Optimización de una cartera de valores con los fundamentos de esperanza y varianza matemática

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1 MaMaEuSch Management Mathematics for European Schools Optimización de una cartera de valores con los fundamentos de esperanza y varianza matemática Elke Korn Ralf Korn Esta publicación es parte del libro del proyecto "Matemáticas y economía, que esta subvencionada por la institución Bertelsmann. Este proyecto ha sido desarrollado con ayuda parcial de la Unión Europea dentro del programa Sócrates. El contenido no refleja necesariamente la posición de la Unión Europea ni implica ninguna responsabilidad por parte de esta. Universidad técnica de Kaiserslautern, Facultad de matemáticas, Matemáticas financieras.

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3 0 CAPÍTULO 4 : Optimización de una cartera de valores con los fundamentos de esperanza y varianza Introducción general Palabras claves de economía: - Acciones - Valores sin riesgo - Cartera de valores - Intereses y rentabilidad - El principio de esperanza-varianza - Diversificación Palabras claves de las matemáticas escolares: - Cálculo de probabilidades: Esperanza y varianza - Búsqueda de soluciones óptimas (ver capítulo ) - Cálculo de intereses - Potencias y potencias reales - El número e - Inecuaciones - Media aritmética - Vectores y matrices Contenido - 4. Gestión de bienes y optimización de la cartera de valores - 4. Discusión: El problema de la cartera de valores de la compañía Windig Trasfondo: Concepto de acciones, conocimientos básicos e historia Conceptos matemáticos básicos: Cálculo de intereses Continuación de la discusión: Cotización de las acciones Conceptos matemáticos básicos: Azar, esperanza y varianza Continuación de la discusión: Equilibrio entre beneficio y riesgo Conceptos matemáticos básicos: Fundamentos de la esperanza y la varianza Continuación de la discusión: Menor riesgo, por favor! Optimización bajo nuevos enfoques Resumen - 4. Optimización de una cartera de valores: Crítica de los fundamentos de la esperanza y el valor esperado y actuales investigaciones - 4. Otros ejercicios Guía para el capítulo 4. El objetivo de este capítulo radica en el problema de la inversión óptima en valores basándose en los fundamentos de esperanza y varianza presentada por H. Markowitz. En particular debería

4 0 desarrollarse un método gráfico de resolución (semejante al del capítulo ) para problemas de inversión en el caso de dos o tres valores, que pueda utilizarse en la escuela. De esta manera puede introducirse el cálculo de probabilidades como modelo matemático para la aleatoriedad y la incertidumbre de futuros acontecimentos. Esto se lleva a cabo, dependiendo del conocimiento de los alumnos, mediante amplios trabajos, que serán tratados en este capítulo en secciones separadas. Así pues, en la sección 4. se presenta, mediante un ejemplo, el problema de la inversión óptima de bienes, conocido como Optimización de una cartera de valores. Los puntos importantes de la Optimización de una cartera de valores, se desarrollan en las secciones 4./5/7/9 mediante el problema de la cartera de valores de una compañía ficticia, dichos puntos importantes son el beneficio (modelado mediante la esperanza de la rentabilidad de la inversión) y el riesgo (modelado mediante la varianza de la rentabilidad de la inversión). Se presentan métodos de resolución gráfica del problema de la cartera de valores en el caso de dos o tres valores. Para poder comprender estas secciones, son necesarios conceptos económicos tales como rentabilidad, cartera de valores y acción (véase en la sección 4.3) y el conocimiento matemático del cálculo de intereses (véase en la sección 4.4) así como del cálculo de probabilidades (véase en la sección 4.6). Dependiendo de los conocimientos previos de los alumnos, las secciones 4.4 y 4.6 pueden suprimirse. Sin embargo la sección 4.6 puede utilizarse como una pequeña introducción al cálculo de probabilidades, en particular aquí se usa para una moderna aplicación de las Matemáticas financieras. En los capítulos 6 y 7 se continúa con esta introducción, y ahí es donde se utiliza la aplicación a las matemáticas financieras con la ayuda del cálculo de probabilidades. Dicha aplicación es importante porque, como es bien conocido, pocas cosas están tan fuertemente asociadas a los conceptos de, incertidumbre y aleatoriedad como la cotización de las acciones. En la sección 4.8 se presentan los conocimientos teóricos de los fundamentos de esperanza y varianza según Markowitz, en principio para el caso de la inversión en dos o tres valores y por último para el caso general, por los que H. Markovitz recibió en 990 el premio Nobel de economía. Las primeras dos partes de este capítulo pueden ser tratados con aquellos alumnos que posean conocimientos del cálculo de probabilidades, y se trabajarán independientemente del resto de las secciones de este capítulo. En la última parte de esta sección se puede trabajar únicamente con alumnos que posean conocimientos avanzados y puede servir de información transversal. Otro aspecto importante de la sección 4.8 es el principio de diversificación, que sostiene la filosofía de invertir en diferentes bienes. En la sección 4. se facilitará un resumen de los actuales métodos matemáticos de la Optimización de la cartera de valores. Debido a que, tanto la introducción de la función de probabilidades de mas de una variable aleatoria, como los conceptos de correlación y covarianza necesitan mucho tiempo para ser tratados en la escuela, podemos introducir una versión más sencilla sobre los fundamentos de la varianza y la esperanza, donde exista la posibilidad de invertir en operaciones sin riesgos (dinero al contado, libreta de ahorros) y en alternativas de puro riesgo (p. ej. acciones, fondos de inversión). En la sección 4.6 se puede prescindir de las distribuciones conjuntas, de la covarianza y de la correlación, sin embargo, en la sección 4.8 no se puede presentar de manera completa el efecto de diversificación. Debido a que la Bolsa es un tema de actualidad, lo encontramos día a día en los medios de comunicación, por lo que en este capítulo y en el siguiente se ofrecen planteamientos de problemas procedentes de la televisión, internet y determinados periódicos y revistas.

5 03 4. Gestión de bienes y optimización de una cartera de valores Inversión inteligente de un capital informe ficticio La estudiante de diseño Katerina Schmalenberger* (*elegida arbitrariamente) ganó gracias a sus respuestas coherentes y a un poco de suerte un millón de euros en el concurso televisivo Quién quiere ser millonario?. La señorita Schmalenberger no quería tener ese dinero escondido bajo el colchón, primero porque no era seguro y segundo por que no le proporcionaría ningún tipo de interés. Tampoco quería ingresar ese dinero en la libreta de ahorros, ya que eso sólo le proporcionaría un % de interés al año y eso era muy poco. Así que pidió consejo a su banco. Éste le aconsejó más de 0 valores distintos. Además se le propuso dejar durante un año el millón en una cuenta de depósito fijo con un interés del 4 %, mientras reflexionaba tranquilamente lo que quería hacer. A su hermano no le gustó la idea, ya que en ese momento las acciones estaban más baratas que nunca, ella debería invertir a toda costa, ya que los beneficios podían llegar a ser hasta de un 30 % en un año. Ese riesgo, de invertir en el inseguro mercado de acciones, a ella le parecía muy alto. Tan altas como eran las probabilidades de beneficios, como eran las de las pérdidas, de hasta un 30 %. Ella reflexionó sobre la posibilidad de invertir solo una parte de su dinero en acciones. Aunque no tenía claro, que cantidad debía dejar para este fin. Tras una detallada hojeada a la sección de economía de un periódico del día se dio cuenta de las numerosas y amplias posibilidades existentes de invertir en bolsa. Se ofertaban más de 000 acciones y más de 50 valores, que regularmente ofrecían intereses, pero con estos el dinero estaría más años inmovilizado. Además de esto también existían más de 0 sociedades de inversión que, ofrecían distintos valores, eran relativamente seguras y con buenas oportunidades. Comenzó a tener claro que bajo ningún concepto elegiría un único modo de inversión. No se trataba simplemente de ver cómo invertir su fortuna, sino también de cómo distribuirla, es decir, cuánto comprar de cada valor. Debido a que los valores diariamente sufren variaciones, especialmente las acciones, se plantea la pregunta, cuándo debía comprar las acciones? En el caso del dinero inmovilizado que invierta tiene que decidir, cuanto tiempo está preparada a prescindir de esta cantidad de dinero?. Llegado a este punto parece claro que lo que básicamente tiene que decidir es, qué es lo que ella quiere realmente y cuál de estos fondos de inversión le proporcionarían un mayor beneficio? Finalmente Katerina Schmalenberger se dio cuenta de que debía observar todo el mercado de valores, para descubrir una buena estrategia de inversión y para poder invertir de manera inteligente. En realidad ella quería simplemente estudiar diseño y no finanzas, así que estuvo reflexionando sobre la idea de dejar administrar su millón de euros mediante los criterios profesionales de su banco. Esta administración le costaría un,5 % de los bienes administrados. La señorita Schmalenberger hizo inmediatamente los cálculos y observó que en el primer año como mínimo debería pagar 500 por este servicio. Como hasta el momento ella había estado obligada a vivir modestamente, le vino automáticamente a la cabeza que era mucho dinero. Merecía realmente la pena contratar este servicio? Discusión : - Qué haría con una gran fortuna? - Elabore un plan de inversión para su fortuna? - Qué tiene más valor, azar y riesgo o seguridad? - Cómo se pueden equilibrar las diferentes estrategias de inversión? Existen medidas adecuadas?

6 04 Fondos, plan de ahorro de pensiones y la importancia de los modernos métodos matemáticos Aún cuando no se posee un gran capital, se plantea la pregunta de cómo distribuir el dinero ahorrado en distintos planes de inversión o cómo dejar que le distribuyan su dinero. Por ejemplo, formar parte de un fondo. En un fondo, el capital de muchos inversores es administrado por profesionales mediante la denominada gestión de fondos. El comprador de una parte de un fondo le ofrece al inversor distintas maneras de invertir aún teniendo una aportación muy pequeña de capital. Los fondos de acciones, en los que el dinero se distribuye en distintas acciones tienen como principal objetivo, una buena evolución de sus valores, mientras que la mayoría de los fondos de ingresos fijos, se centran más en la seguridad. Los fondos de ingresos fijos se invierten, en lugar de en acciones, en valores a interés fijo, como p. ej. participaciones del estado o participaciones de una empresa. Pero también existen fondos de tipo mixto, en particular los denominados fondos de fondos ( fund of funds ), que se invierten de nuevo en fondos. El inversor decide un determinado fondo de acciones, y la sociedad de fondos elige todas las restantes posibilidades de inversión. Este servicio de decisión, de cómo, cuánto y cuándo se debe invertir, cuesta anualmente una tarifa porcentual, o existe también la variante de pagar al principio una determinada cantidad en relación al precio de compra del fondo. También cuando se realiza un plan de pensiones con la ayuda de un plan de ahorro de pensiones, otros se encargarán del trabajo (o la obligación) de distribuir el dinero. En los planes de ahorro de pensiones son muy importante los conceptos a largo plazo y seguridad. Como norma general, también hay que añadir un tipo de seguro (por ejemplo un seguro de vida). Esto significa que la aseguradora de los planes de jubilación divide el dinero en primer lugar en valores a interés fijo o también en fondos y posiblemente en un seguro adecuado, de modo que invierte menos en acciones. En un fondo de acciones, la sociedad inversora, formada por todos los compradores, divide grandes cantidades de dinero bajo determinadas condiciones en distintas acciones. Así algunas sociedades de fondos compran sólo acciones europeas y de estas sólo las que en ese momento crecen con más fuerza; o sólo acciones asiáticas y de estas sólo las que en ese momento son más seguras. Tras esta suposición a menudo quedan sólo entre unas 30 ó 50 acciones restantes en las que se puede distribuir el capital. Debido a motivos de negocios y a diversos factores, como por ejemplo la seguridad, la rentabilidad deseada o la estructuración de fondos, la cartera de valores, y por tanto los bienes de inversión se distribuyen por gerentes especializados. Visto matemáticamente resulta un problema (en general no lineal) de más de una dimensión con restricciones (véase en el capítulo ), por ejemplo del tipo maximizar beneficio + beneficio + + beneficio 50 bajo las invertir un capital con pequeñas fluctuaciones restricciones participaciones en acciones 50%. Determinación de la estrategia óptima de inversión: Optimización de una cartera de valores La distribución de un capìtal en distintas opciones de inversión se denomina cartera de valores. La determinación de la estrategia óptima de inversión, es decir, la decisión de cuánta cantidad, de qué valores y hasta cuándo debe mantener esa cantidad invertida para maximizar los beneficios de su capital final X(T) en un periodo de planificación T, se tratan en la matemática financiera como la Optimización de una cartera de valores. En este problema de optimización observamos que, además de intervenir las cantidades y los criterios de elección usuales ( cuanta

7 05 cantidad de que valores ), también interviene una dimensión temporal. Por lo tanto, continuamente se tendrán que ir tomando decisiones. Es decir se trata de los denominados problemas dinámicos de optimización. Sin embargo en este capítulo sólo se consideran modelos y problemas en los que se pueda prescindir de la componente temporal del problema de decisión, ya que se trabaja con modelos basados en un sólo periodo, donde sólo al principio del periodo de inversión se decide sobre la distribución del capital en distintos valores. Esta decisión no será revisada de nuevo antes de finalizar el periodo de inversión. Debido a que un estudio avanzado del problema anterior de una cartera de valores (así pues el problema de detectar la estrategia óptima de inversión) en toda su generalidad requiere métodos matemáticos muy complicados, como por ejemplo la teoría de distribución estocástica, nos centraremos esencialmente en la presentación de soluciones de problemas sencillos de cartera de valores y analizaremos sólo modelos de un único periodo según Markowitz. 4. Discusión: El problema de la cartera de valores de la compañía Windig La compañía Windig* (*tomada arbitrariamente) situada en el Mar del Norte fabrica desde hace 0 años instalaciones de energía eólica en medio de un campo electromagnético y sus pruebas de huracanes con molinos eólicos han encontrado buenas salidas mediante el aislamiento en granjas adecuadas. Debido a que el éxito de esta empresa no cesa, y al eficiente grupo de trabajadores, el jefe decidió organizar un plan de pensiones interno para los 00 trabajadores de la empresa. Como este no conocía bien los planes de pensiones, trajo a su domicilio, por unos días, a un grupo de Clever Consulting. Una tarde tomando un delicioso café con nata, sin mirar por la ventana ya que llovía como de costumbre, Selina, Oliver, Sebastian y Nadine discutieron sobre sus experiencias vividas con el jefe. Selina: Pues bien amigos, yo pienso que al jefe le gustaría invertir el dinero adicional de la renta en participaciones de la empresa Windig y en acciones de la Sociedad Anónima Naturstromer. Oliver: Bien, bien! Pues si los trabajadores poseen participaciones de la propia empresa, estos estarán más motivados para contribuir en el éxito de la empresa. Nadine: No lo entiendo, por qué quiere el jefe invertir ese dinero solamente en acciones? La bolsa sube y baja, el valor de las acciones cambia continuamente y con ello sus salarios se verán en gran medida inseguros! Creo, que ese Riesgo es muy grande. Por qué no invierte ese dinero en un valor a interés fijo? Selina: Tienes razón. Pero párate a pensar en un valor a interés fijo cuyo interés nunca cambie. Hoy día existe siempre un 5 % de interés anual y en diez años este interés anual será aún del 5%, independientemente de la situación económica de ese momento. Así mismo si la economía crece y se producen grandes beneficios, el interés anual seguirá siendo del 5 %. Sin embargo las acciones se ajustan a la situación económica del momento y ofrecen grandes oportunidades. Oliver: Las acciones son participaciones de empresas y se pueden comprar y vender en cada momento en la bolsa. Si la situación económica es buena y la sociedad anónima es una empresa estable y seria, como por ejemplo Naturstromer S.A., entonces podremos esperar que el valor de la acción y del dividendo, que distribuye la empresa correspondiente, suba fuertemente. Nadine: De lo contrario, si las cotizaciones descienden aceleradamente en todo el mundo, generalmente perderá la acción considerablemente su valor.

8 06 Sebastian: Ah sí, pero eso puede también pararse. Sin embargo la empresa Windig marcha muy bien y es un buen depósito de dinero. Tiene alguien información reciente sobre la empresa Naturstromer S.A.? Selina: Sí claro, yo he comprado algunas de sus últimas acciones. Es una empresa extraordinaria y prometedora! Muy consolidada con una directiva de primera clase y Josef Puccini es ahora el consejero de administración! Oliver: Qué es lo que realmente produce la empresa Naturstromer S.A? Corriente eléctrica de centrales eólicas? Selina: En absoluto, producen corriente eléctrica de centrales solares e hidráulicas y están asentadas en la región de los Alpes. Creo que es un complemento estupendo para las participaciones de la empresa Windig, productora de molinos eólicos. Nadine: Selina, tienes datos detallados, como por ejemplo la cotización actual de las acciones,...? Tras estas observaciones sobre acciones, valores de interés fijo e intereses es el momento de hacer una pausa para introducir información básica sobre estos conceptos, para que podamos así seguir el curso de esta discusión. Discusión : - Tiene sentido la manera de actuar del jefe? - Cuál es un buen plan de pensiones? Cómo se puede cuantificar bien? - Debería el jefe añadir otros valores? Y discutir sobre las ventajas e inconvenientes de introducir un nuevo valor! 4.3 Trasfondo: Acciones Conceptos básicos e historia Qué es una acción? Una Sociedad Anónima (S.A), al igual que una sociedad Limitada (S.L.) o una Sociedad Colectiva (S.C.) es un tipo de empresa. Una Sociedad Anónima se caracteriza, entre otras cosas, porque su capital básico está distribuido en muchas partes, las acciones. Existen acciones con valor nominal constante (p. ej. cada una) como también las denominadas acciones con valor no nominal, en las que el titular posee una cantidad fija en la empresa (p. ej. / del capital). En Alemania predominan las acciones con valores constantes. Sin embargo este valor nominal no juega ningún papel esencial para el valor real de la acción (su precio o su cotización). La cotización de las acciones resulta principalmente de la oferta y la demanda de su correspondiente acción en el mercado de acciones, la bolsa. La bolsa es por norma general el lugar de comercio para las acciones. Existen bolsas en Frankfurt, Stuttgart, Londres y Nueva York entre otras. Aunque no todas las acciones son tratadas en bolsa. Existen también pequeñas sociedades anónimas, cuyas acciones se pueden comprar y vender sólo en determinados lugares, como por ejemplo en cajas de ahorros locales. El mecanismo de la oferta y la demanda se determina en primer lugar mediante dos factores: - mediante el nivel de su correspondiente dividendo por acción. Se trata de una estimación anual de los beneficios del titular de una acción de una parte de la empresa (como los intereses de las acciones ). El dividendo oscilará según el rendimiento de la empresa pudiendo por lo tanto alcanzar valores muy bajos. - mediante el (supuesto) potencial de la acción, para conseguir nuevos beneficios, lo que depende esencialmente de la situación económica de la empresa en el mercado.

9 07 La palabra acción viene de Holanda (su país de origen, véase en el repaso histórico) y se deriva de la palabra latina actio, que significa algo así como derecho exigible, y realmente una acción es algo parecido a un derecho sobre una parte de una Sociedad Anónima y de su correspondiente beneficio. Para más información se pueden dirigir a una documentación adecuada en el campo de la economía empresarial. Por qué se necesitan las acciones? Las acciones representan para las grandes empresas y empresarios una alternativa para la financiación externa (es decir, para los préstamos) en el mercado de capitales. La Sociedad Anónima obtiene capital mediante la venta de sus partes, de las acciones, conforme al nivel del precio de las acciones, que al contrario de los créditos no tienen que ser devueltos. Como compensación a este capital pagado, los accionistas reciben por una parte dividendos anuales así como el derecho al voto en decisiones importantes en asambleas anuales de todos los accionistas de la Sociedad Anónima. Pero este derecho al voto, debido a lo grande que son las Sociedades Anónimas, está limitado a grandes accionistas (es decir a los titulares de grandes paquetes de acciones o al titular de la totalidad de las acciones), cada uno de estos accionistas posee un voto por cada acción. Pues aunque sí es cierto que los pequeños accionistas poseen derecho al voto, pero en general la totalidad de estos votos no es suficiente para implementar resoluciones. A menudo es conveniente la edición de nuevas acciones o la fundación de una nueva Sociedad Anónima (por ejemplo por un cambio en el personal de una sociedad, que se quiere ampliar) para financiar grandes proyectos, que necesitan una enorme suma de capital, como por ejemplo la construcción de la primera vía férrea, o la creación de la primera sociedad de ultramar, o como ejemplo de actualidad, la construcción del Canal de la Mancha. Por qué se invierte en acciones? Las acciones representan un enorme riesgo de inversión debido tanto a la incertidumbre de sus respectivos dividendos anuales, como a las oscilaciones de su cotización. Por lo tanto sólo se adquieren acciones cuando, por ejemplo, una estimación personal del futuro desarrollo de la empresa prometa altos dividendos y un fuerte beneficio de su cotización, que en su totalidad ofrezcan claramente un rendimiento superior al de una inversión sin riesgo, como por ejemplo el tener dinero en un depósito a plazo fijo. En efecto, los beneficios de invertir en acciones son en general mayores a largo plazo (considerando de unos 0 a 0 años) que los de invertir en fondos sin riesgo, a pesar de sus continuas bajadas y subidas en su cotización. (Véase en el dibujo 4., y en el dibujo 6.) DAX (blau) Dibujo 4. Comparación del desarrollo del índice-dax con un interés del 7% anual

10 08 En general, se debe tener en cuenta independientemente de cómo de buena sea la estimación de las ganancias de las acciones elegidas que ninguna acción promete unas ganancias aseguradas, por lo tanto es posible perder una parte del dinero invertido. Así que se debe examinar cuidadosamente cada acción, si se quiere invertir inteligentemente. Algunos datos importantes de la historia de las acciones: - 60: Fundación de la primera Sociedad Anónima del mundo, La Compañía Holandesa de las Indias Orientales, en Holanda para financiar una sociedad de mercado de ultramar. - A finales del siglo 7: Aumento del mercado de acciones sobre todo en Inglaterra y Francia : Comercialización de la primera acción alemana, la Sociedad colonial de Prusia, en Berlín. - 79: Fundación (provisional) de la bolsa de Nueva York, a partir del año 863 denominada New York Stock Exchange : En Inglaterra podemos basar toda su transacción comercial en las Sociedades Anónimas : Se crea el primer índice de acción americano, el Railroad Average, que contiene las acciones de la sociedad de ferrocarriles : El índice de referencia de la bolsa alemana, Dow-Jones-Stock index, se calcula diariamente en la bolsa. - 99: Viernes negro ( caída de la bolsa ) el 5/0/99 en la bolsa de Nueva York : Edición de la primera acción alemana (PREUSSAG). - 96: Edición de la segunda acción alemana (VW) : Lunes negro, el 9/0/987, sorprendente caída en las bolsas internacionales : Se publica el índice alemán (DAX) : Las acciones de la Deutsche Telekom S.A entran en la bolsa : Todo el comercio electrónico de Xetra es publicado en la bolsa alemana S.A : El DAX alcanza el 7/3/000 su estado histórico más alto con 8064 puntos. Valores a interés fijo Al contrario que en las acciones, en los valores a interés fijo ya se conoce su comportamiento. Por lo general se invierte una determinada cantidad de dinero para un periodo de tiempo fijado y luego se obtiene, en intervalos regulares, una parte de los intereses acordados. Al final de este periodo de tiempo se obtiene nuevamente todo el capital. Ejemplos de valores a interés fijo son los bonos del tesoro, los bonos a largo plazo, las obligaciones industriales y los bonos u obligaciones del estado. También pueden ser considerados como valores a interés fijo el dinero guardado en un banco o en una caja de ahorros. A menudo se comparan los conceptos de valores a interés fijo y de valores sin riesgos. Pero esto sólo tiene sentido, cuando hablamos, de que el pago de los intereses y la devolución del capital están fijados de antemano. Los valores sin riesgos no implican seguridad absoluta, por ejemplo si se trata de empréstitos de una empresa muy débil o de los empréstitos de un país inestable y cargado de deudas, bajo determinadas circunstancias podrían desaparecer los pagos de intereses e incluso la devolución del capital. Los bonos a interés fijo que emiten los bancos son lo más parecido no tener riesgo, gracias a las estrictas reglas y al buen control de los bancos supervisores. Discusión 3: - Cuáles son las Sociedades Anónimas más importantes que existen? - Intenten con la ayuda de los periódicos y de internet encontrar, cuántas acciones han desembolsado determinadas Sociedades anónimas?. Calculen mediante la cotización actual en bolsa, cuanto dinero se debe invertir, para apoderarse de todas las acciones?. Discutan el significado de este valor.

11 09 - Pueden obtener más información en Internet, en periódicos y en libros de texto sobre los conceptos de acciones, empréstitos, Obligaciones y Bonos 4.4 Fundamentos matemáticos : Cálculo de intereses Intereses e intereses compuestos El titular de un valor a interés fijo obtiene regularmente unos determinados intereses acordados, referidos a su capital. Consideremos el capital inicial K 0 como una cantidad fija de dinero con unos intereses anuales de r %. Tras un año se obtendrá el siguiente capital final: r r K ( r;) = K0 + K0 = K Si se calcula el capital en los siguientes años, entonces se tiene que tener en cuenta que los intereses se abonan anualmente en el banco, de manera que en el transcurso del tiempo estos intereses también suben. Estos son los intereses de los intereses y se denominan intereses compuestos. Intereses anuales: Un capital de K 0, como cantidad inicial con un interés anual del r % que será invertido durante n años, da como resultado final con los intereses compuestos un capital de: n r K ( r; n) = K Además de este tipo de inversiones existen las de corto plazo. En las que existe la posibilidad de invertir una cantidad fija de dinero un mes o incluso algunos días. En este caso se observa que la tasa de interés es válida para todo un año, pero en inversiones a corto plazo la tasa es la correspondiente al periodo de tiempo de la inversión. Intereses de una inversión a corto plazo ( Intereses inferiores a un año ): Para un capital inicial K 0, invertido m meses, m, con un interés anual del r%, se obtiene un capital final de: r m K ( r; m,) = K Para un capital inicial K 0, invertido t días, t 360, con un interés anual del r%, se obtiene un capital final de: r t K ( r; t,) = K En la mayoría de los bancos un mes se considera como 30 días y un año como 360 días (de ahí los denominados intereses diarios). Además de la inversión y el ahorro de intereses, que actúan de alguna manera como recompensa por depositar un determinado capital en un banco, también existe una perspectiva opuesta. Como conclusión observamos que en un banco se puede tanto invertir dinero como pedir prestado. En este último caso se deben pagar al banco los denominados de intereses del crédito. En este caso, no es rentable para el prestamista, cuando después de transcurrir el

12 0 tiempo del crédito no se le pagan ni los intereses ni su capital. Estos intereses son zanjados por el prestamista y al pasar un tiempo determinado estos intereses crecen a su vez. El efecto del interés compuesto aumenta considerablemente la deuda. Se obtienen las mismas fórmulas que para el caso de dinero en depósito a plazo fijo, así que realmente un crédito es lo mismo que dinero a plazo fijo, con la diferencia de que se está en el otro lado de la transacción. ( Ej.4., Ej.4.) Intereses contínuos Cuando tenemos dinero en depósito a plazo fijo por ejemplo a tres meses, tras este periodo de tiempo no sólo recibimos nuevamente el capital sino también los intereses acumulados. En caso que los tipos de interés no hayan cambiado en este intervalo de tiempo, la suma total, es decir, el capital más los intereses, puede ser invertida de nuevo el mismo periodo de tiempo y con el mismo tipo de interés. De este modo tras un corto periodo de tiempo, el efecto de los intereses compuestos se incrementa. Intereses de una inversión a corto plazo repetida: Para un capital inicial K 0, que se invierte repetidamente j-veces junto con sus intereses m meses, m, con un interés anual del r%, se obtiene un capital final de: j r m K ( r; m, j) = K Para un capital inicial K 0, que se invierte repetidamente j-veces junto con sus intereses t días, t 360 (intereses diarios),con un interés anual del r%, se obtiene un capital final de: j r t K ( r; t, j) = K ( Ej.4.3) Examinemos ahora detalladamente un caso extremo: Un capital a corto plazo (día a día) se invierte 360-veces seguidas con un mismo tipo de interés. De un capital de 5000, que se invierte día a día con un interés anual del 4 % bajo las mismas condiciones, se obtiene tras un año 504,04 (redondeado): K ( 4;360,360) = = 504, Este capital final es claramente mayor que 500, que es el capital que se obtiene cuando este dinero se invierte por un año con el mismo tipo de interés anual de 4 %. Las cantidades pagadas diariamente y el capital con sus intereses correspondientes nos conducen mediante el efecto de los intereses compuestos a un elevado capital final. Se podría dividir el tiempo en intervalos aun más finos, una hora, un minuto e incluso un segundo. Se observa, que el capital final se mueve hacia un valor límite (por lo tanto finalmente sólo cambiará un poco). Se dice entonces, que este capital tiene un interés contínuo. Un capital a interés contínuo de 5000 con un tipo de interés del 4 % tras un año obtiene un capital final de 504,05 (redondeado): K ( ) ; = 5000 e = 504, 05387, s donde e es la base del logaritmo natural. Esta clase de tipo de interés es frecuente en bancos, y se denomina tipo de interés contínuo. La fórmula anterior se cumple para cualquier espacio de tiempo t [0, ), donde t se mide en años (p. ej. / años es t =,5).

13 Tipo de interés contínuo: Un capital inicial K 0, a un interés contínuo de r%, obtiene tras un tiempo t un capital final de: rs t K r ; t = K e 00. ( s ) 0 Dibujo 4. Comparación entre tipos de interés contínuo, anual y semestral (r=0,) En un crédito se debe prestar una atención especial cuando el prestamista propone el tipo de interés, bien sea un interés contínuo, anual o trimestral. Por este motivo en general se fijará siempre en un crédito un tipo de interés adicional denominado tipo de interés efectivo. El tipo de interés efectivo es aquel tipo de interés, que tras hacer los cálculos de intereses anuales conduce a la misma cantidad de dinero que con el tipo de interés ofertado (refiriéndose siempre a un año completo). Por ejemplo, dados los intereses de un determinado interés anual de un r% se propone un capital trimestral, y se obtiene así un tipo de interés efectivo r eff % determinado por la ecuación esto se compara con y se obtiene así ( ;3,4) ( ;) K r m = K r eff, 4 r eff r 3 K 0 + = K 0 +, r eff 4 r 3 = El tipo de interés efectivo traiciona, por así decirlo, a los verdaderos costes de un crédito. Cálculo del tipo de interés efectivo en el caso de interés contínuo: Sea una cantidad de dinero con un interés contínuo del r s %, se obtiene así el siguiente tipo de interés efectivo r eff % :

14 r eff rs = e Discusión 4: - Busquen información en internet, en periódicos o en bancos sobre los intereses a depósito fijo actuales y compárelos. - Busquen información en las diferentes cajas de ahorros de la construcción sobre los distintos intereses de crédito. Intenten determinar el tipo de interés efectivo. Ejercicios Ej.4. Una cantidad de dinero de K se invierte durante n años con un interés anual del r %. Calculen el capital final respecto a estos intereses anuales con intereses compuestos. a) K = 000, n = 5, r = 5 d) K = 0 000, n = 0, r =,5 b) K = 500, n = 0, r = 5 e) K = 500, n = 6, r = c) K = 3000, n =, r = 3,75 f ) K = , n = 9, r = 6,75 Ej.4. Una cantidad de dinero de K se invierte durante n meses con un interés anual del r%. Calculen el capital final. a) K = 000, n = 5, r = 5 d) K = 0 000, n =, r =,5 b) K = 500, n = 0, r = 5 e) K = 500, n = 6, r = c) K = 3000, n =, r = 3,75 f ) K = , n = 9, r = 6,75 Ej.4.3 Se invierte una cantidad de dinero durante un mes y luego con estos mismos intereses se vuelve a invertir en las mismas condiciones. Esta técnica de volver a invertir repetidas veces una tras otra será usada de forma que esta cantidad de dinero se invierta en total n meses. Calculen el capital final con respeto a unos intereses anuales del r %. a) K = 000, n = 5, r = 5 d) K = 0 000, n =, r =,5 b) K = 500, n = 0, r = 5 e) K = 500, n = 6, r = c) K = 3000, n =, r = 3,75 f ) K = , n = 9, r = 6,75 Ej.4.4 Se quieren invertir 3000 durante un año y se tiene la posibilidad de elegir entre unos intereses anuales del 5 % y un tipo de interés contínuo del 4,9 %. Qué tipo de interés conviene? Ej.4.5 Para un crédito superior a K se ha acordado un tipo de interés contínuo del r %. El tiempo de vida del crédito será de n meses. Antes de finalizar este periodo de tiempo debe pagarse el préstamo con sus intereses. Calculen la cantidad reembolsada. (Indicación: n = 60 de donde resulta t = 5.) a) K = 000, n = 60, r = 5 d) K = 0 000, n =, r =,5 b) K = 500, n = 0, r = 5 e) K = 500, n = 6, r = c) K = 3000, n = 4, r = 3,75 f ) K = , n = 9, r = 6,75 Ej.4.6 Comparen los resultados obtenidos en los ejercicios Ej.4., Ej.4., Ej.4.3 y Ej.4.5 siempre que sea posible. Ej.4.7 Para un crédito determinado se acordó un cálculo trimestral de intereses con un tipo de interés anual del r%. Calculen el tipo de interés efectivo si; a) r = 5 d) r =,5 b) r = 4, e) r = c) r = 3,75 f ) r = 6,75

15 3 Ej.4.8 Calculen para el tipo de interés contínuo del r % el interés efectivo. a) r = 8 d) r = 7,5 b) r = 0,9 e) r = 6,75 c) r = 3,75 f ) r = Ej.4.9 Determinen una fórmula para el cálculo del tipo de interés efectivo en un pago mensual de intereses. 4.5 Continuación de la discusión: Cotización de las acciones Cuando se trata de valores y acciones, Selina está en su salsa e informa con entusiasmo sobre todos los posibles detalles. Es sorprendente cuantas pequeñeces es capaz de recordar sobre este tema. Sin embargo olvida por completo ofrecer azúcar y nata para el té amargo y fuerte que se encuentra ante ellos. Selina: Esta mañana se abrió la acción Naturstromer en Frankfurt con 47,30, ese valor es realmente bajo. Cuando vi que estaban en Stuttgart a las 0 h en 48,0, pensé que debería vender mis propias acciones para obtener los beneficios, durante 5 minutos estuvieron en el mercado Xetra en 47,80,... eh, pero el café sabe fuerte. Nadine: No es eso exactamente lo que me interesa saber en estos momentos... Selina: De acuerdo. Aquí en mi periódico tengo un esquema sobre la cotización de las acciones en los últimos tres meses. Se muestra la evolución del precio de la acción día a día: Dibujo 4.3 (ficticio) La cotización de la acción Naturstromer S.A. Oliver: Qué barbaridad, en Agosto bajo rápidamente el valor de la acción, el 0 de agosto estaba por debajo de 40! Selina: Y ni siquiera un mes después, el 6 de septiembre, estaba por encima de 45. Desde el cambio en el consejo de administración de la S.A. la acción está mucho más solicitada. Nadine: Sí, según la tendencia parece subir. Tienes alguna otra información de esta acción, a parte de su evolución? Tienes quizás el penúltimo dividendo pagado y la rentabilidad del dividendo o algo similar?

16 4 Selina: Tanto el dividendo como la rentabilidad del dividendo son indicadores inapropiados para esta acción. En la última asamblea celebrada en agosto quedó mas o menos decidido, que no se repartiera nada a los accionistas. Pero no porque esta compañía fuera mal, sino porque todo el beneficio debía invertirse de nuevo. Las posibilidades de crecer son muy altas en estos momentos, por lo tanto merece la pena ampliar de nuevo la compañía. Según mi periódico, el mejor indicador para aquel que invierta en esta acción un capital inicial de K 0 se compara con el capital que se obtiene tras invertir este dinero un año: capital tras un año rentabilidad = K 0 K 0 Durante tres años esta acción tuvo una rentabilidad anual del 7.8 %, durante dos años del 8. % y el último año del 8 %. Tiene muy buenos tipos de interés! Mucho mayor que el tipo de interés tan bajo del 5 % de los depósitos a plazo fijo. Oliver: Se podría pensar entonces, que va a continuar de la misma forma. Estimo que podemos esperar una rentabilidad del 8 % para esta acción. Sebastian: Aunque la rentabilidad de esta acción no es nada segura. La cotización de esta acción y los pagos del dividendo oscilan mucho y dependen plenamente del azar. Selina: Pero la acción Naturstromer S.A. es relativamente estable, al contrario que la acción de Microsaft S.A., ésta baja enormemente después de un mal día en la bolsa. Sebastian: Claro, distintas acciones oscilan con distinta fuerza. Tenemos en alguna parte, datos de cómo son estas oscilaciones? Selina: En mi periódico dan la frecuencia y las intensas oscilaciones de la cotización durante un determinado periodo de tiempo con la medida de volatilidad. Aquí dice, que la acción Naturstromer S.A. en los últimos 50 días tenía una volatilidad del 0 %. Sebastian: Ah sí, la volatilidad! Un concepto más simple, esta volatilidad corresponde a la desviación típica de la rentabilidad anual. En efecto, con este valor se puede trabajar bien. Oliver: Mira aquí, la acción de Microsaft S.A. tiene una volatilidad del 40 %, por lo tanto la cotización de esta acción oscila visiblemente mucho más que la de la Naturstromer S.A.. Sin embargo la Vögelchen Milch S.A. tiene una volatilidad del 0 %, por lo que la cotización de esta acción varia por norma general muy poco. Selina: Deberías olvidarte de esta acción! Con ella no obtendrás ningún beneficio. Además su dividendo es siempre tan bajo que sería casi lo mismo invertir el dinero a plazo fijo. Se dice que la rentabilidad anual es inferior al 5 %. Por desgracia llegados a este punto se debe interrumpir esta discusión sobre las distintas acciones y sus posibilidades en el mercado. Ahora se debe hablar más sobre la casualidad o el azar, para que así se puedan entender los conceptos de esperanza y varianza. Y una vez repasados estos conocimientos, se puede continuar la discusión. Discusión 5: Para completar la discusión anterior se deben ver informes en los periódicos sobre las cotizaciones de las acciones comentarios en la televisión sobre la historia y el futuro de las acciones. Otros aspectos pueden ser: - Qué puede influir en el valor de una acción (p.ej: seguridad, rentabilidad anterior, las participaciones en una compañía, calidad de los dirigentes de la compañía, relación con otras acciones,...)?

17 5 - Infórmense en internet, en libros especializados y en periódicos sobre, cuántos términos existen para las acciones. - Observen la cotización actual de las acciones a través de periódicos. Estimen los valores aproximados para la rentabilidad ( mayores que los intereses a plazo fijo?) y volatilidad (en medidas de "pequeño, "normal, "muy grande ). Ejercicios Ej.4.0 Describan en las siguientes gráficas la cotización en estos 3 meses. Dibujo 4.4 La cotización de la acción Siemens S.A. 00 Dibujo 4.5 La cotización de la acción RWE S.A 00 Indicación: La volatilidad en 50 días de la acción de Siemens S.A. fue dada el..00 con un 53,49 %, y la de la acción de RWE S.A. con un 8,9 %. Comparen con estos valores la cotización de cada una de ellas. Ej.4. Intenten representar una cotización ficticio de la acción Vögelchen Milch S.A. que ya fue mencionada en la discusión. Observen, que la volatilidad y la rentabilidad esperada de esta acción son muy bajas. 4.6 Conceptos matemáticos básicos: Azar, esperanza y varianza Sobre el azar En la vida cotidiana hay pocas cosas que tengan tanto que ver con el concepto azar como la cotización de las acciones. Nadie parece poder predecir sus valores futuros con exactitud, aunque a menudo sí su tendencia. Esto se puede comparar con un partido de fútbol entre dos equipos muy fuertes, donde se puede deducir que ganará el mejor de los dos, pero nunca se puede predecir con seguridad. Más tarde presentaremos el correspondiente modelo para la cotización de las acciones, en el que se puede tener una visión aproximada sobre la tendencia de su desarrollo futuro, aunque no se pueda predecir su cotización exacta, en la cual el precio de una acción se modela como el resultado de un experimento aleatorio. Para comenzar, consideramos como ejemplo clásico de un experimento aleatorio, la tirada de un dado. Sabemos con seguridad, que obtendremos como resultado uno de estos valores {,,3,4,5,6}. En caso de un dado justo debe existir para cada uno de estos valores la misma probabilidad de ocurrir. Lo siguiente que nos podría interesar sería por ejemplo analizar el que salga un determinado valor del dado.

18 6 Para describir con exactitud este experimento se necesitan tres cosas: - El conjunto Ω de todos los resultados posibles del experimento, en este caso Ω = {,,3,4,5,6}. - El conjunto de todos los sucesos posibles. En este caso es el conjunto potencia de Ω, es decir, el conjunto de todos los subconjuntos de Ω, que denotamos como Ω ={A A Ω}. En el caso del ejemplo del dado tenemos que Ω ={{},..., {6}, {,},...,{,,3,4,5,6}}. - Las probabilidades P(A) de cada uno de los sucesos A Ω, en particular en el caso de los sucesos elementales tenemos: P({})=P({})=P({3})=P({4})=P({5})=P({6})=/6. El conjunto Ω de todos los resultados posibles queda descrito mediante una observación de la realización del experimento. Un suceso A Ω representa una clase de los resultados, p.ej. A={,4,6} representa, el suceso salir un número par. Las probabilidades existentes al tirar el dado se obtienen de la siguiente forma: Como tenemos seis resultados posibles y cada uno de ellos tiene la misma probabilidad de salir, a cada resultado se le debe asignar una probabilidad de /6. - Además nos interesa la consecuencia X(ω) del resultado ω Ω del experimento, en nuestro caso X(ω)=ω, es decir el número que sale en la tirada. Podríamos imaginarnos un juego en el que no nos interesara un número concreto, sino un determinado conjunto. Por ejemplo, podríamos participar en una apuesta, en la que en caso de salir un número par ganaríamos y si saliese un número impar perderíamos, de esta forma tendríamos como posibles resultados el par (i.e., 4, 6) y el impar (i.e., 3, 5) respectivamente, cuya consecuencia sería + o -. En este caso tendríamos X ( ω ) { } { } +, en caso de ω,4,6 =., en caso de ω,3,5 Definición: a) Un espacio de probabilidad (Ω, P) (finito) se compone de un conjunto no vacío Ω, del conjunto de sucesos, una medida de probabilidad P y una función P: Ω [0,], que a cada suceso A Ω le asigna un número P(A) [0,] y cumple que: (P) P( ) = 0 y P( Ω ) =. = + para A,B Ω con A B=. Los elementos ω Ω se denominan sucesos elementales. b) Una variable aleatoria (real) X de (el espacio de probabilidad finita) (Ω, P) es una aplicación X: Ω IR. (P) P( A B) P( A) P( B) En la definición le hemos impuesto a la probabilidad unas condiciones, que son muy sencillas. Así que la probabilidad de un suceso elemental está siempre entre cero y uno; el suceso seguro ( que ocurra algo ) tiene probabilidad uno y el suceso imposible el conjunto vacío tiene probabilidad cero. ( Ej.4.-5) Observación: Debido a que sólo vamos a considerar espacios de probabilidad finitos, hemos prescindido de la introducción del concepto de σ -Álgebra. Todas las consideraciones siguientes que se lleven a cabo, como por ejemplo la elección del conjunto potencia como σ -Álgebra, son correctas. La limitación de elegir un espacio de probabilidad finito nos permite tener una definición más simple de la medida de probabilidad, de manera que la (P) sólo debe cumplir la propiedad aditividad. Cálculo de probabilidades De la definición se obtienen unas reglas simples de cálculo para la probabilidad:

19 7 Reglas de cálculo para las probabilidades: En un espacio de probabilidad finito se cumple: =, a) Sea A Ω: P( A) P( { ω} ) ω A por lo tanto la probabilidad de un subconjunto de Ω se obtiene como suma la de las probabilidades de sus elementos. b) Para A, B Ω con A B = se cumple: P(A B) = P(A) + P(B). c) Para A, B Ω se cumple: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). d) Para A Ω se cumple: P (Ω \ A)= P(A). Observación:. Observamos que, debido a la regla de cálculo del apartado a) en los espacios de probabilidad finito, la medida de probabilidad queda unívocamente determinada por sus valores en los sucesos elementales. Por lo tanto, será suficiente dar estas probabilidades.. La demostración de la regla de cálculo anterior resulta directamente de la definición de medida de probabilidad. De esta forma se obtiene la regla a) mediante un uso inductivo de (P). La regla b) se obtiene de (P) y (P) tomando A=A y B=Ω \ A. La regla c) es una consecuencia de la regla a). Utilizando la regla a) en el ejemplo del dado tenemos: 3 P( {, 4, 6} ) = P( { } ) + P( { 4} ) + P( { 6} ) = =. 6 Esto significa que la probabilidad de que salga un número par al tirar el dado es /. Calculamos la probabilidad de que salga un número impar al tirar el dado mediante la regla d): P( Ω \ {,4,6} ) = P( {,4,6} ) = =, por lo tanto la probabilidad de que salga un número impar al tirar el dado es también /. ( Ej.4.6-7) Variables aleatorias Llama la atención que en el ejemplo del dado cada suceso posible tiene una probabilidad de ocurrir de /6. En la apuesta de ver si sale par o impar en realidad sólo nos interesan dos valores, es decir la ganancia de o la pérdida de, así pues los valores + o. A partir de ahora estos dos posibles valores ya no ocurren con probabilidad /6. La probabilidad buscada se obtiene de la siguiente manera: ({ }) ({ }) P( { X = } ) = P ω Ω X ( ω ) = = P,4,6 =, ({ }) ({ }) P( { X = } ) = P ω Ω X ( ω ) = = P,3,5 =, con estas igualdades se introduce de manera implícita la siguiente expresión { } { ( )} { }: ω ( ω ) X = k = Ω X = k = X k. Así pues las probabilidades de que la variable aleatoria X tome esos valores se obtienen mediante las probabilidades de los sucesos elementales. O expresado de otra manera, hemos distribuido los posibles resultados de la variable aleatoria con sus respectivas probabilidades,

20 8 definiendo así una nueva medida de probabilidad, la función de probabilidad de la variable aleatoria X. Definición: Sea la variable aleatoria X, definida en un espacio de probabilidad finito (Ω, P) y que toma los valores {x,..., x k }. Se dice que la siguiente medida de probabilidad ( ) ({ ω ( ω ) }),,,..., ({ }) { } P x = P X = x = P Ω X = x j = k, X j j j sobre los valores {x,..., x k } define la función de probabilidad de X. Discusión 5: Llegados a este punto antes de introducir los conceptos de esperanza y varianza - puede discutirse, cómo se puede agrupar la información, que contiene la función de probabilidad de una variable aleatoria real X, en unos determinados conceptos. Otras posibles alternativas a la esperanza pueden ser por ejemplo, la mediana (valor medio de un rango de valores de X) o la moda (valor más probable de X). Valores esperados En general asignamos a las variables aleatorias aquellos valores, en los que tenemos un especial interés al llevar a cabo el experimento, como por ejemplo la ganancia o la pérdida de en la apuesta del dado de par-impar. Cuando jugamos con frecuencia a este juego de azar queremos saber si se trata de un juego con unas buenas expectativas de ganar o si por el contrario se trata de un juego de pérdidas. En este caso particular parecen equilibrarse las ganancias y las pérdidas, siempre que tratemos con un dado justo. Por lo tanto nos inclinamos a clasificar este juego como un juego de ganancias-pérdidas alrededor de cero. Más emocionantes son los juegos telefónicos que organizan diariamente la mayoría de los canales televisivos. Merece realmente la pena, por ejemplo invertir cada día,90 por una llamada telefónica en la que puedes ganar 500? En este caso nuestra variable aleatoria sería X con valores X = -,90 y X = 498,0. Se puede clasificar esta variable aleatoria también del tipo ganancias-pérdidas? En general, una variable aleatoria queda unívocamente determinada mediante los datos de sus posibles valores y su correspondiente función de probabilidad. Cuando una variable aleatoria toma múltiples valores, nos interesa un comportamiento conjunto de sus valores. Existe quizás un tipo de valor medio, en torno al cual se distribuyen los valores de la variable aleatoria? Podemos elegir por ejemplo la media aritmética, pero esta medida tiene sentido sólo en el caso en el que todos los valores posean la misma distribucion (por lo tanto todos los sucesos con igual probabilidad). Sin embargo, como podemos observar en la realización del experimento, unos sucesos son más probables que otros. Para compensar este cálculo se construye con las probabilidades de cada uno de los valores de la variable aleatoria una media con pesos, la esperanza: Definición: Sea X una variable aleatoria del espacio de probabilidad finito (Ω, P), que toma los valores {x,..., x k }. Ω tiene n elementos. Entonces el valor n ( ) ( ) ( ω ) { ω } E X = X P = x p se denomina esperanza de X, donde p j PX { x j} i i j j i= j= ( ) =. k

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