20. Absorción y emisión estimulada de fotones por electrones ligados. Coeficientes de Einstein.

Transcripción

1 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena Absorción y emisión estimulada de fotones por electrones ligados. Coeficientes de Einstein. [Gre 2.1,2.3; passim] Absorción de fotones en un átomo El proceso de absorción de un fotón E por un electrón ligado en un átomo se puede interpretar, evidentemente, como la inversión temporal del proceso de emisión. Dado que las interacciones electromagnéticas son simétricas E (invariantes) bajo inversión temporal, 0 esperamos que la probabilidad sea la E(k) =ck = E E 0 misma para ambos procesos. Es fácil comprobar esto explícitamente calculando la amplitud de transición de absorción. El elemento de matriz relevante ahora es Sustituyendo e f Ĥ(1) int i = 2πm f Ĥ(1) int i, i = ψ i; k, η, f = ψ f. (20.1) d 3 k E(k ) η =± y los elementos de matriz fotónicos ahora son ergo { ε η (k ) ψ f e ik xâ η (k )ˆp ψ i ; k, η + ψ f e ik xâ } η (k )ˆp ψ i ; k, η, ψ f e ik xâ η (k )ˆp ψ i ; k, η = ψ i ; k, η e ik xâ η (k )ˆp ψ f ψ f e ik xâ η (k )ˆp ψ i ; k, η = 0, e f Ĥ(1) int i = 2πm = ψ i ; k, η e ik xˆp ψ f ; k, η = δ ηη δ (3) (k k ) ψ f e ik xˆp ψ i, (20.2) (20.3) 1 E(k) ε η (k) ψ f e ik xˆp ψ i. (20.4) Esta amplitud es el complejo conjugado de la del proceso de emisión entre los mismos niveles i.e. la probabilidad correspondiente es idéntica, como esperábamos.

2 20-2 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena E Emisión espontánea y emisión estimulada Volvamos ahora al proceso de emisión de un fotón por un átomo excitado. La diferencia con el caso que estudiamos anteriormente es que ahora supondremos que en el sistema, además del átomo, están presentes fotones libres que tienen los mismos números cuánticos (k, η) del fotón emitido que aparece en el estado final. Dichos fotones no interactúan con el átomo, pero están presentes tanto en el estado inicial como en el estado final del proceso; por simplicidad, supondremos que hay un número finito n de dichos fotones espectadores. El resultado crucial es que la probabilidad del proceso E E 0 E(k) =ck = E E 0 E 0 ψ i ; n(k, η) ψ f ; (n + 1)(k, η) (20.5) es proporcional al número de fotones, i.e. aumenta en presencia de fotones espectadores (Einstein 1917). Este fenómeno lleva a distinguir entre emisión espontánea (cuando el átomo no está inmerso en un fondo de radiación) y emisión estimulada (cuando el átomo está rodeado por un fondo de radiación de fotones con la frecuencia y polarización adecuadas). Este es el mecanismo que se explota para generar un haz láser palabra que, como se sabe, es un acrónimo de la expresión light amplified by stimulated emission of radiation. La idea es relativamente sencilla: supongamos un gas en una cavidad óptica cilíndrica (1), cerrada en los extremos por dos tapas de material altamente reflectante (3,4), una de las cuales tiene un orificio (5). Los átomos del gas son excitados a través de algún mecanismo (llamado de bombeo) (2), e.g. corrientes eléctricas o luz con una frecuencia distinta a la que se quiere obtener. Cuando los átomos excitados decaen, producen fotones con una cierta longitud de onda, que se propagan en la cavidad y forman un fondo de radiación; la aparición de dicho fondo estimula la emisión de más fotones de la misma frecuencia, y el aumento de la probabilidad del proceso con la densidad del fondo de radiación da lugar a un fenómeno de amplificación por cascada. El resultado es un haz láser luz coherente, intensa, monocromática y polarizada emitido a través del orificio de la cavidad. Para demostrar el resultado de partida usando el formalismo que hemos desarrollado, es suficiente recalcular el elemento de matriz de Ĥ(1) int entre los nuevos

3 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena 20-3 estados inicial y final: e f Ĥ(1) int i = 2πm d 3 k E(k ) ε η (k ) η =± { ψ f ; (n + 1)(k, η) e ik xâ η (k )ˆp ψ i ; n(k, η) + ψ f ; (n + 1)(k, η) e ik xâ } η (k )ˆp ψ i ; n(k, η). (20.6) El primer elemento de matriz es cero (una vez aplicado â η (k ) los estados externos tienen números de fotones que difieren en dos unidades), mientras que el segundo es ψ f ; (n + 1)(k, η) e ik xâ η (k )ˆp ψ i ; n(k, η) = = n + 1 δ ηη δ (3) (k k ) ψ f e ik xˆp ψ i, (20.7) donde hemos usado â η(k) n(k, η) = n + 1 (n + 1)(k, η). La consecuencia inmediata es que la relación entre las amplitudes T fi de las emisiones espontánea y estimulada es T fi (n) = n + 1 T fi, (20.8) y por lo tanto las respectivas probabilidades T fi 2 difieren por un factor (n + 1) (o n si n es un número grande, lo que siempre será una buena aproximación en presencia de un fondo denso de radiación). Aspectos estadísticos: coeficientes de Einstein En teoría cuántica de la radiación, es frecuente considerar sistemas macroscópicos (e.g. el gas que se usa para producir un haz láser como descrito anteriormente), que deben ser tratados con técnicas estadísticas. El sistema (idealizado) más sencillo posible estaría constituido por átomos sometidos a condiciones tales que sólo pueden estar en dos estados, con energías 1 E 1 < E 2, más fotones con frecuencias ω = (E 2 E 1 )/ que pueden ser emitidos o absorbidos por los átomos. Distinguiremos entre tres procesos posibles: absorción, emisión espontánea y emisión estimulada. Llamemos n i el número de átomos en el estado con energía E i por unidad de volumen. Suponiendo que el sistema evolucione alrededor del equilibrio, la dependencia temporal de n 1,2 se podrá describir con tres ecuaciones diferenciales de primer orden, una por cada tipo de proceso: n 1 aumentará debido a procesos de emisión, y 1 Para simplificar las convenciones, tomaremos las energías positivas.

4 20-4 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena n 2 aumentará debido a procesos de absorción, según las leyes dn 1 dt := A 21 n 2 (t), emisión espontánea dn 1 dt := B 21 n 2 (t) ρ(ω), emisión estimulada dn 1 dt := B 12 n 1 (t) ρ(ω), absorción (20.9) donde en las dos últimas ecuaciones se ha tenido en cuenta que la probabilidad de que el proceso ocurra, además de ser proporcional a la densidad de la especie de átomo en el estado inicial, lo es también a la densidad de fotones ρ(ω). Suponiendo de nuevo que el subsistema de fotones esté aproximadamente en equilibrio, podemos usar la fórmula que se sigue de la distribución de Bose-Einstein para un gas de fotones libres ρ(ω) = ω ( 3 ). (20.10) 2π 2 c 2 e ω kt 1 Las cantidades A 21, B 21, B 12 son llamadas coeficientes de Einstein; los signos de las ecuaciones se han elegido de manera que los tres sean positivos. Esta definición de los coeficientes de Einstein es puramente fenomenológica, y se basa en la descripción macroscópica del sistema. Nuestro objetivo será derivarlos de cantidades relacionadas con la dinámica microscópica, i.e. con las interacciones fotón-átomo. Interdependencia de los coeficientes Antes de hacerlo, conviene ver que los tres coeficientes no son independientes. Para ello empezamos observando que, al estar el sistema en equilibrio, se cumple la condición de balance detallado: dn 1 dt = 0 A 21 N 2 + B 21 n 2 ρ(ω) B 12 n 1 ρ(ω) = 0. (20.11) total Esto introduce una ligadura entre los tres coeficientes. Por otra parte, las densidades n 1,2 se pueden escribir en términos de la densidad total de átomos n como n i n = g ie Z E i kt, (20.12) donde Z es la función de partición del sistema y g i es el factor de degeneración del estado (e.g. g i = 2 para un orbital s, g i = 6 para un orbital p etc.). Usando

5 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena 20-5 E = ω e introduciéndolo en (20.11) se obtiene una ligadura válida T, A 21 g 2 e ω kt + B21 g 2 e ω ω 3 ω kt ( ) = B 12 g 1 ( 3 2π 2 c 2 e ω kt 1 2π 2 c 2 e ω kt 1 ). (20.13) En el límite kt ω, razonable salvo para sistemas extremadamente fríos, esta condición se simplifica considerablemente: desarrollando en serie de potencias de y = ω kt e imponiendo que la igualdad se cumpla orden a orden en y, de los dos primeros órdenes se obtiene B 12 B 21 = g 2 g 1, A 21 B 21 = i.e. sólo uno de los coeficientes es independiente. ω3 2π 2 c 2, (20.14) Relación con la dinámica microscópica: fuerzas de oscilador Ahora nos concentraremos en el proceso de absorción, y trataremos de relacionar el correspondiente coeficiente B 12 con las amplitudes de transición microscópicas. Sabemos que la probabilidad del proceso en un único átomo es de la forma W (i f) = cte (E 2 E 1 ) 2, q 2 ˆx 1, q 1 2, (20.15) donde q 1,2 son números cuánticos asociados a la degeneración (e.g. terceras componentes de momento angular/spin). Es habitual parametrizar esta probabilidad en términos de una cantidad sin dimensiones llamada fuerza de oscilador (oscillator strength), definida como f 12 := 2 m e 3 2 (E 2 E 1 ) q 2 3 2, q 2 ˆx j 1, q 1 2, (20.16) donde m e es la masa del electrón. Por otra parte, dada W (i f) es posible derivar la sección eficaz total por unidad de tiempo σ abs del proceso de absorción, tratado como una dispersión inelástica átomo-fotón. Usando las fórmulas vistas en teoría de la dispersión se halla (ejercicio) j=1 σ abs = πe2 m e c f 12. (20.17) Ahora bien: si volvemos a las ecuaciones donde han sido introducidos los coeficientes de Einstein, es evidente que B 12 se puede interpretar como la probabilidad de absorción de un fotón por unidad de tiempo, ángulo sólido y energía. Suponiendo que el proceso sea perfectamente isótropo, esto significa B 12 = 4π E γ σ abs = 4π ω σ abs. (20.18)

6 20-6 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena Uniendo las dos ecuaciones es inmediato relacionar B 12 con f 12, que es precisamente lo que queríamos. Usando también (20.14), la relación final entre la fuerza de oscilador y los tres coeficientes de Einstein es B 12 = 4π2 α m e ω f 12, B 21 = 4π2 α m e ω g 1 g 2 f 12, (20.19) A 21 = 2α ω2 m e c 2 g 1 g 2 f 12. Esto permite predecir el comportamiento del sistema macroscópico en términos de la cantidad microscópica f 12.