Desafío. Propiedades de los números racionales GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA GUICEN038MT21-A17V1

Transcripción

1 PROGRAMA ENTRENAMIENTO Propiedades de los números racionales Desafío Un número n, en los enteros positivos, tiene un total de p divisores positivos distintos. Luego, es correcto afirmar que si GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA I) p = 2, entonces n es un número primo. II) p =, entonces n es un cuadrado perfecto. III) p = 4, entonces n es un cubo perfecto. Es (son) verdadera(s) GUICEN08MT21-A17V1 A) solo I. B) solo I y II. C) solo II y III. D) I, II y III. E) ninguna de ellas. Resolución Mis observaciones 1

2 Programa Entrenamiento - Matemática Marco teórico Introducción El conjunto universo en matemática corresponde a los números complejos (C). Entre ellos es posible distinguir los números imaginarios (I) y los números reales (R). Este último, a su vez se divide en dos grandes conjuntos: Los números racionales (Q) son aquellos que pueden escribirse como una fracción de números enteros, con denominador distinto de cero, lo que incluye a... Los números irracionales (Q*) son aquellos que NO pueden escribirse como una fracción de números enteros, lo que incluye a los números enteros (Z), las fracciones, los números decimales finitos y los números decimales infinitos con periodicidad (periódicos y semiperiódicos).... los números decimales infinitos sin periodicidad (por ejemplo, raíces y logaritmos inexactos, π, etc.). A los enteros positivos también se les conoce como conjunto de los naturales (N). Si a los naturales se agrega el cero, resulta el conjunto de los cardinales (N 0 ). 2

3 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Características de los enteros Todos los enteros se clasifican como pares o impares, (el cero es un número par). Además, todo entero tiene un antecesor y un sucesor. Cada número par tiene un antecesor par y un sucesor par. Asimismo, cada número impar tiene un antecesor impar y un sucesor impar. Divisores (o factores) de un número entero son los números enteros que lo dividen en forma exacta. Múltiplos de un número entero son todos los números que resultan al multiplicar dicho número por cualquier otro número entero. El máximo común divisor (M.C.D.) entre dos o más números enteros positivos, es el mayor de los divisores que los números tengan en común. El mínimo común múltiplo (m.c.m.) entre dos o más números enteros positivos, es el menor de los múltiplos que los números tengan en común. Un número entero positivo es divisible por... : si la suma de sus cifras es múltiplo de. 5: si su última cifra es 0 ó 5. 6: si es divisible por 2 y por a la vez. 7: si al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 2 y restarla de las cifras restantes, la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 7. 10: si su última cifra es 0. Los números primos son aquellos números enteros positivos que solo son divisibles por 1 y por sí mismos. El 1 no es un número primo. Si dos números enteros positivos no tienen factores primos en común, se dice que son primos relativos entre sí.

4 Programa Entrenamiento - Matemática Ejercicios PSU A continuación, se presentan los siguientes ejercicios, de los cuales sugerimos responder el máximo posible y luego, junto a tu profesor(a), revisar detalladamente las preguntas más representativas, correspondientes a cada grado de dificultad estimada. Solicita a tu profesor(a) que resuelva aquellos ejercicios que te hayan resultado más complejos. 1. Sean p un número entero positivo y m el inverso aditivo del sucesor de p. Cuál(es) de las siguientes operaciones resulta(n) siempre en un número positivo? I) El cuociente entre el inverso aditivo de p y el inverso multiplicativo de m. II) La diferencia entre la mitad de p y el antecesor de m. III) El producto entre el inverso multiplicativo de p y el sucesor de m. A) Solo II D) Solo II y III B) Solo I y II E) Ninguna de ellas. C) Solo I y III 2. Sean a, b y c tres números enteros distintos de cero y distintos entre sí. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) La expresión a b pertenece a los números enteros. II) a (b + c) = c (a + b) III) a + (b + c) = (a + b) + c A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III. Sea a b un número racional, con a, b y c números reales distintos de cero. Cuál(es) de las c siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) Si a es un número racional, entonces (b c) es un número racional. II) III) Si b es un número racional, entonces c a Si c es un número racional, entonces a b es un número racional. es un número racional. A) Solo I D) Solo I y II B) Solo II E) I, II y III C) Solo III 4

5 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 4. Sean a, b y c números enteros positivos distintos entre sí, cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) siempre un número racional NO entero? I) II) III) a b a c 1 a + 1 b + 1 c b c + c a A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) Ninguna de ellas. 5. Sea k un elemento cualquiera del conjunto P = {0, 1, 2} y m un elemento cualquiera del conjunto Q = { 2, 1}. Una operación cuyos resultados están siempre dentro del conjunto P Q es I) k + m II) k m III) k m Es (son) verdadera(s) A) solo I. B) solo II. C) solo I y II. D) solo I y III. E) ninguna de ellas. 6. Se puede concluir que p es un número positivo, si: (1) p es positivo. (2) (p 5) es negativo. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 5

6 Programa Entrenamiento - Matemática 7. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) La suma de cuatro números enteros consecutivos resulta un número par. II) El cuadrado de un número entero es positivo. III) La suma entre el antecesor y el sucesor de un número entero es igual al doble de dicho número. A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 8. Qué resultado se obtiene si al inverso aditivo de ( 4 ) se le resta el sucesor de ( )? A) 1 4 B) 16 C) 10 D) 11 4 E) Sean p 1, p 2, p, p 4,, p n los n menores números primos, con n mayor que 2. Cuál de los siguientes números siempre es un número primo? A) p 1 p 2 p p n 5 D) p 1 p 2 p p n + 1 B) p 1 p 2 p p n E) p 1 p 2 p p n + C) p 1 p 2 p p n Considerando los números enteros, se obtiene un número par siempre que se I) suman dos números pares y luego se le resta un número impar. II) resta un número par del producto entre un número impar y un número par. III) multiplica un número impar por la suma entre dos números impares. Es (son) verdadera(s) A) solo II. B) solo I y II. C) solo I y III. D) solo II y III. E) I, II y III. 6

7 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 11. Sea p un número real tal que su inverso aditivo es un número racional positivo NO entero. Un valor posible para el inverso multiplicativo de p es A) 0, B) 2 C) 1,5 D) 0,5 E) 1, 12. Se puede determinar que el número entero p es par, si: (1) El cuádruple de p es par. (2) El quíntuple de p es par. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 1. Se define D como el conjunto de los divisores de 78. Qué fracción del conjunto D corresponde a números primos? A) 1 D) 1 2 B) 8 E) 4 7 C) Sean k y m dos números enteros positivos, tales que 4 m = 1 afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? k. Cuál(es) de las siguientes I) k es divisor de 4. II) 5m es múltiplo de 10. III) (m k) es divisor de 6m. A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 7

8 Programa Entrenamiento - Matemática 15. La suma entre todos los números primos mayores que 7 y menores que 2 es divisible por I) 6 II) 10 III) 15 Es (son) verdadera(s) A) solo I y II. B) solo I y III. C) solo II y III. D) I, II y III. E) ninguna de ellas. 16. Si m es un número par positivo, cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A) (6m + 12) es un número divisible por 4. B) ( 7m ) es un número entero. C) (m + 1) es un número impar. D) (5 m) es un número negativo. E) 2(2m + 2) es un número divisible por Sea n un número entero positivo de tal manera que 6n es un número divisible por 15. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) n es un número divisible por. II) 2n es un número divisible por 10. III) n es un número divisible por 6. A) Solo I D) I, II y III B) Solo II E) Ninguna de ellas. C) Solo II y III 18. Sean a, b y c tres números primos tales que b > a y a + b = c. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) a = 2. II) (b c) es un número par. III) (b c) es un número impar. A) Solo I D) Solo II y III B) Solo III E) I, II y III C) Solo I y III 8

9 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 19. Sean a y b dos números primos tales que a + b = 50, con a < b. Cuál de los siguientes valores de b produce el menor valor para la expresión (b 40) (9 a)? A) 1 B) 41 C) 47 D) 7 E) Sean a y b dos números enteros positivos. Se puede determinar el máximo común divisor entre ellos, si: (1) a y b son números pares consecutivos. (2) La suma entre a y b es 0. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 21. Sean p y m dos números enteros tales que 1 < m < p. Se puede afirmar que p es un múltiplo de m, si: (1) El doble de p es un múltiplo de 6m. (2) (p + m) es un múltiplo de m. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. Estrategia de síntesis Completa cada una de las oraciones presentadas a continuación con alguno de los siguientes conceptos: enteros positivos, racionales, inverso aditivo, inverso multiplicativo, múltiplo divisor, par e impar. i) 12 es de 72, ya que el cociente entre 72 y 12 es 6. ii) El de 0,2 es 5, debido al valor que se obtiene a partir del producto entre estos números. iii) Si n es un número entero, entonces (4n + ) es siempre un número. iv) El conjunto de los números naturales se conoce también como el conjunto de los. 9

10 Programa Entrenamiento - Matemática 22. Sean a, b y c números reales positivos. Si el recíproco de a es mayor que el recíproco de b y el opuesto de b es mayor que el opuesto de c, el orden correcto es A) a > b > c D) b > c > a B) a > c > b E) c > b > a C) b > a > c 2. Cuál(es) de las siguientes desigualdades es (son) verdadera(s)? I) 5 12 < 5 11 II) 0,11 < 1 9 III) 0,24 < 0,24 A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III 24. Si a =, b = 5 y c = 4, cuál de las siguientes desigualdades es verdadera? A) B) C) D) E) c a < a c a b < b c c b < b c b c < b a b a < a b 25. El conjunto de todos los números que están a lo más a unidades de 2 y a lo más a 4 unidades de es A) ], 7] B) [1, 5] C) ], 1] D) [ 7, 5] E) [ 1, 1] [5, + [ [1, + [ 10

11 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 26. El sueldo mensual que recibe una persona varía entre $ a y $ b, con a < b. El gasto mensual de la persona varía entre $ p y $ q, con p < q < a. Si la persona ahorra todo el dinero que no gasta, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) Si en enero obtuvo el sueldo máximo, entonces el dinero ahorrado pertenece al intervalo [b q, b p]. II) Si en marzo tuvo los mayores gastos, entonces el dinero ahorrado pertenece al intervalo [a q, b q]. III) Si en agosto tuvo un sueldo $ c, con a < c < b, entonces el dinero ahorrado pertenece al intervalo [c q, c p]. A) Solo III B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 27. Cuál de las siguientes desigualdades es correcta? A) B) C) > 1,4 > 14 > 4,6 > > 14 >,6 D) 4,6 > 22 6 > 1 9 E) 1 9 > 22 6 > Según la recta numérica figura adjunta, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) ac < bd II) a d > b c III) (d b) (c a) > 0 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III 1 a 0 b c a b d 1 11

12 Programa Entrenamiento - Matemática 29. Si a < 0 y b > 0, con a b, cuál de las siguientes expresiones es siempre positiva? A) a 2 b 2 B) C) a 2 b 2 a + b a 2 b 2 a b D) b 2 a 2 E) b 2 a 2 a + b 0. Si d y e son números reales, tales que (d + 2) < e, cuál(es) de los siguientes intervalos se encuentra(n) completamente contenido(s) en el intervalo [d, e]? I) [d + 2, e] II) [d 1, e] III) [d, e 2] A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) Ninguno de ellos. 12

13 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Torpedo Números Este torpedo resume aquellos conceptos de Educación Básica necesarios para comprender los contenidos de este eje temático. Revísalo y estúdialo, ya que te podría ser de utilidad al momento de la ejercitación. Conjuntos numéricos Naturales (N): {1, 2,, 4, } Enteros (Z): {,, 2, 1, 0, 1, 2,, } Racionales (Q): son aquellos que pueden escribirse como fracción. Irracionales (Q*): son aquellos que no pueden escribirse como fracción. Reales (R): unión entre el conjunto Q y Q*. Imaginarios (I): son de la forma bi, con b un número real e i la unidad imaginaria. Complejos (C): son de la forma a + bi, con a y b números reales e i la unidad imaginaria. Conceptos claves Inverso aditivo u opuesto: el opuesto de un número es tal que al sumarlos, el resultado es 0. Ejemplo: el inverso aditivo de a es a, ya que a + ( a) = 0. Multiplicativo o recíproco: el recíproco de un número es tal que al multiplicarlos, el resultado es 1. Ejemplo: el opuesto multiplicativo de a b es b a, ya que a b b = 1, con a y b distintos de cero. a Números pares: son de la forma 2n, con n un número entero ({, 4, 2, 0, 2, 4, 6, }). Números impares: son de la forma (2n 1), con n un número entero ({, 5,, 1, 1,, 5, }). Múltiplos de un entero: son aquellos que se obtienen al multiplicar un cierto número entero por otro. Ejemplo: los múltiplos de 4 son {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 2, }. Mínimo común múltiplo (m.c.m.): el m.c.m. de dos o más números enteros positivos corresponde al menor de los múltiplos que tienen en común. Ejemplo: el m.c.m. entre 8 y 12 es 24, ya que 8 = 24 y 12 2 = 24. Divisores de un entero: son aquellos números enteros que dividen exactamente a un cierto entero, es decir, el resto es cero. Ejemplo: los divisores positivos de 18 son {1, 2,, 6, 9, 18}. Máximo común divisor (M.C.D.): el M.C.D. de dos o más números enteros positivos corresponde al mayor de los divisores que tienen en común. Ejemplo: el M.C.D. entre 12 y 18 es 6, ya que 12 : 6 = 2 y 18 : 6 =. Números primos: son aquellos números enteros positivos que solo tienen dos divisores: el uno y sí mismo. Ejemplo: {2,, 5, 7, 11, 1, 17, 19, }. 1

14 Programa Entrenamiento - Matemática Regla de los signos Adición: al sumar dos números con igual signo, se suman y se mantiene el signo. Si tienen distinto signo, se calcula la diferencia entre los números y se mantiene el signo del que tiene mayor valor absoluto. Ejemplos: + ( 5) = 8 ; = 2 Sustracción: la diferencia entre dos números es igual a la suma entre el minuendo y el inverso aditivo del sustraendo. Es decir, a b = a + ( b). Ojo: a ( b) = a + b. Ejemplos: 5 9 = 5 + ( 9) = 4 ; 2 ( ) = 2 + = 5 Multiplicación y división: se calcula el producto o cociente entre los números. El resultado será positivo si ambos tienen igual signo, y el resultado será negativo si ambos tienen distinto signo. Ejemplos: 7 ( 2) = 14 ; 20 : 5 = 4 Prioridad en las operaciones. 1º Paréntesis, de los interiores a los exteriores. 2º Potencias. º Multiplicación y división, de izquierda a derecha. 4º Adición y sustracción, de izquierda a derecha. Amplificación y simplificación de fracciones Multiplicar o dividir el numerador y el denominador por el mismo número, sin alterar el valor de la fracción. Operaciones en los racionales Suma y resta de fracciones: si dos fracciones tienen igual denominador, los numeradores se suman o se restan dependiendo de la operación. En el caso contrario, se amplifican de modo que tengan igual denominador. Multiplicación de fracciones: se multiplican ambos numeradores y ambos denominadores. División de fracciones: se obtiene invirtiendo el divisor, para así obtener un producto de fracciones. Ejemplos: 5 9 = 5 9 = ; = 15 : 5 20 : 5 = 4 Ejemplos: = = = = = Ejemplo: 8 Ejemplo: 4 15 = = : 12 = : 12 = : 5 12 = = = = : 15 = 45 : 15 = 8 14

15 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Tabla de corrección Ítem Clave Habilidad Dificultad Estimada 1 Comprensión Media 2 Comprensión Fácil ASE Media 4 ASE Media 5 ASE Media 6 Comprensión Fácil 7 Aplicación Fácil 8 ASE Difícil 9 ASE Media 10 ASE Media 11 ASE Media 12 Comprensión Media 1 Aplicación Media 14 ASE Media 15 ASE Difícil 16 ASE Media 17 ASE Media 18 Comprensión Fácil 19 Comprensión Media 20 Aplicación Media 21 Aplicación Media 22 Aplicación Fácil 2 ASE Difícil 24 ASE Media 25 Aplicación Media 26 Aplicación Fácil 27 Aplicación Media 28 Aplicación Fácil 29 ASE Media 0 ASE Fácil 15

16 Han colaborado en esta edición: Directora Académica Paulina Núñez Lagos Directora de Desarrollo Académico e Innovación Institucional Katherine González Terceros Equipo Editorial Rodrigo Cortés Ramírez Pablo Echeverría Silva Andrés Grandón Guzmán Equipo Gráfico y Diagramación Pamela Martínez Fuentes Vania Muñoz Díaz Elizabeth Rojas Alarcón Equipo de Corrección Idiomática Paula Santander Aguirre Imágenes Banco Archivo Cpech El grupo Editorial Cpech ha puesto su esfuerzo en obtener los permisos correspondientes para utilizar las distintas obras con copyright que aparecen en esta publicación. En caso de presentarse alguna omisión o error, será enmendado en las siguientes ediciones a través de las inclusiones o correcciones necesarias. Registro de propiedad intelectual de Cpech. Prohibida su reproducción total o parcial.