CARACTERISTICAS DE LOS CAMPOS CONSERVATIVOS

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1 CARACTERISTICAS DE LOS CAMPOS CONSERVATIVOS Paa los inteeses de la Física, los Campos Vectoiales se clasifican en dos gupos: -CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS.CAMPOS VECTORIALES NO CONSERVATIVOS Los de más inteés en la Física son los pimeos. Po ello iniciamos definiéndolos: Los Campos Vectoiales Consevativos, son aquéllos paa los cuales la Integal de Línea del Campo Vectoial vale ceo paa una tayectoia ceada. Los Campos Vectoiales Consevativos, son aquéllos paa los cuales la Integal de Línea del Campo Vectoial tiene el mismo valo paa tayectoias que tienen los mismos puntos límites Una condición suficiente paa que la integal de línea tenga las popiedades anteioes, es que el campo vectoial sea deivable de una Función Escala Potencial, es deci, si (x, es el Ca mpovectoial, existe una función escala φ ( x, que cumple la elación: F(x, = ϕ (x, F = 0. Un Campo Vectoial seá deivable de una Función Potencial si se cumple que su Rotacional es nula, es deci se cumple que:. F En la jega de las Matemáticas, se demuesta que el hecho de asevea que Un Campo Vectoial es Consevativo, es equivalente a deci que ese campo es IRROTACIONAL. Y un campo es Iotacional cuando se cumple: F = 0. Realicemos un pequeño ecodatoio: El Campo Vectoial VECTOR DE POSICION, es el Campo vectoial que a cada punto del espacio le asocia el vecto cuyo oigen se encuenta anclado al oigen del sistema coodenado, y donde el extemo está colocado en el punto al que está elacionado. Se dice que este vecto dá la posición de cualquie punto especto al obsevado, a quien se le considea anclado en el oigen del sistema coodenado. Si el punto P: (x, es un punto cualquiea del espacio, su vecto de posición es dado po la expesión: = xiˆ + yj ˆ + zkˆ

2 La Figua 4 pesenta ese vecto de posición paa el punto P:(x, cualquiea. La función Vecto de Posición puede deivase y difeenciase. La difeencial de esa función es dada según el Cálculo Vectoial po: d = dx iˆ + dy ˆj + dz kˆ y su intepetación es la de un desplazamiento infinitesimal hacia cualquie diección a pati del punto P: (x,z,), la Figua 5 muesta a ese vecto.

3 El Opeado Nabla o Del, dado po = iˆ Escalaes. + x ˆj + kˆ, se puede aplica a Campos Vectoiales o Cuando se aplica a Campos Escalaes se obtiene la función GRADIENTE DE LA FUNCION ESCALAR. Si se tiene el Campo Escala ϕ ( x,, al aplicale el opeado Nabla, se obtiene la función Gadiente de φ, dada po: ϕ = iˆ + ˆj + kˆ La aplicación del Opeado Nabla nos inteesa cuando se efectúa sobe Campos Vectoiales. La aplicación es a tavés de las opeaciones poducto escala y poducto vectoial. La aplicación po medio del poducto escala da como esultado la Función Divegencia. La aplicación po medio del poducto vectoial da como esultado la Función Rotacional. Si la Función que da el Campo Vectoial es (x,, entonces la Divegencia esulta de la Opeación: F F F = cuando la Función 1 ( x, + F F (x, cumple: ( x, + F 3 ( x, F(x, = F ( x, iˆ F ( x, ˆ 1 + j + F3 ( x, kˆ F (x, donde las funciones F 1, F, F 3, son las Funciones Escalaes Componentes de la Función. En los países Euopeos, en luga del símbolo div ( F ). utilizan el símbolo F

4 Del mismo modo, si la Función que da el Campo Vectoial es (x,, entonces la Rotacional esulta de la Opeación: F F = iˆ F ˆj kˆ 1 F F3 En los países Euopeos, se usa la notación: También se utiliza: -ot ( F (x, ), paa epesenta -cul( F (x, ). F. INTERPRETACION FISICA DEL GRADIENTE. UN PRODUCTO MUY INTERESANTE! La clave de la intepetación Física del Gadiente se encuenta en el poducto: d φ en donde φ es un Campo Escala. Al ealiza ese poducto encontamos: d φ = ( dxiˆ + dy ˆj + dz kˆ) ( iˆ + ˆj + kˆ) al desaolla el poducto escala tenemos: d φ = dx + dy + dz

5 Paa una función Escala de tes vaiables independientes y una dependiente como la función φ(x,, es bien conocido que su difeencial cumple: dφ = dx+ En consecuencia, se obtiene la siguiente elación: dy + d φ = d φ dz Esta última expesión seá de vital impotancia paa la intepetación Física del Gadiente que daemos más adelante. Hagamos antes un poco más de matemáticas! Una Función ψ (x, y), es una función escala de dos vaiables independientes y una dependiente. La gáfica de ella es una Supeficie en el espacio de tes dimensiones, algunos ejemplos son: Paa ψ (x, y) = x + y tenemos: Que es la gáfica paa un dominio ectangula de 0 unidades po lado. Esta figua fue ceada con el paquete DERIVE paa Windows 95, así como todas las siguientes.

6 Paa ψ (x, y) = sin(x) sin(y) la Figua 7 da la gáfica. El dominio en este caso es un ectángulo de 10 unidades po lado. sin( Cuando Ψ ( x, y) = gáfica es dada en la figua 8: x x + y + y )

7 Las funciones del tipo anteio, φ (x, y ), tienen la popiedad siguiente: Al igualalas con una constante, se obtiene una ecuación de la foma: φ (x, y) = C que constituye una ECUACION IMPLICITA DE DOS VARIABLES. Este tipo de Ecuaciones pemite a pimea instancia despeja la vaiable y en téminos de la vaiable x, oiginando una función de la foma y = f (x) La cual constituye la ecuación de la gáfica de la función f (x), la Geometía Analítica nos pemite ecoda que la Gáfica espectiva, es el luga geomético de una cuva en el plano catesiano. Es evidente que pa (x, y) = C bien deteminada. a cada valo elegido de la constante C, la ecuación φ, genea una cuva Esa cuva se denomina cuva de nivel de la función φ (x, y) paa el valo C. Esta denominación está fundada en el hecho (muy impotante), q (x, y) existentes en la cuva de nivel. Consideamos pudente ejemplifica este hecho con funciones concetas: Sea φ ( x, y) = x + y ue la función φ (x, y) toma el mismo valo C paa todos los puntos A esta función la podemos iguala con una constante C positiva paa que tenga sentido la búsqueda de la gáfica, en especial podemos pensa que esa constante es el cuadado de un númeo k φ( x, y) = x + y = k Esa ecuación se conviete en la ecuación de una cicunfeencia centada en el oigen y de adio k. Gafiquemos las ecuaciones esultantes cuando k toma los valoes enteos 1,, 3 y 4, es deci busquemos las cuvas de nivel de las siguientes ecuaciones: φ(x, y) = x + y = 1 φ(x, y) = x + y = φ(x, y) = x + y = 3 φ(x, y) = x + y = 4

8 Las cuvas de nivel obtenidas, paa esos valoes se epesentan gáficamente en la Figua 9: En la siguiente figua se ha desaollado la gáfica de la función φ ( x, y) dento del dominio del plano catesiano compendido po el cículo de adio =3. Al mismo tiempo se dan 3 cuvas de nivel coespondientes a los valoes de la constante k = 1,, y 3. Esa Figua se geneó con ayuda del paquete de CAD Cadwin Statégies. Paa hacelo, se tazó la paábola geneatiz de la Gáfica supeficie de gáfica. Las cuvas de nivel, se poyectaon sobe la paa todos los puntos de la cuva de nivel. de φ ( x, y) en el plano ZX, enseguida po otación alededo del eje Z se geneó la gáfica, utilizando la popiedad que ellas tienen la misma imagen Paa el caso de la cuva caacteizada po k=1, se usó la elevación de poyección z=1, paa la cuva con k=, se usó la elevación z=4, y finalmente paa k=3, se usó z=9. Esta altua de elevación se eligió, poque po ejemplo, paa k=1, la cuva de nivel contiene al punto (1,0), el cual tiene la imagen φ (1,0) = =1 + 0 =1 y como to misma imagen, entonces la elevación aconsejada es pecisamente z=1. dos los puntos de esa cuva tienen la Evidentemente, paa k=, la cuva de nivel pasa po el punto (,0) cuya imagen es φ (,0)= + 0 = 4, povocando una altua de elevación de z=4. Mientas que paa k=3, uno de los puntos de la cuva es (3,0) cuya imagen es φ (3,0) = 9, dimensiones (el plano Catesiano). siendo ésta la elevación elegida. Este poceso, nos pemite demosta que las cuvas de nivel, constituyen ota foma de caacteiza las funciones φ ( x, y ), sin necesida d de ecui a la gáfica en 3 dimensiones, haciéndolo en el espacio de

9 Las Cuvas de Nivel pemiten epesenta de una manea muy conveniente, las funciones φ ( x, y) po medio de una familia de cuvas del Plano Catesiano. Ellas epesentan zonas en las que la función φ ( x, y) toma valoes constantes, y donde además, todos los puntos de una misma cuva de nivel, tienen la misma imagen, es deci tienen asociado el mismo escala. REPRESENTACION DE CAMPOS ESCALARES En el caso de las funciones de tes vaiables independientes univaluadas, que hemos llamado Campos Escalaes, y son funciones de la foma φ (x, z ), apaece un poble espacio de 4 dimensiones, no pudiendo epesentase esquemáticamente. Este poblema de epesentación, se puede ebasa po medio de un atificio: G ma inteesante, su gáfica está en el enealiza lo que sucede con las funciones φ (x, y) de dos vaiables independientes univaluadas. En efecto, las cuvas de nivel constituyen una epesentación en el espacio de dos dimensiones de una función cuya gáfica es un subconjunto del Espacio Tidimensional.

10 El atificio consiste en lo siguiente: Pimeo, la gáfica de una función φ (x, es una hipesupeficie subconjunto del espacio tetadimensional R 4, no se puede dibuja poque simplemente, no podemos epesenta 4 ejes pependiculaes ente sí. Segundo, si genealizamos el concepto de Cuvas de Nivel en el Plano Catesiano, debemos tene las Hipecuvas de Nivel de la fun 3 supeficies en el espacio R. ción φ (x, en el espacio de Tes dimensiones, que no son ota cosa que Podía pensase que la genealización de una cuva en el Plano Catesiano seía ota cuva peo en el espacio de tes dimensiones, sin embago, una cuva en el espacio es epesentada po un conjunto de tes ecuaciones paaméticas x y z = x ( t) = y ( t) = z( t), las cuales son la genealización lógica, del conjunto de ecuaciones paaméticas, que epesentan un cuva en el plano, ellas tienen la foma: x = x ( t) y = y( t) Las funciones φ (x, tienen asociadas paa su epesentación, SUPERFICIES DE NIVEL, las cuale se obtienen al iguala con una constante la función φ (x,, es deci, se obtienen de las ecuaciones:. s φ (x, = C donde C puede toma valoes dento del intevalo ] + [ del conjunto de los númeos eales R.,, es deci, toma valoes cualesq Po ello, el númeo de Supeficies de Nivel es infinito. uiea dento Se asevea que las Supeficies de Nivel son en ealidad, supeficies del espacio tidimensional, poque a pati de la ecuación φ (x, = C, podemos despe ja la vaiable z, ya que esa ecuación es en ealidad una Función Implícita de tes vaiables del tipo F ( x, = 0, y de la teoía de funciones implícitas, se sabe que al tene una de esas funciones, es posible despeja una de esas vaiables en téminos de las otas dos. Es deci, se pueden obtene las ecuaciones: x = x( y, y = y( x, z = z( x, y) Nuesto inteés va diigido hacia la última ecuación, z = z(x, y), que es la ecuación de la gáfica de una función f (x, y), donde z = f (x, y), y esulta como vimos ya antes, una supeficie en el espacio de tes dimensiones. Po simple genealización, todos los puntos de una supeficie de nivel tienen el mismo valo de imagen, y ese valo es pecisamente la constante C a la qu e se iguala φ (x, paa obtene la ecuación:

11 que es la ecuación de la supeficie de nivel. φ (x, = C Así, un Campo Escala φ (x,, puede epesentase po una familia de Supeficies de Nivel, cuya ecuación geneal toma la foma: Demos un ejemplo paa conceta estas popiedades: φ (x, = C y la cual, sobe todos los puntos de cada supeficie de nivel, la función φ (x, tiene el mismo valo. Sea φ (x, = x + y + z mostemos que foma tienen sus Supeficies de Nivel: Igualemos φ (x, = x + y + z co que el despeje nos daía z n una constante C. Obligatoiamente ella debe se positiva, ya = C x y, y cuando C es negativa, se tata de busca la aíz de un númeo negativo eal, el cual no existe. En consecuencia, sólo son pemisibles los valoes positivos de la constante C, de ahí que podemos supone que esa constante es el esultado de eleva al cuadado una constante k, es deci se pemite el despeje:

12 z = k x y En la Figua 31 se muestan las Supeficies de Nivel paa los valoes de k = 10, 0, 30 y 40, cuando k es la constante que cumple: φ ( x, = x + y + z = k donde se ha substituido po la constante C, la constante k. Desde luego, las ecuaciones φ ( x, = x + y + z = k coesponden a esfeas tidimensionales centadas en el oigen del sistema coodenado con adio k. Nota: Las flechas amaillas indican los adios de las geneatices que oiginaon las supeficies de nivel en el paquete Cadwin Statégies. INTERPRETACION DE L A FUNCION GRADIENTE Pasaemos ahoa a analiza la Función Gadiente de un Campo Escala: φ ( x, = iˆ + ˆj + kˆ p obtenemos: aa ello, patiendo de un punto P: (x 0, y 0, z 0 ), y si en ese punto evaluamos la función gadiente, x0, y φ ( x0, y0, z 0 ) = ( 0, z 0 ) 0, y0, z0 ) ( x0, y0, z 0 ( x iˆ + esa función evidentemente le asocia al punto P: (x 0, y 0, z 0 ), un vecto, de ese vecto no atibutos pincipales, a sabe, magnitud, diección y sentido. Paa ayudanos a enconta esos atibutos, es necesaio utiliza la expesión fundamental: d φ = d φ ˆj + ) kˆ s inteesaán sus donde d φ es el cambio sufido po la imagen del punto (x,, bajo la función φ (x,, cuando n os desplazamos del punto de la siguiente difeencia: ( x, y, ( x + dx, y + dy, z + d, hacia el punto φ ( x + dx, y + d z + d ϕ ( x,, es deci es el valo

13 la cual se identifica con d φ. Como ya hemos analizado, φ (x, es tal que, sobe una supeficie de nivel, φ tiene al mismo valo paa todos los puntos de ella. Así, si nos desplazamos sobe una de las supeficies de nivel, tenemos: ϕ ( x + dx, y + d z + d ϕ ( x, = 0 poque el punto inicial ( x, y, y el punto final ( x + dx, y + dy, z + d tienen ambos, la misma imagen. El vecto de desplazamiento que va del punto vecto: En consecuencia, como d ( x, y, ( x + dx, y + dy, z + d al punto = dx iˆ + dy ˆj + dz kˆ d φ = d φ, es el, entonces paa un desplazamiento sobe la supeficie de una d φ es nula, implicando a su vez que el poducto d φ Su peficie de Nivel, se cumple que sea igual a ceo, es deci: d como d φ = 0 φ no son vectoes nulos, como se ve en la Figua 3, entonces, el hecho Po oto lado, tanto que su poducto escala sea ceo, significa que ellos son pependiculaes.

14 Además como el desplazamiento es sobe la supeficie, plano tangente a la Supeficie de Nivel en el punto (x,. Y como d escogidos, entonces ϕ ϕ d es paalelo a la supeficie, po ello está sobe un ϕ es pependicula a los vectoes, es obligatoiamente pependicula al plano tangente a la Supeficie de Nivel, esto significa que es pependicula a la Supeficie de Nivel en el Punto (x,. Esto da un significado de gan inteés paa el Gadiente de una función: El Gadiente de una Función da un Vecto Nomal a la supeficie de Nivel, en el punto exacto donde se da el valo de esa función gadiente. Es deci, si en el punto P de Coodenadas (x 0, y 0, z 0 ), se calcula el gadiente ϕ de la función ϕ, el Vecto esultante es un Vecto Nomal a la Supeficie de Nivel que pasa po el punto P: (x 0, y 0, z 0 ), y la cual petenece a la familia de supeficies que epesenta a la función φ (x,. En la Figua 33 se muestan los vectoes Siempe este vecto es pependicula a la supeficie. ϕ paa difeentes puntos sobe una Supeficie de Nivel. Figua 33

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