Ejercicios propuestos para el cálculo de áreas

Transcripción

1 Aplicaciones geométricas y mecánicas de la integral definida 191 Ejercicios propuestos para el cálculo de áreas 1) Calcular el área de la figura limitada por la parábola verticales = 1, = y el eje OX y =, las rectas 1 6 ) Calcular el área de la figura limitada entre la curva = ( )( ) las rectas verticales = 1, = y el eje OX y, 7 ) Calcular el área de la región limitada por la parábola OX y = y el eje ) Calcular el área de la región limitada por la curva de ecuación y = y el eje OX 8 5) Calcular el área de la figura limitada entre la curva = y y +, las ordenadas y = 1, y = 0 y el eje OY 1 6 6) Calcular el área de la figura limitada por la curva = y + y y el eje OY

2 19 Introducción al cálculo integral 7) Calcular el área de la figura limitada por las parábolas y =, = y 8) Calcular el área comprendida entre las parábolas y 16 = 6, y = 6 9) Calcular el área de la superficie limitada por la parábola y =, el eje OX y las rectas = 0, = 1 10) Calcular el área de un círculo de centro el origen y radio R πr y 11) Calcular el área de la región limitada por la hipérbola = 1 y la b a recta = a ab( + Log( ) ) 1) Calcular el área de la superficie limitada por la curva de ecuación y = y el eje OX, cuando y es negativo 1 6 1) Calcular el área de la superficie comprendida entre la curva de ecuación y = y la recta de ecuación y =

3 Aplicaciones geométricas y mecánicas de la integral definida 19 = y 1) Hallar el área de la región limitada por las funciones ( ) g ( ) = 15) Calcular el área de la región limitada por la parábolas = 1 y f 9 = y, 16) Las curvas de las funciones seno y coseno se intersecan infinitas veces, dando lugar a regiones de igual área Calcular el área de una de dichas regiones 17) Calcular el área de la región limitada por las gráficas y = 1 18) Hallar el área de la figura comprendida entre la curva OX = y, 9 y = y el eje 19) Hallar el área del dominio limitado por una semionda de la sinusoide y = sen y el eje OX 0) Calcular el área de la figura comprendida entre la parábola la recta y = y = y 9

4 19 Introducción al cálculo integral 1) Calcular el área de la figura comprendida entre las parábolas y = y la recta y = y =, ) Hallar el área de la figura limitada por la curva eje OY y =, la recta y = 8 y el 1 ) Hallar el área del dominio comprendido entre las parábolas y = p, = py p ) Hallar el área total de la figura limitada por las curvas y = y =, y =, 5) Calcular el área de la figura limitada por la curva y =, la recta y = 1 y la vertical = 8 17 a a a 6) Hallar el área de la figura limitada por la catenaria y ( e + e ) los ejes OX, OY y la recta = a =, a ( e 1) e 7) Calcular el área de la figura limitada por las curvas recta = 1 y = e, y = e y la

5 Aplicaciones geométricas y mecánicas de la integral definida e + e 8) Calcular el área del recinto formado por los puntos (, y) que verifican: + y 6, y 9 π 9) Calcular el área limitada por las curvas + y = 9, ( ) + y = 9 9 6π 0) Calcular el área en el primer cuadrante limitada por las curvas + y =, 1 1 = y y =, + arcsen arcsen 1 1) Calcular el área encerrada por la curva semiplano y 0 Log y =, el eje OX, en el ( + 1) Log a ) Calcular el área comprendida entre la curva y = y el eje OX + a A = a ) Calcular el área comprendida entre la curva y = y sus asíntotas 1 π

6 196 Introducción al cálculo integral ) Tomando un punto (, ) M en el primer cuadrante que pertenezca a la 0 y 0 y elipse + = 1, con a > b, demostrar que el sector de la elipse b a limitado por el semieje mayor y el segmento que va desde el centro geométrico de la elipse hasta el punto M tiene área igual a ab 0 ab y0 arccos = arcsen a b 5) Hallar el valor del parámetro a para que el recinto limitado por el eje OX y la curva y = cos, cuando varía en el intervalo [ 0, π ], quede dividido en dos partes con la misma área por la curva y = asen a = 6) Calcular el área de la elipse dada por sus ecuaciones paramétricas = acos t y = bsent abπ 7) Calcular el área comprendida entre el eje OX y un arco de la cicloide = a( t sen t) y = a( 1 cost) πa 8) Hallar el área de la figura limitada por la hipocicloide = acos t y = asen t π a 8 9) Hallar el área encerrada por la rosa de tres pétalos ρ = a cosθ 1 π a

7 Aplicaciones geométricas y mecánicas de la integral definida 197 0) Hallar el área del dominio limitado por un bucle de la curva ρ = a senθ 1 π a 8 1) Hallar el área del dominio limitado por la curva ρ = a cosθ 1 π a ) Hallar el área del dominio limitado por la curva ρ = a cosθ 1 π a ) Hallar el área del dominio limitado por la curva ρ = cos θ π ) Hallar el área del dominio limitado por la curva ρ = a cosθ 1 π a 5) Calcular el área total del dominio limitado por la cardioide ρ = a ( 1 cosθ) π a 6) Calcular el área total del dominio limitado por la cardioide ρ = a ( 1+ cosθ) π a 7) Calcular el área encerrada por la curva ρ = + cosθ 9π

8 198 Introducción al cálculo integral 8) Calcular el área común entre la cardioide ρ = 1 + cosθ y el círculo ρ = cosθ 5π 9) Calcular el área encerrada entre las curvas ρ = senθ, ρ = 1 + cosθ π ( ) 50) Calcular el área encerrada entre las dos cardioides ρ = 1 + cosθ, ρ = 1 cosθ π 8 Ejercicios propuestos para el cálculo de longitudes de curva 1) Calcular la longitud del arco de curva y =, entre = 0, = L = 19 7 ( 1) ) Calcular la longitud del arco de curva e 1 y = Log, entre =, = e e 1 L = + Log e 1 ) Calcular la longitud del arco de parábola y =, desde = 0 hasta = 1 L = + Log( 1+ ) ) Calcular la longitud del arco de la curva y = Log, desde = hasta = 8