SELECCIÓN DE UNA CARTERA DE VALORES MEDIANTE LA APLICACIÓN DE MÉTODOS MULTIOBJETIVO INTERACTIVOS A DATOS REALES DE LA BOLSA ESPAÑOLA

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1 Seleccó de ua cartera de valores medate la aplcacó de métodos multobjetvo teractvos... SELECCIÓN DE UNA CARTERA DE VALORES MEDIANTE LA APLICACIÓN DE MÉTODOS MULTIOBJETIVO INTERACTIVOS A DATOS REALES DE LA BOLSA ESPAÑOLA Rafael Caballero Ferádez, Mercedes Gozález Lozao, Marao Luque Gallego, Rafael Rodríguez Avlés. Uversdad de Málaga RESUMEN E este trabajo aplcamos dversos métodos multobjetvo teractvos a datos reales de la bolsa española, e cocreto datos semaales del perodo E uestro modelo cosderamos 5 fucoes objetvo relacoadas co el deseo del decsor de maxmzar la retabldad obteda soportado el meor resgo posble. Así, tratamos de maxmzar la retabldad, mmzar la beta de la cartera como represetate del resgo sstemátco, mmzar la desvacó estádar y la covaraza las cuales recoge el resgo global soportado y, por últmo, mmzar la varaza de los resduos como represetate del resgo específco. Tras obteer ua solucó medate el método teractvo G-D-F, y tras solctar formacó sobre sus preferecas al decsor, vamos cambado de método para aprovechar las vetajas de cada uo hasta obteer ua solucó aceptada por el decsor. XII Joradas de ASEPUMA

2 Caballero, R.., Gozález, M., Luque, M. y Rodríguez, R.. INTRODUCCIÓN Es de todos coocdo que la seleccó de carteras es ua de la pezas agulares de la modera gestó de actvos faceros. E los últmos tempos se ha producdo u aumeto de las versoes e artículos bursátles exstedo varas razoes que justfca la formacó de ua cartera, tato para u partcular como para ua empresa o sttucó, pudédose destacar la obtecó de ua retabldad y lqudez aceptables de recursos ocosos evetualmete, cosegur a largo plazo que los excedetes permaetes os proporcoe ua reta complemetara al térmo de uestra vda laboral, como es el caso de los fodos de pesoes, o adqurr las partcpacoes ecesaras e ua compañía para poder ejercer u cotrol efectvo sobre su gestó. E este trabajo vamos a formular u modelo que tete dar respuesta a uestro decsor, u agete prvado que desea vertr e bolsa. E cocreto desea cosegur ua cartera de valores que cotce e el mercado cotuo español formado, aproxmadamete, por 30 títulos, depededo, la eleccó de los títulos y catdad que se va a vertr e ellos, de cuáles sea las preferecas de uestro decsor. Como es lógco deseará aquellos que proporcoe ua mayor retabldad pero, ormalmete, so los que preseta más resgo, o so los meos líqudos,... Luego, debemos evaluar dversas alteratvas segú el valor que alcaza e ellas dversos crteros e coflcto. Por tato, desde el puto de vsta matemátco debemos de utlzar téccas que tega e cueta o sólo u crtero so varos y, por cosguete, el óptmo de uo o va a cocdr co el óptmo de otro. Por todo ello, vemos que la formulacó de uestro modelo requere la utlzacó de las téccas de programacó multobjetvo. De hecho el modelo poero de Markowtz (952) de seleccó de carteras es u problema bobjetvo. Además exste múltples ejemplos de la aplcacó de téccas multobjetvo a la seleccó de carteras como so los trabajos de Lee y Lerro (973), Lee y Chesser (980), y Powell y Premachadra (998). E cocreto, e este trabajo, vamos a aplcar las téccas teractvas e las que, a través de ua teraccó cotua e teratva co el decsor, para que éste explcte preferecas sobre carteras que le so mostradas, se cosgue que el decsor se acerque a ua solucó acorde co dchas preferecas sedo el esfuerzo por reflejar las preferecas del decsor fudametal, tato e el método a emplear como e el proceso de resolucó. 2 XII Joradas de ASEPUMA

3 Seleccó de ua cartera de valores medate la aplcacó de métodos multobjetvo teractvos PLANTEAMIENTO DEL MODELO Ya hemos dcado que uestro propósto es seleccoar ua cartera formada por títulos del mercado bursátl español. Para ello cotamos co datos reales de la bolsa española, e cocreto datos semaales que va desde eero de 995 hasta septembre de 2002, perodo largo e el que se puede cosderar tres tpos de escearo: estable, crecmeto y decrecmeto, segú los valores alcazados por el ídce geeral de la bolsa de Madrd (IGBM). Es evdete que la coducta racoal de u versor e bolsa cosste e buscar aquella composcó de la cartera que haga máxmo su redmeto soportado el meor resgo posble. Por ello, a la hora de formular uestro modelo debemos teer e cueta como fucó objetvo, e prmer lugar la retabldad de la cartera, la cual vee dada por la meda de la retabldad de cada título poderada por su partcpacó e la cartera, sedo la retabldad de cada título la retabldad meda de las retabldades, e uestro caso, semaales, calculadas como el logartmo del cocete etre el preco del cerre de u mometo y el msmo e el mometo ateror. No cosderamos los dvdedos como medda de retabldad porque e el mercado español se da muy esporádcamete y además co ua perodcdad muy varable. E segudo lugar, teemos que teer e cueta meddas de resgo. Nosotros clumos la covaraza de la cartera, que represeta el resgo global de esta, calculada como el producto del vector traspuesto de las proporcoes por la matrz de covarazas por dcho vector, co lo cual teemos ua fucó cuadrátca desde el puto de vsta matemátco. Por otra parte, para aumetar la prudeca de la versó, evaluamos la desvacó estádar de la cartera, como la meda de las desvacoes estádares de las retabldades de los títulos poderadas por su proporcoes. Además se suele cosderar otros dos tpos de resgo, el sstemátco y el específco. El prmero, que recoge las flueca de la evolucó de la bolsa sobre los títulos, se mde medate la beta de la cartera, o producto escalar del vector de proporcoes por el vector de betas sedo este últmo el vector de coefcetes de regresó etre las retabldades de cada título y la retabldad del ídce geeral de la bolsa. El segudo, que recoge la volatldad propa de cada título, depedetemete de la evolucó del mercado, se calcula medate el producto escalar del vector de proporcoes por el vector de varazas resduales del ateror aálss de regresó. Por lo tato, os ecotramos XII Joradas de ASEPUMA 3

4 Caballero, R.., Gozález, M., Luque, M. y Rodríguez, R. co 5 fucoes objetvo, las cuales pasamos a formular: Max Retabldad M Beta M Desv.Estadar M Covarazas Max M M M = x = x = = j= x r β σ x x σ j j M Resduos M Respecto a las restrccoes del modelo debemos señalar, e prmer lugar, la presupuestara, esto es, que la suma de las catdades que se verte e cada título, las varables del modelo, debe ser gual al presupuesto de versó, que osotros estableceremos e la udad, ya que o sabemos, a pror, cuál será dcho presupuesto, co lo que uestras varables reflejará el tato por uo que se debe vertr e cada título. = 2 x σ 2 e x = = Por otra parte, se suele clur e los modelos de seleccó de carteras cotas superores sobre las varables, be por razoes legales be para asegurar ua míma dversfcacó. També es frecuete clur cotas ferores, o sea, vertr ua catdad míma e determados títulos, como será uestro caso para las cco empresas más mportates de uestra bolsa, de forma que podamos rastrear, e certa medda, a uestra cartera de refereca, el IBEX35. l x Por últmo, dcar la codcó de o egatvdad de las varables puesto que o vamos a teer e cueta la veta a corto. x u 0 4 XII Joradas de ASEPUMA

5 Seleccó de ua cartera de valores medate la aplcacó de métodos multobjetvo teractvos RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA Ua vez plateado el problema, os efretamos co u problema multoobjetvo el cual puede resolverse por dversas téccas. Co el propósto de que el decsor se seta más mplcado e el proceso de seleccó de su cartera, decdmos la aplcacó de téccas teractvas utlzado para resolver los problemas correspodetes el programa Promo (Caballero y otros (2002)). Ates de empezar la resolucó, sempre es coveete mostrar al decsor los deales y atdeales de las fucoes objetvo, para saber por que valores se está movedo las fucoes objetvo. E cocreto, para el escearo estable, y para uestros datos semaales, so: Retabldad: f z = m = Beta: f z = m = Desv. Estádar: f z = m = Covarazas: f z = m = Resduos: f z = m z = represetado el valor deal del objetvo -ésmo y el valor atdeal de dcho objetvo. Detro de la varedad de métodos teractvos que posee la mplemetacó, y partedo del modelo que queremos resolver, a la hora de aplcar los métodos teractvos, le cosultamos al decsor qué preferecas quería mafestar de partda. Él os cometó que le gustaría teer ua solucó de partda y que le resultaría cómodo proporcoar los pesos o mportaca locales de las fucoes objetvo, o lo que es gual, los tradeoffs locales etre objetvos (catdad que está el decsor dspuesto a sacrfcar, a cambo de empeorar otra catdad e otro objetvo). E base a esto decdmos utlzar e la prmera teracó, el método G-D-F (972) que por sus característcas correspode a este tpo de preferecas (está detro del grupo de los métodos teractvos basados e tradeoffs o pesos locales). El método G-D-F fue publcado por Geoffro, Dyer, y Feberg e 972. De partda, se asume que las preferecas del decsor puede ser descrtas por ua fucó de utldad cócava y dferecable (evdetemete es decrecete e los objetvos para problemas de mmzacó) y es aplcable a problemas multobjetvo o leales. m XII Joradas de ASEPUMA 5

6 Caballero, R.., Gozález, M., Luque, M. y Rodríguez, R. Etre las prcpales vetajas que cueta este método está que posee covergeca matemátca probada (véase Geoffro et al., 972) e el setdo s exste la fucó de utldad mplícta del decsor, se llega a u puto que maxmza la utldad, y está també, el hecho que, desde el puto de vsta práctco, se tee la posbldad de 'volver haca atrás' ate errores cometdos e las preferecas. Etre los coveetes está que la solucó fal o tee por qué ser efcete. Esto hace que o sea recomedable falzar el proceso de resolucó co este método. Vemos cómo para la resolucó ecestamos ua solucó cal la cual la hemos obtedo cosderado el problema de poderacó co todos los pesos guales: Retabldad Beta Desv. Estádar Covarazas Resduos Estos valores forma el vector: f 0 = f ( x 0 ) = ( , , , ) Como puto cal podría haberse tomado cualquer otro puto, como, por ejemplo, uo de los deales de las fucoes objetvo. E base a los valores e los objetvos, el decsor os mafestó que quería darle bastate peso local a la retabldad co respecto al resto de objetvos. E cocreto os comucó que quería darle ua peso local de 7 a Retabldad, frete a u peso local de 0.2 a Beta, 0.2 a Desv. Estádar, 0.2 a Covarazas y 0.2 a Resduos. Estos valores sgfca que está dspuesto a sacrfcar 7 udades de Beta a cambo de mejorar 0.2 udades de Retabldad, que també está dspuesto a sacrfcar 7 udades de Desvacó Estádar a cambo de mejorar 0.2 udades de Retabldad, etc. Co estos valores formamos el sguete vector de pesos locales: w = ( 7, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2) Co estos pesos, el método G-D-F maxmza e la dreccó del gradete de la fucó de utldad, obteedo ua dreccó de búsqueda que srve para geerar varas solucoes, de las cuales el decsor elgó la sguete: 6 XII Joradas de ASEPUMA

7 Seleccó de ua cartera de valores medate la aplcacó de métodos multobjetvo teractvos... Retabldad Beta Desv. Estádar Covarazas Resduos f = f ( x ) = ( , , , , ) Para estos valores logrados, el decsor os cometó que o había cosegudo u valor e la retabldad sufcete y que desearía cambar sólo uo de los pesos locales y geerar ua ueva solucó. Así, el uevo vector de pesos fue: w 2 = (, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2) que colocado e el G-D-F os geera varas solucoes, de las cuales el decsor elgó la sguete: Retabldad Beta Desv. Estádar Covarazas Resduos f 2 = f ( x 2 ) = ( , , , , ) Vedo que el decsor o coseguía los valores persegudos, le cometamos que exstía u método, el método STEM (97), el cual podría mejorar uo o varos objetvos, a cambo de relajar otros, pudedo troducr topes máxmos para las fucoes a empeorar. Esta maera de mafestar las preferecas le agradó bastate al decsor, a partr de los valores e los objetvos que se había cosegudo. El método STEM (STEp Method) es el método teractvo poero y fue publcado e 97 por los autores R. Beayou, J. De Motgolfer, J. Tergy y O. Lartchev. Está basado e la mmzacó de la dstaca respecto del puto deal, co modfcacoes e los parámetros de la dstaca y e la regó factble, orgadas por las preferecas del decsor, a partr de cada solucó que se va obteedo. La dstaca utlzada desde el subcojuto del espaco objetvo al puto deal es la métrca de Tchebychev. E cada teracó, las preferecas so reflejadas e la relajacó de algú XII Joradas de ASEPUMA 7

8 Caballero, R.., Gozález, M., Luque, M. y Rodríguez, R. objetvo satsfactoro de forma que se permta mejorar algú otro objetvo aú o satsfactoro. Además, el decsor debe especfcar la catdad máxma que está dspuesto a sacrfcar (empeorar) del objetvo cosderado satsfactoro, auque s ecesdad de proporcoar la tasa de tercambo o tradeoff etre objetvos. E la msma líea, se tee la posbldad de, e cada teracó, cosderar fucoes objetvo e las cuales el decsor desea mateer los valores alcazados, pero o desea empeorarlos. Estas fucoes estaría detro de las fucoes objetvo a relajar dode el tope máxmo a relajar valdría cero. El prcpal coveete de este método es la formacó solctada del decsor, e cocreto, las catdades máxmas a relajar de los objetvos satsfactoros (objetvos que permtmos que empeore para mejorar los o satsfactoros). Esta dfcultad e el sumstro de estas catdades puede orgar e el procedmeto de resolucó dsttas osclacoes, ocasoado u aumeto cosderable del úmero teracoes. A pesar todo esto y de ser el prmer método teractvo, el STEM ha tedo ua gra aceptacó, sobre todo práctca, debdo a que el método proporcoa al decsor ua formacó bastate útl, e el objetvo de dlucdar sus preferecas. Además, se caracterza porque el decsor puede volver haca atrás ate errores cometdos e sus preferecas. Estos hechos ha orgado que, auque o posee covergeca matemátca, se revele como ua gra técca teractva. Volvedo a uestro caso, el decsor os mafesta que quere mejorar más la retabldad. A cambo esta dspuesto a sacrfcar el resto de las fucoes. E cocreto, las preferecas que mafestó el decsor fuero las sguetes: Retabldad Fucó a mejorar. Beta Fucó a relajar co u valor máxmo permtdo de Desv. Estádar Fucó a relajar co u valor máxmo permtdo de Covarazas Fucó a relajar co u valor máxmo permtdo de Resduos Fucó a relajar co u valor máxmo permtdo de A partr de estas preferecas, se obtuvo la sguete solucó: 8 XII Joradas de ASEPUMA

9 Seleccó de ua cartera de valores medate la aplcacó de métodos multobjetvo teractvos... Retabldad Beta Desv. Estádar Covarazas Resduos El decsor estaba bastate satsfecho co esta solucó. Nos djo que los veles para Desv. Estádar, Covarazas y Resduos estaba be y que ta solo os cometó de qué teía uos veles algo dferetes e su mete para Retabldad y Beta. Esto os hzo pesar a osotros como aalstas, que e este caso sería mejor utlzar u método e el que se pudera troducr los veles exactos a cosegur para las fucoes objetvo, los cuales podría ser alcazables o o alcazables, pero que el método e cuestó debería cosegur ua solucó cuyos valores e los objetvos se parecera lo máxmo a los veles proporcoados por el decsor. Es por ello que decdmos utlzar u método de puto de refereca, que recoge muy be este tpo de preferecas y los cuales puede reflejar muy be este tpo de preferecas. Vamos a cometar este tpo de métodos y más cocretamete el método usado, el de Werzbck (980), que es el del creador de esta metodología, basada e ua fucó també creada por él coocda co el ombre de fucó escalarzada de logro. La utlzacó e los métodos teractvos de la fucó escalarzada de logro, es bastate cosderable, posblemete más que e cualquer otro campo de la programacó multobjetvo. Esto se debe, sobre todo, a que dcha fucó depede de dos parámetros los cuales puede reflejar de forma drecta las preferecas del decsor, que so, los pesos de la fucó y el puto de refereca, que está formado por los valores o veles de refereca e los objetvos que se pretede cosegur. Es e estos veles de refereca, dode la mayoría de estos métodos tee la teraccó co el decsor. El decsor tee que proporcoar los valores que desea lograr e los objetvos y éstos forma el llamado puto de refereca de la fucó escalarzada de logro. La dea de este método cosste, e cada teracó, obteer dsttas solucoes efcetes, medate la mmzacó de la fucó escalarzada de logro para el puto de refereca proporcoado por el decsor (veles e los objetvos que desea cosegur el decsor), y otros putos de refereca que dfere del proporcoado e ua sola coordeada. Etre los coveetes destacamos, que e ocasoes, por las característcas XII Joradas de ASEPUMA 9

10 Caballero, R.., Gozález, M., Luque, M. y Rodríguez, R. del problema, las solucoes que se obtee o se acerca todo lo que se desea a los veles de refereca que se pretedía cosegur. Etre las vetajas, tee buea aceptacó práctca, motvado sobre todo por el carácter tutvo e la formacó requerda al decsor y la posbldad de 'volver haca atrás' ate errores cometdos e las preferecas del decsor. Además e el caso cocreto del método de Werzbck, por la fucó escalarzada de logro cosderada, las solucoes que se obtee so efcetes. Volvedo a uestro problema, pasamos a señalar las preferecas mafestadas e este caso por el decsor, el cual, partedo de los veles que había cosegudo e los objetvos, deseaba mateer los veles de Desv. Estádar, Covarazas y Resduos e los actuales, pero desearía teer ua retabldad de y ua beta de 0.9. Co estos valores formamos el puto de refereca y os dspusmos a aplcar el método de Werzbck. El método geeró varas solucoes, de las cuales el decsor elgó la sguete: Retabldad Beta Desv. Estádar Covarazas Resduos Co dcha solucó el decsor quedó totalmete satsfecho, habédose cumpldo sus expectatvas y quedado falzado por tato el proceso de resolucó. De la msma maera actuamos e el perodo de crecmeto y decrecmeto, obteédose otras solucoes aceptadas por el decsor. Como coclusó vemos cómo las solucoes obtedas e estos métodos depede de las preferecas del decsor co lo cual este se puede setr sufcetemete mplcado e el proceso de seleccó de su cartera de valores. 4. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS BENAYOUN, R., MONTGOLFIER, J., TERGNY, J. ad LARITCHEV, O. (97). Lear programmg wth multple objectve fuctos: Step Method (STEM). Mathematcal Programmg,, pp CABALLERO, R., LUQUE, M., MOLINA, J. ad RUIZ, F. (2002). PROMOIN: 0 XII Joradas de ASEPUMA

11 Seleccó de ua cartera de valores medate la aplcacó de métodos multobjetvo teractvos... a teractve system for multobjectve programmg. Iteratoal Joural of Iformato Techology ad Decso Makg,, pp GEOFFRION, A.M., DYER, J.S. ad FEINBERG, A. (972). A teractve approach for mult-crtero optmzato, wth a applcato to the operato of a academc departmet. Maagemet Scece, 9, 4, Part I, pp LEE, S.M. ad CHESSER, D.L. (980). Goal programmg for portfolo selecto. The Joural of Portfolo Maagemet, prmavera, pp LEE, S.M. ad LERRO, A.J. (973). Optmzg the portfolo selecto for mutual fuds. The Joural of Face, XXVIII, december, pp MARKOWITZ, H. (952). Portfolo selecto. Joural of Face, 7, 2, pp POWELL, J.G. ad PREMACHANDRA, I.M. (998). Accommodatg dverse sttutoal vestmet objectves a costrats usg o-lear goal programmg. Europea Joural of Operatoal Research, 05, pp WIERZBICKI, A.P. (980). The use of referece objectves multobjectve optmzato. Multple Crtera Decso Makg Theory ad Applcato, Lecture Notes Ecoomcs ad Mathematcas Systems 77, Edted by Fadel, G. ad Gal, T., Sprger-Verlag, Hedelberg, pp XII Joradas de ASEPUMA