Proporcionalidad. Qué es una magnitud?

Transcripción

1 Proporcionlidd Qué es un mgnitud? Si hcemos est pregunt l profesor de físic, segurmente nos dirá: «es todo quello que se puede medir» y esto es cierto, l longitud se mide en metros, el volumen se mide en litros, l tempertur se mide en grdos, l presión se mide en tmósfers, etc. Sin embrgo, pr nuestro estudio preferimos un definición equivlente: Llmmos mgnitud todo quello que es susceptible de umento o de disminución. Lo cul tmbién es cierto: L longitud puede umentr o disminuir, el volumen puede umentr o disminuir, l tempertur (lo vemos dí dí) puede umentr o disminuir, l presión puede umentr o disminuir, etc. Mtemátic pr físicos Observemos que están hciendo los lumnos de to ño en el lbortorio. Mrí Irirte, Crlos Lir y Sheyl León hn dispuesto su mes de trbjo como vemos en l figur. Hn suspendido un resorte en uno de cuyos extremos cuelg un pltillo del cul sle un indicdor que, cundo el pltillo está sin crg, señl el cero en un escl. Oigmos lo que dicen: - Elijmos como unidd un moned de S/ Sí, ls otrs son muy livins -dijo Sheyl, l mismo tiempo que colocb un moned dentro del pltillo. Crlos se cerc l regl y lee: - lrgmiento: seis milímetros (Todos notn el resultdo. Sheyl coloc un segund moned). - Doce milímetros -lee est vez Mrí (Repiten l operción gregndo un moned cd vez, leyendo el lrgmiento y notndo el resultdo) Vemos como ordenó Crlos sus notciones: Pesd número Mrí coment: Número de moneds - El lrgmiento es proporcionl l peso. Sheyl greg: lrgmiento en mm 0 - Sí!, el coeficiente de proporcionlidd es. Es l función: f (x) = x Mtemátic pr mtemáticos Como y hemos dicho l mtemátic busc siempre generlizr los resultdos. sándonos en el párrfo nterior, consideremos l fmili de funciones de l form: f (x) = Kx Diremos que: Un función "f" estblece un correspondenci directmente proporcionl si y sólo si pr todo "x" perteneciente l dominio se verific que: f (x) = Kx El número "K" se denomin constnte de proporcionlidd. Ejemplo: Si "f" está dd por l tbl: 0 0 / / L constnte de proporcionlidd es 0. f (x) = 0x Espiemos otro poco en el lbortorio de físic Recordemos que pr moneds el lrgmiento er 0 mm, pr moneds fue de mm... Sheyl gregó un moned y Crlos dijo sin mirr l regl: ÑO

2 - Y sé! lrgmiento, mm Pero Mrí dijo sorprendid: - No! 0 mm. Los tres mirron l regl un y otr vez, un tnto confundidos. - Será un moned fls? Cmbiron l últim moned por otr, pero el resultdo fue el mismo. Crlos gregó otr moned y leyó mm. sombrdos fueron completndo el siguiente cudro: Ejemplo: Si "f" está dd por l tbl: 0, / f (x) = L constnte de proporcionlidd es. Lectur de fórmuls Según lo que hemos visto: Pesd número Número de moneds lrgmiento en mm 0 0 = K Podemos leer: " es proporcionl " o " y son directmente proporcionles" * "K" es un constnte llmd constnte de proporcionlidd o coeficiente de proporcionlidd. * L representción gráfic es un conjunto de puntos linedos con el origen. = K - Qué rro! Consultron entonces l profesor que les dijo: - Ls leyes de proporcionlidd, en generl, solmente se verificn dentro de ciertos límites. Esto deben tenerlo en cuent siempre que resuelvn problems. Todos ustedes sben muy bien que no es cierto que si 00 obreros hcen un edificio en 00 dís, entonces obreros trdrán dos dís. - Se chocrín entre ellos -murmuró Crlos. - No se podrí dr un pso -dijo Sheyl. K Podemos leer " es inversmente proporcionl " o " y son inversmente proporcionles" * "K" es l constnte de proporcionlidd. * L representción gráfic es un hipérbol. Correspondenci inversmente proporcionl Se dice que "f" estblece un correspondenci inversmente proporcionl K si y sólo si: f ( x ) pr: x 0 y K 0. x K "K" se denomin constnte de proporcionlidd.

3 Ls constntes de proporcionlidd, los gráficos y los científicos sí como en mtemátic estudimos cierts leyes que lign números o fi gu r s, l os f ís ic os, economists, biólogos, qu ím ic os, ps ic ól og os, investign ls leyes que vinculn los fenómenos de l os q ue t r t n su s respectivs disciplins. Un de ls diferencis fundmentles estrib en que el mtemático tiene ciert libertd pr estipulr ls regls de juego, mientrs que los demás científicos tienen por tre descubrir ls leyes que rigen l nturlez. Decí Glileo ( - ): "L filosofí se hll escrit en el mplio libro que tenemos bierto pr siempre nte nuestros ojos, me refiero l universo, pero no puede ser leído hst que no hymos prendido el lenguje y nos hymos fmilirizdo con los crcteres en que está escrito. Está escrito en lenguje mtemático, y ls letrs son triángulos, círculos y otrs figurs geométrics, sin cuy medición es humnmente imposible comprender ni un sol plbr". Por ello que l necesidd de descubrir ess leyes oblig los científicos ider y relizr experiencis que les permit expresrls medinte fórmuls mtemátics. Ests experiencis hce que lguns de sus lbores sen: observr, medir, confeccionr tbls, gráficos, digrms... y sber much mtemátic!. Vemos un ejemplo: Supongmos que un físico quiere estudir el m ov imi en to d el péndulo. Observ, en primer lugr que el tiempo que trd en efectur un oscilción complet (id y vuelt d es de u n d e l s posiciones extrems) es prácticmente el m mi sm o p r c d m péndulo. Se preguntrá entonces: no dependerá de l ms?. quí comienz su experimentción: cmbirá el objeto que pende del péndulo por otro de distint ms y medirá el tiempo que trd pr efectur cd oscilción complet. Este tiempo se llm período y se indic con l letr "T". m l Puede obtener un tbl como l siguiente: ms g T seg 0, 0, 0, 0, 0, Evidentemente, el período "T" no depende de l ms "m". Podrá pensr luego que el período depende de l mplitud " " (ángulo determindo por l verticl y l posición extrem). Nuevs mediciones, nuevs tbls le muestrn que "T" tmpoco depende de " ". De qué dependerá? El péndulo const de un ms «m» que pende de un hilo de longitud "l" y que oscil con un mplitud " ". Según ls experiencis nteriores no depende ni de l mplitud ni de l ms "m", dependerá de "l"? medir. Si se duplic l longitud, el período ument, pero no l doble; si se triplic l longitud el período ument, pero no se triplic; cundo se multiplic l longitud "l" por cutro, el período se duplic. Podrímos obtener l tbl siguiente: T 0,,0,,0 T 0,,0,,0 l por por 9 por "T" no es proporcionl "l" Todví no podemos expresr el resultdo medinte un fórmul. Sin embrgo, segurmente "T" está relciondo de lgun form con "l". quí entr en juego otr vez el ingenio del científico y su conocimiento de l mtemátic. Quizá y se te hy ocurrido un posibilidd. Si multiplicmos "T" por, "l" result multiplicd por = ; si multiplicmos "T" por, "l" qued multiplicd por 9 =... Esto nos sugiere gregr un nuev column l tbl:

4 Es decir: T K l. Con lo que conocemos, podrímos clculr «K». Como sbemos leer ests fórmuls, podemos enuncir l ley: En cd lugr el período de un péndulo es directmente proporcionl l ríz cudrd de su longitud.. S i " " y " " so n m gn it ud es p ro po rc io n le s representds medinte el siguiente gráfico: loque I Problems pr l clse b Clculr " + b". Si "" es directmente proporcionl "", complet el siguiente cudro. MGNITUD 0 MGNITUD 7. S i "P " y "Q " so n m gn it ud es p ro po rc io n le s representds medinte el siguiente gráfico: P. Si "P" es inversmente proporcionl "Q", complet el siguiente cudro. MGNITUD P 0 MGNITUD Q 0 0. S i " " y " " so n m gn it ud es p ro po rc io n le s representds medinte el siguiente gráfico: Hllr "y - x" x y Q 7. Si "" es D.P. y cundo = ; =, cuánto vldrá "", cundo = 9? ) b) c) 9 9 d) e). Si "" es D.P. y cundo = ; = ; clculr "", cundo =. Clculr " + b" ) 7 b) 9 c) d) e) b 9. "P" vrí inversmente proporcionl "T", cundo P =, entonces T =. Hllr "T", cundo P = 00.. S i "" y "" so n m gn it ud es p ro po rc io n le s ) b) 0 c) 0 representds medinte el siguiente gráfico: d) 0 e) b 0.S i " " y " " so n m gn it ud es p ro po rc io n le s representdos medinte el siguiente gráfico. Hllr "x" 0 = K x = K (-) Clculr " + b" 0 x

5 loque II. Del gráfico, hllr + b 0 9 b ) 0 b) c) d) 7 e). Del gráfico; clcule + c 0 c ) 7 b) c) d) e) 0. "x" vrí en rzón direct "y" e invers l cudrdo de "z". Cundo: x=0, entonces y =, z =. Hllr "x", cundo: y = y z = 7. ) 0 b) 0 c) d) 0 e) 0. Se sbe que "" es D.P. e I.P. C. demás cundo "" es entonces: = y C =. Hllr "", cundo "" se y "C" se el doble de "". ) 7 b) c) d) e). Se tienen tres mgnitudes "", "" y "C" tles que "" es D.P. "C" e I.P.. Hllr "", cundo: = C, sbiendo que: = 0 entonces: = y C =. ) b) c) d) e). Sbiendo que "" es D.P. " " y que ls vriciones de ls mgnitudes "" y "" se muestrn en el siguiente cudro. Hllr " + d". 7 7 ) b) c) 0 d) 7 e) d 9 7. L velocidd del sonido en el ire es D.P. l ríz cudrd de l tempertur bsolut. Si ºC l velocidd del sonido en el ire es de 0m/s, cuál será l velocidd del sonido en el ire cundo l tempertur se de ºC? ) 0m/s b) 0 c) 00 d) 0 e) 0. En un empres el sueldo es D.P. l edd y los ños de servicio del empledo e I.P. l cudrdo de l ctegorí. Jun empledo de d ctegorí con 0 ños de servicio en l empres y de ños de edd gn S/. 000, José que entró l empres ños después que Jun, gn S/.00 y es empledo de r ctegorí. Hllr l diferenci de eddes de mbos. ) b) 7 c) d) 9 e) N.. 9. El precio de impresión de un libro es directmente proporcionl l número de págins e inversmente proporcionl l número de ejemplres que se imprimn. Se editron 000 ejemplres de un libro de 00 págins y cuest $ el ejemplr, cuánto costrá editr un ejemplr si se mndron imprimir 00 libros de 0 págins? ) $ b) c) d) 7 e) 0.El precio de un cs es directmente proporcionl l áre e inversmente proporcionl l distnci que lo sepr de Lim. Si un cs ubicd 7km cuest S/. 000, cuánto costrá un cs del mismo mteril, si su áre es el doble y se encuentr 0km de distnci? ) S/. 000 b) 00 c) 0 d) e) loque III. Se sbe que (x + ) vrí proporcionlmente con (y - ). Si cundo: x = 0, entonces: y = 9, hllr el vlor de "x", si: y =. ) b) c) 0 d) 9 e). El sueldo de un empledo es proporcionl l cudrdo de l edd que tiene. Si ctulmente tiene ños, dentro de cuántos ños cudruplicrá su sueldo? ) 0 b) c) d) e) 0. L ley de oyle dice que: «L presión que soport un gs es I. P. l volumen que ocup; mnteniendo l tempertur constnte». Si l presión disminuye en

6 tmósfers, el volumen vrí en / de su vlor. Hllr l presión que está sometido dicho gs (en tmósfers). ) 0 b) c) d) e). El áre cubiert por l pintur es proporcionl l número de glones de pintur que se compr. Si pr pintr 00 m se necesitn glones, qué áre se pintrá con glones? energí que consume. Si cundo su tmño es de pulgds y consume «E» de energí, su precio es de $0, cuánto costrá un televisor cuyo tmño es de pulgds y consume E/ de energí? ) $0 b) 70 c) 0 d) 0 e) 0. Dos rueds de y dientes están conctendos. En el trnscurso de minutos un d 70 vuelts más que l otr. Hllr l velocidd menor en rev/min. ) 0 m b) 00 c) 0 ), b) 0 c) 7, d) 0 e) 0 d), e),. El sueldo de un empledo es directmente proporcionl su rendimiento e inversmente proporcionl l número de dís que h fltdo trbjr. Si Jun tuvo un sueldo mensul de S/.00 y su rendimiento es como y fltó dís, entonces, cuál es el sueldo de Crlos, si su rendimiento es como y fltó dís? ) S/.90 b) 00 c) 0 d) 0 e) 90. L eficienci de un trbjo se mide en puntos y es D.P. los ños de trbjo e I.P. l ríz cudrd de l edd del trbjdor. L eficienci de Rúl es puntos cundo tiene un ño de trbjo y ños de edd. Cuál será su eficienci los ños? ) ptos b) c) d) 0 e) 7. El precio de un televisor color vrí en form D.P. l cudrdo de su tmño e I.P. l ríz cudrd de l 9. Se sbe que es D.P. con y que es D.P. con C. Si cundo ument en uniddes vrí en 0%. Qué ps con C cundo disminuye 0 uniddes? ) Se duplic b) Se reduce l mitd c) Se triplic d) Se reduce su tercer prte e) N.. 0.Si el precio de un dimnte es directmente proporcionl l cudrdo de su peso, cuánto se gnrá o perderá en un dimnte que vle S/. 70 que se prte en dos pedzos, uno el doble del otro?. ) No se gn ni se pierde b) Se gn S/.0 c) Se gn S/.0 d) Se pierde S/.0 e) Se pierde S/.0

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