UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES ) 2a 2c 2b 2u 2w 2v. a b c. u v w. p q r. a b c.
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- Dolores Martín Quintana
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1 UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES ) - Calcular los siguientes determinantes: 3 3 a) b) Hoja : Matrices y sistemas de ecuaciones lineales c) Solución: La solución del apartado a) es 5, la del apartado b) 36 y la del c) 3 a b c a c b - Si p q r = 5, calcúlese razonadamente el valor de u w v u v w p r q Solución: a c b u w v p r q sacando el número en cada una de las las, obtenemos a c b 3 u w v p r q que, intercambiando las columnas y 3 es 3 e intercambiando las las y 3, 3 a b c p q r u v w a b c u v w p q r = 3 5 = -3 Comprueba las siguientes identidades sin desarrollar los determinantes: a a 3 a) b b 3 c c 3 = bc a a a b + c ca b b b) b c + a ab c c c a + b = Solución: a): En el determinante, bc a a ac b b ab c c multiplicamos y dividimos por a obtenemos a a bc a a ac b b ab c c = a abc a a 3 ac b b ab c c Haciendo lo mismo con b, obtenemos que este determinante es el mismo que abc a a 3 ab abc b b 3 ab c c y ahora con c, abc abc a a 3 abc b b 3 abc c c 3
2 pero sacando abc en la primera columna, obtenemos que la última expresión es igual a abc abc a a 3 b b 3 c c 3 = a a 3 b b 3 c c 3 b): Sumando la segunda columna a la tercera en el determinante a b + c b a + c c a + b obtenemos a a + b + c b a + b + c c a + b + c porque las columnas y 3 son iguales = (a + b + c) a b c = -4 Resolver la ecuación sin desarrollar el determinante, utilizando las propiedades de los determinantes: a b c a x c a b x = Solución: Debemos suponer que a, porque si no el determinante es para cualquier valor real x Como, a b c a x c a b x = a b c x c b x la ecuación del enunciado (suponiendo a ) es equivalente b c x c b x = Restamos la primera la a la segunda y tercer las y obtenemos la ecuación b c = x b = (x b)(x c) x c por lo que las soluciones son x = b y x = c -5 Calcula, simplicando previamente: a) Solución: a): En el determinante ab b bc a c 3abc ac 5bc c ab b bc a c 3abc ac 5bc c b) x x x x x a a a x a b b x a b c sacamos fuera a de la primera columna, b de la segunda y c de la tercera, con lo que obtenemos b b b abc ac 3ac c 5c c y ahora sacamos b de la primera la, a de la segunda y c de la tercera, a b c c 3c 5 Finalmente sacamos c en la segunda la a b c = 3a b c 3 c)
3 3 b): En el determinante sacamos x en la primera la y queda x x x x x x a a a x a b b x a b c x a a a x a b b x a b c Ahora restamos la primera la, multiplicada por x, de todas las demás las, con lo que queda x a x a x a x a x b x b x a x b x c x Desarrollando por la primera columna este determinante es igual a a x a x a x x a x b x b x a x b x c x Ahora, restamos la primera la de las demás, x a x a x a x b a b a b a c a y sacamos a x, en la primera la, fuera del determinante, x(a x) b a b a b a c a que desarrollando por la primera columna es x(a x) b a b a b a c a = x(a x)(b a) b a c a = x(a x)(b a)(c b) donde hemos sacado b a en la primera la y hemos calculado el determinante restante c): En el determinante restamos la última la de las las y 3 y desarrollamos por la primera columna = sumando ahora la primera la a la segunda y desarrollando por la primera columna, otra vez, = = ( + ) = 3-6 Sea A una matriz cuadrada de orden n tal que a ij = i + j Calcula su determinante
4 4 Solución: el determinante que nos piden calcular es 3 4 n n n n n + 4 n + n + n + 3 n Si n =, vemos que el determinante se reduce a = Supongamos ahora que n 3 Restamos la segunda la a la tercera y queda lo siguiente 3 4 n n n n + 4 n + n + n + 3 n y ahora restamos la primera la a la segunda, con lo que obtenemos 3 4 n n + 4 = n + 4 n + n + n + 3 n porque las las y 3 son iguales -7 Sea A una matriz cuadrada tal que A t A = I Demuestra que A = ± Solución: Notemos que = I = A t A = A t A = A Por lo que A = y los únicos valores posibles son A = o A = -8 Hallarel rango de las siguientes matrices: A = B = 4 3 Solución: El rango rg A = rg 4 3 es el mismo que (restando a la segunda la la primera multiplicada por y a la tercera la la primera multiplicada por 4) rg 3 = rg 3 = 3 Por otra parte, rg = rg 4 4 = rg 4 = 3
5 5-9 Estudia, según los valores de x el rango de las siguientes matrices: A = B = C = x x x x 3 x x x x x x Solución: Calculamos el rango de A En primer lugar, nos jamos en el menor x x 3 x = x = por lo que rg A 3, independientemente de lo que valga x Desarrollando por la tercera la vemos que el determinante de A es x A = x x y desarrollando por la la 3 obtenemos A = x x = (x ) por lo que el rango es 4 si x, es decir si x y x Resumiendo, { 3, si x = o x = ; rg A = 4, en los demás casos Ahora calculamos el rango de B Observemos que el menor 3 = no se anula, por lo que rg B Por otra parte rg B = rg x x 4 = rg x x = rg x x x 4 x 5 y este rango es 3, excepto si 5( x) = 4 x Esto se verica si y sólo si x 5x + 6 =, es decir si Resumiendo, rg B = x = 5 ± 5 4 =, 3 {, si x = o x = 3; 3, en los demás casos Finalmente, calculamos el rango de C x rg C = rg x = rg rg x x = rg x x x = x x x + x x y este rango es 3, excepto si x = y +x x = ¾Hay algún valor de x que resuelva simultáneamente estas dos ecuaciones? Las soluciones de x = son x = y x = Mientras que las soluciones de x x son x = ± + 8 =, 4 Vemos que x = es la única solución simultánea de las dos ecuaciones Por tanto, {, si x = ; rg C = 3, en los demás casos - Suponiendo que A y B son matrices regulares (det ), y que hay conformidad de órdenes para poder realizar las operaciones, despeja la matriz X en las expresiones siguientes: (a) X t A = B (b) (X A) = A B
6 6 Calcula la matriz X en las ecuaciones anteriores si A = 3 y B = Solución: a): Tomando transpuestas en la ecuación X t A = B, obtenemos que B t = (X t A) t = A t X y, despejando X, queda que X = (A t ) B t = (A ) t B t En el caso particular en que A = B = 3 obtenemos que X = (A ) t B t = 6 9 b): Tomando inversas en la ecuación (XA) = A B vemos que XA = (A B) = B (A ) = B A Y, como A es invertible, la podemos despejar X = B AA = B En el caso particular en que A = B = 3 queda X = B = / / / / / / - Calcula, siempre que sea posible, la inversa de las matrices siguientes: x A = x x B = x 3 4 x Solución: Utilizando la fórmula para calcular la inversa de A, obtenemos que x A = x x Nosotros vamos a calcularla utilizando transformaciones elementales por las Empezamos con x x x y le añadimos a la segunda la la primera multiplicada por x, con lo que obtenemos x x x ahora restamos de la primera la la tercera multiplicada por x, x x x y a la segunda la le restamos la tercera la multiplicada por x x x x de donde se deduce la inversa de A Calculamos ahora la inversa de B = x 3 4 x,
7 7 Aplicando la fórmula se obtiene que B = También se puede hacer observando que x 4x + 3 t 3 4 t x + 3 x x 4 3 4x x y le restamos a la tercera la, la primera multiplicada por 4, t 3 4 t 4 intercambiamos las las y 3 4 t t 3 4 a la tercera la le restamos la segunda multiplicada por t 4 t 4 t 4t + 3 4t t De aquí vemos que el determinante dea es t 4t + 3 Las raíces de este polinomio son t = 4 ± 6 =, 3 por lo que la inversa existe si y sólo si t y t 3 Suponiendo esto, podemos dividir la última la por t 4t t 4 4t t 4t+3 t 4t+3 t t 4t+3 y ahora sumamos la tercera la a la primera y le sumamos a la segunda la tercera la multiplicada por t 4, t +3 t t 4t+3 t 4t+3 t 4t+3 t 4 3 t 4t+3 t 4t+3 t 4t+3 por lo que A = 4t t 4t+3 t 4t + 3 t 4t+3 t t 4t+3 t + 3 t t 4 3 4t t - Calcula, siempre que sea posible, la inversa de las matrices siguientes: A = B = 4 C = 4 5 Solución: Utilizaremos el método de Gauss para calcular la inversa Empezamos con la matriz (A I) = dividiendo la primera la entre 4 obtenemos 6/ /4
8 8 y ahora restamos la tercera la a la segunda, con lo que obtenemos 6/4 /4 3 6 y sumamos a la tercera la la primera multiplicada por 3, 3/ /4 3/ 3/4 ahora sumamos la tercera la a la primera 3/ 3/4 a la tercera la le sumamos la segunda multiplicada por 3/, / 3/4 3/ / multiplicamos la tercera la por 3/ 3 y la tercera la la sumamos a la segunda y la restamos a la primera 5/ 3 3/ 3/ 3 con lo que la inversa es 3/ 5/ 3 3/ 3 El determinante de la matriz B es B =, por lo que no tiene inversa Ahora calculamos la inversa de C, por el método de Gauss Empezamos con la matriz 4 5 (C I) = En primer lugar, multiplicamos la la 3 por e intercambiamos las las y 3 (C I) = 4 5 sumamos a la tercera la la segunda multiplicada por (C I) = y sumamos a la segunda la, la primera multiplicada por (C I) = intercambiamos las las y 3 (C I) =
9 9 multiplicamos la tercera la por (C I) = sumamos la tercera la a la primera (C I) = y ahora restamos la segunda la a la primera (C I) = y obtenemos C = 3 3 { mx y = -3 Dado el sistema se pide calcular m para que el sistema x my = m (a) no tenga solución, (b) tenga innitas soluciones, (c) tenga solución única (d) tenga una solución para la que x = 3 Solución: La matriz ampliada asociada al sistema es ( m m m cuyo rango es el mismo que ( m rg m m ) ) ( m = rg m ) m + m m Por tanto, el rango es si m Es decir, si m y m, entonces el sistema es compatible determinado En este caso, el sistema original es equivalente a y las solución es y = + m m m Para que x = 3 debe vericarse que x my = m (m )y = + m m = (m )( + m) (m )(m + ) m = m + x = m + my = m m + m m + = m + 3 = m + es decir m = 4/3 Estudiemos ahora que pasa si m = En este caso, ( m rg m ) m + m m = rg ( ) = = rg A y el sistema es compatible indeterminado El sistema original es equivalente al sistema x y = Y el conjunto de soluciones es { + y, y) : y R} Tomando y =, obtenemos la solución (3, ) En el caso en que m =, ( ) ( ) m rg m m + m m = rg 3 = rg A
10 y el sistema es incompatible x + ay = -4 Dado el sistema de ecuaciones lineales ax + z = se pide ay + z = (a) Expresarlo en forma matricial y escribir el vector de incógnitas, el del término independiente y el sistema homogóneo asociado Solución: En forma matricial, el sistema queda expresado como AX = B con A = a a a B = X = x y z (b) Discutir y resolver según los valores de a Solución: Consideramos la matriz ampliada a (A B) = a a En primer lugar, intercambiamos las las y 3 Entonces, rg(a B) = rg a a a Restando la primera la, multiplicada por a a la tercera la obtenemos rg(a B) = rg a a a a Ahora sumamos a la tercera la la segunda multiplicada por a, a rg(a B) = rg a + a + a De aquí deducimos que si a y a entonces rg(a) = rg(a B) = 3 = número de incógnitas, por lo que el sistema es compatible determinado En este caso, el sistema original es equivalente al siguiente sistema x + ay = ay + z = ( + a)z = + a y obtenemos la solución z =, y = /a, x = Si a =, entonces rg(a B) = rg de donde rg(a) = rg(a B) = que es menor que el número de incógnitas, por lo que el sistema es compatible indeterminado Ahora, el sistema original es equivalente al siguiente sistema x y = y + z = para obtener las soluciones tomamos z como un parámetro y despejamos y = z, x = + y = z Por tanto el conjunto de soluciones es Finalmente, Si a =, entonces {(z, z, z) R 3 : z R} rg(a B) = rg y vemos que rg(a) = < rg(a B) = 3, por lo que el sistema es incompatible
11 -5 Discutir y resolver el sistema siguiente x + y + z + t w = x y + w = x + z + 4t = Solución: La matriz ampliada (A B) es (A B) = 4 Haciendo operaciones elementales con las vemos que rg(a B) = rg = rg y vemos que rg(a) = rg(a B) = menor que el número de incógnitas El sistema es compatible indeterminado Como hay cinco incógnitas obtendremos 5 = 3 parámetros El sistema que tenemos que resolver es equivalente al siguiente sistema, x + y + z + t w = y + z + t + w = Elegimos los parámetros z, w, y t y despejamos y = z + t + w +, x = y z t w = z 4t El conjunto de soluciones es {( z 4t, z + t + w +, z, t, w) R 5 : z, t, w R} -6 Discutir y resolver el sistema siguiente, según los valores de los parámetros: x + y + z = ax + y + z = b x + y + (a + ) z = Solución: La matriz ampliada es rg(a B) = rg a a + Haciendo operaciones elementales por las obtenemos rg(a B) = rg a a a Si a, entonces el sistema es compatible determinado y es equivalente al sistema x + y + z = y + z = b a (a )z = b b La solución es z =, y = b a, x = b a Ahora estudiamos el sistema para el valor a = Entonces, rg(a B) = rg b y vemos que, si b, entonces el sistema es incompatible, porque, es ese caso rg(a) =, rg(a B) = Por último, si a = y b =, entonces rg(a) = rg(a B) = y el sistema es compatible indeterminado con 3 = parámetros En este caso, el sistema original es equivalente al sistema siguiente x + y + z =
12 utilizando y, z como parámetros, el conjunto de soluciones es {( y z, y, z) : y, z R} Resumiendo, a, SCD cuya solución es { z =, y = b a, x = b a b, SI; a =, Si b =, SCI cuyas soluciones es el conjunto {( y z, y, z) : y, z R} -7 Discutir y resolver el sistema siguiente, según los valores de los parámetros: x y + bz = 3 5x + y = ax + z = Solución: La matriz ampliada es (A B) = b 5 a Haciendo operaciones elementales por las obtenemos b rg(a B) = rg 5b a ab a Restando a la tercer la la segunda multiplicada por a/6 queda b 3 rg(a B) = rg 5b 4 ab a 6 3 De aquí vemos que si ab 6, entonces el sistema es compatible determinado y la (única) solución es z = 4a 6 ab, y = a 4a b, x = ab 6 ab b a 6 6 ab b En el caso en que ab = 6, despejamos a = 6/b (ya que b ) y obtenemos rg(a B) = rg b 3 5b 4 b 4 b por lo que si b = (y por tanto a = 3, entonces rg(a B) = rg(a) = y el sistema es compatible indeterminado El sistema propuesto es equivalente al siguiente sistema x y + z = 3 y z = 4 Tomando a z como parámetro, las soluciones son {( z 3, 5z 7, z) : z R} 6 Finalmente, si b, entonces el sistema es incompatible -8 Resolver mediante el método de Cramer el sistema siguiente, x + y + z = 3 x y + z = 7 x + y z = Solución: El determinante de la matriz asociada es = 4
13 3 Por tanto, las soluciones son x = = 6 4 = 4 y = = 8 4 = z = = 4 = 5-9 Resolver mediante el método de Cramer el sistema siguiente, x + y = y + z = 8 x + z = 6 Solución: El determinante de la matriz asociada es = por lo que la solución es x = 8 6 = = 5 y = 8 6 = 4 = 7 z = 8 6 = = - Resolver mediante el método de Cramer el sistema siguiente, x + y z = 9 x y + 4z = 4 x y + 6z = Solución: El determinante de la matriz asociada es 4 6 = 6 y la solución es x = = 36 6 = 6 y = = 6 = z = = 5 6 = 5 - Dado el sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas siguiente, { x + y + z = 3 ax + (a + 3)y + 3z = (a) Estudiar si para algún valor de a el sistema es incompatible (b) Para cada valor del parámetro a, para el que el sistema sea compatible, escribir la expresión general de todas sus soluciones Solución: El rango de la matriz asociada es ( ) rg(a B) = rg 3 a a ( = rg 3 a 3 a 3 3a Vemos que si a = 3 el sistema es incompatible porque rg(a B) =, rg(a) = En el caso en que a 3 el sistema es compatible indeterminado y equivalente al sistema x + y + z = 3 (3 a)y + (3 a)z = 3a ) y tomando z como parámetro, obtenemos las soluciones {( 7 + 3a 3 a + z, 3a 3 a z, z) : z R}
14 4 - Dado el sistema homogóneo 3x + 3y z = 4x y + mz = 3x + 4y + 6z = (a) Calcular m para que tenga algunas solución distinta a la trivial (b) resolverlo para el valor calculado en el apartado anterior Solución: El rango de la matriz asociada al sistema es rg m = rg intercambiamos las dos primeras las m = rg 3 3 = rg m 7 m 6 3m 4 7 intercambiamos las dos últimas las = rg m 7 = rg m 7 6 3m 4 3m 46 para que tenga solución distinta de la trivial, el determinante ha de valer cero Esto ocurre cuando m = 46/3 Para este valor de m, el sistema original es equivalente a x + y z = y + 7z = de donde obtenemos las soluciones {(z/3, 7z, z) : z R}
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