,... x = 0, λ, λ, λ,... = nλ Antinodos A los puntos donde A sin kx = A es decir los puntos donde la amplitud es máxima se le llaman antinodos. Si se resuelve la ecuación para x y recordando siempre que k = π λ los antinodos. x = λ 4, λ 4, 5λ nλ,... = 4 4 donde n =,, 5... Ondas estacionarias en una cuerda fija en ambos extremos se obtienen las posiciones para Considere una cuerda de longitud L fija en ambos extremos. En la cuerda se pueden establecer ondas estacionarias mediante una sobreposición continua de ondas incidentes y reflejadas desde los extremos. Modos normales Ya que los extremos de la cuerda están fijos, necesariamente tienen desplazamiento cero y, por ende, son nodos por definición. Esta condición frontera resulta en que la cuerda tenga un número de patrones de oscilación naturales discretos, llamados modos normales, cada uno con una frecuencia característica que se calcula con facilidad. Esta situación en la que sólo se permiten ciertas frecuencias de oscilación se llama cuantización En general, las longitudes de onda de los diferentes modos normales para una cuerda de longitud L fija en ambos extremos son λ n = L, n =,,... () n donde n es el n-ésimo modo normal de vibración. Las frecuencias naturales asociadas con los modos de oscilación se obtienen de la relación donde la rapidez de onda v es la misma para todas las frecuencias. v = λf () Reemplazando la ecuación () en la () y despejando para f se encuentra que las frecuencias naturales f n de los modos normales son f n = nv (4) L

3 FS-00 Física General II UNAH recordando que v en una cuerda es v = T µ entonces reemplazando en (4) se obtiene f n = n T L µ (5) Montaje Experimental Para observar en el laboratorio el fenómeno explicado en el marco teórico se cuenta con el montaje experimental mostrado a continuación en la Figura. Figura : Esquema básico del montaje a utilizar en el laboratorio. La Figura muestra el montaje experimental en funcionamiento Figura : Esquema en funcionamiento del montaje a utilizar en el laboratorio. Observe que en esta experiencia el extremo en que está el motor no está fijo. Pero ello no alterará esencialmente los resultados ya que solo se toman en cuenta las mediciones desde el primer nodo.

4 FS-00 Física General II UNAH Procedimiento Experimental Mediciones para obtener f n utilizando valores promedio de L y m. Enceder el motor y esperar que se estabilice.. Anotar en la Tabla el valor correspodiente al número de nodos observados desde el extremo de la polea hasta el úlitmo nodo bien formado.. Medir con la cinta métrica el valor de L desde el extremo de la polea hasta el úlitmo nodo bien formado y anotarlo en la Tabla. 4. Anotar en la Tabla el error instrumental δl. 5. Apagar el motor y medir la masa m del vaso que produce el número de nodos obtenidos en el inciso ) y anotarlo en la Tabla. 6. Anotar en la Tabla el error instrumental δm. 7. Colocar nuevamente el vaso en el montaje, encender el motor y agregar pequeñas cantidades de agua con el recipiente adecuado hasta que cambie de forma clara la cantidad de nodos observados. 8. Repetir los pasos ), ), 5), 7) hasta llegar a la cantidad de nodos que el montaje permite. 9. Repetir toda la secuencia tres veces a modo de obtener tres valores de L y m por cada número de nodos producidos. Tabla de datos experimentales N n L (m) L (m) δl (m) σ L (m) L (m) m (kg) m (kg) δm (kg) σ m (kg) m (kg) Tabla : Mediciones de L y m 4

5 FS-00 Física General II UNAH Tratamiento de datos experimentales Cálculos para obtener el valor de f n utilizando valores promedio de L y m Calcular el promedio de L para cada valor de n obtenido. Calcular σ L y L haciendo uso de las fórmulas correspondientes que se encuentran en el anexo al final de esta guía. Calcular el promedio de m para cada valor de n obtenido. Calcular σ m y m haciendo uso de las fórmulas correspondientes que se encuentran en el anexo al final de esta guía. Obtenga el valor de µ para la cuerda proporcionada haciendo uso de µ = m L Encontrar µ haciendo uso de la fórmula general para propagación de errores. Calculando f n Para obtener el valor de f n se hará uso de la ecuación (5) del marco teórico, haciendo T = mg f n = n m g L µ Encontrar f haciendo uso de la fórmula general para propagación de errores. Reporte su el valor encontrado de f n de la forma f n = f ± f Observación: Se debe encontrar un f n para cada valor de n Errores porcentuales Para determinar el margen de error para cada uno de los valores de f n obtenidos experimentalmente se hará uso de: ɛ = f teórico f n f teórico 00 % Cuestionario. Calcular la longitud de onda para cada valor de n encontrado. Encontrar la velocidad de la onda para cada valor de f n.. Explique por qué se dice que las ondas que viajan por esta cuerda son transversales. 4. Por qué los nodos no vibran? Ilustre qué podría hacerse en esta experiencia para mostrar claramente que efectivamente los nodos no vibran. Explique entonces por qué este tipo de ondas no permiten transmitir energía. 5

6 FS-00 Física General II UNAH 5. Explique por qué el extremo en donde está el vibrador nunca puede llegar a ser ni un nodo ni un antinodo. Qué representaría entonces ese extremo? 6. Actuando con su mano en el extremo vertical de la cuerda, cómo podría cambiar el modo normal; es decir aumentar o disminuir el número de bucles? ANEXOS Fórmulas utilizadas en el cálculo de errores Promedio q = N i= q i N Desviación Estándar Error Estadístico Error total σ q = N (q i q) N q = σ q = i= σ q N (δq) + (σ q ) Fórmula general para la propagación de errores ( ) ( ) q q q = x x i x x i Bibliografía Física Para Ciencias E Ingeniería Vols. I y II Serway, Jewett, 7 a. Ed. Introducción al análisis de Errores, John R. Taylor da ed. 6