Universidad de Valladolid, Valladolid, España 2 Departamento de Estadística, Investigación Operativa y Computación

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1 27 Congreo Nacional de Etadítica e Invetigación Operativa Lleida, 8 11 de abril de 2003 THE EOQ/ω o + ωt/π o + πt/ρ INVENTORY SYSTEM L.A. San Joé 1, J. Sicilia 2, J.G. Laguna 3 1 Departamento de Matemática Aplicada a la Técnica Univeridad de Valladolid, Valladolid, Epaña 2 Departamento de Etadítica, Invetigación Operativa y Computación Univeridad de La Laguna, Tenerife, Epaña 3 Departamento de Etadítica e Invetigación Operativa Univeridad de Valladolid, Valladolid, Epaña ABSTRACT We preent a general mathematical model which generalize everal EOQ inventory ytem with partial backlogging. Backorder cot and lot ale cot are both conidered depending on the hortage time. The optimal policy i obtained through a equential optimization procedure in two tage, that relie on the objective function of the claical EOQ model (firt tage) and on an univariate function which depend on the reorder level (econd tage). Key Word: inventory ytem, EOQ model, hortage, partial backordering, lot ale, reorder level. AMS ubject claification: 90B05. 1 Introducción Según Silver (1998), una de la cuetione má importante en el contexto del control de inventario tiene lugar cuando un cliente olicita un artículo no diponible en el almacén. Do han ido lo cao má coniderado en la literatura obre el tema: (i) toda la demanda pendiente e ervida cuando llega al almacén un nuevo lote (cao denominado de demanda acumulable, de demanda pendiente o de demanda retropedida); (ii) toda la demanda e pierde porque, al no encontrar lo que neceita o deea, el cliente e va a otro lugar a atifacer u petición (cao de pérdida de venta). El comportamiento del nivel neto de inventario en el almacén (tock a mano - repropedido) e radicalmente ditinto en una ituación que en otra. Si, 1

2 cuando hay ecaez, toda la demanda e retropedida el nivel neto del inventario erá negativo hata la iguiente llegada de un pedido; en cambio, i toda la demanda e pierde, el nivel neto de inventario e mantiene nulo hata la llegada del iguiente pedido. Sin embargo, en mucha ituacione práctica e da una combinación de eto cao extremo. E decir, debido a lo deeo o la neceidade de lo cliente, parte de la demanda durante cada intervalo de ecaez e pierde y el reto etá contituida por cliente dipueto a eperar hata la llegada al almacén de un nuevo lote. Aunque a vece e ha coniderado que eta ituación de mixtura podía er aproximada por alguno de lo cao extremo (Silver (1998 p. 234)) otro autore han opinado todo lo contrario. En eta última linea e encuentran Montgomery (1973), Roenberg (1979) y Park (1982). Má concretamente, eto autore conideran que olamente una fracción fija β, con0 < β < 1, de la demanda durante el periodo in exitencia e ervida tarde. Má adelante, Mak (1987) modifica el modelo para incorporar una taa uniforme de reabatecimiento. En ete trabajo e etudia un modelo que generaliza divero itema EOQ de inventario. En tale trabajo e conidera que el cote unitario por demanda pendiente de ervir depende del tiempo que reta hata la llegada del iguiente pedido, pero que el cote unitario por cada unidad cuya demanda e pierde e contante. Aquí conideraremo que ambo cote dependen del tiempo que reta hata la llegada del iguiente pedido, e decir, e conidera que on cuatro y no tre lo parámetro que determinan lo cote de ecaez. Por tanto, al uponer nulo alguno de tale parámetro, pero no todo, e obtienen diferente modelo, alguno de lo cuale e encuentran en la literatura obre el tema, pero otro no. Ete trabajo etá etructurado de la iguiente forma. En la Sección 2 e dan la hipótei y la notación que e utilizará a lo largo del trabajo. En la Sección 3 e formula el modelo matemático, cuya olución e preenta en la Sección 4. El trabajo finaliza con la concluione que e dan en la Sección 5. 2 Hipótei y notación Conideraremo la iguiente hipótei: (1) El inventario e de un olo producto con demanda independiente. (2) El horizonte de planificación e infinito. (3) La taa de demanda e conocida, contante y continua. (4) El reabatecimiento e intantáneo. (5) El cote de pedir e fijo y no depende del tamaño del lote. El cote de almacenamiento e una función lineal del inventario medio. (6) Se permite ecaez. Una parte de la demanda durante cada intervalo de ecaez e pierde y el reto contituye la demanda pendiente de ervir o demanda retropedida. La fracción de demanda retropedida e contante. (7) El cote unitario de retropedido incluye un cote fijo y un cote proporcional 2

3 altiempoqueeeperahataqueerecibeelartículo. (8) El cote de una venta perdida incluye un cote fijo y un cote proporcional al tiempo que falta hata la llegada de un nuevo pedido. El cote fijo incluye a u vez la pérdida de beneficio y el cote de la pérdida de confianza. Utilizaremo la iguiente notación: D : demanda por unidad de tiempo (> 0). K : coto de repoición (> 0). p : cote unitario de compra (> 0). : precio unitario de venta ( >p). h : cote unitario de almacenamiento por unidad de tiempo (> 0). ω o : cote fijo de retropedido por unidad ervida tarde, independiente del tiempo ( 0). ω : cote unitario de retropedido por unidad de tiempo ( 0). E decir, ω o + ωt e el cote unitario de retropedido cuando el tiempo de ecaez e t. π o : cote fijo de pérdida de confianza por cada venta perdida in incluir la pérdida de beneficio ( 0). π : cote unitario de pérdida de confianza de una venta perdida por unidad de tiempo ( 0). Por tanto, π o + πt e el cote unitario de pérdida de confianza cuando el tiempo de ecaez e t yepierdeunaventa. ρ : fracción de demanda retropedida (0 ρ 1). ξ o : cote medio fijo por ecaez de una unidad, incluyendo el cote fijo de retropedido, la pérdida de beneficio y de confianza; luego, ξ o = ρω o +(1 ρ)(π o + p), con 0 ρ 1. ξ : cote medio de ecaez dependiente del tiempo, de donde ξ = ρω +(1 ρ)π, con 0 ρ 1. La cantidad ξ o + ξt e el cote medio por ecaez de una unidad cuando el tiempo de ecaez e t. Conideraremo que ξ o + ξ > 0, e decir, upondremo que ambo cote medio no pueden er imultáneamente nulo. EOQ : cantidad económica de pedido; e decir, EOQ = p 2KD/h. q : tamaño del lote ( 0). b : nivel de reabatecimiento ( 0). u : demanda durante un ciclo, incluyendo la demanda que e atiface a tiempo, la demanda retropedida y la demanda perdida; e decir, u = q +(1 ρ)b (> 0). M : nivel máximo de inventario; e decir, M = u b ( 0). Como en gran parte de la literatura, upondremo que la variable q, b, u y M on continua. En ete trabajo e conideran como variable de deciión u y b. 3

4 3 El modelo Conideraremo un modelo de inventario de reviión continua con demanda determinita y ecaez parcialmente retropedida, pero contante. Por tanto, lo ingreo y lo cote en cada ciclo on: Ingreo: q. Cotedecompra:pq. Cotederepoición:K. Cote de almacenamiento: h M 2 = h (u b)2. 2D 2D Cote fijo por demanda retropedida: ω o ρb. Cote por demanda retropedida dependiente del tiempo: ωρb 2 /2D. Cote fijo de pérdida de confianza: π o (1 ρ)b. Cote de pérdida de confianza dependiente del tiempo: π(1 ρ)b 2 /2D. Portanto,elbeneficio durante un ciclo e (u b)2 F (u, b) = ( p)q K h 2D ω o ρb ωρb 2 /2D π o (1 ρ)b π(1 ρ)b 2 /2D = ( p)u K h (u b)2 2D ξ ob ξ b2 2D donde ξ o b+ξb 2 /2D e el cote de ecaez por ciclo incluyendo la pérdida de beneficio. Luego, el beneficio medio por unidad de tiempo e B(u, b) =F (u, b) D u =( p)d C(q, b) (1) iendo C(u, b) =K D u + h(u b)2 2u + ξ o bd u + ξ b2 2u Obviamente, maximizar B(u, b) e equivalente a minimizar C(u, b). En conecuencia, el problema e determinar la variable u y b, conu>0 y 0 b u, que minimizan (2). Ete modelo generaliza vario itema de inventario con retropedido parciale. 4 Reolución del problema En primer lugar conideraremo el modelo anterior cuando ξ > 0 y a continuación el cao ξ =0. Teorema 1. Sea ξ > Si (ξ o D) 2 2KDh 0, entonce el mínimo de C(u, b) e q q 2KDh yealcanza en u 2KD = y b =0. Luego, q = M 2KD =. h h 4 (2)

5 2. Si (ξ o D) 2 2KDh < 0, entonce C(u, b) alcanza u mínimo en u 2KD = (ξ od) 2 h + ξ,b 2KD = (ξ od) 2 h h h(h + ξ) ξ ξ ξ(h + ξ) h + ξ ξ od h + ξ (3) con valor Ademá, y C(u,b )= 2KDh h (ξ od) 2 ξ h + ξ h + ξ + hξ od h + ξ. (4) q = ρh + ξ 2KD (ξ od) 2 h + ξ + (1 ρ)ξ od h + ξ h h(h + ξ) ξ h + ξ M = 2KD (ξ od) 2 ξ h h (h + ξ) h + ξ + ξ od h + ξ. Cuando ξ =0el cote unitario de ecaez e una contante independiente del tiempo y, teniendo en cuenta la hipótei ξ o + ξ > 0, on poible tre ecenario: (i) ρ =1y ξ o = ω o > 0 (toda la demanda en tiempo de ecaez e acumulable). (ii) ρ =0y ξ o = π o + p>0 (todo on venta perdida). (iii) 0 < ρ < 1, ξ o = ρω o +(1 ρ)(π o + p) > 0 (demanda parcialmente retropedida). La olución en ete cao no la proporciona el iguiente Teorema 2. Si ξ =0, e tiene: 1. Si (ξ o D) 2 2KDh 0, entonce el mínimo de C(u, b) e q 2KDh yealcanza en u 2KD = y b =0. h 2. Si (ξ o D) 2 2KDh < 0, entonce la función C(u, b) no alcanza u valor mínimo en R = {(u, b) :u>0, 0 b u}, peroinf (u,b) R C(u, b) =ξ o D. El ínfimo e obtiene cuando u = b. Eneteecenarionoexiteinventarioen entido propio. Obervacione Si conideramo toda la combinacione poible, que e obtienen al admitir que cada uno de lo cuatro parámetro que intervienen en el cote de ecaez, e decir, ω o, ω, π o y π, pueden er o bien nulo o bien poitivo e obtienen 16 cao diferente. Alguno de lo cuale aparecen en la literatura obre el tema, pero otro no. 5

6 1. Si ρ > 0 y π =0, retornamo al modelo EOQ con demanda parcialmente retropedida coniderado en Montgomery (1973), Roenberg (1979) y Park (1982). (a) Si ρ =1, e obtiene el modelo de demanda acumulable (ver Hadley (1963, p. 42) o Johnon (1974, p. 26)). Si ademá conideramo que ω = 0, retornamo al modelo de demanda acumulable con cote de ecaez independiente del tiempo (ver Laguna (2002)). (b) Si ω o =0, ρ =1y ω,retornamoalmodeloeoq de Harri-Wilon. 2. Si ρ = π = 0, retornamo al modelo EOQ de pérdida de venta(hadley(1963, p. 47)). 3. Si ξ =0, retornamo al modelo de retropedido parciale con cote de ecaez independiente del tiempo (ver Laguna (2002)). Si añadimo la condición ρ =1, retornamo al modelo con demanda acumulable y cote de ecaez contante (ver Laguna (2002)). 5 Concluione En ete trabajo e etudia un modelo que generaliza divero itema EOQ de inventario. Se conidera que el cote unitario por demanda pendiente de ervir y el cote unitario por cada unidad cuya demanda e pierde dependen ambo del tiempo que reta hata la llegada del iguiente pedido. La política óptima e obtiene por medio de un procedimiento de optimización ecuencial en do etapa que e fundamenta en la función objetivo del modelo de Harri-Wilon (primera etapa) y en una función univariante dependiente del nivel de reabatecimiento (egunda etapa). Al coniderar nulo alguno de lo cuatro parámetro que determinan lo cote de ecaez (pero no todo) e obtienen diferente modelo, alguno de lo cuale e encuentran en la literatura obre el tema, pero otro no. 6 Agradecimiento El autor Joaquín Sicilia agradece a la Dirección Gral. de Univeridade e Invetigación del Gobierno de Canaria la conceión de una Beca de etancia en la Univeridad de Valladolid, la cual permitió financiar la elaboración del preente trabajo. Aí mimo, lo otro do autore agradecen a la Dirección Gral. de Univeridade e Invetigación de la Conejería de Ecucación y Cultura de la Junta de Catilla y León la conceión del proyecto UV34/02 que ha ervido para facilitar la realización de ete trabajo. 6

7 Referencia Hadley, G. and Whitin, T.M. (1963). Analyi of Inventory Sytem. Prentice-Hall. Johnon, L.A. and Montgomery, D.C. (1974). Operation Reearch in Producction Planning, Scheduling and Inventory Control. John Wiley. Laguna, J.G. y San Joé, L.A. (2002): Modelo EOQ determinítico. Working paper. Departamento de Etadítica e Invetigación Operativa. Univeridad de Valladolid. Mak, K.L. (1987): Determining optimal production-inventory control policie for an inventory ytem with partial backlogging. Computer and Operation Reearch 14, Montgomery, D.C., Bazaraa, M.S. and Kewani, A.K. (1973): Inventory model with a mixture of backorder and lot ale. Naval Reearch Logitic Quaterly 20, Park, K.S. (1982): Inventory model with partial backorder. International Journal of Sytem Science 13, Roenberg, D. (1979): A new analyi of a lot ize model with partial backlogging. Naval Reearch Logitic Quaterly 26, Siver, E.A., Pyke, D.F. and Peteron, R. (1998). Inventory Management and Production Planning and Scheduling. Wiley. 7

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