GEOMETRÍA PLANA. VECTORES

Transcripción

1 COPIRRI_Julio Césr bd Mrtínez-Los GEOMETRÍ PLN. VECTORES 1.- POLÍGONOS Polígono: Prte del plno limitd por un líne poligonl cerrd. Ldo: Segmento que une dos vértices consecutivos. En un polígono el número de ldos el número de vértices es el mismo. Digonl: Segmento que une dos vértices no consecutivos. El número de digonles de un polígono se puede clculr medinte l n (n 3) fórmul: D Ángulo interior: Es el formdo por dos ldos consecutivos. L sum de todos ellos se clcul medinte l epresión: 180 (n ) Ángulo eterior: Es el formdo por un ldo l prolongción de otro consecutivo. L sum de todos es 360º..- CLSIFICCIÓN DE LOS POLÍGONOS Los polígonos se pueden clsificr por diferentes crcterístics:.- Según l medid de sus ángulos interiores: - Conveo: todos los ángulos interiores miden menos de 180º. Son los polígonos que estudiremos hbitulmente, no presentn entrntes. - Cóncvo: lgún ángulo interior mide más de 180º. No los trbjremos, presentn entrntes..- Según el número de ldos: - Triángulo: tres ldos - Cudrilátero: cutro ldos - Pentágono: cinco ldos - Heágono, heptágono, octógono, eneágono, decágono.- Según su form: - Equilátero: tiene todos los ldos igules. (El rombo es equilátero pero no es equiángulo) - Equiángulo: tiene todos los ángulos igules. (El rectángulo es equiángulo pero no es equilátero) - Regulr: tiene todos los ldos ángulos igules. (El cudrdo es equiángulo, es equilátero por lo tnto es regulr) Los polígonos de tres ldos, triángulos, de cutro ldos, cudriláteros, son los más hbitules, por ello es necesrio conocer sus nombres clsificción. TRIÁNGULOS.- Según sus ldos: - Triángulo Equilátero: los tres ldos igules. - Triángulo Isósceles: dos ldos igules. - Triángulo Escleno: los tres ldos distintos..- Según sus ángulos: - Triángulo Rectángulo: tiene un ángulo recto (es imposible tener dos ángulos rectos) dos gudos. - Triángulo cutángulo: tiene los tres ángulos gudos. - Triángulo Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso ( por lo tnto los otros dos deben ser gudos). CUDRILÁTEROS Los cudriláteros se clsificn en: - Prlelogrmos: tienen dos pres de ldos prlelos dos dos. Estos pueden ser: - Cudrdo: tiene los cutro ldos los cutro ángulos igules (son ángulos rectos). 1 S n

2 COPIRRI_Julio Césr bd Mrtínez-Los - Rectángulo: tiene los cutro ángulos igules (son ángulos rectos), los ldos son igules dos dos. - Rombo: tiene los cutro ldos igules, los ángulos son igules dos dos (dos gudos dos obtusos que son suplementrios, sumn 180º, entres sí). - Romboide: tiene dos ldos dos ángulos igules dos dos (dos gudos dos obtusos que son suplementrios, sumn 180º, entres sí). - Trpecios: tienen un pr de ldos prlelos. Estos pueden ser: - Trpecio Rectángulo: tiene dos ángulos rectos. Surge l cortr un triángulo rectángulo. - Trpecio Isósceles: tiene igules los ldos no prlelos. Surge l cortr un triángulo isósceles. - Trpecio Escleno: tiene distintos los ldos no prlelos. Surge l cortr un triángulo escleno. - Trpezoide: no tiene ldos prlelos. 3.- SEMEJNZ DE POLÍGONOS Definición _ Dos polígonos son semejntes si tienen los ldos proporcionles los ángulos igules. Pr estudir polígonos no regulres o incluso regulres se suelen tringulr, es decir, trocer en triángulos estudir estos de form independiente, por ello, se tiende l estudio del triángulo, como polígono básico, prtir de los resultdos obtenidos en los triángulos se nlizn los polígonos. Vemos l definición los criterios de semejnz pr triángulos. Definición _ Dos triángulos son semejntes si tienen los tres ldos proporcionles los tres ángulos igules. Por tnto h que comprr 1 elementos, seis de un triángulo seis de otro. Criterios _ Un criterio es un norm que permite llegr l mism conclusión con menos esfuerzo, no tendremos que comprr 1 elementos sino lgunos menos pr concluir que dos triángulos son semejntes. Criterio 1: Dos triángulos son semejntes si tienen los tres ldos proporcionles. Criterio : Dos triángulos son semejntes si tienen dos ldos proporcionles el ángulo comprendido igul. Criterio 3: Dos triángulos son semejntes si tienen dos ángulos igules. EJEMPLO_ Ddo un triángulo rectángulo de ctetos 3 cm 4 cm otro triángulo de ldos 4 cm, 56cm 7 cm. Indic, plicndo lgún criterio de semejnz, si son semejntes. PRIMER FORM: TRIÁNGULO I: Rectángulo de ctetos 3 cm 4 cm. Clculmos el tercer ldo plicndo el teorem de Pitágors + b = c : = c = c c 9 16 c 5 c 5 cm Por tnto los ldos del triángulo I miden 3 cm, 4 cm 5 cm. TRIÁNGULO II: Sus ldos miden 4 cm, 56 cm 7 cm. Como conocemos los tres ldos de cd uno plicmos el criterio Dos triángulos son semejntes si tienen los tres ldos proporcionles : 1, 4, como todos los cocientes son igules los ldos son proporcionles por lo tnto los triángulos I II son SEMEJNTES. En el dibujo como no sbímos si ern semejntes o no se hn dibujdo mbos triángulos con l informción que se tení en ese momento, d igul que no sen correctos los dibujos, siempre que no sen descbelldos. NOT: Cundo comprmos ldos de dos triángulos se pueden comprr los ldos del triángulo grnde con los ldos del triángulo pequeño o del pequeño con el grnde, l número obtenido (en este cso 14) se le llm rzón de proporcionlidd, pero est no es únic, pues si se comprn l revés l rzón será su invers. En l práctic se puede tomr un u otr indiferentemente (slvo que nos lo indiquen en el enuncido), nos guimos por l comodidd del cálculo, en este cso, si se hubiern tomdo l revés el cálculo hubier sido más frrgoso: ,

3 COPIRRI_Julio Césr bd Mrtínez-Los SEGUND FORM: TRIÁNGULO I: Rectángulo de ctetos 3 cm 4 cm. TRIÁNGULO II: Sus ldos miden 4 cm, 56 cm 7 cm. En este cso vmos comprobr si el segundo triángulo es rectángulo. plicndo el teorem de Pitágors: = `36 = = 49 El triángulo II tmbién es rectángulo de ctetos 4 cm 56 cm de hipotenus 7 cm. Como conocemos los ctetos de mbos triángulos el ángulo comprendido entre ellos (el ángulo recto en mbos), plicmos el criterio Dos triángulos son semejntes si tienen dos ldos 4 56 proporcionles el ángulo comprendido igul : 1, 4, como 3 4 mbos cocientes son igules los ldos son proporcionles por lo tnto los triángulos I II son SEMEJNTES. Los dibujos correctos de mbos triángulos serín los de est figur, con tod l informción obtenid posteriori. 4.- TEOREMS PLICDOS TRIÁNGULOS 4.1 Teorem de Tles El teorem de Tles dice lo siguiente: Si dos rects secntes (que se cortn), son cortds su vez por dos o más rects prlels entre sí, ésts últims genern en ls primers segmentos proporcionles. En l imgen se puede observr que ls rects prlels producen cutro segmentos, proporcionles entre sí: o tmbién En l práctic este teorem se plic en triángulos conviene retomr lo que dice el teorem de Tles pr enuncirlo del siguiente modo: Si en un triángulo se trz un rect prlel uno de sus ldos, se origin un triángulo semejnte l primero de menor tmño. EJEMPLO_ Clcul el vlor de e en l siguiente figur. Pr clculr e "" podemos plicr el teorem de Tles: = 0 18 = 30 m Pr clculr no podemos plicr el teorem de Tles, (el ldo C el ldo DE son los prlelos el teorem de Tles hbl de segmentos proporcionles formdos sobre los ldos secntes que son C ): = 1 36 = 16 m Por tnto pr clculr, tmbién debemos tender l semejnz de triángulos, por el teorem de Tles los triángulos C DE son semejntes sus ldos son proporcionles: m m 3

4 COPIRRI_Julio Césr bd Mrtínez-Los 4. Teorem de PITÁGORS Ddo un triángulo rectángulo se cumple: + b = c EJEMPLO_ Clcul el áre de un triángulo rectángulo de cteto 0 cm de hipotenus 9 cm. Clculmos el otro cteto plicndo el teorem de Pitágors + b = c : 0 + = = cm 5.- PUNTOS Y RECTS NOTLES EN TRIÁNGULOS 5.1 Meditrices circuncentro.- MEDITRIZ: es l rect perpendiculr un ldo por su punto medio..- CIRCUNCENTRO: es el punto de corte de ls meditrices, está situdo l mism distnci de los tres vértices es el centro de l circunferenci circunscrit. 5. isectrices e incentro.- ISECTRIZ: es l rect que divide un ángulo por l mitd..- INCENTRO: es el punto de corte de ls bisectrices, está situdo l mism distnci de los tres ldos, es el centro de l circunferenci inscrit. 5.3 Medins bricentro.- MEDIN: es l rect que une un vértice con el punto medio del ldo opuesto..- RICENTRO: es el punto de corte de ls medins. Es el punto de equilibrio del triángulo. Se cumple que desde el bricentro un vértice h el doble de distnci que del bricentro l punto medio de ldo opuesto. 5.4 lturs ortocentro.- LTUR: es l rect perpendiculr desde un vértice hst su ldo opuesto o su prolongción..- ORTOCENTRO: es el punto de corte de ls lturs. No cumple nd prticulr. En un triángulo equilátero los cutro puntos coinciden. Ls circunferencis inscrits circunscrits son concéntrics. Meditriz, bisectriz, medin ltur son l mism rect. 6.- ÁRES DE POLÍGONOS 6.1 Áre del cudrdo Siendo l el ldo de un cudrdo su áre será: cudrdo = l 6. Áre del rectángulo Siendo b l bse del rectángulo h l ltur del rectángulo su áre será: rectángulo = b h 6.3 Áre del triángulo Siendo b l bse del triángulo h l ltur del triángulo su áre será: triángulo b h 4

5 COPIRRI_Julio Césr bd Mrtínez-Los 6.4 Áre del rombo Siendo D l digonl mor del rombo d l digonl menor del rombo su áre será: rombo D d 6.5 Áre del romboide Siendo b l bse del romboide h l ltur del romboide su áre será: romboide = b h 6.6 Áre del trpecio Siendo l bse mor del trpecio, b l bse menor del trpecio h l ltur del trpecio su áre será: trpecio ( b) h 6.7 Áre del polígono regulr Siendo P el perímetro (sum de todos los ldos, que son igules por ser regulr) del polígono regulr p l potem (segmento que une el centro del polígono con el punto medio de un ldo) del polígono regulr su áre será: polígono P p 7.- ÁRES LONGITUDES DE FIGURS CIRCULRES Un circunferenci se define como el lugr geométrico (un lugr geométrico es un conjunto de puntos que cumplen un mism propiedd) de los puntos que están l mism distnci de uno que llmmos centro C. L distnci se llm rdio r. Por tnto l circunferenci es l líne (longitud) el círculo es l superficie (áre) en su interior. Otros elementos de l circunferenci son:.- Rdio: r une el centro C con culquier punto de l circunferenci..- Cuerd: segmento que une dos puntos de l circunferenci..- rco: Prte de l circunferenci comprendid entre dos puntos de l mism..- Diámetro: d es un cuerd que ps por el centro de l circunferenci: d = r 7.1 Longitud de l circunferenci Siendo r el rdio de l circunferenci su longitud será: L circunferenci = r = d 7. Longitud del rco de circunferenci Siendo r el rdio de l circunferenci n el número de grdos que brc el rco sobre ell, podemos clculr l longitud del rco medinte un proporción direct: 7.3 Áre del círculo Siendo r el rdio del círculo su áre será: círculo = r 7.4 Áre del sector circulr grdos 360º nº longitud r L rco L rco π r nº 360º Un sector circulr es l superficie del círculo comprendid entre dos rdios el rco correspondiente. Siendo r el rdio del círculo n el número de grdos que brc el sector circulr, podemos clculr el áre del sector circulr medinte un proporción direct: grdos 360º nº superficie r sector sector π r nº 360º 5

6 COPIRRI_Julio Césr bd Mrtínez-Los 7.5 Áre del segmento circulr Un segmento circulr es l superficie del círculo comprendid entre un cuerd su rco. Cundo se trz un cuerd se originn dos rcos, uno menor de 180º otro mor de 180º, l hor de clculr su áre esto se debe tener en cuent. Siendo r el rdio del círculo n el número de grdos que brc el rco:.- podemos clculr el áre del segmento circulr menor de 180º como: segmento circulr = sector - triángulo.- podemos clculr el áre del segmento circulr mor de 180º como: segmento circulr = sector + triángulo 7.6 Áre de l coron circulr Un coron circulr es l superficie comprendid entre dos circunferencis concéntrics. Siendo R el rdio de l circunferenci mor r el rdio de l circunferenci menor, podemos clculr el áre de l coron circulr como: coron circulr = círculo mor - círculo menor = R - r = (R - r ) 7.7 Áre del trpecio circulr Un trpecio circulr es l superficie de un coron circulr comprendid entre dos rdios. Siendo R el rdio de l circunferenci mor, r el rdio de l circunferenci menor n el número de grdos que brcn los dos rdios, podemos clculr el áre del trpecio circulr medinte un proporción direct: grdos 360º nº superficie (R r ) trpecio circulr trpecio circulr π (R r ) nº 360º 8.- VECTORES EN EL PLNO * Un vector fijo es un segmento que comienz en (origen) termin en (etremo). Si el vector es el, entonces el origen es el etremo es. Los elementos que determinn un vector son:.- MÓDULO de : Es l longitud del vector. Se denot por..- DIRECCIÓN de : Es l dirección de l rect que ps por por. Tods ls prlels con ell tienen l mism dirección..- SENTIDO de : Cd dirección tiene dos sentidos, de o de. 8.1 Coordends de un vector Ddo un punto (, ) un punto ( b, b) se clculn ls coordends del vector coordends del primer punto ls coordends del segundo punto: ( b, b ) EJEMPLO_ Clcul ls coordends del vector siendo (3,1) (7,4). Restmos ls coordends de ls de : = (7 3, 4 1) = (4,3) Culquier vector u que teng coordends u =(4,3), será un vector equipolente (mismo módulo, mism dirección mismo sentido) l VECTOR FIJO, demás todos estos vectores formn lo que llmmos VECTOR LIRE de coordends (4,3) son todos los vectores que tengn ess coordends. De todos, restndo ls ellos h uno especil, quel cuo origen se encuentr en el origen de coordends O (0,0), que ese vector tendrá el etremo en un punto P cus coordends son justmente ls del vector (4,3), este vector O P se le llm vector de posición del punto P. Por ello pr distinguir un vector O P de coordends (4,3) de un punto P de coordends (4,3) deberemos guirnos por el conteto que nos mrque el enuncido del problem. 6

7 COPIRRI_Julio Césr bd Mrtínez-Los 8. Módulo de un vector Ddo un vector u (u, u ), se clcul su módulo (longitud del vector) con l epresión: u u u EJEMPLO_ Clcul el módulo del vector u = (4, 3). u 4 ( 3) uniddes Se puede observr que pr clculr el módulo de un vector lo que relmente hcemos es plicr el teorem de Pitágors pr el cálculo de l hipotenus (módulo del vector) del triángulo que se form entre el vector los ejes de coordends. EJEMPLO_ Clcul el módulo del vector siendo (3,1) (7,4). Clculmos ls coordends del vector = (7 3, 4 1) = (4,3) plicmos l epresión nterior: Sum de vectores uniddes Ddos dos vectores u (u, u ) v (v, v ) se define el vector sum u v w (u v, u v ). En l sum gráfic se pone el vector u en el origen O(0,0) se coloc continución el vector v con origen en el etremo del u, el vector sum u v w es el vector con origen en O(0,0) etremo en el etremo de v. Un segund form de sumr vectores consiste en poner mbos vectores con origen en O(0,0) trzr el prlelogrmo que formn, el vector u v w es l digonl mor del prlelogrmo. En este método, l rest u v o v u es l digonl menor en un sentido o en otro. Este método se conoce con el nombre de Método del prlelogrmo. EJEMPLO_ Ddos los vectores u (3,8 ) v (5, ). Clcul l sum de form nlític de form gráfic. ) De form nlític: u v w = (3,8) + (5,-) = (3+5,8-) = (8,6) ) De form gráfic: 1) Colocndo el vector u continución el vector v, imgen izquierd. ) Método del prlelogrmo, imgen derech. El vector w es el vector de posición del punto P. 8.4 Producto de un número rel por un vector * Ddo un vector u (u, u ), el producto de un número rel t por el vector u se define como un vector t u que tiene por coordends t u (tu, tu ). Si t>1, el vector t u tendrá mism dirección, mismo sentido mor tmño que u. Si 0<t<1, el vector t u tendrá mism dirección, mismo sentido menor tmño que u. Si t< 1, el vector t u tendrá mism dirección, sentido contrrio mor tmño que u. Si 1<t<0, el vector t u tendrá l mism dirección, sentido contrrio menor tmño que u. EJEMPLO_ Ddo el vector u (3,1 ). Clcul el vector 4 u. Será 4 u 4 (3,1) (1, 4), se puede observr que ddo que t=4>0, entonces el vector 4 u, tiene l mism dirección, el mismo sentido es cutro veces mor que el vector u. 7

8 COPIRRI_Julio Césr bd Mrtínez-Los 9.- MOVIMIENTOS EN EL PLNO Un movimiento es un trnsformción geométric en l que cd punto se le hce corresponder un punto (homólogo), de mner que ls figurs formds conserven el tmño l form (isometrí). Vemos tres tipos de estos movimientos: trslciones, giros simetrís. 9.1 Trslciones Ddo un vector u (u, u ), se llm trslción de punto (, ) medinte el vector u l punto (, ) de tl form que el vector u se equipolente (mism dirección, mismo sentido mismo módulo) con el vector. Se cumple: á u u En ocsiones podemos relizr trslciones sucesivs de dos o tres vectores de tl form que si trsldmos el punto (, ) medinte trslción de vector u (u, u ) se obtiene el punto (, ) de siendo u equipolentes. continución se trsld el punto (, ) medinte trslción de vector v (v, v ) se obtiene el punto (, ) de mner que v sen equipolentes. Est trslción sucesiv de dos vectores se puede sustituir por un sol trslción de vector w (w, w ) cumpliéndose que el vector w el vector sen w u v equipolentes demás (w, w ) (u v, u v ) (, ) EJEMPLO_ Ddo el punto ( 6,) se trsld medinte vector de trslción u (7,3) llegndo l punto (, ). continución se trsld el punto medinte vector v (5, 4) terminndo en el punto C (C, C ). ) Clcul ls coordends del punto, homólogo del medinte trslción de vector u. b) Clcul el vector de trslción sucesiv w, equivlente ls trslciones de vectores u v. opciones: ) Pr obtener ls coordends del punto tenemos dos 1.ª OPCIÓN: Equipolenci de vectores. Ddo que en l trslción el vector u el vector igules) se cumplirá: u (7, 3) ( ( 6), ) ( 6, ) (7, 3).ª OPCIÓN: Sum de vectores. l trsldr el punto medinte vector u epresión vectoril: O O u (, ) (-6, ) (7, 3) ( deben ser equipolentes (sus coordends deben ser ( 3 5 se obtiene el punto cumpliéndose l, ) (1, 5), ) (1, 5) NOT: L form correct de hcer este ejercicio es l nterior, por reljción muchs veces se escribe l siguiente epresión erróne desde un punto de vist vectoril: u (, ) (-6, ) (7, 3) (, ) (1, 5), pues se sumn puntos con vectores eso no es del todo correcto, unque l epresión numéric es idéntic de hí l confusión. b) Pr obtener ls coordends del vector w tenemos dos opciones: 1.ª OPCIÓN: Equipolenci de vectores. u (7, 3) ( ( 6), ) ( 6, ) (7, 3) ( 3 5, ) (1, 5) 8

9 COPIRRI_Julio Césr bd Mrtínez-Los v (5, 4) C (C 1, C 5) (C 1, C 5) (5, 4) w (w, w ) C (6 ( 6), 1 ) C 1 5 C C 5 4 C 6 C(C 1 w (w, w ) (1, 1), C ) (6, 1).ª OPCIÓN: Sum de vectores. w u v (w, w ) (7, 3) (5, 4) w (w, w ) (1, 1) 9. Giros Ddo un punto P ( p, p) un ángulo α, se llm giro de centro P ángulo α G (P, α) l trnsformción que convierte el punto (, ) en el punto (, ) de tl form que:.- el ángulo formdo por P es el ángulo α Pˆ αˆ (mplitud del giro).- el módulo del vector P es igul l módulo del vector P P P L resolución de este tipo de ejercicio se hrá de form gráfic, quizás en lgun ocsión se nos pidn ls coordends del punto homólogo del punto medinte un giro, G (P, α)() =, pero se clculrán ojo sin cálculo mtemático, siguiendo lo que el dibujo nos indique. l hor de medir un giro debemos tener en cuent que los giros con el sentido de ls gujs del reloj se considern giros negtivos mientrs que los giros con el sentido contrrio l movimiento de ls gujs del reloj se considern un giro positivo. EJEMPLO_ Ddo el punto (3,0), clcul ls coordends de sus homólogos según: ) un giro de centro el origen de coordends mplitud α = 90º. b) un giro de centro el origen de coordends mplitud α = 90º. 9. Simetrís Distinguimos dos tipos de simetrís:.- Simetrí il: es un simetrí respecto de un eje. Un punto (, ) se trnsform en su simétrico (, ) siendo el eje de simetrí l meditriz del segmento. Pr relizr un simetrí il de un figur (triángulo C, por ejemplo) se deben trzr perpendiculres desde cd vértice l eje de simetrí situr los puntos homólogos (,, C) en l prolongción de dichs perpendiculres de tl form que l distnci del punto l eje se l mism que l distnci del punto l eje, que l distnci del punto l eje se l mism que l distnci del punto l eje que l distnci del punto C l eje se l mism que l distnci del punto C l eje. 9

10 COPIRRI_Julio Césr bd Mrtínez-Los.- Simetrí centrl: es un simetrí respecto de un punto P ( p, p). Un punto (, ) se trnsform en su simétrico (, ) siendo P el punto medio del segmento. Pr relizr un simetrí centrl de un figur (triángulo C, por ejemplo) se debe trzr un rect que sliendo de pse por P (centro de simetrí) se coloque en l prolongción de dich rect de tl form que l distnci de P se l mism que l distnci de P. Debemos hcer lo mismo con los otros dos puntos. Cundo trbjmos con ejes de coordends plntemos tres simetrís:.- SIMETRÍ RESPECTO DEL EJE DE SCISS: El punto (, ) se trnsform en el punto (, ) de tl form que se cumple: á, l qued invrinte l cmbi de signo..- SIMETRÍ RESPECTO DEL EJE DE ORDENDS: El punto (, ) se trnsform en el punto (, ) de tl form que se cumple: á, l cmbi de signo l qued invrinte..- SIMETRÍ RESPECTO DEL ORIGEN DE COORDENDS: El punto (, ) se trnsform en el punto (, ) de tl form que se cumple: á, l l cmbin de signo. EJEMPLO_ Ddo el punto (5,), clcul ls coordends de sus homólogos en ls siguientes simetrís: ) Simetrí respecto del eje de bsciss _ b) Simetrí respecto del eje de ordends _ c) Simetrí respecto del origen de coordends _ d) Simetrí respecto del punto P (7,3) _ IV ) Simetrí respecto del eje de bsciss _ : El punto se obtiene l cmbir de signo l coordend (5, ) b) Simetrí respecto del eje de ordends _ : El punto se obtiene l cmbir de signo l coordend ( 5,) c) Simetrí respecto del origen de coordends _ : El punto se obtiene l cmbir de signo l coordend l coordend ( 5, ) d) Simetrí respecto del punto P (7,3) _ IV El punto IV se obtiene de form gráfic, utilizndo l cudrícul pr psr de P debemos ir dos cudrdos l izquierd dos cudrdos hci rrib, por tnto pr psr de P IV debemos hcer lo mismo se finliz en el punto IV (1,6). 10

11 COPIRRI_Julio Césr bd Mrtínez-Los NOTS_ NÚMEROS RELES * SÍMOLOS: _ Implic o quiere decir o supone que, l relción es ciert de izquierd derech. _ Implic o quiere decir o supone que, l relción es ciert de derech izquierd. _ Doble implic, l relción es ciert en mbos sentidos. _ Distinto _ Infinito _ proimdo _ Pertenece _ No pertenece / _ Tl que Π _ Tl que _ Eiste _ No eiste α _ lf β _ et _ Gmm * ÁNGULOS EN L CIRCUNFERENCI.- Ángulo centrl: tiene el vértice en el centro de l circunferenci los ldos son los rdios..- Ángulo inscrito: tiene el vértice sobre l circunferenci los ldos cortn l circunferenci.- Ángulo semiinscrito: tiene el vértice sobre l circunferenci un ldo es tngente l circunferenci el otro ldo es secnte l circunferenci..- PROPIEDD: Un ángulo inscrito que brc el mismo rco que un ángulo centrl vle l mitd de este..- Pr dibujr un ángulo recto en un circunferenci bst trzr un ángulo inscrito cuos ldos psen por los etremos de un diámetro. * TEOREM DEL CTETO (4.º ESO) Pr plicr este teorem cmbimos l posición hbitul del triángulo rectángulo definimos n, m h :.- n _ es l proección del cteto b sobre l hipotenus c..- m _ es l proección del cteto sobre l hipotenus c..- h _ es l ltur sobre l hipotenus. El teorem del cteto dice: El cudrdo de un cteto es igul l producto de l hipotenus por l proección de dicho cteto sobre l hipotenus : b = n c o = m c *TEOREM DE L LTUR (4.º ESO) Siguiendo el dibujo del prtdo nterior, el teorem de l ltur dice: El cudrdo de l ltur sobre l hipotenus es igul l producto de ls proecciones de los ctetos sobre l hipotenus : h = m n Estos dos teorems se bsn en l semejnz de triángulos, los triángulos I, II, III son semejntes, por ejemplo, el triángulo I es rectángulo en C, el triángulo II es rectángulo en P, demás tienen un ángulo en común, el ángulo, por ello tienen dos ángulos igules, entonces son semejntes. Si son semejntes, (lo mismo ocurre entre I III entre II III) sus ldos son semejntes: 11

12 COPIRRI_Julio Césr bd Mrtínez-Los Entre I II se cumple: b c b c b h n b n b n c Entre I III se cumple: b c c h m m m c Entre II III se cumple: b h n h n h m h m h m n EJEMPLO_ Clcul el vlor de ls letrs desconocids en el siguiente triángulo rectángulo:.- En el triángulo de l izquierd podemos plicr el teorem de Pitágors: h + 18 = 30 h + 34 = 900 h = = 576 h = 4 cm hor podemos plicr:.- Teorem del cteto: = m c, pero nos fltn ls tres incógnits..- Teorem del cteto: 30 = 18 c c = 50 cm.- Teorem de l ltur: h = 18 m 4 = 18 m m = 3 cm.- c = n + m m = = 3 cm.- Pr clculr "", podemos plicr: Teorem del cteto: = 3 50 = = 40 cm. Teorem de Pitágors en triángulo medino: = = = = 40 cm. Teorem de Pitágors en triángulo grnde: + 30 = 50 = = = 40 cm. H vris opciones pr poder resolver estos problems, se trt de certr con el cmino más corto. 1