Potencias de exponente racional. Propiedades

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1 INSTITUTO TECNICO MARIA INMACULADA Formando líderes estudiantiles para un futuro mejor Coordinación Vo. Bo. Eje temático: POTENCIAS Y RAICES EN LOS NUMEROS REALES Área: MATEMÁTICAS Asignatura: Matemáticas Profesor: Periodo: 2 Grado: 9 Guía: 6 Tiempo:3 h Estudiante: Estándar(es): * Reconoce las potencias y raíces como operaciones en los reales con sus propiedades. *Justifica y realiza ejemplos y ejercicios de exponentes y raíces empleando sus propiedades. Competencia(as): (* ) Interpretativa. ( - ) Argumentativa. (&) Propositiva. - Identifico y resuelvo situaciones que involucren los números reales. * Soluciona ejemplos y ejercicios aplicando propiedades de los exponentes y raíces en los reales.. Indicador(es) de Desempeño: * Identifico y determino las propiedades de los exponentes racionales. * Efectuó operaciones con la aplicación de las propiedades de exponentes en los reales. * Aplico las propiedades para resolver expresiones exponenciales y radicales, * Formulo y resuelvo problemas cotidianos aplicando las propiedades de los exponentes y raices. Potencias de exponente racional. Propiedades En un tipo de levadura, el factor de crecimiento cada 20 minutos es 3. En el momento de iniciar el control hay 30 células de levadura. Si la ecuación que describe el crecimiento de la levadura es, qué número de células existirán a los 30 minutos de comenzada la medición? Para resolverlo debes sustituir en la ecuación la variable t por 30, por lo que en el factor resulta que es una potencia de exponente racional y no entera como has trabajado en los temas anteriores. Cómo calcular esta potencia? Para calcular esta potencia debes estudiar las potencias de exponente racional. DEFINICION. Si a> 0 En particular si m = 1 se cumple que =, por ejemplo: Ejemplo: Para la potenciación de exponente racional son válidas las mismas propiedades que ya conoces de exponente entero: Propiedades de las potencias de exponente racional Para todos los números reales a y b (a > 0 y b > 0) y todos los números enteros m, n, p, q (n > 1 y q > 1) se cumple: 1. 2.

2 Propiedades de exponente irracional. Propiedades Ya estudiaste las potencias de exponente entero en secundaria y en este tema hemos ampliado el exponente a racional y base a real. Pero, si a > 0, se pueden definir a c para todo c real, puesto que:. Si a > 0 para todos los números reales a y c existe un único número real b tal que a c = b. Para las potencias de exponente real se cumplen las propiedades ya conocidas de la potenciación: Fundamental : Propiedades de las potencias de exponente irracional Sean a, b, r, s, (a > 0 ; b > 0) números cualesquiera, entonces se cumple que: 1. a r. a s = a r+s 2. a r : a s = a r-s 3. a r. b r = (a.b) s 4. a r : b r = (a:b) s 5. (a r ) s = a rs 6. Si r > s, entonces: a r < a s, si a > 1 a r > a s, si a < 1. Raíz n-ésima de un número real Ya has recordado cómo calcular las raíces cuadradas y cúbicas oralmente y utilizando la tabla, y viste que ambas son las operaciones inversas de elevar al cuadrado y al cubo respectivamente, es decir que: Esta idea puede ser generalizada definiendo la raíz de índice n como la operación inversa de la potenciación de exponente n. Para hacerlo observa que: Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y una negativa, por ejemplo: 5 es raíz cuadrada de 25 porque 5 2 = 25 y - 5 es raíz cuadrada de 25 porque (-5) 2 = 25 por lo que 25 tiene dos raíces cuadradas. A la raíz positiva se le llama raíz aritmética. Los números negativos no tienen raíz cuadrada. Todo número real tiene una raíz cúbica, por ejemplo: 2 es raíz cúbica de 8 porque 2 3 = 8 y - 2 es raíz cúbica de - 8 porque (-2) 3 = 8. esta raíz es única y es la raíz cúbica aritmética. Esto nos permite escribir la siguiente definición: Definición : Definición de raíz n-ésima Sea y, n > 1 se llama raíz n-ésima de a a todo número real x, tal que satisface la ecuación x n = a. Si la ecuación no tiene solución, a no tiene raíz n-ésima. Ejemplo : Determina todas las raíces de: a) cuarta de 16. b) quinta de - 32.

3 c) sexta de - 3. Respuesta: a) 2 y - 2 son raíces cuartas de 16, ya que 2 4 = 16 y (-2) 4 = 16. b) - 2 es raíz quinta de 32, ya que (-2) 5 = 32. c) - 3 no tiene raíz sexta, pues en el conjunto de los números reales no es posible hallar la raíz de índice par de números negativos. En general se cumple que: Para recordar... : a) Si n es par, todo número real positivo tiene dos raíces n-ésimas, una positiva y otra negativa. Los números reales negativos no tienen raíz n-ésima cuando n es par. b) Si n es impar, todo número real a tiene una raíz n-ésima del mismo signo que a. En el caso de n par se llama raíz aritmética a la positiva y en el caso de n impar la única que existe se llama raíz aritmética. Para indicar la raíz aritmética de a se utiliza el símbolo:. 1. El símbolo es el signo de raíz y se llama radical. 2. El número a se llama cantidad subradical o radicando y es el número al cual se le calcula la raíz n-ésima. 3. El número natural n se llama índice del radical e indica al exponente al que hay que elevar la raíz para obtener la cantidad subradical; cuando n = 2 no se escribe y se sobreentienede que se calcula la raíz cuadrada. Normalmente se llama radical a cualquier raíz indicada de un número o de una expresión algebraica. Ejemplo : Determina la raíz indicada en cada inciso: a) b) c) Respuesta: a) = 2, porque 2 4 = 16. b) = - 1; porque (-1) 5 = - 1. c) no tiene sentido, ya que no se puede calcular la raíces de índice par de números negativos en el conjunto de los números reales. : Para cualquier número real a para el cual la raíz n-ésima tiene sentido se cumple la igualdad:. Observa que: si n es par. De esta manera se cumple que: En general se cumple que: y en particular:. Completa los espacios en blanco: a) = b) =

4 c) = d) = e) = Reducción del índice del radical En el trabajo con los radicales puedes en muchas ocasiones simplificarlos sin que el resultado se altere y así trabajar con expresiones más simples, por ejemplo: Ejemplo : Simplifica: a) En ambos casos simplificas el índice y el exponente del radicando, ya que son divisibles por un mismo número entero positivo. Como el exponente es múltiplo del índice, no queda raíz en el resultado. Ten en cuenta que en ambos casos la base del radicando es un número positivo. b) En ambos casos simplificas el índice y el exponente del radicando, ya que son divisibles por un mismo número entero positivo. Como ahora el índice es múltiplo del exponente, queda una raíz indicada en el resultado. Ten en cuenta que en ambos casos la base del radicando es un número positivo. De manera general puedes concluir que se cumple el siguiente teorema: : Teorema Dada se cumple que Ten en cuenta que: Al simplificar el índice y el exponente de la cantidad subradical en el resultado puede quedar o no una raíz. Hay radicales en los que no se pueden simplificar su índice y el exponente del radicando, porque son números primos. Al simplificar radicales debes expresarlos con el menor índice posible. Simplifica los siguientes radicales y escribe el resultado obtenido en el espacio en blanco: a) =

5 b) = a 2 c) = Al simplificar con a > 0, se obtiene: a 6