TEMA 7 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR EL MÉTODO DE MALLAS.

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1 TEMA 7 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR EL MÉTODO DE MALLAS. 7..-Introducción Análisis de circuitos por el método de mlls Expresión mtricil de ls ecuciones de mlls Análisis por mlls en circuitos con coplmientos mgnéticos Uso de ls mtrices en el método de nálisis por mlls Circuitos sin coplmientos mgnéticos Circuitos con coplmientos mgnéticos Análisis de circuitos con fuentes dependientes Impednci de entrd Impednci de trnsferenci. -5-

2 7..-INTRODUCCIÓN Hst hor hemos visto como otener ls ecuciones que nos permitn nlizr un circuito, tomndo como incógnits ls tensiones e intensiddes de rm. En este cpítulo desrrollremos un método generl de nálisis que nos permitirá reducir el número de ecuciones del sistem plnter pr determinr su comportmiento. L ide principl se s en plicr el segundo lem de Kirchhoff tods ls mlls del circuito, de form que el er lem quede implícito ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR EL MÉTODO DE MALLAS Antes de empezr resolver un circuito por el método de mlls se dee intentr, siempre que se posile, sustituir los generdores de corriente existentes en l red por generdores de tensión equivlentes (eq. de Thévenin). En el cso de que los generdores de corriente sen ideles (y no puedn ser trnsformdos de form simple) hrá que tenerlos en cuent de form explícit. Igulmente, se estudirá por seprdo el cso en que se dispong de generdores dependientes. A)SIN GENERADORES DE CORRIENTE. El número de mlls semos que es m = r - n +, siendo r el número de rms y n el de nudos. El procedimiento sistemático consiste en suponer que circul un corriente de mll ( fictici ) por cd mll (es conveniente signr tods ells el mismo sentido: horrio o ntihorrio) y plicr el 2º lem de Kirchhoff cd mll, siendo que ls intensiddes de rm (reles) son: i)si son rms externs, que pertenecen un sol mll, l intensidd de rm será igul ±intensidd de mll que pertenece. Se tomrá el signo + si coinciden ls referencis de polridd de ls misms. ii)tod rm intern pertenecerá dos mlls, de tl form que si tods ls corrientes de l mll tienen el mismo sentido, l intensidd de es rm será l diferenci entre ls corrientes de dichs mlls; el resultdo vendrá fectdo por un signo + si su referenci de polridd coincide con l de l rm. Ejemplo.: Plnter ls ecuciones de mll pr el circuito de l Fig.. En dicho circuito se hn indicdo ls corrientes de mll (i e i2) y los sentidos que se hn tomdo pr cd un (ms en sentido horrio). El plntemiento de l 2ª ley de Kirchhoff pr ms mlls d como resultdo el indicdo continución. -6-

3 Figur v = i + i i g 2 3 v = i + i i g () v = + i i g v = i + + i g (2) De donde otenemos el siguiente sistem de dos ecuciones con dos incógnits )CON GENERADORES DE CORRIENTE (IDEALES Y NO REDUCIDOS ) En este cso, un cos que puede hcerse es signr cd generdor de corriente presente en l red un tensión generdor desconocid (que vendrá determind por el resto del circuito) y ñdir ls ecuciones dicionles pr ls rms con generdor idel de corriente. Ejemplo 2: Encontrr ls intensiddes de mll del siguiente circuito. Figur 2 Como se h indicdo, considerremos ls tensiones en ornes de los generdores de corriente como si de un generdor de tensión se trtse. Con ello, plicndo el segundo lem pr ls tres mlls, otenemos el siguiente sistem de ecuciones: -7-

4 Mll : Mll 2: Mll 3: g2 ( 3) v = i i vg2 = i2 i3 + i2 v 3 = i3 i2 2+ i3 i g (3) Reordenndo nos qued: 28 v = i i g 2 3 v = 5i 2i g v = i 2i + 3i g (4) Tenemos tres ecuciones con cinco incógnits: nos fltn dos ecuciones más, que son: i 3 = -5 ; i 2 - i = Tmién puede resolverse este sistem con ls últims ecuciones y plnter l ecución de l mll ACEFG (que no incluye ningún generdor de corriente. Es ecución es, en relidd, l sum de ls ecuciones de ls mlls y 2): L solución de dicho sistem es: 28= I + 5 I 3 I I3 = 5 I I = I = 3A ; I 2 = 2A ; I 3 = -5A (5) 7.3.-EXPRESIÓN MATRICIAL DE LAS ECUACIONES DE MALLAS Lo siguiente que vmos comentr, solmente podemos hcerlo cundo el circuito no tiene generdores de corriente (si existiesen, hrí que eliminrlos previmente o usr el método nterior). Tmpoco usremos coplmientos mgnéticos (esto se verá en el siguiente punto). Pr sistemtizr este método hrá que elegir (como en el cso generl) tods ls corrientes de mll con el mismo sentido de giro y plicr: [ v g ] ( ± v g ) ( ± v g ) n = n i i n nn n [ ] [ i] (6) -8-

5 donde el signo de cd v g j es el del polo por donde sle l corriente fictici i j de l mll j, i i = 3 impedncis de l mll i = Autoimpedncis i j = -3 impedncis de l rm i j = Impedncis mutus. Pr el ejemplo tendrímos: + v v g g 2 = i i 2 (7) Siempre que no existn en el circuito generdores dependientes, l mtriz [] será simétric (incluso si tiene coplmientos mgnéticos) ANÁLISIS POR MALLAS EN CIRCUITOS CON ACOPLAMIENTO MAGNÉTICO Veremos dos csos por seprdo: cundo ls inducciones mutus están en mlls distints y cundo en un mism mll coexisten vris inducciones mutus. )Mlls con solmente un inducción mutu como máximo. Veremos el plntemiento generl con un ejemplo. Ejemplo 3: Plnter ls ecuciones de mlls pr el siguiente circuito. Ls ecuciones serán: Figur 3 eg = L Di + i i R + i MD = ( i i) R + L2Di + MDi (8) Ls que, si reordenmos, quedrán como: -9-

6 ( R MD) i ( R L D) i e = R + LD i + R + MD i g = (9) Pr otener el signo de M se h pintdo trzos l intensidd que posee el coplmiento. Si ese sentido coincide con el de l corriente de mll se pondrá positivo, y si no negtivo. En este cso l escritur direct del sistem de ecuciones result lgo más complicd si el circuito present rms coplds mgnéticmente, pero todos los conceptos expuestos hst hor siguen teniendo vlidez. Como es lógico, ls tensiones de excitción de mll se otienen igul que pr el cso sin coplmientos. En lo que respect ls tensiones en los elementos psivos, deerán tenerse en cuent no sólo ls deids ls intensiddes de estos elementos, sino tmién ls deids ls intensiddes de los elementos con los que estén copldos. Supongmos dos rms de un circuito formdo por dos oins coplds mgnéticmente, como ls de l figur 4. Figur 4 Considermos l oin L como perteneciente l lzo j y l L 2 como perteneciente l lzo k. Tomndo l referenci de u k coincidente con l de i j, el pso de l intensidd de lzo i k por L 2 d lugr un diferenci de potencil en L de vlor u k = ±MADAi k con signo + pr l Fig. 4, en que ls referencis de i j e i k entrn por terminles correspondientes y signo menos en cso contrrio, como sucede en l Fig. 4. L expresión de u k nos dice que, deido l coplmiento entre ls rms de L y L 2, existe un impednci opercionl mutu entre los lzos j y k de vlor ±MD. Si el circuito huiese sido: -2-

7 Figur 5 Ls ecuciones serín: e = L Di + R i i MDi g = Ri i + LDi MDi 2 () de donde: ( R MD) i ( R L D) i e = LD + R i + R MD i g = () En culquier de los dos csos, oservmos que l mtriz es simétric. )En el cso de tener en un mism mll dos o más oins coplds mgnéticmente, hy que repetir el proceso pr cd inducción mutu. De nuevo lo mejor es ver lo que ocurre con un ejemplo. Ejemplo 4: Plnter ls ecuciones de mlls pr el circuito de l Fig. 6. Figur 6 El plntemiento de ls ecuciones de mll es: -2-

8 eg = Ri LDi ( i i ) M Di M Di CD = ( i i ) + ( L2 + L3) Di + M2Di M23Di M3Di M23Di CD (2) Reordenndo: e R LD i CD CD M D M D i g = CD M D M D i = LD 2 LD 3 2M23D i + CD + + (3) Vemos un último ejemplo. Ejemplo 5: Plnter ls ecuciones de mlls pr el circuito de l Fig. 7 Figur 7 L solución es: e = LDi + L D i i + MD i i + MDi g 2 Reordenndo, se tendrí: = LDi i + ir MDi 2 ( 2 ) = ( L M) Di + ( L D + R) i e = L + L + M Di + L M Di g (4) (5) 7.5.-USO DE LAS MATRICES EN EL MÉTODO DE ANÁLISIS POR MALLAS Como y vimos nteriormente, el procedimiento se puede sistemtizr con mtrices, siguiendo un serie de regls. -22-

9 7.5..-CIRCUITOS SIN ACOPLAMIENTOS MAGNÉTICOS Es lo visto hst hor (prescindiendo de fuentes dependientes, que veremos en detlle más delnte). Pr el cso de conservr fuentes de corriente independientes, y vimos que hí que introducir ls tensiones en ornes como otr vrile, l vez que se ñdín tnts ecuciones como fuentes tuviésemos, que nos relcionn ls intensiddes de mll con ls de los generdores CIRCUITOS CON ACOPLAMIENTOS MAGNÉTICOS En este punto vmos ñdir ls regls necesris pr utomtizr l otención de ls impedncis propis y mutus de un circuito, con el fin de celerr l resolución de éstos. Ls regls ñdir pr esos coplmientos mgnéticos son: -L impednci opercionl mutu entre dos mlls j y k, jk, viene dd por l sum de ls impedncis propis de los elementos psivos que pertenezcn simultánemente ls mlls j y k, deiéndose ñdir un término de l form ±MD por cd coplmiento que exist entre ls rms que pertenece l mll j, con ls rm que pertenezcn l mll k. El signo dependerá, como se h explicdo, de ls referencis de polridd de ls intensiddes de lzo i j e i k. - Si ls dos oins pertenecen l mismo lzo, l k, por ejemplo, el pso de i k por cd un de ells drí lugr un diferenci de potencil en l otr de l mism form, por tnto: L impednci opercionl propi del lzo ásico k, kk, viene dd por l sum de ls impedncis propis de todos los elementos psivos que pertenecen l mll k, más un término de l form ±2MD por cd pr de oins coplds mgnéticmente contenids en l mism mll. Se tomrá pr ese término el signo más si l intensidd de lzo i k entr por terminles correspondientes en ms oins y se tomrá el signo menos en cso contrrio. Retomemos lgunos de los ejemplos vistos hst este momento. Pr el circuito de l Fig. 4, podemos poner: e = g i i (6) siendo: = R + L D = = -R + MD = R + L 2 D -23-

10 Pr el circuito de l Fig. 5 se tendrí: e = g i i (7) siendo: = R + L D = = -R -MD = R + L 2 D Pr el circuito de l Fig. 6 se tendrí: e = g i i (8) siendo: = R + /CD + L D = = -/CD + M 2 D - M 3 D = /CD + L 2 D + L 3 D - 2M 23 D Pr el circuito de l Fig. 7 se tendrí: e = g i i (9) siendo: = L D + L 2 D + 2MD = = -L 2 D - MD = R + L 2 D 7.6.-ANÁLISIS DE CIRCUITOS CON FUENTES DEPENDIENTES En el cso de que tengmos lgun fuente dependiente de tensión (si es de corriente se podrá trnsformr en un de tensión usndo lgún método conocido), será preciso introducir ecuciones dicionles ls nteriores, que relcionen l f.e.m. o corriente de l fuente controld con ls corrientes de mll; en este cso, el conjunto totl drá lugr un mtriz de impedncis que y no será simétric. Ejemplo 6: Resolver el circuito de l Fig.8, utilizndo el método de mlls. Primermente reconvertiremos el generdor de corriente en uno de tensión, el cul se indic en l Fig. 8. V g = 5A.5Av = 2.5Av ; R = 5S. -24-

11 Figur 8 Ls ecuciones de mll son: I I2 55= V = I I 2 (2) En form mtricil quedrí: =. V 9 I I 2 (2) L relción entre l señl de control V y ls corrientes de mll I e I 2 es: V = (I - I 2 )A de donde resultn ls ecuciones generles: 55 = I.. I 2 (22) cuy solución es I = 5.38 A ; I 2 =.24A Vemos que l mtriz de impedncis dej de ser simétric IMPEDANCIA DE ENTRADA En los circuitos con un sol fuente es importnte conocer los ornes de conexión o entrd. En l Fig. 9, l tensión plicd se design por V y l intensidd de corriente sorid es I. Puesto que sólo hy un fuente V, l corriente I viene dd por l expresión: D I = V (23) D -25- z

12 Se define l impednci de entrd como un relción entre V e I : input, z D D (24) Figur 9 Vemos como serí pr un red de, por ejemplo, 3 mlls (y un fuente en cd): I V 2 3 V V 2 3 V D D2 D3 = = V = V + V2 + V 2 D 3 D D D V (25) siendo: D = D2 = D3 = ; ; (26) IMPEDANCIA DE TRANSFERENCIA Un tensión plicd en un prte de un circuito provoc un corriente en tods ls rms del mismo. Por ejemplo, un fuente de tensión conectd un red psiv produce un corriente de slid en un prte del circuito donde se conectrí un impednci de crg. Se dice entonces que el circuito tiene un impednci de trnsferenci. Consideremos el circuito psivo de l Fig., donde l fuente de tensión se h denomindo V r y l corriente de slid I s. L ecución de l corriente de mll pr I s contienen solmente un término, el deido V r, en el determinnte del numerdor: -26-

13 Figur I s s rs = Vr D D (27) D D L impednci de trnsferenci es l relción entre V r e I s : trnsfer rs, D D rs (28) Como l mtriz de impedncis es simétric (en usenci de generdores dependientes), se tendrá que ) rs = ) sr, con lo cul: = (29) trnsfer, rs trnsfer, sr Esto expres un importnte propiedd de los circuitos lineles. Si un determind tensión en un mll r produce un determind elevción de corriente en un mll s, entonces l mism tensión en l mll s produce l mism corriente en l mll r (Teorem de reciprocidd). Consideremos hor el cso más generl con n-mlls y con vris fuentes de tensión. L solución pr l corriente de mll k puede escriirse en función de ls impedncis de entrd y de trnsferenci: I k V Vk Vk Vk + Vn = (3) trnsfer, k trnsfer,( k ) k input, k trnsfer,( k + ) k trnsfer, nk Est expresión no port nd nuevo mtemáticmente, pero escrit en est form ilustr muy clrmente el Principio de Superposición, poniendo de mnifiesto cómo ls impedncis controln el efecto de ls tensiones sore un corriente de mll concret. Si un determind fuente se suprime y l corriente de mll se ve poco fectd, entonces es que l impednci de trnsferenci es muy grnde. L fuente V k y ls fuentes dycentes l mll k deerán contriuir de form importnte l corriente I k. -27-