CÁLCULO VECTORIAL. Operaciones con vectores libres. , siendo las componentes de ( )

Transcripción

1 CÁLCULO VECTOIAL Opeaciones con vectoes libes Suma de vectoes libes La suma de n vectoes libes P P P n es un vecto libe llamado esultante = i j k la suma de las componentes espectivas, siendo las componentes de ( ) Poducto escala de dos vectoes libes Po definición es una magnitud escala igual al poducto de los módulos po el coseno del ángulo α que foman los dos vectoes P = P cosα Si P = P i P j P k P = P i P j P k La epesión analítica del poducto escala de estos dos vectoes es: P P = P P P Como P cosα es la poección del vecto P sobe el vecto P esulta que P P es igual al poducto de uno de ellos po la poección del oto sobe el pimeo Si los dos vectoes son pependiculaes su poducto escala es nulo Poducto vectoial de dos vectoes libes El poducto vectoial de dos vectoes P P, po definición, es oto vecto cuo módulo es PP senα, la diección es pependicula al plano deteminado po los dos vectoes sentido hacia el el de avance de un tonillo cua cabea gie en el sentido del pime vecto ( P ) segundo vecto ( P ) po el camino más coto La epesión analítica del poducto vectoial se obtiene a pati del desaollo del deteminante:

2 i j k P = P P P = P P P ( P P P P ) i ( P P P P ) j ( P P P P )k Si los dos vectoes son paalelos su poducto vectoial es nulo El módulo del poducto vectoial de dos vectoes es el áea del paalelogamo que deteminan los dos vectoes Vectoes desliantes Un vecto desliante queda definido po sus componentes un punto de su ecta sopote; consideemos el vecto P = AB = Xi Yj Zk, el punto A(,, ) petenece a su ecta sopote Momento de un vecto especto a un punto O (momento cental) El momento especto a un punto O del vecto AB es po definición M = OA AB Es el poducto vectoial del vecto que une el cento de momentos (O) con el oigen del vecto (A), po el vecto AB Momento de un vecto especto a un eje (momento aial) Es la poección sobe un eje, del momento esultante del vecto especto a un punto de dicho eje Consideamos un vecto, A( A, A, A ) un punto de su ecta sopote; si P( p, p, p ) son las coodenadas de un punto del eje el vecto diecto de dicho eje, el momento aial es el poducto escala del momento del vecto especto al punto P, po el vecto unitaio del eje Sistemas de vectoes desliantes esultante geneal Dado un sistema de n vectoes desliantes{ v ; v ; v n } se llama esultante al vecto libe n suma de los n vectoes equipolentes a los dados: = v i i=

3 Momento esultante El momento esultante de un sistema de vectoes desliantes, especto a un punto O, es la suma de los momentos especto a O de cada uno de los vectoes Es un vecto localiado en el cento de momentos que se considee po lo que va a depende del cento de momentos que se tome C = M ( v ) M ( v ) M ( ) v n Ecuación del cambio de momentos Si se conoce el momento esultante especto a un punto O, el momento especto a oto punto O es C = C = Un sistema es nulo, cuando tienen esultante nula un momento nulo: C = El sistema equivale a un pa si la esultante es nula el momento esultante es no nulo = C El momento esultante de un pa C es único paa un deteminado pa, po tanto independiente del cento de momentos que se tome (puede esta aplicado en cualquie punto del espacio) Si el sistema de vectoes no está dento de los dos casos anteioes, se dice que es equivalente a: un vecto a un momento C llamado toso del sistema: C Invaiantes de un sistema de vectoes desliantes Se denominan invaiantes a las cantidades que pemanecen constantes paa un deteminado sistema de vectoes independientemente del cento de momentos que se tome; ha tes invaiantes: Pime invaiante: el módulo de la esultante Segundo invaiante: el poducto escala de la esultante po el momento esultante especto a cualquie punto es constante C = C 3

4 Tece invaiante: es el cociente del segundo invaiante el pime invaiante C = C min Coincide con el módulo del momento mínimo del sistema de vectoes El vecto momento mínimo, tiene diección de la esultante, pudiendo calcula el momento mínimo po la epesión C min= Cmin u siendo u = el veso dieccional de esultante Eje Cental Es el luga geomético de todos los puntos del espacio cuo momento es mínimo paa un deteminado sistema de vectoes; es una ecta paalela a la esultante Paa halla la ecuación que la define es necesaio calcula un punto de la misma, su diección a es conocida, pues es la de la esultante Dado un punto del eje cental E ( E E E ), intesección del eje con la pependicula a él taada desde el oigen de coodenadas, cumple: C OE = = Ei E j Ek Si ; ; son las componentes del vecto, la ecuación del eje cental en foma continua es E E E = = educción de un sistema de vectoes Es la tansfomación del sistema de vectoes en oto lo más simplificado posible equivalente al pimitivo Paa ello, la esultante se aplicaá en el punto de la educción el momento C P P P se aplica en el punto de la se sustitue po un pa (, ) De los vectoes del pa, uno ( ) educción el oto P en un punto A ( ) A, A, A Como el momento esultante cumple la C = M P = OA P, el vecto OA es pependicula al vecto C condición ( ) En la páctica, paa calcula las coodenadas del punto A se impone la condición de pependiculaidad ente los vectoes OA C, es deci OA C = Si el momento esultante es C = Li Mj Nk se obtiene la ecuación AL AM AN =, que tiene tes incógnitas Paa esolve, se dan valoes abitaios a dos de las coodenadas del punto A se 4

5 obtiene la tecea El punto A tiene infinitas soluciones, depende de los valoes abitaios consideados Paa calcula las componentes del pa P( PPP) i j k C = OA P = A A A P P P se aplica la ecuación El desaollo da luga a tes ecuaciones con tes incógnitas, de las cuales una es combinación lineal de las otas dos El sistema se esuelve dando un valo abitaio a una de las incógnitas, po lo que el sistema tiene infinitas soluciones Deivación de vectoes Un vecto es función de una vaiable o paámeto si lo son sus componentes o al menos una de ellas ( t) = ( t) i ( t) j ( t) k El vecto () t descibe una cuva en el espacio al vaia el paámeto t ' t que tiene po componentes las deivadas Se define deivada de un vecto () t al vecto ( ) de las componentes Es un vecto paalelo a la tangente de la cuva '() t = ' ( t) i ' ( t) j ' ( t) k Si el vecto tiene módulo constante, la deivada es pependicula al vecto, pues = cte, deivando ' ' = ' =, lo que indica que ' es pependicula a 5