Matemáticas Física Curso de Temporada Verano Ing. Pablo Marcelo Flores Jara

Transcripción

1 Matemáticas Física Curso de Temporada Verano 2016 Ing. Pablo Marcelo Flores Jara

2 UNIDAD II: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULO CUALESQUIERA U OBLICUÁNGULOS Ing. Pablo Marcelo Flores Jara pablofloresjara@gmail.com

3 Teorema de los senos Teoremas de Trigonometría Cada lado de un triángulo es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto.

4 Teoremas de Trigonometría (cont.) De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45 y C = 105. Calcula los restantes elementos.

5 Teoremas de Trigonometría (cont.)

6 Teoremas de Trigonometría (cont.) Calcular el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A = 45, B = 72 y a=20m.

7 Teoremas de Trigonometría (cont.) Teorema del coseno En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.

8 Teoremas de Trigonometría (cont.) Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48 15'. Calcular los lados.

9 Teoremas de Trigonometría (cont.)

10 Teoremas de Trigonometría (cont.) El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36m.

11 Teoremas de Trigonometría (cont.)

12 Teorema de las tangentes

13 Área del Triángulo El área de un triángulo es la mitad del producto de una base por la altura correspondiente. El área de un triángulo es el semiproducto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman.

14 Área del Triángulo (cont.) El área de un triángulo es el cociente entre el producto de sus lados y cuatro veces el radio de su circunferencia circunscrita. El área de un triángulo es igual al producto del radio de la circunferencia inscrita por su semiperímetro.

15 Resolución de Triángulos Resolver un triángulo consiste en hallar sus lados, ángulos y área. Para resolver un triángulo rectángulo se necesita conocer dos lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto. Dependiendo de los elementos que conozcamos, nos encontramos con cuatro tipos de resolución de triángulos rectángulos,

16 Resolución de Triángulos (cont.) Se conocen la hipotenusa y un cateto

17 Resolución de Triángulos (cont.) Se conocen los dos catetos

18 Resolución de Triángulos (cont.) Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo

19 Resolución de Triángulos (cont.) Se conocen un cateto y un ángulo agudo

20 Ejercicios De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m. Resolver el triángulo. sen B = 280/415 = B = arc sen = C = = c = a cos B c = = m

21 Ejercicios (cont.) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Resolver el triángulo. tg B = 33/21 = B = C = = a = b/sen B a = 33/ = m

22 Ejercicios (cont.) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22. Resolver el triángulo C = = 68 b = a sen 22 b = = m c = a cos 22 c = = m

23 Ejercicios (cont.) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B = 37º. Resolver el triángulo C = = 53º a = b/sen B a = 5.2/ = 8.64 m c = b cotg B c = = 6. 9 m

24 Ejercicios (cont.) Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12. A qué distancia del pueblo se halla?

25 Ejercicios (cont.) Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de 70º

26 Ejercicios (cont.) Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70.

27 Ejercicios (cont.) Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30 y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60.

28 Ejercicios (cont.) La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita.

29 Ejercicios (cont.) Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 49 centímetros de radio.

30 Ejercicios (cont.) Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6 km y la de B a C 9 km. El ángulo que forman estas carreteras es 120. Cuánto distan A y B?

31 Triángulos oblicuángulos Para resolver triángulos oblicuángulos vamos a utilizar los teoremas del seno y del coseno. Dependiendo de los elementos que conozcamos, nos encontramos concuatro tipos de resolución de triángulos oblicuángulos.

32 Triángulos oblicuángulos (cont.) Conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él

33 Triángulos oblicuángulos (cont.) De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45 y C = 105. Calcula los restantes elementos.

34 Triángulos oblicuángulos (cont.) Conociendo dos lados y el ángulo comprendido

35 Triángulos oblicuángulos (cont.) De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30. Calcula los restantes elementos.

36 Triángulos oblicuángulos (cont.) Conociendo dos lados y un ángulo opuesto sen B > 1. No hay solución sen B = 1 Triángulo rectángulo sen B < 1. Una o dos soluciones

37 Triángulos oblicuángulos (cont.) Supongamos que tenemos a, b y A; al aplicar el teorema de los senos puede suceder: 1. sen B > 1. No hay solución. Resuelve el triángulo de datos: A = 30, a = 3 m y b = 8 m.

38 Triángulos oblicuángulos (cont.) Como el seno de un ángulo nunca puede ser mayor que 1, el problema no tiene solución. La figura muestra la imposibilidad de que exista el triángulo planteado.

39 Triángulos oblicuángulos (cont.) 2. sen B = 1. Solución única: triángulo rectángulo Resuelve el triángulo de datos: A = 30, a = 3 m y b = 6 m.

40 Triángulos oblicuángulos (cont.) 3. sen B < 1. Una o dos soluciones Resuelve el triángulo de datos: A = 60, a = 8 m y b = 4 m.

41 Triángulos oblicuángulos (cont.) Resuelve el triángulo de datos: A = 30, a = 3 m y b = 4 m.

42 Triángulos oblicuángulos (cont.)

43 Triángulos oblicuángulos (cont.) 4. Conociendo los tres lados

44 Triángulos oblicuángulos (cont.) Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m.

45 Aplicaciones de la Trigonometría Cálculo de la distancia entre dos puntos, uno de los cuales es inaccesible Se fija en el plano horizontal dos puntos A y C, y se mide la distancia que los separa: b= 200 m. Se miden con el teodolito los ángulos A y C. A= 61º 28' y C= 54º 53'.

46 Aplicaciones de la Trigonometría (cont.) Cálculo de la altura de un punto de pie inaccesible Se fija en el plano horizontal dos puntos A y C, y se mide la distancia que los separa: b= 500 m. Se miden con el teodolito los ángulos A y C. A= 72º 18' y C= 60º 32'. También se mide el ángulo HAB = 62º 5'

47 Aplicaciones de la Trigonometría (cont.) Cálculo de la distancia entre dos puntos inaccesibles Se fija en el plano horizontal dos puntos C y D, y se mide la distancia que los separa: b= 450 m. Se miden con el teodolito los ángulos C y D. C= 68º 11' y D= 80º 40'. También se miden los ángulos BCD = 32º 36' y ADC = 43º 52'.