Física General 1 Proyecto PMME - Curso 2007 Instituto de Física Facultad de Ingeniería UdelaR

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Jorge Cabrera Bustamante
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Física General Pryect PMME - Curs 007 Institut de Física Facultad de Ingeniería Udela DINÁMICA DEL ÍGIDO Maurici Olivera, Guillerm Pachec, Pabl asilla.

1 Física General Pryect PMME - Curs 007 Institut de Física Facultad de Ingeniería Udela DINÁMICA DEL ÍGIDO Maurici Olivera, Guillerm Pachec, Pabl asilla. INTODUCCIÓN El siguiente trabaj se basa en la reslución de un prblema que aplica el estudi de la dinámica de ls cuerps rígids. Además de reslver l prpuest se analizó el mism prblema variand distints parámetrs y finalmente se bservarn y cmpararn ls resultads. FUNDAMENTO TEÓICO Dinámica de la partícula La dinámica de la partícula es el estudi de la fuerza y su efect, sea, la aceleración que ésta prduce a un cuerp de determinada masa. De esta manera se deduce el enunciad de la segunda ley de Newtn: F= ma Ést es: la suma vectrial de las fuerzas es igual a la masa dnde se aplican multiplicada pr la aceleración resultante. Obsérvese que la primera ley del mvimient parece estar cntenida en la segunda ley cm un cas especial, ya que si F= 0 a=. En tras palabras, si, entnces 0 la fuerza resultante sbre un cuerp es cer, la aceleración del cuerp es cer y el cuerp se mueve a velcidad cnstante, cm enuncia la primera ley. La primera ecuación es vectrial. Cm en el cas de tdas las ecuacines vectriales, pdems escribir esta ecuación vectrial cm tres ecuacines escalares: F = ma; F = ma; F = ma; x x y y z z Éstas relacinan a las cmpnentes de la fuerza resultante cn las cmpnentes x, y, z de la aceleración para la masa m. Al practicar la suma algebraica, deben tmarse en cuenta ls signs de las cmpnentes de acuerd a las direccines relativas de las fuerzas. Trque (mment de la fuerza) La dinámica de la rtación de un cuerp rígid estudia las causas que, precisamente hacen al cuerp rtar. Para ell se intrduce una nueva cantidad vectrial que tma en cuenta tant la fuerza aplicada cm el punt dónde se aplica, denminams a esta cantidad trque ( mement de la fuerza) y la calculams: τ= r F Dnde r es el vectr que ubica al punt de aplicación de la fuerza cn respect al eje de rtación y F es la fuerza aplicada. - -

2 Este cálcul es el trque aplicad a una partícula aislada. Para calcular el trque net que actúa sbre un cuerp rígid sumams (vectrialmente) tds ls trques aplicads. Tenems: τ net = i τ i El trque tiene dimensines de fuerza multiplicada pr distancia. A su vez, la dirección del trque es perpendicular a F y r, y el sentid queda determinad pr "la regla de man derecha". Observems que la única cmpnente de la fuerza que cntribuye al trque es la perpendicular a r. A ésta se le denmina braz del trque ( b ). Intrducida esta cantidad pdems calcular el módul del trque cm: τ=r(f.sen θ ) = rb Inercia de tación de ls cuerps sólids. El esfuerz requerid para pner a un cuerp en rtación depende directamente de cóm esté distribuida la masa del cuerp. La cantidad inercial que tiene en cuenta ést se llama inercia de rtación ( mement de inercia). Para una partícula aislada de masa m y que rta a una distancia r del eje fij de rtación es: I = mr Si querems calcular el mment de inercia sbre td un cuerp cn n partículas, tenems: I ttal n = i= m r i i Tmand el límite de la ecuación anterir cuand la masa de cada partícula es muy pequeña, resulta: r dm Esta integración se lleva a cab sbre td el vlumen del cuerp. Teniend en cass particulares grandes simplificacines en el cálcul de la misma gracias a ciertas características gemétricas del cuerp. Ntems que la inercia de rtación de un cuerp rígid n es una prpiedad intrínseca del cuerp (cm l es la masa) ya que ésta depende de cuál sea el eje de rtación (fij en nuestr estudi). Dinámica de la rtación de un cuerp rígid. Al aplicar un trque sbre un cuerp éste adquiere una aceleración angular. Estas ds cantidades están relacinadas pr la siguiente ley: τ, ext = Iα Ésta es la ecuación análga en las rtacines de la segunda ley de Newtn usada para ls mvimients de traslación. - -

3 ESOLUCIÓN DEL POBLEMA Parte a) El primer pas es seguir la sugerencia y plantear el diagrama de cuerp libre del rll de papel. Supniend el bjet puntual se btiene: (i) N - Tsenθ = 0 ecuación () (j) Tcsθ - f r - P - F = 0 ecuación () Si se cnsideran ls trques efectuads al bjet se btiene: (k) τ f r - τ F = I α ecuación (3) De () se puede despejar la nrmal y sustituirla en la expresión de la fuerza de rzamient: f r = N µ k = Tsenθ µ k ecuación (4) La tensión se cnsigue de (), cnsiderand que θ =30º, su sen es igual a ½ y su csen igual a 3 : T = 3M g 3 µ k ecuación (5) Ahra se cncen las fuerzas que realizan trques sbre el rll, sustituyend el valr de ls trques en (3) se btiene la aceleración angular requerida: α = 3 µ k 3 µ k g ( ) g ( ) ecuación (6) - 3 -

4 Para ls valres dads el cálcul brinda el siguiente resultad: α 0 g ( 0,494) eˆ θ =. El sign indica que el rll acelerará en sentid hrari, 0 puest al sentid que se eligió cm psitiv. Parte b) La masa se reduce a la mitad, pr l tant cambia el radi y el ángul. La densidad es cnstante, entnces: m V m V Inicialmente: ρ= ecuación (7) Finalmente: ρ= ecuación (8) Tmand el vlumen del rll cm f π h (siend h su altura) se btiene: = ecuación (9) Para determinar el nuev ángul, siend l el larg del sprte, tenems: Inicialmente: lsin θ = ecuación (0) Finalmente: lsin θ = ecuación () El nuev ángul es: senθ θ= arcsen 0 7, ecuación () Cn ls nuevs parámetrs, prcediend análgamente a la parte a), btenems: α 8g g = 38, µ tanθ k ecuación (3) Al realizar el cciente α 4 53 α 4α α > α α bservams que:, ecuación (4) - 4 -

5 VAIACIÓN DE PAÁMETOS DEL POBLEMA A partir de la ecuación (3) se puede despejar la aceleración angular en función del ceficiente de rzamient, el ángul de inclinación del sprte y la relación de la masa actual del rll cn respect a la masa inicial. Para ell se sustituye el valr de la fuerza y la fuerza de rzamient, ecuacines (5) y (6). La ecuación resultante para la aceleración es la siguiente: α = 3µ k senθ csθ µ k senθ k g ( ) ecuación (5) Dnde k = m/m0, así si la masa actual es el dble de la masa inicial, k es igual a. La variable k es necesaria para pder eliminar la fuerza, sabiend que se expresa en función de la masa inicial descncida. Téngase en cuenta que se grafica el valr del términ entre crchetes, la relación inversamente prprcinal de la aceleración angular cn respect al radi es evidente, además de que su valr es descncid. Ceficiente de rzamient. ( : k ) El gráfic () muestra la relación de entre la aceleración angular y el ceficiente de rzamient. A medida que el ceficiente crece la aceleración disminuye linealmente hasta alcanzar el valr nul cuand el ceficiente es aprximadamente 0,5. A partir de ese valr n se pdrá mver el rll cn la fuerza cnsiderada. Gráfic

6 Ángul. () El gráfic () muestra la relación entre la aceleración angular y el ángul de inclinación del sprte. A medida que el ángul aumenta la aceleración disminuye de frma aprximadamente cuadrática hasta anularse cuand el ángul es aprximadamente 45º. Gráfic. Entnces para una cnfiguración cm la de la figura la fuerza F aplicada n lgra mver el rll. Éste sería un ángul máxim para que el rll girara. Figura. =45º - 6 -

7 Masa. (m) Finalmente el gráfic (3) muestra la relación entre la aceleración angular y la relación de masas. A mayr masa cn respect a la masa inicial la aceleración disminuye de frma aprximadamente expnencial y se anula cerca de. Es decir que cn el dble de masa y la misma fuerza n lgra mver el rll. Las funcines se pueden graficar cn valres que brinden una aceleración menr a cer per el resultad es equivalente a n pder mver el rll. Pr l que si bien tendría relevancia matemática, carece de imprtancia física

8 CONCLUSIONES. Dads ls dats del prblema se btiene la aceleración angular del rll. La parte b) permite cncluir que al reducir la masa del rll la aceleración angular aumenta. Variand ls parámetrs elegids se bserva mediante ls gráfics que la aceleración angular del rll disminuye al aumentar cualquiera de ests. Pr tr lad, para cada un de ests cass estudiads existe un punt límite dnde la aceleración se anula. A partir de este punt el aument del parámetr n permite que el rll se mueva. EFEENCIAS BIBLIOGÁFICAS. Física Vlumen esnick, Halliday & Krane (4ª edición) - 8 -

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