1. Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en los intervalos que se indican. 1

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1 6 Derivadas CRITERIOS DE EVALUACIÓN ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN A. Calcular la tasa de variación media de una función en un intervalo.. Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en los intervalos que se indican. a) f( ) en [, ] b) f() en [, ] c) f() en [, ] B. Calcular la derivada de una función en un punto aplicando la definición.. Dada la función f(), calcula, aplicando la definición, f (0) y f (). C. Calcular la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto.. Halla las rectas tangentes a la curva f() 8 que sean paralelas a la recta 9 y. D. Calcular la función derivada de funciones elementales.. Calcula la función derivada de f() 7 aplicando la definición. E. Calcular la función derivada de funciones obtenidas mediante operaciones algebraicas con funciones elementales.. Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones: sen a) f() ln c) f() e) f() e tg cos b) f() ( )cos d) f() f) f() ( ) sen F. Calcular la función derivada de una función obtenida mediante la composición de dos o más funciones elementales. 6. Calcula la función derivada de las siguientes funciones: a) f() ln b) f() c) f() sen ( ) MATERIAL FOTOCOPIABLE G. Aplicar las derivadas en la resolución de problemas propios de las ciencias sociales. 7. El número de bacterias de un cultivo, en función del tiempo, viene dado por la epresión f(t) t 80t 00, en donde t viene epresado en minutos. Calcula: a) La tasa de variación media, o velocidad media de crecimiento en el período [, ]. b) La tasa de variación instantánea o velocidad instantánea de crecimiento en el instante t 0. c) La función que nos da la velocidad de crecimiento de dico cultivo en función del tiempo. 8. Una empresa a comprobado que la demanda de artículos de un producto, en función del precio, viene dada por la función d() 700, donde es la variable precio. Calcula: a) La variación de la demanda si el precio pasa de a 0 /u. b) La tasa de variación media en los intervalos [, 0] y [, 6]. c) La tasa de variación instantánea cuando el precio es de euros. 9. A partir del año 000, la tasa de inflación, en tanto por ciento, de un determinado país varió según la función f() 0log, donde representa el número de años transcurridos desde el año 000. a) Cuál fue la tasa de inflación en el año 00? b) Cuál fue la tasa de variación media de la inflación en el período ? c) Calcula el momento en que la velocidad de crecimiento de la tasa de inflación fue del 0, anual. 8

2 Soluciones f( ) f( ). a) TVM f[, ]. f( ) f( ) 8 6 b) TVM f [, ] c). Primero ay que allar los puntos de tangencia. Como la recta tangente es paralela a la 9 y, se tiene que cumplir que las pendientes de ambas rectas sean iguales.. Por tanto, los puntos de tangencia son aquellos cuya abscisa verifica f () 9:. a) f( ) f( ) TVM f [, ] f f f ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 0 f f f ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 8 ( 8) , Si, f() y la tangente será y 9( ). Si, f() 8 y la tangente será y 8 9( ). f f f ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( 7 7 ) 0 7 ( 7) f ( ) ( ) ( ) b) f () ( )cos ( )sen cos ( cos ) sen c) f ( ) ( cos ) cos cos sen ( cos ) cos ( cos ) cos d) f () ln e) f () e tg e cos ( ) ( )cos sen sen f) f ( ) ( ) sen ( )cos 6. a) f() [ln( ) ln] f ( ) 6 ( ) ( )( ) b) f ( ) ( ) ( ) c) f () sen ( ) cos( ) (0 ) f( ) f( ) a) TVM f [, ] 88 f f b) TVI f( ) ( 0 ) 0 ( 0 ) 0 ( ) 0 80( 0 ) c) V(t) f () t a) d(0) d() d(0) d() d( 0) d( ) b) TVM d[, 0] 0 d( 6) d( ) TVM d[, 6] 6 00 ( 00) 00 o d d c) TVI d( ) ( ) ( ) ( ) ( 0) a) f() 0log 0 0. La tasa de inflación en el 00 fue del %. f( ) f( 0), 9, b) TVM f [ 0, ] 0,. 0 La media de la inflación en esos cinco años fue del 0,% anual. c) f() log( ), f () ( ) ln 0 f () 0,,68 Entre el tercero y cuarto año, la velocidad de crecimiento de la tasa de inflación fue del 0,%. 9

3 7 Aplicaciones de las derivadas CRITERIOS DE EVALUACIÓN ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN A. Calcular las derivadas sucesivas de funciones elementales.. Calcula las tres primeras derivadas de las siguientes funciones. a) f() sen b) g() ln c) () n B. Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función derivable. C. Determinar los intervalos de concavidad acia arriba y acia abajo de una función derivable.. En cada caso, calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como los máimos y mínimos de las funciones indicadas. a) f() b) g() e ( ). En cada caso, calcula los intervalos de concavidad acia arriba y concavidad acia abajo, así como los puntos de infleión de las funciones indicadas. a) f() D. Calcular los máimos y mínimos relativos de una función derivable. b) g( ) E. Calcular los puntos de infleión de una función derivable.. Determina los parámetros a, b, c y d para que la función f() a b c d tenga un punto de infleión en P(, 6) con tangente en él paralela a la recta 8 y 0 0, y además tome el valor para 0.. La cantidad de agua recogida en 99, en millones de litros, en cierto pantano viene dada, en función del tiempo medido en meses, a 0 través de la epresión f( t) con 0 t. ( t 6) a) En qué período de tiempo aumentó la cantidad de agua recogida? b) En qué instante se obtuvo la cantidad máima de agua? Cuál fue esa cantidad? F. Resolver problemas de optimización en distintos contetos. 6. La función de costes por unidad de tiempo asociada a los inventarios en unos almacenes viene dada por la función c( ), donde indica el tamaño de los pedidos para renovar eistencias, y c() se mide en miles de euros por año. Calcula el tamaño de pedidos que ace que c() alcance su valor mínimo, así como dico valor. MATERIAL FOTOCOPIABLE G. Determinar el número de raíces reales de una función polinómica cuya función derivada es fácilmente factorizable. 7. Si el precio del marco de una ventana es de,0 por cada metro de altura y,9 por metro de anco, calcula las dimensiones que debe tener un ventanal de m de área para que el coste del marco sea mínimo. 8. Demuestra que 0 es la única raíz real del polinomio

4 . a) f () cos f () sen f () cos b) g ( ) g ( ) c) () n n () n(n ) n () n(n )(n ) n. a) f () 0 ( )( ) 0 0, y Estudiamos el signo de f () en los intervalos determinados por los puntos anteriores. (, 0) y (, 0) son mínimos relativos de f(). (0, 0) es máimo relativo de f(). b) g () e ( ) e e ( ) 0 0 y Estudiamos el signo de g() en los intervalos determinados por los puntos anteriores. g() es creciente en (, ) (, ). g() es decreciente en (, )., 0 es máimo relativo de g(). e (, 6e ) es mínimo relativo de g(). g ( ). a) f () 6 f () 0 y Estudiamos el signo de f () en los intervalos determinados por los puntos anteriores. Soluciones. Las condiciones que da el problema se traducen en: P(, 6) punto de infleión f() 6 y f () 0. La tangente en P es paralela a 8 y 0 f () 8. f() toma el valor para 0 f(0). f () a b c f () 6a b f() 6 8a b c d 6 f () 0 a b 0 f () 8 a b c 8 f(0) d Resolviendo el sistema formado por las anteriores ecuaciones, resulta que a, b 6, c y d. Signo de f (, ) (, 0) (0, ) (, ) ( t ) f ( t) 0 6. ( t 6) 0 t 6 f() es creciente en (, 0) (, ). f() es decreciente en (, ) (0, ). (0, 6) (6, ) (, ) (, ) (, ) Signo de g (, ) (, ) (, ) Signo de f Signo de f a) La cantidad de agua recogida aumentó durante los 6 primeros meses. b) La mayor cantidad de agua se obtuvo en el seto mes: 0 millones de litros. ( 0 0) ( 0 0 0) 6. c ( ) 0( ) 0 Hay que acer pedidos para obtener un coste mínimo, siendo dico coste de 9600 euros. 7. Sean e y la altura y la ancura de la ventana. El coste es C(, y),,8y. Como la superficie de la ventana es de m, y, lo que implica que y (0, ) (, ) Signo de g y, por tanto, la función coste, que es la que ay que minimizar, puede epresarse como f() es cóncava acia arriba en (, ) (, ). f() es cóncava acia abajo en (, ). (, ) y (, ) son los puntos de infleión de f(). ( ) ( ) b) g ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g ( ) ( ) ( ) g () no se anula nunca. Estudiamos su signo en los intervalos determinados por los puntos que no pertenecen al dominio. (, ) (, ) (, ) Signo de g g() es cóncava acia arriba en (, ) (, ). g() es cóncava acia abajo en (, ). Como g () no se anula, g() no tiene puntos de infleión., 8,, 8 C( ),, 8,, 8,, 8 C ( ) 0,6. El posible mínimo sería,6 m., 8 Como C ( ) y C( 6, ) 9, > 0, 6, es mínimo y, por tanto, las dimensiones de la venta deben ser 0,79,6, siendo el coste de 6, Está claro que 0 es una raíz de este polinomio. Supongamos que a es otra raíz del polinomio. Aplicando el teorema de Rolle a la función continua y derivable f() 9 7 en el intervalo [0, a], eistiría c (0, a) tal que f (c) c 8 c 7 0, y eso es imposible, ya que 7 0. Por tanto, el polinomio tiene una sola raíz..

5 8 Representación de funciones CRITERIOS DE EVALUACIÓN ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN A. Calcular la tendencia de una función en el infinito y en las proimidades de puntos aislados en los que no está definida.. Dada la función f(), calcula su dominio y su tendencia en las proimidades de los puntos en los que no está definida. B. Calcular las asíntotas de una función.. Halla las asíntotas de la función f(), C. Calcular los puntos de corte con los ejes de una función y el dominio de una función dada por su epresión algebraica, su gráfica o mediante un enunciado.. Calcula el dominio de las siguientes funciones. ( ) a) f() b) g() ( ) 7. Estudia el signo de f(). D. Estudiar la simetría, la periodicidad y el signo de una función.. Estudia si las siguientes funciones son pares, impares o no son simétricas. a) f() b) g() e ( 6) E. Representar gráficamente funciones polinómicas, racionales, con radicales, eponenciales, logarítmicas y trigonométricas, tras acer un estudio completo de sus características Dada la función f(), a) Estudia su monotonía y los máimos y mínimos relativos. b) Determina las asíntotas. c) Determina la curvatura y los puntos de infleión. d) Con los datos obtenidos, esboza la gráfica de la función y de las funciones f(), f() y f(). MATERIAL FOTOCOPIABLE F. Resolver ejercicios propios de las ciencias sociales que conlleven el estudio, la representación gráfica o el análisis de la gráfica asociada a la evolución de cierto fenómeno económico o social. 7. Los resultados financieros de una empresa, en miles de euros y en relación con el número de años que lleva funcionando, vienen dados por la epresión 60 f( ) 0 a) Qué resultados obtuvo durante el primer año de su actividad? b) En qué momento comenzó a producir beneficios? c) Hay algún momento en que alcance beneficios máimos? d) Consideras rentable la empresa? Por qué? 8. Los ingresos y los gastos de una empresa que se constituyó en 000, en función del tiempo medido en años, vienen dados por las siguientes funciones: I() G() 9 8 Teniendo en cuenta que la empresa cierra después de dos años seguidos con pérdidas: a) Escribe la función beneficio y calcula en qué año la empresa no tuvo beneficios. b) Determina el período en el que permaneció abierta. c) Haz una gráfica conjunta en la que se representen las funciones ingresos, gastos y beneficios.

6 Soluciones. 0 0 y D(f) R{0, } A. V.: ; es asíntota vertical. A. H.: ; La función no tiene asíntotas orizontales. A. O.: m ; n ± yes asíntota oblicua.. a) 0 y D(f) R, b) D(g) R / 0 0 ± 0 y 0 0 (, ) (, ) (, ) 9 b) A. V.: ; 9 9 ; y son asíntotas verticales. 9 9 A. H.: ; y es asíntota orizontal. c) f"() 6 no se anula nunca; por tanto, ( ) f no presenta puntos de infleión. Teniendo en cuenta los puntos en los que no está definida, se tiene que: f() es cóncava acia arriba en (, ) (, ). f() es cóncava acia abajo en (, ). d) Gráfica de f Gráfica de f() f () 9 O Gráfica de If()I O f () 9 O Gráfica de f() O f () f ( ) D(g) (, ) [, ) 7 ( )( 9). (, ) (, ) (, ) 9 Signo f. a) f() f(). Impar. b) g() e ( 6). No es simétrica a) f () 0 0 ( ) 7. a) f() 0. No obtuvo beneficios. 60 b) f'() es siempre positiva. Los beneficios siempre crecen y, por tanto, abrá un momento en que serán igual a 0. Esto sucede cuando f()0, es decir, cuando. c) Como la función es siempre creciente, no ay beneficios máimos. d) Sí es rentable, porque produce beneficios año tras año. 8. a) La función beneficio es: B() I() G() 9 8 que es una parábola abierta acia abajo y corta el eje en (, 0) y en (8, 0), y a partir de este punto la parábola es negativa; por tanto, a partir del octavo año, la empresa no obtiene beneficios. b) La empresa permaneció abierta durante 0 años. c) I () f() es creciente en (, ) (, 0). f() es decreciente en (0, ) (, ). 9 0, es máimo relativo. Mínimos no tiene. O G () B ()