Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales"

Transcripción

1 Uiversidad Atoio Nariño Matemáticas Especiales Guía N 1: Números Complejos Grupo de Matemáticas Especiales Resume Se preseta el cojuto de los úmeros complejos juto co sus operacioes y estructuras relacioadas. Se estudia la represetació geométrica de los complejos, su forma polar, sus raíces y potecias. 1. Geeralidades Los úmeros complejos surgiero a partir de la ecesidad de ecotrar solució a ecuacioes del tipo ax 2 + bx + c = 0 dode el discrimiate b 2 4ac es egativo. El ejemplo más claro se preseta al itetar resolver la ecuació x = 0, pues se ecesita u úmero tal que su cuadrado sea igual a 1 y e el cojuto de los úmeros reales o existe u úmero que satisfaga esta codició. Defiició 1. El cojuto de los úmeros complejos, deotado por C, está formado por todas las parejas ordeadas (a, b) de úmeros reales tales que: 1. (a, b) = (c, d) si y sólo si a = c y b = d (Igualdad). 2. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (Suma). (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) (Producto) El cojuto de los úmeros complejos C es u campo co las operacioes defiidas ateriormete, es decir, las propiedades comutativa, asociativa y distributiva so satisfechas. Además existe elemetos eutros e iversos: 1

2 (0, 0) es el elemeto eutro para la suma y (1, 0) lo es para la multiplicació. ( a, b) es el iverso( aditivo de (a, b), mietras que el iverso multiplicativo de (a, b) es a a 2 + b 2, b ) a 2 + b 2 siempre que a y b o sea ambos cero. El símbolo i represeta la uidad imagiaria y e este cotexto correspode a la pareja (0, 1). Notació. E lo que sigue, la pareja (a, b) será idetificada co z = a + bi. a es la parte real de z, otada como Re(z), y b la parte imagiaria de z, otada como Im(z). De esta maera (1, 0) es 1 y (0, 1) es i. Si la parte real de u úmero complejo es cero, el úmero es u imagiario puro, mietras que si la parte imagiaria es cero, el úmero es u real. Volviedo a la ecuació x = 0 y co base e la defiició de multiplicació dada, es secillo mostrar que i 2 = 1: i 2 = (0, 1)(0, 1) = ( 1, 0) = 1 Co base e la ueva otació, es posible redefiir la suma y el producto e C. Así, si z 1 = a + bi y z 2 = c + di etoces: z 1 + z 2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i z 1 z 2 = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i Para defiir el cociete z 1 z 2, se debe supoer que z 2 0 y se procede como sigue: z 1 = a + bi z 2 c + di (ac + bd) + (bc ad)i = c 2 + d 2 (a + bi)(c di) = (c + di)(c di) = ac adi + bci i2 bd c 2 cdi + cdi i 2 d 2 = ac + bd bc ad c d2 c 2 + d 2 i Ejemplo 2. Sea z 1 = 2 + i, z 2 = 7 4i, z = 2 5i. 2

3 z 1 + z = ( 2 + i) + (2 5i) = ( 2 + 2) + ( 5)i = 0 2i = 2i z 1 z 2 = ( 2 + i) (7 4i) = i + 21i 12i 2 = i z 1 z 2 ( 2 + i) (7 4i) = z 2 5i = 4 i + 58i + 145i2 4 + i i 25i 2 = i ( i)(2 + 5i) = = 2 5i (2 5i)(2 + 5i) i = i Las potecias de úmeros complejos co expoetes eteros se defie de la misma forma que e el caso de los úmeros reales. Además, para z, z 1, z 2 C y, m Z se satisface las siguietes propiedades: 1. z 0 = 1, siempre que z z z m = z +m.. (z ) m = z m. 4. (z 1 z 2 ) = z 1 z z = 1, siempre que z 0. z Ejemplo (Potecias de la uidad imagiaria). i 0 = 1 i 1 = i i 2 = 1 i = i 2 i = ( 1)i = i i 4 = i i = ( i)i = 1 Nótese que para las potecias de i sólo hay cuatro valores distitos: 1, i, 1, i. E geeral para Z se tiee que i 4 = 1 i 4+1 = i (1) i 4+2 = 1 i 4+ = i

4 Ejemplo 4. Muestre que (1 + i) 250 = i. E efecto, (1 + i) 250 = [ (1 + i) 2] 125 = (1 + 2i + i 2 ) 125 = (2i) 125 = i 125 = i, ya que 125 = 4(1) + 1. Defiició 5. Sea z = x + yi C. El cojugado complejo de z, otado como z se defie como z = x iy. Si z, z 1, z 2 C etoces las siguietes propiedades so secillas de verificar: 1. z = z. 2. z 1 + z 2 = z 1 + z 2.. z 1 z 2 = (z 1 ) z z 1 z 2 = z 1 z 2. Como cosecuecia, z 2 = z 2 y e geeral z = z para N. ( ) z1 5. = z 1, siempre que z 2 0. z 2 z 2 6. Re(z) = z + z Im(z) = z z 2i Ejemplo 6 (Raíces cojugadas de poliomios). Muestre que si z 0 es ua raíz del poliomio P (z) = a z + a 1 z a 1 z + a 0 dode todos los coeficietes a 0, a 1,..., a so úmeros reales, etoces z 0 tambié es ua raíz del poliomio P (z). 4

5 Como z 0 es ua raíz de P (z) etoces P (z 0 ) = 0. El objetivo es mostrar que P (z 0 ) = 0. P (z 0 ) = a z 0 + a 1 z a 1 z 0 + a 0 = a z 0 + a 1z a 1 z 0 + a 0 = a z 0 + a 1z a 1 z 0 + a 0 = a z 0 + a 1z a 1 z 0 + a 0 = P (z 0 ) = 0 = 0. Defiició 7. Sea z = x + yi. El módulo, orma o magitud de z se defie como z = x 2 + y 2. Para z, z 1, z 2 C, se tiee las siguietes propiedades: 1. z 0. Además, z = 0 si y sólo si z = z 2 = x 2 + y 2 = z z.. z = z. 4. z 1 + z 2 z 1 + z 2 (Desigualdad triagular). La igualdad se tiee si z 1 = αz 2, co α R. 5. z 1 z 2 = z 1 z z 1 = z 1 z 2, siempre que z 2 0. z 2 7. Re(z) z y Im(z) z. 2. Represetació geométrica A partir de la defiició iicial dada del campo de los úmeros complejos C, este puede ser visto como el producto cartesiao R R. De esta maera, el plao complejo se represeta gráficamete por el plao cartesiao R 2, dode el eje X es asociado al eje real y el eje Y correspode al eje imagiario. 5

6 El úmero complejo z = x + yi es represetado e el plao complejo por el vector co puto iicial e el orige y puto fial e (x, y) (Ver Figura 1). Si z = x + yi etoces z = x 2 + y 2 es precisamete la logitud del vector. E geeral, la distacia etre dos úmeros complejos z 1 y z 2 está dada por z 1 z 2 = z 2 z 1. Eje imagiario y z = x + yi z 0 x Eje real Figura 1: Represetació geométrica de z = x + yi Dado que se puede pesar e u úmero complejo como u vector e R 2, etoces la suma de dos complejos z 1 + z 2 puede hallarse geométricamete como la diagoal del paralelogramo formado por ellos dos (Ver Figura 2). z 2 z 1 + z 2 z 1 0 Figura 2: Suma gráfica de úmeros complejos Alguas regioes especiales del plao complejo puede ser escritas e térmios del módulo. Por ejemplo: 6

7 r r r z 0 z 0 z Figura : Regioes especiales e el plao complejo 1. El cojuto {z C : z z 0 = r} represeta ua circuferecia co cetro e z 0 y radio r. 2. El cojuto {z C : z z 0 < r} represeta u disco abierto cetrado e z 0 y co radio r.. El cojuto {z C : z z 0 r} represeta u disco cerrado co cetro e z 0 y radio r. A cotiuació se preseta alguos ejemplo de otras regioes e el plao complejo. Ejemplo Cosidérese la ecuació geeral z w 1 = z w 2 dode w 1, w 2 C so fijos. Gráficamete esta ecuació represeta el cojuto de putos z que está a la misma distacia de w 1 y de w 2, es decir, los putos que está e la bisectriz perpedicular al segmeto que ue a w 1 co w 2. Por ejemplo, si z + 6i = z 1 + i etoces la ecuació de la recta sobre la cual está los putos z deseados se obtiee como sigue: z + 6i 2 = z 1 + i 2 (z + 6i)(z 6i) = (z 1 + i)(z 1 i) 6i(z z) + 6 = (z + z) i(z z) + tomado z = x + iy se tiee que z + z = 2x y z z = 2iy, etoces 6i(2iy) + 6 = 2x i(2iy) + y = 1 (x + 1) 7

8 1 i 6i y = 1 (x + ) 2. Cosidérese ahora las desigualdades z + 6i < z 1 + i y z + 6i z 1+i. La primera represeta aquellos putos que está más cerca (a meor distacia) de 6i que de 1 i si icluir la recta, mietras que la seguda sí icluye los putos que está sobre la recta. 1 i 1 i 6i 6i Figura 4: Regioes z + 6i < z 1 + i y z + 6i z 1 + i. Forma polar de u úmero complejo Sea z = x + yi u úmero complejo. Al ubicar el vector correspodiete a z e el plao complejo y deotar por r a la magitud de z y por θ al águlo que se forma co el eje real: etoces x = r cos θ y y = r se θ 8

9 z = x + yi r = z y = r se θ 0 θ x = r cos θ y de esta maera la forma polar de z es Si z 0, etoces se tiee las relacioes cos θ = x z, z = r (cos θ + i se θ) (2) se θ = y z y ta θ = y x El águlo θ se deomia argumeto de z y se deota como arg(z). Como las fucioes seo y coseo so periódicas, el argumeto resulta ser ua fució multivaluada, esto es, puede tomar muchos valores. E este caso toma todos los águlos equivaletes a θ: arg(z) = {θ + 2π : Z} Cuado se escoge θ de tal maera que π < arg(z) π, etoces éste águlo se cooce como argumeto pricipal de z y se deota por Arg(z). Ejemplo 9. Ecuetre la forma polar de cada uo de los siguietes úmeros complejos: 1. z = + i. Iicialmete se calcula el módulo de z: r = z = + i = ( ) = 4 = 2. Como se θ = 1 2 y cos θ = 2 etoces θ está e el primer cuadrate y ( ) 1 θ = arcta = 0 = π 6, luego arg(z) = { π 6 + 2π, Z} y así la forma polar de + i es ( ( π ) ( π )) z = 2 cos + i se. 6 6 () 9

10 2. z = 2 + 2i. El módulo de z está dado por r = z = 2 + 2i = ( 2) = 2 2. Dado que se θ = 2 2 = y cos θ = 2 2 = etoces θ está e el segudo cuadrate y ( ) 2 θ = 180 arcta = 180 arcta(1) = = 15 = π 2 4, luego arg(z) = { π 4 + 2π; Z} y de esta maera la forma polar de z = 2 + 2i es z = 2 2 ( cos ( ) π + i se 4 ( )) π. 4. z = 1 i. Se calcula primero el módulo de z: r = z = 1 i = (1) 2 + ( ) 2 = 4 = 2 Ahora bie, se θ = 2 y cos θ = 1 2, etoces θ está e el cuarto cuadrate y ( ) θ = 60 arcta = = 00 = 5π 1, de dode arg(z) = { 5π + 2π, Z}. Si elegimos θ = π etoces la forma polar de z = 1 i es z = 2 ( cos ( π ) i se ( π )). De esta maera, depediedo del cuadrate e el que se ecuetre el águlo θ (hecho que se puede idetificar a partir de los sigos de se θ y cos θ) se puede recurrir a las siguietes fórmulas para determiarlo, tomado siempre x, y > 0, Primer cuadrate Segudo cuadrate Tercer cuadrate Cuarto cuadrate ( y θ = arcta x) ( y θ = 180 arcta x) ( y θ = arcta x) ( y θ = 60 arcta x)

11 .1. Producto y cociete de úmeros complejos e forma polar El producto y el cociete de úmeros complejos puede efectuarse de maera más secilla a partir de la forma polar de los úmeros. Sea z 1 = r 1 (cos θ 1 + i se θ 1 ) y z 2 = r 2 (cos θ 2 + i se θ 2 ), dode r 1 = z 1, r 2 = z 2, θ 1 = arg(z 1 ) y θ 2 = arg(z 2 ). A partir de las fórmulas para el seo y el coseo de ua suma y ua diferecia de águlos, se puede verificar las relacioes: de dode y z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos(θ 1 + θ 2 ) + i se(θ 1 + θ 2 )], (4) z 1 = r 1 [cos(θ 1 θ 2 ) + i se(θ 1 θ 2 )], z 2 0, z 2 r 2 arg(z 1 z 2 = arg(z 1 ) + arg(z 2 ) + 2π, Z ( ) z1 arg = arg(z 1 ) arg(z 2 ) + 2π, Z z 2 z 1 z 2 = r 1 r 2 = z 1 z 2 z 1 = r 1 = z 1 r 2 z 2 z 2 De la fórmula (4) y usado u argumeto de iducció se puede demostrar el siguiete resultado otable: Teorema (Teorema de Moivre). Para cada Z, (cos θ + i se θ) = cos(θ) + i se(θ). (5) Ejemplo 11. Calcule ( + i ) 5. Del ejemplo aterior se tiee que la forma polar de + i es [ ( π ) ( π )] z = 2 cos + i se, 6 6 etoces usado el teorema de Moivre co = 5 se tiee que ( ) 5 { [ ( π ) ( π )]} [ ( 5 + i = 2 cos + i se = 2 5 5π cos ) + i se ( )] 5π 6 11

12 4. Raíces de úmeros complejos Sea w u úmero complejo fijo y sea u etero positivo. Las raíces -ésimas de w so, por defiició w 1 := {z C : z = w}, es decir, si z es ua raíz -ésima de w etoces z = w. Si w = w (cos θ + i se θ) y z = z (cos φ + i se φ), etoces a partir del teorema de Moivre y de la relació z = w se sigue que z [cos(φ) + i se(φ)] = w (cos θ + i se θ) de dode cos(φ) = cos θ φ = θ + 2kπ z = w φ = θ + 2kπ y z = w para algú k Z. Por lo tato las raíces -ésimas de w so { [ ( ) ( )] } w 1 = θ + 2kπ θ + 2kπ w cos + i se ; k = 0, 1,..., 1 (6) Nota 1. La igualdad (w m ) 1 = (w 1 ) m es válida si y sólo si y m so primos relativos. Ejemplo 12 (Raíces -ésimas de la uidad). Ecuetre las raíces -ésimas de la uidad y demuestre que su suma es cero. E primer lugar, 1 = 1 (cos 0 + i se 0), etoces de (6) se sigue que ( ) ( ) } kπ 0 + 2kπ = {cos + i se ; k = 0, 1,..., 1 { ( ) ( ) } 2kπ 2kπ = cos + i se ; k = 0, 1,..., 1 Sea ω = cos ( ) ( 2π +i se 2π ), etoces por el teorema de Moivre, las raíces - ésimas de la uidad so 1, ω, ω 2,..., ω 1. Además, 1 + ω + ω ω 1 = ω 1 ω 1 = 0 12

13 ya que ω = 1 y ω 1. Las raíces -ésimas de la uidad so los vértices de u polígoo regular de lados iscrito e la circuferecia uitaria {z C : z = 1}. Por ejemplo, para = 6 las raíces sextas de 1 so 1 = cos 0 + i se 0 ( π ) ( π ) ω = cos + i se ( ) ( ) 2π 2π ω 2 = cos + i se ω = cos (π) + i se (π) ( ) ( ) 4π 4π ω 4 = cos + i se ( ) ( ) 5π 5π ω 5 = cos + i se y gráficamete correspode a los vértices del hexágoo regular ω 2 ω ω 1 ω 4 ω 5 Ejemplo 1. Ecuetre las raíces cuartas de i. E primer lugar, i = 1 [ cos ( ) ( π 2 + i se π )] 2. Etoces de (6) se sigue que ( π i 1 4 = 2 {cos + 2kπ ) ( π 2 + i se + 2kπ ) } ; k = 0, 1, 2, 4 4 { ( π ) ( π ) ( ) ( ) 5π 5π = cos + i se, cos + i se, ( ) ( ) ( ) ( )} 9π 9π 1π 1π cos + i se, cos + i se Ejemplo 14. Resuelva la ecuació z + 4 = 0. Resolver esta ecuació equivale a ecotrar z tal que z = 4, esto es, 1

14 ecotrar las raíces décimas de 4 = 4 (cos π + i se π). De (6) se sigue que { ( 4) [ ( ) ( )] } 1 π + 2kπ π + 2kπ = 4 cos + i se ; k = 0, 1, 2,..., 9 { = [ ( π ( π 4 cos + i se, ) )] [ ( ) ( )] π π 4 cos + i se, [ ( ) ( )] 5π 5π 4 cos + i se, [ ( ) ( )] 7π 7π 4 cos + i se [ ( ) ( )] 9π 9π 4 cos + i se, [ ( ) ( )] 11π 11π 4 cos + i se, [ ( ) ( )] 1π 1π 4 cos + i se, [ ( ) ( )] 15π 15π 4 cos + i se, [ ( ) ( )] 17π 17π 4 cos + i se, [ ( ) ( )]} 19π 19π 4 cos + i se. Además, estas raíces correspode gráficamete a los vértices de u decágoo regular iscrito e la circuferecia {z C; z = 4}. Bibliografía [1] R.V. Churchill, Variable compleja co aplicacioes, McGraw-Hill, New York [2] Peter V. O Neil, Matemáticas avazadas para igeiería, Iteratioal Thomso Editores, S.A. Quita Edició [] W. Alle Smith, Elemetary Complex Variables, Charles E. Merrill Publishig Compay,

Ejemplo: 0+0i y -3+0i representan los números reales 0 y 3 respectivamente. Si a=0 se considera un número imaginario puro a 0+bi

Ejemplo: 0+0i y -3+0i representan los números reales 0 y 3 respectivamente. Si a=0 se considera un número imaginario puro a 0+bi u_miii.doc EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS: No eiste u úmero real que satisfaga la ecuació +0 Para resolver este tipo de ecuacioes es ecesario itroducir el cocepto de úmero complejo. U úmero complejo

Más detalles

Tema 1: Números Complejos

Tema 1: Números Complejos Números Complejos Tema 1: Números Complejos Deició U úmero complejo es u par ordeado (x, y) de úmeros reales Éste puede iterpretarse como u puto del plao cuya abscisa es x y cuya ordeada es y El cojuto

Más detalles

Los números complejos

Los números complejos Los úmeros complejos Los úmeros complejos Forma biómica Defiició z = a + bi, o bie, z = (a, b) siedo a la parte real y b la parte imagiaria. a = r cos α b = r se α Opuesto z = a bi Cojugado z = a bi Represetació

Más detalles

con operacion inversa la resta (suma de opuestos) y una operacion producto escalar, que no es interna,

con operacion inversa la resta (suma de opuestos) y una operacion producto escalar, que no es interna, Tema 9 El plao complejo 9. Números complejos E IR, las operacioes suma producto de úmeros reales so operacioes iteras (el resultado de operar es otro úmero real) que permite la existecia de operacioes

Más detalles

Números complejos Susana Puddu

Números complejos Susana Puddu Números complejos Susaa Puddu 1. El plao complejo. E el cojuto C = IR IR defiimos la suma y el producto de dos elemetos de C de la siguiete maera a, b + c, d = a + c, b + d a, b.c, d = ac bd, ad + bc Dejamos

Más detalles

INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS

INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS Capítulo INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS Problema Calcula las partes real e imagiaria de los siguietes úmeros complejos: a) i + + i, b) + i i + i + i + i, c) d) + i), + ), + i e) f) ) + i 04, i +

Más detalles

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS APLICACIONES.

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS APLICACIONES. AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS APLICACIONES. Ejemplo 1. La ecuació poliómica x 2 + 2x + 2 = 0, co coeficietes reales, tiee dos solucioes complejas cojugadas: 1 + i y 1 i. Este o es u hecho aislado. Proposició

Más detalles

Los números complejos ( )

Los números complejos ( ) Los úmeros complejos (15.06.016) 1. Itroducció Estas otas se propoe u doble objetivo. Co los apartados a 8 se pretede dar uas ocioes básicas sobre los úmeros complejos que ayude a fijar los coceptos expuestos

Más detalles

Unidad I: Números Complejos

Unidad I: Números Complejos Uidad I: Números Complejos INTRODUCCIÓN Desde Al'Khwarimi (800 DC), quie fuera precursor del Álgebra, sólo se obteía las solucioes de las raíces cuadradas de úmeros positivos El matemático italiao Girolamo

Más detalles

1 SISTEMA DE NUMEROS COMPLEJOS

1 SISTEMA DE NUMEROS COMPLEJOS UNIVERSIDAD DEL VALLE FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Prof DORIS HINESTROZA SISTEMA DE NUMEROS COMPLEJOS Sea C el cojuto de parejas ordeadas (a, b) deúmeros reales, esto es C = {(a, b)

Más detalles

1. Definiciones y propiedades básicas - C como extensión de R.

1. Definiciones y propiedades básicas - C como extensión de R. Facultad de Ciecias Exactas, Igeiería y Agrimesura Departameto de Matemática - Escuela de Ciecias Exactas y Naturales ÁLGEBRA y GEOMETRÍA ANALÍTICA I Liceciatura e Física - 2015 Equipo docete: Viviaa del

Más detalles

LOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En

LOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En LOS NUMEROS REALES Cojuto o vacío desigado como R y deomiado cojuto de los úmeros reales. E él se defie ua relació de igualdad = y dos operacioes algebraicas + y. Relació de igualdad Defiició: R = (a,b)

Más detalles

Números reales Números. irracionales. Figura 3.1. Construcción del conjunto de los números complejos.

Números reales Números. irracionales. Figura 3.1. Construcción del conjunto de los números complejos. Números Complejos El cojuto de los úmeros complejos La supremacía de los úmeros reales como cojuto umérico máximo duró poco; o existe u úmero real a que satisfaga la ecuació x 2 + a = 0. Para ello, es

Más detalles

Límite y Continuidad de Funciones.

Límite y Continuidad de Funciones. Límite Cotiuidad de Fucioes. Eleazar José García. eleagarcia9@hotmail.com. Límite de ua fució.. Defiició de límite de ua fució.. Ifiitésimo.. Ifiitésimos equivalete.. Límite por la izquierda.. Límite por

Más detalles

Estalmat. Real Academia de Ciencias. Curso 2005/2006. Dinámica compleja. Conjuntos de Julia y Mandelbrot. Método de Newton. Miguel Reyes Mayo 2006

Estalmat. Real Academia de Ciencias. Curso 2005/2006. Dinámica compleja. Conjuntos de Julia y Mandelbrot. Método de Newton. Miguel Reyes Mayo 2006 Estalmat. Real Academia de Ciecias. Curso 5/6 Diámica compleja Cojutos de Julia y Madelbrot. Método de Newto. Miguel Reyes Mayo 6 Los úmeros complejos Los úmeros complejos so los úmeros de la forma dode

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral vectorial a la física

Aplicaciones del cálculo integral vectorial a la física Aplicacioes del cálculo itegral vectorial a la física ISABEL MARRERO epartameto de Aálisis Matemático Uiversidad de La Lagua imarrero@ull.es Ídice 1. Itroducció 1 2. Itegral doble 1 2.1. Motivació: el

Más detalles

Unidad 1: Números Complejos

Unidad 1: Números Complejos Uidad 1: Números Complejos 11 Itroducció Además de los cojutos de úmeros aturales, eteros, racioales y reales existe el cojuto de úmeros complejos que juega u rol importate o solo e matemáticas sio e las

Más detalles

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL 1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL 1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. DEFINICIONES DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES. Ua fució de variable es u cojuto de pares ordeados de la forma

Más detalles

FUNCIONES. ( a) IGUALDAD DE FUNCIONES Sí y son dos funciones, diremos que las funciones f y

FUNCIONES. ( a) IGUALDAD DE FUNCIONES Sí y son dos funciones, diremos que las funciones f y CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE 04 FUNCIONES Sí A y B so dos cojutos o vacío, ua fució de A e B asiga a cada elemeto a perteeciete al cojuto A u úico elemeto b de B que deomiamos image de a. Además diremos

Más detalles

1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS E el leguaje matemático, se deomia expresioes algebraicas a toda combiació de letras y/o úmeros viculados etre si por las operacioes de suma, resta, multiplicació y poteciació de

Más detalles

INECUACIONES. Ejemplo: La desigualdad 2x+l>x+5, es una inecuación por que tiene una incógnita "x" que se verifica para valores mayores que 4.

INECUACIONES. Ejemplo: La desigualdad 2x+l>x+5, es una inecuación por que tiene una incógnita x que se verifica para valores mayores que 4. INECUACIONES DEFINICIÓN: Ua iecuació es ua desigualdad e las que hay ua o más catidades descoocidas (icógita) y que sólo se verifica para determiados valores de la icógita o icógitas. Ejemplo: La desigualdad

Más detalles

Números complejos. Un cuerpo conmutativo es un conjunto de números que pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse.

Números complejos. Un cuerpo conmutativo es un conjunto de números que pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse. Núeros coplejos 1. Cuerpos U cuerpo coutativo es u cojuto de úeros que puede suarse, restarse, ultiplicarse y dividirse. Los úeros racioales, esto es, los úeros que puede escribirse e fora de fracció,

Más detalles

Los vectores desempeñan un papel importante en Matemáticas, Física e Ingeniería y actualmente en materias como procesamiento de imágenes.

Los vectores desempeñan un papel importante en Matemáticas, Física e Ingeniería y actualmente en materias como procesamiento de imágenes. ESPACIOS VECTORIALES 1. INTRODUCCIÓN Escalares y Vectores E la técica existe catidades como Logitud, Área, Volume, Temperatura, Presió, Masa, Potecial, Carga eléctrica que se represeta por u úmero real.

Más detalles

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas RADICACIÓN: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES Ates de etrar e el tema Radicació, vamos a comezar por recordar u poco sore Poteciació: Saemos que e lugar de escriir, utilizamos la otació: de Poteciació, dode el

Más detalles

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES.

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.1. -ESPACIOS VECTORIALES Sea u cojuto V, etre cuyos elemetos (a los que llamaremos vectores) hay defiidas dos operacioes: SUMA DE DOS ELEMENTOS DE V: Si u, v V, etoces

Más detalles

6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES

6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES 6. Sucesioes y Series uméricas 6.. Sucesioes uméricas 6... DEFINICIONES Sucesioes de úmeros reales Se llama sucesió de úmeros reales a cualquier lista ordeada de úmeros reales: a, a 2, a 3,..., a,...,

Más detalles

DERIVADA DE FUNCIONES DEL TIPO f ( x) c, donde c es una constante, la derivada de esta función es siempre cero, es decir:

DERIVADA DE FUNCIONES DEL TIPO f ( x) c, donde c es una constante, la derivada de esta función es siempre cero, es decir: DERIVADA DE FUNCIONES DEL TIPO f ( ) c Coceptos clave: 1. Derivada de la fució costate f ( ) c, dode c es ua costate, la derivada de esta fució es siempre cero, es decir: f '( ) 0 c. Derivada de ua fució

Más detalles

3. Volumen de un sólido.

3. Volumen de un sólido. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Itegrales y aplicacioes.. Volume de u sólido. E esta secció veremos cómo podemos utilizar la itegral defiida para calcular volúmees de distitos tipos

Más detalles

IES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11

IES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11 IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como

Más detalles

CLAVES DE CORRECCIÓN GUÍA DE EJERCITACIÓN FACTORES Y PRODUCTOS PREGUNTA ALTERNATIVA Nivel

CLAVES DE CORRECCIÓN GUÍA DE EJERCITACIÓN FACTORES Y PRODUCTOS PREGUNTA ALTERNATIVA Nivel x Estimado alumo: Aquí ecotrarás las claves de correcció, las habilidades y los procedimietos de resolució asociados a cada preguta, o obstate, para reforzar tu apredizaje es fudametal que asistas a la

Más detalles

UNIDAD 2 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

UNIDAD 2 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior UNIDAD Ecuacioes Difereciales Lieales de Orde Superior. Defiició Ua ecuació diferecial lieal de orde tiee la forma: d y a a a a y= g d d d Si las fucioes a a so todas costates (o cero) etoces se dice que

Más detalles

Tema 1 Los números reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1

Tema 1 Los números reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1 Tema 1 Los úmeros reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1 TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES 1.1 LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL INTRODUCCIÓN: Los úmeros racioales: Se caracteriza porque puede expresarse: E forma

Más detalles

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª Sea a, b y eteros positivos tales que a b y ab Prueba que a b 4 Idica justificadamete cuádo se alcaa la igualdad Supogamos que el resultado a demostrar fuera falso

Más detalles

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de

Más detalles

MOSAICOS Y POLIEDROS REGULARES. UN PUNTO DE VISTA FUNCIONAL. Resumen: En este artículo se muestra como las transformaciones de funciones resultan

MOSAICOS Y POLIEDROS REGULARES. UN PUNTO DE VISTA FUNCIONAL. Resumen: En este artículo se muestra como las transformaciones de funciones resultan MOSAICOS Y POLIEDROS REGULARES. UN PUNTO DE VISTA FUNCIONAL Viceç Fot Departamet de Didàctica de les CCEE i de la Matemàtica de la Uiversitat de Barceloa Resume: E este artículo se muestra como las trasformacioes

Más detalles

Tema 3.- Números Complejos.

Tema 3.- Números Complejos. Álgebra. 200-2005. Igeieros Idustriales. Departameto de Matemática Aplicada II. Uiversidad de Sevilla. Tema 3.- Números Complejos. Los úmeros complejos. Operacioes. Las raíces de u poliomio real. Aplicacioes

Más detalles

LAS SERIES GEOMÉTRICAS Y SU TENDENCIA AL INFINITO

LAS SERIES GEOMÉTRICAS Y SU TENDENCIA AL INFINITO LA ERIE GEOMÉTRICA Y U TENDENCIA AL INFINITO ugerecias al Profesor: Al igual que las sucesioes, las series geométricas se itroduce como objetos matemáticos que permite modelar y resolver problemas que

Más detalles

Convolución. Dr. Luis Javier Morales Mendoza. Procesamiento Digital de Señales Departamento de Maestría DICIS - UG

Convolución. Dr. Luis Javier Morales Mendoza. Procesamiento Digital de Señales Departamento de Maestría DICIS - UG Covolució Dr. Luis Javier Morales Medoza Procesamieto Digital de Señales Departameto de Maestría DICIS - UG Ídice.. Itroducció... Aálisis de Sistemas Discretos Lieales e Ivariates e el Tiempo.... Técicas

Más detalles

Olimpiadas Matem aticas, U. de A.

Olimpiadas Matem aticas, U. de A. OLIMPIADAS DE MATEMATICA, 04 Uiversidad de Atioquia Cotextos AVISO: Los textos aquí publicados so resposabilidad total de sus creadores Estos so materiales e costrucció Errores y/o cometarios por favor

Más detalles

Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 Dr. Carlos Juan Rodríguez Matemática 3º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 Primer Trimestre

Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 Dr. Carlos Juan Rodríguez Matemática 3º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 Primer Trimestre Escuela Pública Eperimetal Descocetrada Nº Dr. Carlos Jua Rodríguez Matemática º Año Ciclo Básico de Secudaria Teoría Nº Primer Trimestre Cojuto de los úmeros racioales Los úmeros racioales so aquellos

Más detalles

APLICACIONES INFORMÁTICAS EN QUÍMICA. Problemas Tema 2.3: Series, representación de funciones y construcción de tablas en HC.

APLICACIONES INFORMÁTICAS EN QUÍMICA. Problemas Tema 2.3: Series, representación de funciones y construcción de tablas en HC. APLICACIONES INFORMÁTICAS EN QUÍMICA Problemas Tema 2.3: Series, represetació de fucioes y costrucció de tablas e HC Grado e Química º SEMESTRE Uiversitat de Valècia Facultad de Químicas Departameto de

Más detalles

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Funciones de una variable. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Funciones de una variable. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación Matemáticas EJERCICIOS RESUELTOS: Fucioes de ua variable Elea Álvarez Sáiz Dpto. Matemática Aplicada y C. Computació Uiversidad de Catabria Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios:

Más detalles

Figuras geométricas y números enteros. Introducción

Figuras geométricas y números enteros. Introducción Revista del Istituto de Matemática y Física Figuras geométricas y úmeros eteros Juaa Cotreras S. 6 Claudio del Pio O. 7 Istituto de Matemática y Física Uiversidad de Talca Itroducció Etre las muchas relacioes

Más detalles

Funciones de variable compleja

Funciones de variable compleja Tema 10 Fucioes de variable compleja 10.1 Fucioes complejas de variable compleja Defiició 10.1 Ua fució compleja de variable compleja es ua aplicació f: A C dode A C. Para cada z A, fz) C, luego fz) =

Más detalles

Técnicas para problemas de desigualdades

Técnicas para problemas de desigualdades Técicas para problemas de desigualdades Notas extraídas del libro de Arthur Egel [] 5 de marzo de 00 Medias Comezamos co dos de las desigualdades más básicas pero al mismo tiempo más importates Sea x,

Más detalles

Negativos: 3, 2, 1 = 22. ab/c 11 Æ 18

Negativos: 3, 2, 1 = 22. ab/c 11 Æ 18 Los úmeros reales.. Los úmeros reales El cojuto de los úmeros reales está formado por los úmeros racioales y los irracioales. Se represeta por la letra Los úmeros racioales so los úmeros eteros, los decimales

Más detalles

13. FACTORIZACIÓN GAUSSIANA Y CUERPOS CUADRÁTICOS

13. FACTORIZACIÓN GAUSSIANA Y CUERPOS CUADRÁTICOS .. Teoría de los úmeros algebraicos. Teoría de los úmeros algebraicos. La teoría algebraica de los úmeros es la rama de la teoría de los úmeros e la cual el cocepto de úmero se expade a los úmeros algebraicos,

Más detalles

4 ALGEBRA DE BOOLE. 4.1 Introducción. 4.2 Axiomas. (a) a + b = b + a (b) a b = b a. (a) a + (b c) = (a + b) (a + c) (b) a (b + c) = a.

4 ALGEBRA DE BOOLE. 4.1 Introducción. 4.2 Axiomas. (a) a + b = b + a (b) a b = b a. (a) a + (b c) = (a + b) (a + c) (b) a (b + c) = a. Arquitectura del Computador 4 ALGEBRA DE BOOLE 4. Itroducció. El álgebra de Boole es ua herramieta de fudametal importacia e el mudo de la computació. Las propiedades que se verifica e ella sirve de base

Más detalles

MATE1214 -Calculo Integral Parcial -3

MATE1214 -Calculo Integral Parcial -3 MATE114 -Calculo Itegral Parcial -3 Duració: 60 miutos 1. Cosidere la curva paramétrica descrita por = te t, y = 1 + t. Halle la pediete de la recta tagete a esta curva cuado t = 0.. Calcular la logitud

Más detalles

TEMARIO DE MATEMÁTICAS [ ]

TEMARIO DE MATEMÁTICAS [ ] TEMARIO DE MATEMÁTICAS [2015-16] TEMA 9: NÚMEROS COMPLEJOS. APLICACIONES GEOMÉTRICAS. I. NÚMEROS COMPLEJOS I.1. PLANO COMPLEJO I.1.A. INMERSIÓN DE ú EN I.1.B. UNIDAD IMAGINARIA I.1.C. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA

Más detalles

El tema de este capítulo es el estudio de las sucesiones de números reales. Una sucesión no es más que un conjunto ordenado de números.

El tema de este capítulo es el estudio de las sucesiones de números reales. Una sucesión no es más que un conjunto ordenado de números. Capítulo 3 Sucesioes 3 Defiicioes Geerales El tema de este capítulo es el estudio de las sucesioes de úmeros reales Ua sucesió o es más que u cojuto ordeado de úmeros Por ejemplo, 2, 4, 6, 8, 0, 2,, 2,

Más detalles

SERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos.

SERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos. CAPÍTULO IX. SERIES NUMÉRICAS SECCIONES A. Series de térmios o egativos. B. Ejercicios propuestos. 40 A. SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS. Dada ua sucesió {a, a 2,..., a,... }, se llama serie de térmio

Más detalles

INTERÉS SIMPLE COMO FUNCIÓN LINEAL.

INTERÉS SIMPLE COMO FUNCIÓN LINEAL. INTERÉS SIMPLE COMO FUNCIÓN LINEAL. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Grafica las fucioes Moto e Iterés: a) C = + 0, co C e miles de pesos ; : meses y R. Para graficar estar fucioes, debemos dar valores a, por

Más detalles

Tema 1.1: El cuerpo de los números complejos. Módulo y argumento de un número complejo

Tema 1.1: El cuerpo de los números complejos. Módulo y argumento de un número complejo Tema 1.1: El cuerpo de los úmeros complejos. Módulo y argumeto de u úmero complejo Facultad de Ciecias Experimetales, Curso 2008-09 Erique de Amo, Uiversidad de Almería Notació. N deotará el cojuto de

Más detalles

Medidas de Tendencia Central

Medidas de Tendencia Central 1 Medidas de Tedecia Cetral La Media La media (o promedio) de ua muestra x 1, x,, x de tamaño de ua variable o característica x, se defie como la suma de todos los valores observados e la muestra, dividida

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas

Sistemas de Ecuaciones Lineales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas Sistemas de Ecuacioes Lieales M. e I. Gerardo Avilés Rosas Octubre de 206 Tema 5 Sistemas de Ecuacioes Lieales Objetivo: El alumo formulará, como modelo matemático de problemas, sistemas de ecuacioes lieales

Más detalles

Tema 8 Límite de Funciones. Continuidad

Tema 8 Límite de Funciones. Continuidad Tema 8 Límite de Fucioes. Cotiuidad 1. Operacioes co límites. Los límites de las sucesioes a b, c, d y e so los idicados e la tabla siguiete:, a b c d e - 0 1 Di cual es el límite de: a) lim( a b ) c)

Más detalles

NÚMEROS COMPLEJOS: UNA PRESENTACIÓN GRÁFICA

NÚMEROS COMPLEJOS: UNA PRESENTACIÓN GRÁFICA NÚMEROS COMPLEJOS: UNA PRESENTACIÓN GRÁFICA José Luis Soto Muguía Departameto de Matemáticas Uiversidad de Soora. INTRODUCCIÓN. Desde los primeros años de la escuela, el estudiate se efreta e matemáticas

Más detalles

TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA. En los problemas de Programación Lineal nos encontraremos con:

TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA. En los problemas de Programación Lineal nos encontraremos con: TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA.- Itroducció E los problemas de Programació Lieal os ecotraremos co: - Fució Objetivo: es la meta que se quiere alcazar, y que será la fució a

Más detalles

Números naturales, enteros y racionales

Números naturales, enteros y racionales Tema 2 Números aturales, eteros y racioales Estudiamos e este tema los úmeros reales que podemos ver como los más secillos e ituitivos. Empezamos detectado detro de R a los úmeros aturales, a partir de

Más detalles

Sistemas de Segundo Orden

Sistemas de Segundo Orden Apute I Departameto de Igeiería Eléctrica Uiversidad de Magallaes Aputes del curso de Cotrol Automático Roberto Cárdeas Dobso Igeiero Electricista Msc. Ph.D. Profesor de la asigatura Este apute se ecuetra

Más detalles

Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series.

Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series. CÁLCULO Igeiería Idustrial. Curso 2009-200. Departameto de Matemática Aplicada II. Uiversidad de Sevilla. Lecció 5. Series. Resume de la lecció. 5.. Sucesioes y series. Sucesió covergete. Se de e ua sucesió

Más detalles

TEOREMA DE PITAGORAS

TEOREMA DE PITAGORAS TEOREMA DE PITAGORAS INTRODUCCION El Teorema de Pitágoras lleva este ombre porque su descubrimieto recae sobre la escuela pitagórica. Ateriormete, e Mesopotamia y el Atiguo Egipto se coocía teras de valores

Más detalles

Importancia de las medidas de tendencia central.

Importancia de las medidas de tendencia central. UNIDAD 5: UTILICEMOS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. Importacia de las medidas de tedecia cetral. Cuado recopilamos ua serie de datos podemos resumirlos utilizado ua tabla de clases y frecuecias. La iformació

Más detalles

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO / TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como ua fució que asiga

Más detalles

PROGRESIONES ARITMETICAS

PROGRESIONES ARITMETICAS PROGRESIONES ARITMETICAS DEF. Se dice que ua serie de úmeros está e progresió aritmética cuado cada uo de ellos (excepto el primero) es igual al aterior más ua catidad costate llamada diferecia de la progresió.

Más detalles

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. _ xi

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. _ xi EDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. EDIA ARITÉTICA. Es la medida más coocida y tambié es llamada promedio se obtiee sumado todos los valores de la muestra o població, dividida etre el total de elemetos que cotiee

Más detalles

LAS SUCESIONES Y SU TENDENCIA AL INFINITO

LAS SUCESIONES Y SU TENDENCIA AL INFINITO LAS SUCESIONES Y SU TENDENCIA AL INFINITO Sugerecias al Profesor: Resaltar que las sucesioes geométricas ifiitas so objetos matemáticos que permite modelar alguos procesos ifiitos, y que a la vez su costrucció

Más detalles

5n la Unidad 4 hemos estudiado las razones trigonométricas de un ángulo y sus relaciones;

5n la Unidad 4 hemos estudiado las razones trigonométricas de un ángulo y sus relaciones; UNIDAD Fucioes trigoométricas y úmeros complejos la Uidad hemos estudiado las razoes trigoométricas de u águlo y sus relacioes; E e esta vamos a estudiar las fucioes circulares a que da lugar las mecioadas

Más detalles

PAGINA Nº 80 GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJOS PRACTICOS Nº 14

PAGINA Nº 80 GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJOS PRACTICOS Nº 14 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº 4 PAGINA Nº 80 GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJOS PRACTICOS Nº 4 OBJETIVOS: Lograr que el Alumo: Resuelva correctamete aritmos y aplique sus propiedades. Resuelva ecuacioes epoeciales.

Más detalles

OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES

OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES MATERIAL DIDÁCTICO DE PILOTAJE PARA ÁLGEBRA 2 OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES ÍNDICE DE CONTENIDO 2. Suma, resta, multiplicació y divisió 6 2.1. Recoociedo la estructura de moomios y poliomios 6

Más detalles

BINOMIO DE NEWTON página 171 BINOMIO DE NEWTON

BINOMIO DE NEWTON página 171 BINOMIO DE NEWTON págia 171 Los productos otables tiee la fialidad de obteer el resultado de ciertas multiplicacioes si hacer dichas multiplicacioes. Por ejemplo, cuado se desea multiplicar los biomios cojugados siguietes:

Más detalles

A = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta.

A = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta. . POTENCIAS DE MATRICES CUADRADAS E este capítulo vamos a tratar de expoer distitas técicas para hallar las potecias aturales de matrices cuadradas. Esta cuestió es de gra importacia y tiee muchas aplicacioes

Más detalles

Figura 8.1: Ejemplos de conjuntos de índices.

Figura 8.1: Ejemplos de conjuntos de índices. Capítulo 8 Cojuto de ídices Defiició 8.1 (Cojuto de ídices) Sea I u cojuto, tal que para cada i I se tiee u cojuto A i U. El cojuto I se deomia cojuto de ídices y cada i I es u ídice. (a) Los ídices so

Más detalles

Si la razón es q, y el primer termino es a, la progresión se escribe. POR LO TANTO EL ENÉSIMO TÉRMINO DE UNA P.G SE DETERMINA A PARTIR DE:

Si la razón es q, y el primer termino es a, la progresión se escribe. POR LO TANTO EL ENÉSIMO TÉRMINO DE UNA P.G SE DETERMINA A PARTIR DE: Ua progresió es geométrica, si cada termio después del primero se obtiee multiplicado el aterior por u valor costates Este valor costate se llama razó geométrica (q) E geeral: a a : a......... a ; 3 Si

Más detalles

Qué es la estadística?

Qué es la estadística? Qué es la estadística? La estadística tiee que ver co la recopilació, presetació, aálisis y uso de datos para tomar decisioes y resolver problemas. Qué es la estadística? U agete recibe iformació e forma

Más detalles

Está dividida cada área con un texto básico, actividades y trabajos individuales.

Está dividida cada área con un texto básico, actividades y trabajos individuales. MATEMÁTICA Este libro de Matemática Zapadí (9º año), correspode al último libro del Tercer Ciclo de la Educació Geeral Básica Abierta, el cual está dividido e cuatro áreas de coocimietos para este ivel.

Más detalles

Mó duló 21: Sumatória

Mó duló 21: Sumatória INTERNADO MATEMÁTICA 16 Guía del estudiate Mó duló 1: Sumatória Objetivo: Coocer y aplicar propiedades para el cálculo de sumatorias. Para calcular alguas sumatorias es ecesario coocer sus propiedades

Más detalles

Probabilidad FENÓMENOS ALEATORIOS

Probabilidad FENÓMENOS ALEATORIOS Probabilidad FENÓMENOS ALEATORIOS E el mudo real hay feómeos regidos por leyes de tipo empírico (basadas e la experiecia), lógico o deductivo, e los que el efecto está determiado por ciertas causas. El

Más detalles

PALABRAS CLAVES: Cadena de Markov, Martingala y Valores propios.

PALABRAS CLAVES: Cadena de Markov, Martingala y Valores propios. Scietia et Techica Año IV, No 39, Septiembre de 2008 Uiversidad Tecológica de Pereira ISSN 0122-1701 459 PROPIEDADES DE LA MATRIZ Properties of the matrix EN UNA CADENA DE MARKOV i a Markov chai RESUMEN

Más detalles

1.1. Campos Vectoriales.

1.1. Campos Vectoriales. 1.1. Campos Vectoriales. Las fucioes, ampliamete empleadas e la igeiería, para modelar matemáticamete y caracterizar magitudes físicas, y cuyo domiio podría ser multidimesioal, puede teer u rago uidimesioal

Más detalles

Polinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios

Polinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios Poliomios Defiició de poliomio y sus propiedades U poliomio puede expresarse como ua suma de productos de fucioes de x por ua costate o como ua suma de térmios algebraicos; es decir U poliomio e x es ua

Más detalles

Acá surge una duda cuántos valores de cada variable debemos medir? La respuesta no es obvia. Supongamos que decidimos tomar 3 medidas

Acá surge una duda cuántos valores de cada variable debemos medir? La respuesta no es obvia. Supongamos que decidimos tomar 3 medidas CARACTERIZACION DE UN SISTEMA FISICO. Obteció de la relació fucioal etre dos variables Para poder eteder los feómeo o procesos que tiee lugar e u dado sistema ecesitamos ecotrar las variables que le produce

Más detalles

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) Algebra uiversitaria UNIDAD III. POLINOMIOS 3.. Técicas elemetales para buscar raíces Recordado la defiició de raíz U poliomio P(x) tiee ua raíz r si y solo si P(r) = 0. Recordar el teorema de factorizació

Más detalles

Sucesiones de números reales

Sucesiones de números reales Sucesioes de úmeros reales Defiició y propiedades Sucesioes de úmeros reales 4 4 Defiició y propiedades 47 4 Sucesioes parciales 49 43 Mootoía 50 44 Sucesioes divergetes 53 45 Criterios de covergecia 54

Más detalles

ECUACIONES DIFERENCIALES Problemas de Valor Frontera

ECUACIONES DIFERENCIALES Problemas de Valor Frontera DIVISIÓN DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DPTO. TERMODINÁMICA Y FENÓMENOS DE TRANSFERENCIA MÉTODOS APROXIMADOS EN ING. QUÍMICA TF-33 ECUACIONES DIFERENCIALES Problemas de Valor Frotera Esta guía fue elaborada

Más detalles

PROGRESIONES ARITMÉTICAS.-

PROGRESIONES ARITMÉTICAS.- PROGRESIONES ARITMÉTICAS.- Ua progresió aritmética es ua sucesió de úmeros tales que cada uo de ellos, excepto el primero, se obtiee sumado al aterior ua costate d, que se deomia diferecia de la progresió.

Más detalles

6. Sucesiones y Series numéricas Series numéricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES

6. Sucesiones y Series numéricas Series numéricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES 6. Sucesioes y Series uméricas 6.2. Series uméricas 6.2.. DEFINICIONES Y PROPIEDADES Series de úmeros reales Se llama serie umérica o de úmeros reales a la suma idicada de los ifiitos térmios de ua sucesió:

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS. t +

EJERCICIOS RESUELTOS. t + BXX5744_07 /6/09 4: Págia 49 EJERCICIOS RESUELTOS Calcula la tasa de variació media de la fució f() = + e los itervalos [, 0] y [0, ], aalizado el resultado obteido y la relació co la fució. La fució f()

Más detalles

Prácticas de Física Aplicada a las Ciencias de la Salud Curso 2015/16. Óptica geométrica

Prácticas de Física Aplicada a las Ciencias de la Salud Curso 2015/16. Óptica geométrica Óptica geométrica. Objetivos Familiarizar al alumo co coceptos básicos e óptica geométrica, tales como los feómeos de reflexió, refracció o reflexió total. Comprobació de la Ley de Sell. Características

Más detalles

Transformada Z. Transformada Z. Señales y sistemas discretos (1) Señales y sistemas discretos (2)

Transformada Z. Transformada Z. Señales y sistemas discretos (1) Señales y sistemas discretos (2) Trasformada Z La trasformada Z es u método tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas cotiuos

Más detalles

Números naturales, enteros y racionales

Números naturales, enteros y racionales Tema 2 Números aturales, eteros y racioales Estudiamos e este tema los úmeros reales que podemos ver como los más secillos e ituitivos. Empezamos detectado detro de R a los úmeros aturales, a partir de

Más detalles

TEMA 26 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS. APLICACIONES.

TEMA 26 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS. APLICACIONES. Tema 6 Derivada de ua ució e u puto Fució derivada Derivadas sucesivas Aplicacioes TEMA 6 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO FUNCIÓN DERIVADA DERIVADAS SUCESIVAS APLICACIONES ÍNDICE INTRODUCCIÓN DERIVADA

Más detalles

ÁLGEBRA ELEMENTAL. Un término es una expresión algebraica que sólo contiene productos y cocientes (es decir, no aparecen sumas o restas).

ÁLGEBRA ELEMENTAL. Un término es una expresión algebraica que sólo contiene productos y cocientes (es decir, no aparecen sumas o restas). ÁLGEBRA ELEMENTAL 1.- EXPRESIONES ALGEBRAICAS (GENERALIDADES) 1.1.- Alguas defiicioes Ua epresió algebraica es ua epresió matemática que cotiee úmeros, letras que represeta úmeros cualesquiera sigos matemáticos

Más detalles

Señales y sistemas discretos (1) Transformada Z. Definiciones

Señales y sistemas discretos (1) Transformada Z. Definiciones Trasformada Z La trasformada Z es u método para tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas

Más detalles

Análisis de Señales en Geofísica

Análisis de Señales en Geofísica Aálisis de Señales e Geofísica 3 Clase Frecuecia de los Sistemas Lieales e Ivariates Facultad de Ciecias Astroómicas y Geofísicas, Uiversidad Nacioal de La Plata, Argetia Fucioes y Valores Propios Defiició:

Más detalles

TEMA 5: INTERPOLACIÓN

TEMA 5: INTERPOLACIÓN 5..- ITRODUCCIÓ TEMA 5: ITERPOLACIÓ Supogamos que coocemos + putos (x,y, (x,y,..., (x,y, de la curva y = f(x, dode las abscisas x k se distribuye e u itervalo [a,b] de maera que a x x < < x b e y k = f(x

Más detalles

Figura 1. Se dice que un subespacio vectorial F de E es A-invariante si los vectores u de F siguen estando en F al transformarse por A, esto es,

Figura 1. Se dice que un subespacio vectorial F de E es A-invariante si los vectores u de F siguen estando en F al transformarse por A, esto es, VALORES Y VECORES PROPIOS Y LA REDUCCION DE CÓNICAS A) EL PROBLEMA PROPIO oda matriz cuadrada A de orde co elemetos (reales o complejos) es u operador lieal que actúa sobre el espacio vectorial E, dimesioal,

Más detalles

SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES

SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES www.matesxroda.et José A. Jiméez Nieto SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. TÉRMINO GENERAL E las siguietes figuras observa el proceso que lleva a la creació de uevos

Más detalles

INTEGRALES DE RIEMANN

INTEGRALES DE RIEMANN NOTAS PARA LOS ALUMNOS DE ANALISIS MATEMATICO III INTEGRALES DE RIEMANN Ig. Jua Sacerdoti Departameto de Matemática Facultad de Igeiería Uiversidad de Bueos Aires 00 INDICE.- INTEGRAL..- INTRODUCCIÓN..-

Más detalles