INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL TESIS

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1 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE COMERCIO Y ADMINISTRACIÓN UNIDAD TEPEPAN L SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN. IMPORTANCIA DEL RIESGO INDIVIDUAL EN LA FORMACIÓN DE PORTAFOLIOS ÓPTIMOS DE INVERSIÓN CON ACCIONES DE LA BOLSA MEXICANA DE VALORES. TESIS Que para obtener el grado de Maestría en Ciencias en Administración de Negocios. Presenta: C.P. Dolores Adelina Reyes López. Director de Tesis: M. en F. Rafael Guadalupe Rodríguez Calvo. México D.F. Marzo 2009.

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4 AGRADECIMIENTOS. A Dios por darme una vida llena de bendiciones. Al Instituto Politécnico Nacional, por brindarme el conocimiento. Mi más grande agradecimiento a mi Director de Tesis, por compartir sus conocimientos y experiencias conmigo, por impulsarme en la realización de esta tesis y por la paciencia que siempre me ha tenido, muchas gracias maestro Rafael. A mis padres mi especial agradecimiento por sus consejos de superación constante, su apoyo por la culminación de mi carrera, y por su cariño, a mi madre donde quiera que esté, gracias por su amor. A mi esposo por ser la persona más importante de mi vida, por su tiempo, por su cariño, por todos los momentos de apoyo, y por el amor que le tengo. A mis suegros y a Itzel por su cariño y por su gran apoyo en todo momento. A mi amigo Raúl, gracias por su tiempo, por sus sugerencias y por su amistad incondicional. A mis hermanos y amigos cercanos que siempre me han apoyado. 4

5 ÍNDICE Acta de revisión de tesis. 2 Carta cesión de derechos... 3 AGRADECIMIENTOS. 4 Índice de tablas 7 Índice de ecuaciones... 9 Índice de Gráficas 10 Resumen.. 11 Introducción 12 CAPÍTULO 1. METODOLOGÍA El problema general de la inversión en valores Objetivo General Pregunta particular de investigación Hipótesis Variables Diseño de investigación Unidades de análisis y población Métodos de análisis y procesamiento de información Datos y fuentes de información 18 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO: TEORÍA MODERNA DE LA CARTERA Inversión en valores Problema de la inversión Medición del rendimiento en un periodo La inflación y el rendimiento real Medición del rendimiento promedio esperado real, para una inversión sencilla Medición del riesgo de una inversión sencilla Relación de dominación entre acciones Cartera de riesgo con dos activos Rendimiento esperado de una cartera de riesgo con dos activos Riesgo de una cartera con dos activos Riesgo y correlación de carteras de dos activos Carteras de dos activos, con un activo libre de riesgo Carteras de tres activos, con un activo libre de riesgo Apalancamiento de una cartera riesgosa con dos activos Consecuencia contrastable

6 CAPÍTULO 3. EL MERCADO DE VALORES MEXICANO Características del mercado de valores Participantes del mercado de valores Activos negociados en el mercado Instrumentos de deuda Deuda gubernamental Deuda privada Acciones CAPÍTULO 4. FORMACIÓN DE CARTERAS ÓPTIMAS CON ACCIONES DE LA BOLSA MEXICANA DE VALORES Acciones que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores Rendimiento promedio real y riesgo de las acciones que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores Correlación de carteras de dos activos Carteras de prueba con dos activos riesgosos Rendimiento esperado de una cartera de riesgo con dos activos Riesgo de cartera con dos activos Riesgo y rendimiento de las carteras con dos activos riesgosos Rendimiento real del activo libre de riesgo (CETES) Carteras de tres activos, con un activo libre de riesgo Carteras deudoras y acreedoras. 102 CONCLUSIONES 109 ANEXO. PERFIL DE LAS EMPRESAS EMISORAS DE LAS ACCIONES DE LAS MUESTRAS.. A.1. CONSORCIO ARA S.A.B. de C.V 113 A.2. FARMACIAS BENAVIDES S.A.B. de C.V A.3. CEMEX S.A.B. de C.V A.4. GRUPO CONTINENTAL S.A.B. de C.V. 117 A.5. FOMENTO ECONÓMICO MEXICANO, S.A.B. de C.V 119 A.6. GRUPO MODELO, S.A.B. de C.V A.7. HILASAL MEXICANA, S.A.B. de C.V A.8. GRUPO POSADAS, S.A.B. de C.V. 124 A.9. ORGANIZACIÓN SORIANA, S.A.B. de C.V A.10. TELEFONOS DE MÉXICO S.A.B. de C.V GLOSARIO BIBLIOGRAFÍA

7 ÍNDICE DE TABLAS. Tabla 2.1. Rendimiento real de una acción X Tabla 2.2. Rendimiento real de una acción A 23 Tabla 2.3. Rendimiento real de las acciones B y C 25 Tabla 2.4. Rendimiento promedio comparado con el rendimiento real de las acciones A y 28 B... Tabla 2.5. Desviación estándar de las acciones A y B Tabla 2.6. Rendimiento, riesgo de las acciones A y B Tabla 2.7. Carteras con los valores A y B 33 Tabla 2.8. Riesgo y rendimiento de carteras de dos activos: un activo libre de riesgo F y otro activo con riesgo A 35 Tabla 2.9. Riesgo y rendimiento de una cartera de dos activos: un activo libre de riesgo F y otro activo con riesgo B 36 Tabla Carteras formadas con dos activos de riesgo A y B Tabla Carteras formadas, con la cartera óptima y el activo libre de riesgo Tabla Carteras formadas, con los fondos propios y prestados e invertidos en carteras riesgosas 42 Tabla Proporción de inversión de los activos A y B que conforman la cartera 1, riesgos y rendimientos 44 Tabla Proporción de inversión de los activos X y Y que conforman la cartera 2, riesgos y rendimientos 44 Tabla Carteras formadas con fondos propios y prestados e invertidos en el activo libre de riesgo y el portafolio óptimo PD 45 Tabla Carteras formadas con fondos propios y prestados e invertidos en el activo libre de riesgo y el portafolio óptimo P6 46 Tabla Proporción de inversión de los activos C y D que conforman la cartera 3, riesgos y rendimientos.. 47 Tabla Proporción de inversión de los activos H y J que conforman la cartera 4, riesgos y rendimientos.. 47 Tabla Carteras formadas con fondos propios y prestados e invertidos en el activo libre de riesgo y el portafolio óptimo P Tabla Carteras formadas con fondos propios y prestados e invertidos en el activo libre de riesgo y el portafolio óptimo PG.. 49 Tabla 3.1. Mercado de valores por su forma de negociación Tabla 3.2. Empresas que cotizan actualmente en la Bolsa Mexicana de Valores 62 Tabla 4.1. Acciones que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores, durante los periodos Tabla 4.2. Rendimientos reales del período , de las acciones seleccionadas Tabla 4.3. Rendimiento esperado y riesgo de las acciones seleccionadas Tabla 4.4. Coeficiente de correlación de las 56 acciones seleccionadas, en el periodo 2001 al Tabla 4.5 Pares de carteras de prueba Tabla 4.6. Rendimiento individual de las acciones que forman el primer par de carteras 1 y Tabla 4.7. Rendimientos esperados de las carteras 1 y 2, formadas por los activos: CONTAL*, FEMSA UBD-POSADAS L, y ARA*. 84 7

8 Tabla 4.8. Rendimiento individual de las acciones que forman el segundo par de carteras 3 y Tabla 4.9. Rendimientos esperados de las carteras 3 y 4, formadas por los activos: POSADAS L, HILASAL A- TELMEX, GMODELOS C. 85 Tabla Rendimiento individual de las acciones que forman el tercer par de carteras 5 y Tabla Rendimientos esperados de las carteras 5 y 6, formadas por los activos: CEMEX CPO, BEVIDES B SORIANA B, CONTAL* 86 Tabla Riesgo de las carteras 1 y 2, formadas por los activos CONTAL*, FEMSA UBD POSADAS L, ARA* Tabla Riesgo de las carteras 3 y 4, formadas por los activos: POSADAS L, HILASAL A TELMEX, GMODELO C Tabla Riesgo de las carteras 5 y 6, formadas por los activos CEMEX CPO, BEVIDES B SORIANA B, CONTAL* 88 Tabla Rendimiento, riesgo y coeficiente de correlación de las acciones de CONTAL*, FEMSA UBD, POSADAS L y ARA* que conforman la cartera 1 y 2 88 Tabla Riesgo y rendimiento de las carteras 1 y 2, que está integrada por acciones de: CONTAL*, FEMSA UBD POSADAS L, ARA* 89 Tabla Rendimiento, riesgo y coeficiente de correlación de las acciones de POSADAS L, HILASAL A, TELMEX L, GMODELO C, que conforman la cartera 3 y Tabla Riesgo y rendimiento de las carteras 3 y 4, que está integrada por acciones de: POSADAS L, HILASAL A - TELMEX L, GMODELO C Tabla Rendimiento, riesgo y coeficiente de correlación de las acciones de CEMEX CPO, BEVIDES B SORIANA B, CONTAL*.. 92 Tabla Riesgo y rendimiento de las carteras 5 y 6, que está integrada por acciones de: CEMEX CPO, BEVIDES B SORIANA B, CONTAL* 93 Tabla Tasas de rendimiento promedio mensual de CETES a 360 días, Tabla Tasas de rendimiento promedio mensual de CETES a 360 días, Tabla Tasas de rendimiento promedio mensual de CETES a 360 días, Tabla Índice de Precios al Consumidor, tasas de inflación, 2001 al Tabla Tasas de rendimientos reales, del activo libre de riesgo (CETES) Tabla Rendimiento, riesgo y correlación de las carteras 1 y 2, formadas con los activos riesgosos: CONTAL *, FEMSA UBD y POSADAS L y ARA*, y el activo libre de 98 riesgo (CETES). Tabla Rendimiento, riesgo y correlación de las carteras 3 y 4, formadas con los activos riesgosos: POSADAS L, HILASAL A TELMEX L, GMODELO C y el activo libre de 99 riesgo (CETES). Tabla Rendimiento, riesgo y correlación de las carteras 5 y 6, formadas con los activos riesgosos: CEMEX CPO, BEVIDES B SORIANA B, CONTAL* y el activo libre de 101 riesgo (CETES). Tabla Riesgo y rendimiento del portafolio óptimo P6CF y el activo libre de riesgo Tabla Portafolios formados, con las carteras óptimas P6CF y el activo libre de riesgo Tabla Riesgo y rendimiento del portafolio óptimo P3TG y el activo libre de riesgo Tabla Portafolios formados, con las carteras óptimas y el activo libre de riesgo, de las carteras 3 y Tabla Riesgo y rendimiento del portafolio óptimo P7SC y el activo libre de riesgo Tabla Portafolios formados con las carteras óptimas y el activo libre de riesgo, de la carteras 5 y

9 ÍNDICE DE ECUACIONES. Ecuación 2.1. Tasa de rendimiento nominal de una inversión Ecuación 2.2. Tasa de rendimiento real de una inversión 20 Ecuación 2.3. Rendimiento promedio esperado real 21 Ecuación 2.4. Varianza Ecuación 2.5. Desviación estándar Ecuación 2.6. Rendimiento esperado de una cartera con dos activos 26 Ecuación 2.7. Riesgo de una cartera con dos activos 28 Ecuación 2.8. Coeficiente de correlación Ecuación 2.9. Covarianza Ecuación Valor ponderado a los activos que integran una cartera libre de riesgo 32 Ecuación Rendimiento esperado de una cartera compuesta por un activo libre de 34 riesgo y dos activos riesgosos Ecuación Riesgo esperado de una cartera compuesta por un activo libre de riesgo y 34 dos activos riesgosos Ecuación Riesgo esperado del portafolio riesgoso y el activo libre de riesgo 39 Ecuación Proporción de inversión a un activo riesgoso A 39 Ecuación Proporción de inversión a un activo riesgoso B 39 Ecuación Proporción de inversión al activo libre de riesgo y al portafolio riesgoso 39 Ecuación 3.1. Precio descontado de los CETES. 55 Ecuación 4.1. Tasa de inflación 96 9

10 ÍNDICE DE GRÁFICAS. Gráfica 2.1. Espacio de riesgo rendimiento Gráfica 2.2. Riesgo/rendimiento de las acciones B y C 25 Gráfica 2.3. Combinación de riesgo y rendimiento, cuando la correlación es igual a Gráfica 2.4. Combinaciones de riesgo y rendimiento, cuando la correlación es igual a Gráfica 2.5. Combinaciones posibles de riesgo y rendimiento de A y B de diversas 33 carteras... Gráfica 2.6. Combinación de un activo libre de riesgo F y un activo riesgoso A.. 35 Gráfica 2.7. Combinación de dos carteras con dos activos: un activo libre de riesgo y un activo riesgoso. FA y FB.. Gráfica 2.8. Combinación del activo libre de riesgo con la cartera de riesgo óptima.. 38 Gráfica 2.9. Carteras formadas con apalancamiento de una cartera riesgosa con dos activos... Gráfica Formación de dos carteras riesgosas 1, 2 y un activo libre de riesgo, con recursos propios y prestados.. Gráfica Formación de dos carteras riesgosas (3 y 4.) Gráfica Formación de dos carteras riesgosas 3 y 4, y el activo libre de riesgo, con fondos propios y prestados.. Gráfica 4.1. Formación de dos carteras riesgosas: (cartera 1: CONTAL*, FEMSA UBD)(cartera 2: POSADAS L, ARA*)... Gráfica 4.2. Formación de dos carteras riesgosas: (cartera 3: POSADAS L, HILASAL A) (cartera 4: TELMEX L, GMODELO C) Gráfica 4.3. Gráfica 4.4. Formación de dos carteras riesgosas: (cartera 5: CEMEX CPO, BEVIDES B)(cartera 6: SORIANA B, CONTAL*) Formación de dos carteras riesgosas: (cartera 1: CONTAL*, FEMSA UBD)(cartera 2: POSADAS L, ARA*) y el activo libre de riesgo Gráfica 4.5. Formación de dos carteras riesgosas: (cartera 3: POSADAS L, HILASAL A) (cartera 4: TELMEX L, GMODELO C) y el activo libre de riesgo.. Gráfica 4.6. Gráfica 4.7. Formación de dos carteras riesgosas: (cartera 5: CEMEX CPO, BEVIDES B)(cartera 6: SORIANA B, CONTAL*) y el activo libre de riesgo.. Formación de carteras deudoras y acreedoras, con activos riesgosos (cartera 1: CONTAL*, FEMSA UBD)(cartera 2: POSADAS L, ARA*)y el activo libre de riesgo... Gráfica 4.8. Formación de carteras deudoras y acreedoras, con activos riesgosos (cartera 3: POSADAS L, HILASAL A) (cartera 4: TELMEX L, GMODELO C) y el activo libre de riesgo Gráfica 4.9. Formación de carteras deudoras y acreedoras, con activos riesgosos (cartera 5: CEMEX CPO, BEVIDES B)(cartera 6: SORIANA B, CONTAL*) y el activo libre de riesgo

11 RESUMEN. El objetivo planteado en esta tesis fue determinar la importancia que tiene el nivel de riesgo individual de las acciones que forman una cartera sobre el nivel de riesgo y rendimiento esperado de largo plazo de carteras de acciones cotizadas en la Bolsa Mexicana de Valores. La hipótesis planteada fue que a similares rendimientos individuales y correlaciones entre los rendimientos de las acciones que conforman dos carteras con dos acciones cada una, listadas en la Bolsa Mexicana de Valores, y un activo libre de riesgo, CETES a 364 días, las carteras que tuviera por lo menos una acción con un riesgo individual menor que el riesgo individual de las acciones de la otra cartera apareada, sería la que permitiría construir los mejores portafolios de inversión. De las pruebas hechas con tres pares de carteras apareadas se obtuvieron los siguientes resultados: mejores portafolios óptimos de inversión con las carteras CONTAL*/FEMSA UBD, TELMEX L/GMODELO C y SORIANA B/CONTAL*; contra las carteras POSADASL/ARA*, POSADASL/HILASAL A y TELMEX CPO/BEVIDES B, respectivamente. Resultados que confirmaron la hipótesis de investigación dado que las tres primeras carteras tienen por lo menos una acción con menor riesgo individual que sus contrapartes. Palabras clave: acciones, activo libre de riesgo, rendimiento individual, rendimiento esperado, riesgo de variabilidad en el rendimiento, correlación entre los rendimientos, diversificación, carteras deudoras y acreedoras, portafolios óptimos de inversión. SUMMARY. The planning objective in this tesis was to determine the importance that has the individual risk level of the assets that form a portfolio about the risk level and waited for yield of long term of portfolios of quoted assets in Mexican stock -market of values the raised hypothesis went that to similar individual yields and correlations between the yields of the assets that conform two portfolios with two assets each one, listed in Mexican stock-market of values and free assets of risk, like CETES to 364 days, the portfolios that have at least an asset with an individual risk of the assets of the other matched up portfolio, it would be the one that would allow construit the best portfolios of investment. Of tested with the three pairs of matched up portfolios the following results were obtained: better optimal portfolios of investment with the portfolios CONTAL*/FEMSA UBD; TELMEX L/GMODELO C; y SORIANA B/CONTAL* against the portfolios POSADAS L/ARA*; POSADAS L/HILASAL A; y TELMEX CPO/ BEVIDES B, respectively. Results that confirmed the investigation hypothesis because the three first portfolios at least have an asset with smaller individual risk than their counterparts. Key words: assets, free assets of risk, individual yield, waited for yield, risk of variability in the yield, correlation between the yields, indebted and deserving diversification, portfolios, optimal portfolios of investment. 11

12 INTRODUCCIÓN Los inversionistas y los administradores de inversiones en su intento por amortiguar el riesgo de variabilidad en el rendimiento de las inversiones no suelen invertir en un solo activo financiero, sino que invierten en carteras de valores. Esta práctica de mantener muchos activos riesgosos en vez de concentrar toda la inversión en uno solo se llama diversificación. Sin embargo, no toda la diversificación conduce a buenos resultados. Para obtener buenos resultados se debe considerar de manera explícita la correlación entre los rendimientos de los activos que conforman las carteras, así como los rendimientos esperados y riesgos individuales. La teoría de la cartera de Harry Markowitz, que considera esos parámetros de manera explícita para construir carteras de inversión, se utiliza en esta tesis para demostrar la importancia del riesgo individual en la formación de portafolios óptimos considerando carteras de acciones que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores y CETES a 364 días. En el primer capítulo se expone la metodología de investigación. Se plantea el objetivo, la pregunta y la hipótesis de investigación. Se definen las variables conceptual y operativamente. Se propone un diseño de investigación de carteras apareadas para probar la hipótesis. Se especifican las unidades de análisis, los métodos y fuentes de información. En el capítulo segundo se desarrolla el marco teórico. Este se basa en la teoría de la cartera de Harry Markowitz. Se explica el cálculo del rendimiento real esperado de una inversión sencilla y de su riesgo. Se formula el principio de dominación entre inversiones financieras, para después aplicarse en la selección de portafolios óptimos. Se forman carteras de dos activos riesgosos y se explica la manera de calcular el riesgo y su rendimiento esperado. Se destaca el papel de la correlación entre los rendimientos de las acciones que forman las carteras para definir los portafolios óptimos. Después se introduce el activo libre de riesgo para formar carteras deudoras y acreedoras óptimas. Se resalta la importancia de la determinación del portafolio óptimo de activos de riesgo que cualquier inversionista racional debe seleccionar para formar sus portafolios de inversión cuando se introduce el activo libre de riesgo. Finalmente se consideran las consecuencias de los riesgos individuales diferentes en los resultados de los portafolios al suponer igualdad en las correlaciones y rendimientos individuales de dos carteras riesgosas. En el capítulo tercero se expone un perfil del mercado de valores mexicano. Se describen los participantes y los instrumentos negociados. En particular se describen las características de los CETES y de las acciones, que son los que se utilizan para formar las carteras de inversión en el capítulo cuarto. En el capítulo cuarto se forman carteras con acciones que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores y con CETES a 364 días. Se forman tres pares de carteras apareadas que cumplen con las condiciones iniciales de la hipótesis de investigación y se calcula el rendimiento y riesgo de un conjunto de portafolios factibles. Después se calcula el rendimiento real de los CETES a 364 días y se introduce para determinar el portafolio óptimo de activos de riesgo que se utiliza para formar carteras deudoras y acreedoras óptimas. De la comparación de los portafolios óptimos se llega a la contrastación de la hipótesis de investigación. Finalmente, se exponen las conclusiones de la investigación y en un anexo se describe brevemente la historia y los consejos de administración de las empresas emisoras de las acciones analizadas. 12

13 CAPÍTULO 1. METODOLOGÍA EL PROBLEMA GENERAL DE LA INVERSIÓN EN VALORES. Resulta fácil establecer la meta de la inversión en valores: ganar dinero. Pero para ganar dinero mediante la inversión en valores se requiere que el inversionista seleccione un nivel de riesgo. Conociendo el hecho de que el inversionista está en posición constante de tratar de asegurar altos rendimientos sobre la inversión al mismo tiempo que trata de controlar la exposición al riesgo, el problema general de la inversión en activos financieros, se puede expresar en la siguiente forma: Para un determinado nivel de riesgo, cómo lograr el rendimiento más alto posible?, o de manera equivalente: para una determinada tasa de rendimiento esperada, cómo lograr el menor riesgo posible? OBJETIVO GENERAL. El objetivo general de la presente tesis es determinar qué importancia tiene el nivel de riesgo individual de las acciones que conforman una cartera de activos financieros sobre los posibles portafolios con el menor riesgo posible, para determinadas tasas de rendimiento esperadas de largo plazo, considerando carteras formadas con acciones listadas en la Bolsa Mexicana de Valores y un activo libre de riesgo del mercado de dinero: CETES a 364 días PREGUNTA PARTICULAR DE INVESTIGACIÓN. Para dar cause al objetivo se propone la siguiente pregunta de investigación: Si se forman dos carteras con un activo libre de riesgo, como los CETES a 364 días, y dos acciones cotizadas en la Bolsa Mexicana de Valores, con rendimientos individuales y correlaciones entre sus rendimientos similares, y riesgos diferentes. Con cuál cartera el inversionista podrá resolver de mejor manera la decisión de su inversión? O, en otras palabras: Con cuál cartera podrá el inversionista formar portafolios de inversión que den un mayor rendimiento esperado de largo plazo, para un nivel determinado de riesgo o un menor riesgo, para un determinado nivel de rendimiento esperado de largo plazo? 1.4. HIPÓTESIS. De acuerdo con la teoría moderna de la cartera que se presenta en el capítulo segundo de esta tesis: A similares rendimientos individuales y correlaciones entre los rendimientos de las acciones que conforman una cartera con dos acciones y un activo libre de riesgo, la cartera que tenga por lo menos una acción con un riesgo individual menor que el riesgo individual de las acciones de la otra cartera, será la que permita construir los mejores portafolios de inversión, es decir, los portafolios que den a igual nivel de riesgo el mayor rendimiento posible de largo plazo o a igual nivel de rendimiento a largo plazo el menor riesgo posible. 2 1 Kolb Robert, Inversiones, Limusa, México, primera edición 1993, p Rodríguez Calvo Rafael Guadalupe, Teoría moderna de la cartera, Papeles de trabajo, ESCA Tepepan, México, 2008, p

14 1.5. VARIABLES. Las variables utilizadas en la pregunta e hipótesis de investigación son el rendimiento y el riesgo de la inversión, tanto de los activos individuales, como de las carteras formadas con estos. También se ha hablado de la correlación entre los rendimientos de los activos que conforman las carteras de inversión y de manera implícita de las proporciones de inversión en cada activo que definen un portafolio de inversión. En el planteamiento se tienen dos variables dependientes y cuatro variables independientes. Las variables dependientes son el rendimiento esperado de largo plazo y el riesgo de las carteras de inversión; mientras que las variables independientes son el riesgo individual y el rendimiento individual de los activos que conforman las carteras, la correlación entre esos rendimientos y las proporciones de inversión en cada activo. Sin embargo, tres de las cuatro variables independientes son parámetros definidos por las condiciones del mercado de valores, a saber: el riesgo y el rendimiento individual de los activos y la correlación entre esos rendimientos. La otra variable independiente: las proporciones de inversión en cada activo que forma la cartera, es una variable de decisión que depende del inversionista, la cual se puede modificar a voluntad. 3 Esquemáticamente las relaciones entre estas variables son las siguientes: Variables independientes Variables dependientes Rendimiento individual de los activos Rendimiento de la cartera Proporciones de inversión en cada activo Riesgo individual de los activos Riesgo de la cartera Correlación entre los rendimientos individuales de los activos El rendimiento individual de los activos se define como el cambio en el valor de la inversión. Para el caso de las acciones se mide con el promedio aritmético de las ganancias anuales por dividendos y por la variación anual de su precio de mercado, mientras que para el activo libre de riesgo se mide con el promedio aritmético de las tasas anuales de interés que proporciona. Su definición operativa es la siguiente: R = n i=1 n Ri 3 Ibidem. 14

15 Donde: R = Rendimiento promedio esperado. n i=1 Ri = Suma de los rendimientos reales durante el periodo de valuación. n = Número de períodos. Las proporciones de inversión en cada activo son simplemente la razón de la inversión que se destina a cada activo sobre el monto de la inversión total. La suma de las cuales debe ser igual a la unidad. El riesgo individual de cada acción o la posibilidad de que el rendimiento real se desvíe del rendimiento esperado, se mide con la desviación estándar de los rendimientos anuales de cada valor. Es decir, su definición operativa es como sigue: σ 2 = n i=1 Ri Ri) 2 n Donde: σ 2 = Varianza. Ri = Rendimiento real en el año i. R = Rendimiento promedio esperado. n = Número de periodos. La correlación entre los rendimientos de los activos que conforman la cartera, es medida con el coeficiente de correlación como una medida de la intensidad de la asociación entre los rendimientos de cada par de acciones. Por ello su definición operativa está dada por: Donde: r A,B = COV A,B σ A σ B COV A,B = Covarianza de los rendimientos de A con B. Por lo que, para poder calcular el coeficiente de correlación, primero se debe determinar la covarianza: 15

16 COV A,B = n i=1 R A,i R A (R B,i R B ) n Mientras que el rendimiento de la cartera se calcula como el promedio ponderado de los rendimientos individuales de los activos que la forman, considerando como factores de ponderación a las proporciones de inversión en cada activo. Es decir, se calcula con la siguiente fórmula: R P = W A R A + W B R B Donde: R P = Rendimiento real del portafolio. W A, W B = Proporción que se invierte en el activo A y en el activo B. R A, R B = Rendimiento esperado real del activo A y del activo B. Por último el riesgo de la cartera se calcula con la desviación estándar de sus rendimientos reales anuales y su definición operativa es la siguiente: σ P = W A 2 σ A 2 + W B 2 σ B 2 + 2W A W B σ A σ B r A,B Donde: σ p = Riesgo de la cartera. W A, W B = Proporción que se invierte en el activo A y en el activo B. σ A σ B = Desviación estándar de A y B. r A,B = Coeficiente de correlación entre los rendimientos de A y B DISEÑO DE INVESTIGACIÓN. El diseño de investigación que se utiliza para poner a prueba la hipótesis de trabajo consiste en comparar dos carteras de activos, con dos acciones cada una y un activo libre de riesgo, que cumplan con las condiciones de la pregunta e hipótesis de investigación, es decir, que tengan rendimientos individuales y correlaciones entre sus rendimientos similares. 16

17 Utilizando la simbología de Hernández Sampieri et al 4 el diseño de investigación se plantea como sigue: E C 1 X 1 O 1 E C 2 X 2 O 2 Es decir, para lograr la equivalencia inicial de las carteras C 1 y C 2 en cuanto a rendimientos y correlaciones entre estos, se aplicará la técnica de emparejamiento o apareo E de tal manera que las carteras formadas tengan rendimientos individuales de los activos y correlaciones entre estos, similares. Posteriormente se mide el nivel de riesgo individual de cada activo que conforman las dos carteras el cual debe ser diferente, es decir, X 1 X 2. Por último, se calculan los niveles de riesgo y rendimiento O 1 y O 2 de las carteras C 1 y C 2, esperando comprobar que si el riesgo individual de por lo menos uno de los activos que conforman una cartera C 1 es menor que el de la otra C 2, ante la igualdad de los niveles de las otras variables independientes, los resultados en cuanto a riesgo y rendimiento de la primera cartera, O 1, serán mejores que los resultados de la segunda cartera, O 2. Adicionalmente se introducirá un activo libre de riesgo en las carteras riesgosas, con el cual se determinará el portafolio óptimo de riesgo para cada una y a partir de éste se formarán portafolios deudores y acreedores UNIDADES DE ANÁLISIS Y POBLACIÓN. El mercado accionario mexicano se divide en siete grandes rubros: industria extractiva, de la transformación y de la construcción; sectores comercio, de comunicaciones y transportes, de servicios financieros y de empresas controladoras. Exceptuando a la industria extractiva, cada uno de esos grandes rubros cuenta con más de tres acciones, sumando en total 137 acciones listadas en la Bolsa Mexicana de Valores a diciembre del No obstante, de acuerdo con lo que ha quedado de manifiesto de manera reiterada en el objetivo, pregunta, hipótesis y diseño de investigación, las unidades de análisis no son las acciones individuales, sino las carteras de inversión formadas con ellas. En particular, las carteras formadas con dos acciones y un activo libre de riesgo. De esta población se toman tres pares de carteras apareadas que cumplan con las condiciones iniciales establecidas en nuestra pregunta de investigación: rendimientos individuales y correlaciones similares, a las cuales se aplica el diseño de investigación, para comprobar la hipótesis de trabajo. 4 Hernández Sampieri Roberto et al, Metodología de la investigación, Cuarta edición, McGraw-Hill, México, 2006, p Bolsa Mexicana de Valores, Indicadores bursátiles de la BMV, México, diciembre de

18 1.8. MÉTODOS DE ANÁLISIS Y PROCESAMIENTO DE INFORMACIÓN. Los métodos de análisis utilizados son de dos tipos: estadísticos y matemáticos. Dentro de los instrumentos estadísticos apropiados son los métodos tabulares y gráficos para representar series de tiempo y diagramas de dispersión, además de métodos de cálculo de medidas de tendencia central, de dispersión y de correlación entre variables. Mientras que los métodos matemáticos que se utilizan son métodos numéricos de aproximación y gráficas de funciones y relaciones lineales y cuadráticas. En todo momento se hará uso de la hoja electrónica de Microsoft Excel para realizar los cálculos. Una vez recolectados los datos sobre los rendimientos históricos reales obtenidos por las acciones listadas en la Bolsa Mexicana de valores y por los Certificados de la Tesorería de la Federación a 364 días, se procederá a calcular su rendimiento esperado aplicando la media aritmética. Enseguida se calcula su riesgo, aplicando la desviación estándar, y se forman todos los pares de acciones para calcular el coeficiente de correlación entre sus rendimientos. Después se aplica el método de apareamiento para seleccionar por lo menos tres pares de carteras para replicar el diseño de investigación por lo menos tres veces. Para cada par de carteras apareadas de dos acciones que cumplan con las condiciones iniciales del problema de investigación, se calculan los rendimientos y riesgos para un conjunto seleccionado de portafolios de inversión, primero considerando únicamente las acciones y después integrando a la cartera los Certificados de la Tesorería de la Federación a 364 días. Se forman los portafolios de inversión asignando porcentajes de fondos a cada activo de las carteras y de la comparación gráfica y numérica de los resultados de los portafolios formados, se contrastará nuestra hipótesis de investigación. Además se formarán portafolios deudores y acreedores con cada una de las carteras apareadas. 1.9 DATOS Y FUENTES DE INFORMACIÓN. Los datos que se utilizan son los rendimientos anuales del 2001 al 2007 de las acciones listadas en la Bolsa Mexicana de Valores del boletín mensual Indicadores Bursátiles de la Bolsa Mexicana de Valores. Y los rendimientos de los Certificados de la Tesorería de la Federación a 364 días y los valores del Índice Nacional de Precios al Consumidor, se toman de la página web del Banco de México: 18

19 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO: TEORÍA MODERNA DE LA CARTERA INVERSIÓN EN VALORES. La inversión se define, como el proceso que consiste en colocar fondos en determinados instrumentos con el propósito de que su valor aumente o de que produzca un retorno positivo. 6 A las inversiones que representan instrumentos o valores de deuda, propiedad de un negocio o el derecho legal a adquirir o vender una participación en la propiedad de un negocio se les conoce con el nombre de valores, es decir un valor es un derecho financiero, por lo general representado por una hoja de papel 7. Los tipos más comunes de valores son las acciones y los Certificados de la Tesorería de la Federación (CETES). Considerando que una inversión financiera es la adquisición de valores, comprometiendo para esto un capital por un determinado tiempo, con el fin de obtener una ganancia por la tenencia de los mismos, entonces cuando se decide realizar inversiones financieras se precisan interrogantes en cuanto a rendimiento y riesgo PROBLEMA DE LA INVERSIÓN. El problema básico al que se enfrenta cualquier inversionista es cómo lograr el rendimiento deseado, al mismo tiempo que el riesgo sea mínimo, lo mejor es invertir en valores que ofrezcan altos rendimientos y riesgo bajo. No obstante, las oportunidades de inversión con altos rendimientos esperados van acompañados por lo regular de un alto riesgo, esto hace que el inversionista busque la mejor combinación entre riesgo y rendimiento. 8 Si el inversionista está en posición constante de tratar de lograr altas utilidades sobre la inversión al mismo tiempo que trata de controlar la exposición al riesgo, el problema de la inversión se expresa de la siguiente manera: Para una determinada tasa de rendimiento requerida, lograr el rendimiento con el menor riesgo posible MEDICIÓN DEL RENDIMIENTO EN UN PERIODO. El propósito de un análisis de valores es determinar sus beneficios futuros posibles, las condiciones bajo las cuales se recibirán estos beneficios y la probabilidad de ocurrencia de estas condiciones, es decir, comprender las características del rendimiento de los valores Gitman Lawrence J. y Michael D. Joehnk, Fundamentos de inversiones, OUP- Harla, México, 1997, p Kolb Robert, Inversiones, Limusa, México, primera 1993 p Ibidem, p Ibidem, p Gordon Alexander et al, Fundamentos de inversión, teoría y práctica, Tercera edición, Printice Hall, México, 2003, p.2. 19

20 Cuando se invierte en valores de capital como acciones ordinarias, el rendimiento proviene de dos fuentes: 1. De los dividendos en efectivo pagados al accionista. 2. De la ganancia o pérdida del precio de mercado de la acción durante el periodo de tenencia. 11 La manera de medir la tasa de rendimiento es: Porcentaje de rentabilidad = Ganancia de capital + dividendos Precio inicial de las acciones (Ecuación 2.1. ) Ejemplo: Supongase que se ha comprado acciones de la empresa Televisa, a comienzos de 2007, cuando su precio era de $100 cada una. A finales del año, el valor de esa inversión había aumentado a $137, proporcionando una ganancia de capital de = $37. Además en 2007 la empresa pago un dividendo de $8 por acción. 12 Sustituyendo la fórmula, el rendimiento del período es de: Porcentaje de rentabilidad = = 45% 2.4. LA INFLACIÓN Y EL RENDIMIENTO REAL. A los cambios de precios de bienes, servicios y activos ocurridos durante un periodo determinado, se le llama inflación, la inflación tiene un impacto significativo en las decisiones y resultados de la inversión. Para corregir los efectos de la inflación, se distinguen dos tipos de tasas de rendimiento, nominales y reales. La tasa de interés nominal, mide la cantidad de dinero que se tendrá a final del periodo. La tasa de rendimiento real, muestra cuánto se podrá comprar más con el dinero recibido. 13 Para determinar la tasa de rendimiento real, se utiliza la siguiente fórmula: Tasa de rendimiento real = Tasa de interés nominal tasa de inflación 1 + tasa de nflación (Ecuación 2.2. ) 11 Bodie Zvi, Merton Robert, Finanzas, Prentice Hall, México, 2003, p Brealey, Myers, Marcus, Fundamentos de finanzas corporativas, Mc Graw Hill Quinta edición, España, 2007, p Bodie Zvi y Merton Robert, Op. cit., p

21 Ejemplo: Se retoma el anterior ejemplo: con la tasa de rendimiento nominal del 45%, e incluiremos la inflación del 7%, 14 sustituyendo la fórmula: Tasa de rendimiento real = = 38% Por tanto la tasa de rendimiento real equivale a 38%, comparada con la nominal del 45% MEDICIÓN DEL RENDIMIENTO PROMEDIO ESPERADO REAL, PARA UNA INVERSIÓN SENCILLA. El promedio de vida de una inversión en valores por lo general es a largo plazo, durante el periodo de tenencia de la inversión, los accionistas obtienen información del rendimiento esperado para cada uno de los periodos. Para medir el rendimiento promedio esperado de largo plazo, se calcula el promedio aritmético de las rentabilidades. Ejemplo: Se compra una acción de Telmex y se mantiene durante cuatro años. Los rendimientos esperados durante este periodo son los siguientes: Tabla 2.1. Rendimiento real de una acción X. Periodo Rendimiento real al final del periodo ( % ) Fuente: Elaboración propia. Fórmula: R = n i=1 n Ri (Ecuación 2.3. ) 14 Brealey, Myers, Marcus, Op. cit., p

22 Donde: R = Rendimiento promedio esperado. n i=1 Ri = Suma de los rendimientos reales durante el periodo de valuación. n = Número de períodos. Sustituyendo en la fórmula los valores, el resultado es el siguiente: R = = 31.5 % Durante el periodo el rendimiento promedio esperado es de 31.5 % MEDICIÓN DEL RIESGO DE UNA INVERSIÓN SENCILLA. El riesgo según Van Horne se define como la variabilidad de los rendimientos en relación con lo que se espera recibir a largo plazo 15. Una manera de considerar el riesgo de la rentabilidad de algún título valor es la dispersión de la frecuencia, es decir, cuanto se puede desviar una rentabilidad determinada de la rentabilidad media esperada a largo plazo. La varianza y la desviación estándar es la forma más usual para medir la posibilidad de que el rendimiento real se desvíe del rendimiento esperado. Primero se calcula la varianza, con la siguiente fórmula: σ 2 = n i=1 Ri Ri) 2 n (Ecuación 2.4. ) 15 Van Horne, Wachowicz, Fundamentos de administración financiera. Pearson Educación, Undécima edición, México, 2002, p

23 Donde: σ 2 = Varianza. Ri = Rendimiento real en el año i. R = Rendimiento promedio esperado. n = Número de periodos. Posteriormente estándar. 16 a la varianza se le aplica la raíz cuadrada, para determinar la desviación σ = σ 2 (Ecuación 2.5. ) Ejemplo: Se compra una acción y los rendimientos son los siguientes: Tabla 2.2. Rendimiento real de una acción A. Año Rendimiento real de la acción A (%) Rendimiento promedio 15.4 Fuente: Elaboración propia. Sustituyendo en la fórmula de la varianza, se tiene lo siguiente: σ 2 = ( )2 + ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 4 = Al aplicar la raíz cuadrada a , para determinar la desviación estándar se tiene: El riesgo que se genera es de 2.3%. σ = = 2.3% 16 Rodríguez Calvo Rafael G. Teoría moderna de la cartera, papeles de trabajo, ESCA Tepepan. México, 2008, p

24 Rendimiento 2.7. RELACIÓN DE DOMINACIÓN ENTRE ACCIONES. Los inversionistas prefieren un mayor rendimiento esperado y desean evitar riesgo. Robert W. Kolb expresa: "Un título domina a otro si al menos se encuentra una de las siguientes tres condiciones: 1) Si un determinado título ofrece más alto rendimiento esperado y el mismo nivel de riesgo que un segundo título, entonces el primer título domina al segundo; 2) Si un determinado título tiene el mismo rendimiento esperado pero un más bajo riesgo que un segundo título, entonces el primer título domina al segundo, y 3) Si un determinado título tiene tanto un rendimiento esperado más alto como un riesgo más bajo que un segundo título, entonces el primer título domina al segundo". 17 En la siguiente gráfica, C domina a D y el valor E domina a F por la primera condición anteriormente mencionada. El primer valor C domina a E y el valor D domina a F por la segunda condición. Por último, el valor C domina a F por la tercera condición Gráfica 2.1. Espacio de riesgo y rendimiento. C D E F Riesgo Fuente: Elaboración propia. En el siguiente ejemplo, se muestran los rendimientos históricos de las acciones de B y C, de cuatro años, así como el rendimiento y el riesgo que se esperan al invertir en cada una de ellas. 17 Kolb Robert, Op. cit., p Ibidem, p

25 Rendimiento Tabla 2.3. Rendimiento real de las acciones B y C. AÑO Rendimiento real Rendimiento real de la acción B (%) de la acción C (%) Rendimiento promedio Riesgo esperado Fuente: Elaboración propia. Como se puede observar la acción B domina a la acción C. En la siguiente gráfica se muestra al inversionista la posibilidad de analizar los diferente valores, donde muestra la relación riesgo/rendimiento, en donde es evidente que la acción B tiene un mayor rendimiento y un menor riesgo que la acción C. 30% 25% 20% Gráfica 2.2. Riesgo/rendimiento de las acciones B y C. B c 15% 10% 5% 0% 0% 2% 4% 6% 8% 10% Riesgo Fuente: Elaboración propia CARTERA DE RIESGO CON DOS ACTIVOS. Una cartera es un conjunto de instrumentos de inversión, o un grupo de valores. Para crear una cartera eficiente, que proporcione el mayor rendimiento para cierto grado de riesgo o con el menor 25

26 riesgo para cierto nivel de rendimiento, el inversionista debe analizar al menos dos posibilidades de inversión para conseguir las mejores combinaciones de riesgo y rendimiento RENDIMIENTO ESPERADO DE UNA CARTERA DE RIESGO CON DOS ACTIVOS. El rendimiento esperado de una cartera integrada de dos activos dependerá de los rendimientos esperados de los activos por separados, y del porcentaje invertido en cada uno de ellos. 20 La fórmula para calcular el rendimiento esperado de la cartera es: R P = W A R A + W B R B ( Ecuación 2.6. ) Donde: R P = Rendimiento real del portafolio. W A, W B = Proporción que se invierte en el activo A y en el activo B. R A, R B = Rendimiento esperado real del activo A y del activo B. La suma de las proporciones de los dos activos A y B es igual a 1, debido a que los fondos están asignados a un activo u otro para formar la cartera, es decir: W A + W B = 1 A continuación se da un ejemplo: Supongase que la cartera está integrada por las acciones A y B, y tiene una proporción de inversión del 70% para la acción A y 30% para la acción B. El rendimiento promedio esperado real, para cada uno de ellos es de 28% para la acción A y 23% para la acción B. Sustituyendo en la fórmula: R P = = 26.5% 19.Gitman Lawrence J y Michael D. Joehnk. Op. cit., p Kolb Robert, Op. cit., p

27 Como el activo A, tiene un rendimiento esperado mayor, el rendimiento esperado de la cartera siempre será mayor, mientras mayor sea la proporción de los fondos invertidos en A RIESGO DE UNA CARTERA CON DOS ACTIVOS. El riesgo de una cartera depende del riesgo de cada uno de los valores en la cartera, del porcentaje de fondos invertidos en cada valor y de la tendencia que tengan a covariar los rendimientos de los valores de la cartera. 21 El grado de riesgo de una cartera no es un promedio ponderado de la desviación estándar de los valores individuales que la forman: el riesgo es por lo general más pequeño que el promedio ponderado de las desviaciones de las acciones. Es posible combinar dos acciones que por sí mismas sean muy riesgosas tal como lo miden sus desviaciones estándar y formar una cartera que se encontrará completamente libre de riesgo. 22 La razón por la que una cartera está libre de riesgo, es que sus rendimientos se desplazan en forma opuesta entre sí, es decir, cuando los rendimientos de A disminuyen, los de B aumentan y viceversa. La relación que existe entre dos variables se mide a través de la correlación. El coeficiente de correlación, r, mide el grado de relación que existe entre las variables. Su medida va de +1 para series de correlación positiva perfecta, a -1 para series de correlación negativa perfecta. Si una correlación es mayor que cero, esto significa que las dos variables tienden a moverse en la misma dirección cuando cambian. Un valor negativo para la correlación señala que las dos variables tienden a moverse en direcciones opuestas. Si la correlación entre dos variables es igual a cero, no existe relación entre ellas y se consideran independientes. 23 La fórmula del riesgo de una cartera de dos activos, medido a partir de la desviación estándar y utilizando el coeficiente de correlación, es la siguiente: 21 Ibidem, p Scott Besley, Eugene F. Brigham, Fundamentos de administración financiera, Mc Graw Hill, México, 2001, p Kolb Robert, Op. cit., p

28 σ P = W A 2 σ A 2 + W B 2 σ B 2 + 2W A W B σ A σ B r A,B (Ecuación 2.7. ) Donde: σ p = Riesgo de la cartera W A, W B = Proporción que se invierte en el activo A y en el activo B. σ A σ B = Desviación estándar de A y B.. r A,B = Coeficiente de correlación A su vez, la fórmula para calcular en coeficiente de correlación r es: Donde: r A,B = COV A,B σ A σ B (Ecuación 2.8. ) COV A,B = Covarianza de los rendimientos de A con B. Por lo que, para poder calcular el coeficiente de correlación, primero se debe determinar la covarianza: COV A,B = n i=1 R A,i R A (R B,i R B ) n (Ecuación 2.9. ) Suponga que se pretende calcular el riesgo de una cartera de los activos A y B, con los datos de la siguiente tabla: Año Tabla 2.4. Rendimiento promedio comparado con el rendimiento real de las acciones A y B Rendimiento real acción A R A,i Rendimiento real acción B R B,i 28 Desviación de A R A,i R A Desviación de B R B,i R B Producto de las desviaciones (R A,i R A )(R B,i R B ) Rendimiento promedio R Fuente: Elaboración propia.

29 Sustituyendo en la fórmula de la covarianza el resultado es: COV A,B = = El segundo cálculo es la desviación estándar, para las acciones A y B.. Tabla 2.5. Desviación estándar de las acciones A y B. Año Desviaciones cuadráticas de A Desviaciones cuadráticas de B σ Fuente: Elaboración propia. Sustituyendo la fórmula del coeficiente de correlación: r A,B = ( ) = El resultado de correlación significa que los rendimientos de A y B tienden a moverse en la misma dirección cuando cambian. La proporción en la cartera de A es del 70% y de B es del 30 %. El desarrollo de la fórmula de riesgo de la cartera es: σ P = (.70) 2 ( ) 2 + (.30) 2 ( ) ( ) σ P = El riesgo de la cartera es del 1.56%, es menor que el promedio de las desviaciones individuales del valor A y B. 29

30 RIESGO Y CORRELACIÓN DE CARTERAS DE DOS ACTIVOS. En la creación de la cartera uno de los factores que más afectan al riesgo de cualquier cartera es el grado de covarianza o correlación entre los valores individuales que componen la cartera. 24 Para determinar la importancia de la correlación de los rendimientos y determinación del riesgo total de la cartera, se muestran dos casos especiales: primero, cuando la correlación es igual a 1 y la segunda situación cuando la correlación es igual a -1. Correlación = 1. Para ejemplificar la correlación se tienen los siguientes datos: Tabla 2.6. Rendimiento, riesgo de las acciones A y B. Acción A Acción B Rendimiento esperado riesgo valor ponderado Fuente: Elaboración propia. El rendimiento de la cartera para estos datos es de: R P = 13.90% Mientras que el riesgo de cartera es: σ P = 11% Cuando la correlación es igual a 1, el riesgo de cartera depende del riesgo de los activos individuales y del valor ponderado que representan las carteras únicamente. En la gráfica 2.3 se muestra la posición de los valores de A y B en el espacio de riesgo y rendimiento, y la cartera compuesta de 30% de A y 70% de valor B. 24 Kolb Robert, Op. cit., p

31 Rendimiento Gráfica 2.3. Combinación de riesgo y rendimiento, cuando la correlación es igual 1. 18% 16% 14% A 12% P 10% B 8% 6% 4% 2% 0% 7% 9% 11% 13% 15% Riesgo Fuente: Elaboración propia. Correlación = -1. En este caso, se simplifica la fórmula del riesgo de la siguiente manera: σ P = W B σ B W A σ A Sustituyendo los valores, tomando los datos de la tabla 2.6, el resultado es: σ P = = 3.5% El 3.5% es más bajo, que si el riesgo de la cartera tuviera los activos perfectamente correlacionados. Cuando la correlación es igual a -1, da lugar a la idea de que pudiera ser posible crear una cartera sin riesgo. Para ser esto posible, la desviación estándar seria igual a 0, y la fórmula quedaría de la siguiente manera: σ P = W A σ A W B σ B = 0 Realizando los despejes de las fórmulas a partir de que W B = 1 W A se tiene lo siguiente:, 31

32 Rendimiento W A = σ B σ A + σ B (Ecuación 2.10) Esta ecuación determina el valor ponderado que se debe asignar a un valor (A), en esta cartera de dos activos para tener una cartera con riesgo de cero: W A = = 45% La desviación estándar es de: σ P = = 0 El resultado demuestra que si existen activos que estén correlacionados en forma perfectamente negativa, es posible formar una cartera libre de riesgo. La gráfica muestra, las posibles combinaciones de cartera que se pueden crear a partir de dos valores, cuando la correlación es igual a-1, las dos líneas muestran las oportunidades, que incluye una cartera libre de riesgo. Gráfica 2.4. Combinaciones de riesgo y rendimiento, cuando la correlación de rendimiento es igual a % 16% P 14% A 12% B 10% 8% 6% 4% 2% 0% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% Riesgo Fuente: Elaboración propia. 32

33 Rendimiento Para la gran mayoría de los pares de valores, la correlación de rendimiento entre ellos no se encuentra ni en el extremo 1 ó -1. La mayor parte de los valores están relacionados positivamente entre ellos mismos, como se muestra en las siguientes tabla y gráfica. Tabla 2.7. Carteras con los valores A y B. Proporción de Proporción de inversión A inversión B Riesgo Rendimiento Fuente: Elaboración propia. 18% 16% 14% 12% 10% 8% 6% 4% 2% 0% Gráfica 2.5. Combinaciones posibles de riesgo y rendimiento de A y B de diversas carteras. 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% Riesgo Fuente: Elaboración propia. De los casos presentados se deduce que entre menor sea la correlación entre los rendimientos que forman la cartera, más posibilidades se tienen de minimizar el riesgo, sin sacrificar de manera proporcional el rendimiento de la cartera. 33

34 2.9. CARTERAS DE DOS ACTIVOS, CON UN ACTIVO LIBRE DE RIESGO. Cuando se analiza cómo se puede combinar el activo libre de riesgo con una cartera de activos riesgosos, es importante recordar que se está considerando un modelo de un período. Un inversionista que compra un activo libre de riesgo al principio de un periodo de tenencia sabe exactamente cuál será el valor del activo al final de periodo de tenencia. Puesto que no hay incertidumbre acerca del valor terminal del activo libre de riesgo, la desviación estándar del activo libre de riesgo es, por definición, cero. 25 A su vez, la covarianza entre la tasa de rendimiento del activo libre de riesgo y la tasa de rendimiento de cualquier activo riesgoso es cero. En este análisis, la consideración inicial es determinar el rendimiento esperado y la desviación estándar de una cartera. El rendimiento esperado de una cartera compuesta por un activo libre de riesgo y dos activos con riesgo, es tan solo el promedio ponderado de los dos rendimientos esperados, siendo las ponderaciones los porcentajes de los fondos asignados a los dos activos. Sin embargo, en el caso del activo libre de riesgo el rendimiento esperado es seguro. Por lo tanto el rendimiento esperado para la cartera que incluye el activo libre de riesgo es: 26 R P = W F R F + W A R A (Ecuación 2.11) Para determinar la desviación estándar se simplifica la ecuación original, dado que la covarianza entre una constante y una variable aleatoria, es siempre cero. Debido a que una constante no tiene covarianza con ningún otro activo. La correlación y la covarianza están estrechamente relacionados. Esto significa que la correlación entre dos activos será cero. Éste será el caso cuando uno de los activos sea un valor libre de riesgo. Como consecuencia de ello, en este caso especial, se pueden eliminar todos los términos que estén multiplicados por la variación o correlación. Por lo que la desviación estándar de la cartera queda de la siguiente manera: σ p = W A σ A (Ecuación 2.12) Se observa en la ecuación que la desviación estándar sólo depende del nivel de riesgo del activo riesgoso y de la proporción de los fondos asignados al mismo. Como ejemplo de estos principios se considerará una cartera que se va a integrar con un activo libre de riesgo F y una cartera con riesgo A. La información se muestra en la siguiente tabla y gráfica. 25 Gordon Alexander, Op. cit., p Kolb Robert, Op. cit., p

35 Rendimiento esperado Se tienen los siguientes datos: Libre de riesgo Activo con riesgo Activo F A Rendimiento 6% 15% Riesgo 0% 6% Correlación de F y A. 0 Tabla 2.8. Riesgo y rendimiento de carteras de dos activos: un activo libre de riesgo F y otro activo con riesgo A. Portafolio Proporción de inversión Proporción de inversión W F W A Riesgo σ P Rendimiento R P A A A A A A A A A A A Fuente: Elaboración propia. En la gráfica siguiente, se muestra el activo libre de riesgo F, el activo riesgoso A y las carteras combinadas. Mediante la combinación de F y A se han obtenido dichas carteras que se encuentran en una línea recta en el espacio de riesgo y rendimiento entre F y A. Gráfica 2.6. Combinación de un activo libre de riesgo F y un activo riesgoso A. 16.0% A % A10 A9 12.0% A8 A7 10.0% A6 A5 A4 8.0% A2 A3 6.0% A1 4.0% 2.0% 0.0% 0.0% 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.0% 6.0% 7.0% Fuente: Elaboración propia. 35 Riesgo

36 En el ejemplo anterior se combinó el activo riesgoso A, con el activo libre de riesgo F, para formar carteras. Sin embargo, los inversionistas pueden tener motivos para preferir utilizar otros activos riesgosos, además de A para combinarlos con F. De la misma manera se pueden combinar F y B para lograr carteras en la línea FB, tal como se muestra en las siguientes tablas y gráficas posteriores. Libre de riesgo Activo con riesgo Activo F B Rendimiento 6% 30% Riesgo 0% 6% Correlación de F y A. 0 Tabla 2.9. Riesgo y rendimiento de una cartera de dos activos: un activo libre de riesgo F y otro activo con riesgo B. Portafolio Proporción de inversión W F Proporción de inversión W A Riesgo σ P Rendimiento R P B B B B B B B B B B B Fuente: Elaboración propia. En la gráfica puede verse que cada cartera en la línea FA, está dominada por una cartera en la línea FB. Esto significa que todos los inversionistas preferirían conservar las carteras riesgosas FB, en lugar de las carteras de FA, debido a que siempre se encontrarán en mejor situación en cuanto a riesgo y rendimiento. 36

37 Rendimiento esperado Gráfica 2.7. Combinación de dos carteras con dos activos: un activo libre de riesgo y un activo riesgoso. FA y FB. 35% 30% 25% 20% B6 15% B5 B4 10% B3 B1 B2 A1 A2 A3 A4 A5 5% 0% B11 B10 B9 B8 B7 A9 A10 A11 A7 A8 A6 0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% Riesgo Fuente: Elaboración propia CARTERAS DE TRES ACTIVOS, CON UN ACTIVO LIBRE DE RIESGO. Como se vió anteriormente se combinó una cartera riesgosa, con un activo libre de riesgo. Sin embargo, a los inversionistas por lo general les interesa formar carteras con más de un activo riesgoso, para combinarlas con un activo libre de riesgo. A continuación se muestra un ejemplo: Se presentan los siguientes parámetros para el activo libre de riesgo F, y para los dos activos riesgosos A y B. Activo F A B Rendimiento 5% 15% 30% Riesgo 0% 10% 15% Correlación F,A Correlación F,B Correlación A,B Al formar portafolios de inversión con los dos activos riesgosos A y B, con diferentes proporciones para cada activo, se obtienen los siguientes once portafolios. En la tabla 2.10, se observa que las alternativas de inversión son los portafolios P6 al P11. 37

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